理论力学中的力矩与力矢量分析
理论力学4-1力系的主矢量和主矩
主矢量是作用点可以不同的各力之矢量和
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例 4-1-1
边长为a的正方体顶点O、F、C和E上作用有 四个大小都等于P的力，方向如图所示。 求：此力系的主矢量。 第 4章
例 4-1-1
Oy，Oz的单位矢量为 i , j , k，则
P1 P ( 2 i 2 j ) 2 2
P2 P ( 2 i 2 j ) 2 2
应用例题
B
圆角柜
z
C
F1 y F2 G x 轴OC位于Oyz平面内、与铅垂轴Oz的夹角为 θ，宽度OA = b的均质板可绕轴OC转动，计 算板的重力G对OC轴之矩。 F1 G sin mOC (G) b F1 Gb sin 2 2 此力矩使柜门自动关闭
O A
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v P vO ω rOP
例 4-1-3
边长为a的正方体顶点O、F、C和E上作用有 四个大小都等于P的力，方向如图所示。 求：此力系关于O点的主矩。 第 4章
例 4-1-3
M O rOF P2 rOC P3 rOE P4
由几何关系得：
解
P3
F O E
P2 P4
自由矢量：起始点可以任意变化的矢量 （如力系的主矢量） 我们学过的其它矢量分别是哪种矢量？
刚体
F
刚体
F
力的可传性只适用于刚体！
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1
力系的简化
第 4章 力系的简化：用更简单的力系代替原力系。
几个简单力系
力偶
第 4章 力偶 — 大小相等、方向相反、作用线平行 （但不重合）的两个力组成的力系
R
r1 F
几何静力学
MO
理论力学 期末复习知识点
第一章静力学公理与物体的受力分析§1.1 静力学公理✧公理1 二力平衡公理（条件）作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的充分必要条件是：这两个力大小相等，方向相反，且在同一直线上。
✧公理2 加减平衡力系原理在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，不改变原力系对刚体的作用。
（效应不变）✧公理3 力的平行四边形法则作用在物体上的同一点的两个力，可以合成为一个合力。
合力作用点也是该点，合力的大小和方向，由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定。
✧公理4 作用和反作用定律作用力与反作用力总是同时存在，两力的大小相等、方向相反、沿着同一直线，分别作用在两个相互作用的物体上。
✧公理5 刚化原理变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体刚化为刚体，其平衡状态保持不变。
✓推论1 力的可传性作用于刚体上某点的力，可以沿着它的作用线移到刚体内任意一点，并不改变该力对刚体的作用。
✓推理2 三力平衡汇交定理作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则此三力必在同一平面内，且第三力的作用线通过汇交点。
§1.2 约束和约束力一、约束的概念•自由体：位移不受限制的物体。
•非自由体：位移受限制的物体。
•约束：对非自由体的某些位移起限制作用的周围物体。
二、约束反力（约束力）•约束力：约束对物体作用的力。
•在静力学中，约束力和物体受到的其它已知力（主动力）组成平衡力系，可用平衡条件求出未知的约束力。
三、工程常见约束•光滑平面约束•柔索约束•光滑铰链约束•固定铰链支座•止推轴承径向轴承•平面固定端约束§1.3 物体的受力分析和受力图受力分析：确定构件受了几个外力，每个力的作用位置和方向的分析过程。
•步骤：1．取研究对象（画分离体：按原方位画出简图）。
2．画主动力：主动力照搬。
3．画约束反力：根据约束性质确定。
第二章 平面汇交力系与平面力偶系§2–1 平面汇交力系平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。
理论力学第四章1
Ｚ Ｆ
如力F对Z轴之矩表示为： M z ( F ) M o ( Fxy ) Fxy h
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴之矩为零。 方向：右手螺旋法则，与Z轴正方向一致时为正，反之为负。单位：N· m
5
2.力对轴的矩
力对轴之矩合力矩定理：各力对任一轴之矩等于各分力对同一轴之矩的 代数和。 例：将Fxy再分解为Fx、Fy，根据合力矩定理则有：
z
即，力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于
力对该轴的矩.
7
空间汇交力系
1、力在直角坐标轴上的投影 直接投影法
Fx F cos
Fy F cos
Fz F cos
8Leabharlann 1.力在直角坐标轴上的投影 二次投影法 Fz Fy Fx
F xy F sin
Fx F sin cos
1、 力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢 三要素： (1）大小:力F与力臂的乘积 (2) 方向:转动方向 (3) 作用面：力矩作用面.
