矢量分析
第1章(矢量分析)
矢量分析与张量初步第一章矢量分析U STU STU ST标量（数量）：有大小，没方向的物理量。
矢量：既具有大小又具有方向的物理量，矢量又称为向量。
矢量与标量的根本区别是：有没有方向性。
如：温度、质量、角度、长度等。
如：力、速度、电场强度、力矩等。
矢量的模：矢量的大小。
矢量的模记为：或。
A K A ||A KU STU STU ST自由矢量：矢量平移后，其作用效果不变。
即自由矢量就是具有平移不变性的矢量。
FK 只考虑刚体的质心运动，作用力可以平移。
能不能平移？下面只讨论自由矢量。
如果要考虑刚体的转动，则作用力不能平移。
U STU STU ST始端在坐标原点的矢量常称为矢径，显然矢径的末端与直角坐标系中的三个坐标分量之间具有一一对应的关系，则矢径可用其末端的空间坐标来表示：①在直角坐标中的表示对矢量，始端平移到坐标原点，表示为：A Kr xi yj zk=++KK K K、、：单位矢量，分别指向三个坐标轴的正向。
i K j K k K x y z A A i A j A k=++K K K KU STU STU ST其中：为矢量的模，为指向矢量方向上的单位矢量。
R A A e A 三个：、和。
R βαcos cos cos A e i j kαβγ=++K K K KAKRxy zO因为222cos cos cos 1αβγ++=的直角坐标表示为A e K有几个独立坐标量？A Kr e =KU STU STU STOxe ρρK zA kK A K cos sin e i j ρϕϕ=+K K K三个：、和。
ρϕz 的直角坐标表示为e ρK在矢量的球坐标及柱坐标表示中，只要分别把单位矢量和的直角坐标表示代入，即得到矢量的直角坐标表示。
e ρKr e K 有几个独立坐标量？A K第一章矢量分析U STU ST U ST U STU STcos xA Aα=cos yA Aβ=cos zA A γ=(cos cos cos )A A i j k αβγ=++K K K K④方向余弦表示：设矢量与直角坐标三个坐标轴正向的夹角分别为、和，则：αγβA K用方向余弦（）表示矢量：A Kcos ,cos ,cos αβγcos x A A α=这实际上就是直角坐标表示，因为：cos y A A β=cos z A A γ=U STU STU ST不能按大小排列）。
矢量分析
∇ × ∇ϕ = 0
梯度
三、矢量场的通量、散度
1、通量
r 定义：若矢量场 A 分布于空间中，在空间中存在任意曲面 S
r 上。定义 A 在曲面上的积分为通量。
r r Ψ = ∫ A ⋅ dS
s
曲面 S 的方向 开表面： 作一封闭线圈，选定绕行方向后，沿绕行方向 按右手螺旋法则，拇指方向为开表面方向 闭合面：外法线方向
s l
无旋场 性质
r ∇× A = 0
r ∇ ⋅ (∇ × A) = 0
旋度
例题讲解（课本） 例题1-8 例题1-9 例题1-10
例题
五、亥姆霍兹定理
内容：位于空间有限区域内的矢量场，当它的散度，旋度 以及它在区域边界上的场分布给定之后，该矢量场就被唯 一确定；对于无限大空间，如果矢量在无限远处减少至零 则该矢量由其散度和旋度唯一确定。
基础
矢量表示式
r r r r A = er Ar + eϕ Aϕ + e z Az
微分长度
r r r r dl = er dr + eϕ rdϕ + e z dz
微分面积
r r dS r = er rdϕdz r r dS ϕ = eϕ drdz r r dS z = e z rdrdϕ
微分体积
dV = rdrd ϕdz
只改变大小，不改变方向 矢量与矢量点乘
s r r r A ⋅ B = A B cosθ AB = Ax Bx + Ay B y + Az Bz
