函数——值域(教案)

函数（3）——值域
二．教学目标：1. 会求常见函数的值域；
2. 掌握几种函数值域的常规求法：观察法、配方法、部分分式法、换元
法等。

（一）复习：（提问） 1．函数的三要素；
2．函数的定义域：自变量x 的取值的集合；
函数的值域：自变量x 在定义于内取值时相应的函数值的集合。

（二）新课讲解：
例1、试画出下列函数图象。

（1）f(x)=x+1, (2)f(x)=(x-1)2+1,[)1,3x ∈
练习：已知函数与分别由下表给出，那么
((1))_____;((2))______((3))______;
((4))_______f f f g g f g g ====
1．观察法求函数值域 例1．求下列函数值域：
（1）32y x =-+ [1,2]x ∈- （2）2
1y x =- {2,1,0,1,2}x ∈--
（3）3
1y x =+ （4）1,00,01,0
x y x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩
（答案一[4,5]-）， （答案二{3,0,1}-）， （答案三(,1)(1,)-∞+∞）
， （答案四{1,0,1}-） 2．配方法求二次函数值域
例2．已知函数
2
23y x x =+-，分别求它在下列区间上的值域。

（1）x R ∈； （2）[0,)x ∈+∞； （3）[2,2]x ∈-； （4）[1,2]x ∈． 解：（1）∵2
(1)4y x =+-
∴min 4y =- ∴值域为[4,)-+∞．
（2）∵2
23y x x =+-的图象如图， 当0x =时，min 3y =-，
∴当[0,)x ∈+∞时，值域为[3,)-+∞． （3）根据图象可得： 当1x =-时，min 4y =-，
当2x =时，max 5y =，
∴当[2,2]x ∈-时，值域为[4,5]-． （4）根据图象可得：
当1x =时，min 0y =，
当2x =时，max 5y =，
∴当[1,2]x ∈时，值域为[0,5]． 说明：（1）函数的定义域不同，值域也不同；
（2）二次函数的区间值域的求法：①配方；②作图；③求值域。

练习：已知函数
2
31213y x x =-+，求它在下列各区间上的值域： （1）[1,1]-； （2）[1,4]； （3）(1,3]．
3．部分分式法求分式函数的值域
例3．求函数
54
1x y x +=
-的值域。

解： 545(1)99
5111x x y x x x +-+===+
---， ∵9
01
x ≠- ∴5y ≠ 即函数值域为(,5)(5,)-∞+∞．
说明：形如
cx d y ax b +=+ (0,)c bc ad ≠≠的值域为{|}
c y y a ≠． 4．利用“已知函数的值域”求值域
例4．求下列函数的值域：
（1
）y =； （2
）
y = （3
）y （4）
21
23y x x =++． 解：（1）0y ≥； （2
）y ≥ （3）05y ≤≤； （4）1
02
y <≤
． 5．换元法求函数值域
例5
．求函数y x =-
解：令u = （0u ≥），则211
22
x u =-
+，
22111
(1)12
22
y u u u =--+
=-++， 由函数图象可知，当0u ≥时，1
2y ≤，
∴函数y x =-1
(,]2
-∞．
五．小结：1．函数值域的常规求法：观察法、配方法、部分分式法、换元法等。

六．作业：
1．已知函数
2
361y x x =-+，分别求它在下列区间上的值域： （1）[1,2]x ∈-； （2）[4,0]x ∈-； （3）[2,5]x ∈．
2．求值域：（1）
322x y x +=
-； （2）3y x =-； （3）2
4
22y x x =--；
（4
）
y =；。