MO ( F ) r F
（4–8）
矢量方向：右手螺旋定则。（将右手四指握拳并以它们的弯曲 方向表示力使物体绕该轴转动的转向，而拇指的指向就是力对 3 点之矩矢量的指向）
3. 空间汇交力系的平衡：
空间汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零
即： R F
F
x 2
i
0
2 2
FR
F
Fy Fz
空间汇交力系的平衡方程
F 0 F 0 Fz 0
x y
11
§4-2
空间力偶系
M mi 代数和
1.平面力偶系：
理论力学课件 第一章力的投影,主矩主矢
•
•
v Fn
=
X niv
•
+ Yn
vj
+
v Znk
z
Fn O x
Fi
F1 y
F2
∑ X1 + X 2 +L+ X n = X
∑ Y1 + Y2 + L + Yn = Y
∑ Z1 + Z2 + L + Zn = Z
v FV
=
(∑
X
)iv
+ (∑Y )vj
+ (∑ Z )kv
1.1 力的投影、力系的主矢、汇交力系的合力
1.1 力的投影、力系的主矢、汇交力系的合力
合力解析表达式Fv形R式= (−153.6iv −170.5 vj )N
合力的大小和方向
∑ ∑ FR = ( X )2 + ( Y )2 = 229.5N
θ
=
arctan
∑Y ∑X
= 47.98°
y
θO x
FR
1.1 力的投影、力系的主矢、汇交力系的合力 2、汇交力系合成的几何法
例1-4：边长为a的正方体受到四个大小都等于F的力， 方向如图，求此力系的主矢。
z A
G
F4
O
F1
E x
B
F2
H
F3
C y
D
1.1 力的投影、力系的主矢、汇交力系的合力
z
解
A
B 四力的矢量解析表达式：
G
F2
H
v F1
=
F
⎜⎜⎝⎛
2
v i
+
2
2 2
v j
理论力学受力分析
理论力学受力分析目录一、内容概括 (3)1. 理论力学概述 (3)2. 受力分析的重要性 (4)3. 受力分析的基本方法和步骤 (5)二、基本力学原理 (6)1. 牛顿运动定律 (7)1.1 牛顿第一定律 (8)1.2 牛顿第二定律 (9)1.3 牛顿第三定律 (9)2. 力的分类与性质 (10)2.1 力的种类 (10)2.2 力的性质 (11)三、受力分析方法与技巧 (13)1. 受力图的绘制 (14)1.1 确定研究对象 (15)1.2 力的识别和表示 (15)1.3 力的方向和大小标注 (17)2. 力的分解与合成 (18)2.1 力的分解 (19)2.2 力的合成 (19)3. 受力平衡条件及应用 (21)3.1 受力平衡条件的概述 (22)3.2 受力平衡条件的应用实例 (23)四、复杂系统受力分析 (25)1. 柔体系统的受力分析 (26)1.1 柔体系统的特点 (28)1.2 柔体系统的受力分析方法 (29)2. 多刚体系统的受力分析 (30)2.1 多刚体系统的组成 (32)2.2 多刚体系统的受力分析步骤 (32)五、实践应用与案例分析 (33)1. 工程中的受力分析实例 (35)1.1 桥梁工程中的受力分析 (36)1.2 机械结构中的受力分析 (37)1.3 建筑结构中的受力分析 (38)2. 理论力学在其它领域的应用 (39)2.1 生物力学中的受力分析 (41)2.2 材料力学中的受力分析应用 (42)六、总结与展望 (43)1. 受力分析的总结与回顾 (44)2. 受力分析的发展趋势与展望 (45)一、内容概括理论力学受力分析是研究物体在受到外力作用下所表现出的运动规律和性质的一门学科。
本文档将详细介绍理论力学受力分析的基本原理、方法和应用，包括质点、刚体、平面运动、曲线运动、圆周运动等不同情况下的受力分析。
我们将从牛顿三定律出发，阐述物体在受到外力作用下的加速度与力的关系。
理论力学基本概念和受力分析
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（2）二次投影法（间 接投影法）
当力与各轴正向夹 角不易确定时，可先将 F 投影到xy面上，然后 再投影到x、y轴上， 即
FxyFsin
X Fxycojs Fsin cojs YFxysinjFsin sinj Z Fcos
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4.若已知力在直角坐标轴上的投影X、Y、Z，则
力的大小： F X2Y2Z2
[例] 吊灯
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公理5 刚化原理
变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体 变成刚体（刚化为刚体），则平衡状态保持不变。