r r r r A⋅B = B⋅A
基础
说明： 1、两个矢量的标量积或点积，是一个标量 。 2、Θ是A、B之间较小的夹角，小于Π弧度。 3、其结果表示一个矢量的模和另一个矢量在该矢量 上的投影和乘积。 矢量与矢量叉乘
矢量分析
定理2 若有向曲线C上取 取定一点M0 作为计算弧长s的起点，并 C之正向作为 并以 s增大的方向；M为C上的 的一点，在点M处 沿C之正向作一与C相切的 的射线，则函数 l u在点M处沿l方向的方向导 导数等于u对s的 l 全导数： du(s) ∂u |M = |M （ ） 2.3 ds ∂l
数量场等值线
u( x, y) = c
M0 过数量场中每一点 （x0，y0，z0 都有 ） 唯一等值面 u( x, y, z) = u（x0，y0，z0 ）。
R −x − y −z
2 2 2 2 2
如数量场: u( x, y, z) =
2 2 2
等值面:
R −x − y −z =c
R 00 过（， ）的等值面: ， 2 R −x − y −z =
最大值，所以梯度向量的方向为±( 0，0，1)，
0， 0， grad u| = ±32 ( 0，0，1) = ± ( 0， 32) M
模为32，即 32，
∂u ∂u ∂u u u u 又 因 为 grad u|M = （ ， ， ） (4a + 3c,4a - b,2b - 2c ) == ∂x ∂y ∂z x y z 比较上两式得 4a + 3c = 0, 4a - b = 0, 2b - 2c = ±32
于是所求曲面方程为
7 ( x -1) - 3 ( y +1) +8(z - 2) = 0
第8.3节 节
矢量场
1. 矢量场的矢量线 r r
矢量 A = A M） 场 （
r r 在直 角坐标系下，A = A x y z ， （ ， ，） 它的坐标表示式为 为 r r r A = Ax x y z i + Ay x y z j （ ， ，） （ ， ，） r + Az x y z k。 （ ， ，）
第一章 矢量分析
立了面积分和线积分的关系。从物理角度可以理解为斯托克 立了面积分和线积分的关系。从物理角度可以理解为斯托克 斯定理建立了区域 S 中的场和包围区域 S 的闭合曲线 l 上的 场之间的关系。因此， 中的场， 场之间的关系。因此，如果已知区域 S 中的场，根据斯托克 上的场，反之亦然。 斯定理即可求出边界 l 上的场，反之亦然。
Ψ = ∫ A ⋅ dS
S
通量可为正、或为负、或为零 当矢量穿出某个闭合面时， 通量可为正、或为负、或为零。当矢量穿出某个闭合面时， 认为该闭合面中存在产生该矢量场的源 认为该闭合面中存在产生该矢量场的源；当矢量进入这个闭合 面时，认为该闭合面中存在汇聚该矢量场的洞 ）。闭合 面时，认为该闭合面中存在汇聚该矢量场的洞（或汇）。闭合
惟 一 性 定 理 亥姆霍兹定理 正交曲面 坐标系
10
第一章 矢量分析
标 积 与 矢 积 方向导数与梯度 通 量 与 散 度 环 量 与 旋 度 环 量 与 旋 度 无散场与无旋场 格 林 定 理
2. 旋度：旋度是一个矢量。若以符号 rot A 表示矢量 A 的旋 旋度：旋度是一个矢量。 具有最大环量强度的方向， 度, 则其方向是使矢量 A 具有最大环量强度的方向， 其大小等于对该矢量方向的最大环量强度， 其大小等于对该矢量方向的最大环量强度，即
惟 一 性 定 理 亥姆霍兹定理 正交曲面 坐标系
1
0 A⋅ B = A B
A⊥B
A // B
第一章 矢量分析
标 积 与 矢 积 方向导数与梯度
2.矢量的失积 2.矢量的失积
矢量的失积：代数定义： 矢量的失积：代数定义：
ex A × B = Ax Bx ey Ay By ez Az Bz