公理5告诉我们：处 于平衡状态的变形体， 可用刚体静力学的平 衡理论。
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§1-2 力的投影及荷载分类
一、力的投影 1.力F 在任一轴上的投影 （1）F力 与轴共面： 以X表示力F 在x轴上的投影，则 X=±ab。
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约束反力特点： ①大小是未知的。故称为被动力。 ②方向总是与所限制的物体的位移方向相反； ③作用点在物体与约束相接触的那一点。
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34
二、常见约束及约束反力： 1.柔索约束（不计重的绳索、链条或皮带等） 由于柔索只能阻碍物体沿柔索伸长的方向运动，故柔索的约 束力通过柔索与物体的连接点，方位沿柔索而指向背离物体。 即恒为拉力。
大小与力偶臂的乘积：
'
mm(F,F)Fd
规定：逆时针转向为正，反之为负 。
单位：N.m，kN.m
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（2）空间问题中的力偶矩是矢量，其对物体的作用决定于力 偶三要素：
●力偶矩的大小 ：m Fd
●力偶作用面在空间的方位
●力偶在作用面内的转向：力偶 矩矢与力偶的转向符合右手螺旋 法则 。 力偶对刚体的作用完全决定于力偶矩矢。
理论力学三大类问题的基本求解方法
理论⼒学三⼤类问题的基本求解⽅法理论⼒学三⼤类问题的基本求解⽅法2009-121 求解静⼒平衡问题的基本⽅法（平⾯问题为重点）（1）选取研究对象，进⾏受⼒分析，并画受⼒图。
⼀般针对所求，先对整体进⾏初步的受⼒分析，若所求未知量⼩于或等于独⽴平衡⽅程的个数，则只研究整体即可；反之，若所求未知量个数⼤于独⽴平衡⽅程的个数，则必须取分离体进⾏受⼒分析。
可以采取整体＋分离体的解决⽅案，也可采取分离体＋分离体的解决⽅案；另外，若所求的未知量有系统内⼒，也必须取分离体研究，以暴露出所要求的内⼒；画受⼒图注意将各⼒画在原始的作⽤点处，分布⼒原样画出，待列⽅程计算时，再作简化处理。
再有，注意⼆⼒杆的判别，及摩擦⼒⽅向的判定。
（2）列平衡⽅程求解。
⾸先根据受⼒图，判断是何种⼒系的平衡问题。
再针对所求⽤尽可能少的平衡⽅程得出所求。
（3）结果校核——利⽤多余的平衡⽅程校核所得的结果。
对⽤符号表⽰的结果，可采⽤量纲分析的⽅法进⾏校核。
2 求解运动学问题的基本⽅法（以平⾯运动为重点）⾸先正确判断问题类型，尤其注意正确区分点的合成运动问题与刚体平⾯运动问题。
判断的依据是，点的合成运动的问题中，运动机构的不同构件之间有相对滑动。
⽽刚体平⾯运动理论⽤来分析同⼀平⾯运动刚体上两个不同点间的速度和加速度的关系。
此时，运动机构的不同构件之间有相对转动，却⽆相对滑动。
另外，注意点的合成运动与刚体平⾯运动的综合问题。
2．1 点的运动学问题——注意在⼀般位置建⽴点的运动⽅程；2．2 点的合成运动问题（1）⾸先是机构中各构件的运动分析；（2）再针对所求，正确选择动点、动系和定系。
注意动点相对于动系和定系都要有相对运动，即动点、动系、定系要分属于不同的构件。
同时，尽可能使动点的相对轨迹清楚易判断；求解加速度时，尽量将动系固连在平动的物体上，避免求科⽒加速度；（3）分析三种运动及其相应的三种速度和加速度，正确画出速度⽮量图或加速度⽮量图。
注意速度合成的平⾏四边形关系；（4）利⽤速度或加速度合成定理进⾏求解。
5 理论力学--空间任意力系
O
M (F ) ,k M
z O
结 论
空间任意力系向任一点简化后，一般得到一个 力和一个力偶 。 这个力作用于简化中心，其力矢等于原力系的主矢。 这个力偶的力偶矩矢等于原力系对简化中心的主矩。 空间任意力系的主矢与简化中心的位置无关，而 主矩一般随简化中心位置的改变而改变，与简化中心 的位置有关。
z z
F
O
F A
B
d
A x
x
O d
y a F x
y
y
Fy
b
Fx
图5-2
力F对z轴的矩，就等于力F在垂直于z轴的Oxy平面 上的投影Fxy对z轴与该平面的交点O的矩(见图5-2)
M z ( F ) M O (Fxy ) Fxy d 2Oab
力对轴的矩是一个代数量。 正负号规定：右手螺旋规则。
z
任选O点为简化中心,将各力
平行搬移到O点(见图5-4)。 根据力线平移定理，将各力 平行搬移到O点，得到一空间汇 交力系；和一附加力偶系。
F1 ' F1 , F2 ' F2 , , Fn ' Fn ;
M1 M O (F1 ), M 2 M O (F2 ), , M n M O (Fn ) .
x 2 Ax
y 1 Ay
C
F2
x 0
z
1
Az
FAy
1
2
y
x
z
1
2
z
图5-9
解得
FAx 100kN FAy 200kN FAz 400kN M x 600kN m M y 500kN m M z 400kN m
例5-3 如图5-10(a)所示板ABCDEF由六根链杆支承，正方形 ABCD位于水平面内，EF平行于CD。试求沿AD方向作用有力F时， 六根杆的内力。 B 4 C 3 a 解： 取悬臂刚架ABCDEFG为研究 F 5 2 对象，受力如图5-10(b)所示。 D a
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理论力学中的力矩与力矢量分析理论力学是研究物体运动原理和力学性质的学科，其中力矩和力矢
量是重要的概念。
力矩描述了力对物体的转动效应，而力矢量则描述
了力的方向和大小。
本文将介绍力矩和力矢量的定义、性质和在理论
力学中的应用。
一、力矩的定义与性质
力矩是由力对物体的转动产生的效应。
它的定义为力矩=M=rFsinθ，其中M代表力矩，r代表力对物体转轴的垂直距离，F代表力的大小，θ代表力与转轴之间的夹角。
力矩的单位是牛顿·米(N·m)。
力矩具有以下性质：
1. 力矩的大小与施力点到转轴的距离成正比。
当固定一力的大小和
方向时，力矩随着施力点到转轴的距离增加而增加。
2. 力矩的大小与力的大小成正比。
当施力点到转轴的距离固定时，
力矩随着力的大小增加而增加。
3. 力矩的方向由力和转轴之间的夹角决定。
当转轴可以看作一根轴时，力矩遵循右手定则：将右手的四指放在转轴上，四指的方向与力
的方向相同，然后大拇指的方向即为力矩的方向。
4. 处于平衡状态的物体受到的合力矩为零。
当物体所受力矩的和为
零时，物体处于平衡状态。
二、力矢量的定义与性质
力矢量是用于描述力的方向和大小的物理量。
它可以用箭头表示，箭头的长度代表了力的大小，箭头的方向代表了力的方向。
力矢量具有以下性质：
1. 力矢量的大小由力的大小决定。
力的大小越大，力矢量的长度越长。
2. 力矢量的方向由力的方向决定。
力的方向越变化，力矢量的方向越随之变化。
3. 多个力的合力可以通过力矢量的几何求和得到。
将每个力的力矢量放在同一起点，然后将他们相加，得到的结果即为合力的力矢量。
4. 力矢量满足平行四边形法则。
将两个力的力矢量按照顺序相连，形成一个平行四边形，那么对角线的力矢量就是合力的力矢量。
三、力矩与力矢量在理论力学中的应用
力矩和力矢量在理论力学中被广泛应用，具有重要的意义。
以下是它们在理论力学中的应用：
1. 刚体的平衡条件：根据力矩的定义，刚体处于平衡状态时，合力矩为零。
这一性质被广泛应用于刚体的平衡问题的解决中。
2. 力的分解：通过将力矢量进行分解，可以将一个力分解为多个力的合力。
这种分解方法在复杂力的分析中非常有用。
3. 转动力学的分析：力矩描述了力对物体的转动效应，因此在转动力学的分析中扮演着重要角色。
4. 力的合成与分解：通过力矢量的几何求和，可以得到多个力的合力，或者将一个力分解为多个力。
这对于力的合成与分解的问题有着重要的应用。
总结：
理论力学中的力矩和力矢量是重要的概念。
力矩描述了力对物体的转动效应，而力矢量描述了力的方向和大小。
它们在理论力学中有着广泛的应用，包括刚体平衡、力的分解、转动力学的分析以及力的合成与分解等。
深入理解力矩和力矢量的定义、性质和应用，将对理论力学的学习和应用有所帮助。