矢量分析报告
矢量分析报告简介矢量分析是地理信息系统（GIS）中常用的一种分析方法，通过对矢量数据进行处理和分析，从中提取有用的信息并得出结论。
本文档将介绍矢量分析的基本概念和方法，并以实际案例解释如何应用矢量分析来解决各种问题。
什么是矢量数据？在GIS中，矢量数据是用于表示现实世界中的地理对象的一种数据模型。
它利用矢量空间来描述和存储地理对象，在计算机中以点、线和面的形式表示。
矢量数据具有以下特点： - 离散性：矢量数据以离散的点、线和面对象形式存储。
- 拓扑性：矢量数据中的要素之间具有拓扑关系，可以通过空间关系进行分析。
- 位置和属性：矢量数据不仅包含地理位置信息，还包含与之相关的属性数据。
矢量数据的基本属性矢量数据包含两个基本属性：几何属性和属性数据。
几何属性几何属性描述了地理对象的位置和形状。
在矢量数据中，几何属性可以是点、线或面。
•点（Point）：在地理空间中的一个离散位置。
点没有长度或面积，仅有一个坐标位置。
•线（Line）：由一系列连接的点组成的几何对象。
线可以表示道路、河流或边界等。
•面（Polygon）：由一系列闭合的线组成的几何对象。
面可以表示土地使用类型、行政区划等。
属性数据属性数据是与几何对象相关联的数据。
它描述了地理对象的特征和属性。
属性数据可以是任何类型的信息，如名称、面积、人口数量等。
这些属性数据通常以表格的形式存储，其中每一行代表一个地理对象，每一列代表一个属性。
矢量分析方法矢量分析基于矢量数据进行，可以帮助我们理解和解释地理现象，从而做出决策。
以下是常用的矢量分析方法：缓冲区分析缓冲区分析用于确定距离某个地理对象一定范围内的其他地理对象。
它可以帮助我们分析空间关系、评估风险和规划用地。
缓冲区分析的步骤如下：1.选择要进行缓冲区分析的对象。
2.指定缓冲区的半径或距离单位。
3.进行缓冲区分析并可视化结果。
叠加分析叠加分析用于确定两个或多个矢量对象之间的空间关系。
通过叠加分析，我们可以识别出重叠、相交、包含和邻近等关系。
矢量分析
二、方向导数 在实际应用中，不仅需要宏观上了解场在空间的数值，还要知道在不同 方向上场变化的情况。方向导数表征标量场空间中，某点处场沿各个方向变 化的规律。
取等位面 u 1、定义：
x, y , z
增加的方向，相互垂直且满足右手螺旋法则
v ˆ ˆ ˆ 矢量表示： A = e x Ax + e y Ay + e z Az
v 位置矢量： r = e x x + e y y + e z z ˆ ˆ ˆ
v ˆ ˆ ˆ dr = e x dx + e y dy + e z dz 微分长度元：
（2）球面坐标系下矢量运算
v ˆ ˆ ˆ A = er Ar + eθ Aθ + eϕ Aϕ v ˆ ˆ ˆ B = er Br + eθ Bθ + eϕ Bϕ
v v ˆ ˆ ˆ A ± B = er ( Ar ± Br ) + eθ ( Aθ ± Bθ ) + eϕ ( Aϕ ± Bϕ )
v v A• B = Ar Br + Aθ Bθ + Aϕ Bϕ
e 单位矢量：ˆ ρ
ρ
,φ
ˆ , eφ
,z
ˆ , ez
0 ≤ ρ < ∞ , 0 ≤ φ ≤ 2π , − ∞ < z < ∞
ˆ ˆ ˆ e z = e ρ × eφ ˆ ˆ ˆ e ρ = eφ × e z ˆ ˆ ˆ eφ = e z × e ρ
ˆ ˆ ˆ ↑ e ρ 、eφ 、e z
分别代表ρ、φ、z 增加的方向，相互垂直且满足右手螺旋法则
ˆ 由于 θ、ϕ 不是常矢量，与 er
ˆ ∂er ˆ =eθ ∂θ ˆ ∂ eθ ˆ = −er ∂θ ˆ ∂ eϕ = 0 ∂θ
矢量分析
对于矢量也存在相应的函数，称为矢性函数
例如：卫星的速度是时间 t 的矢性函数
V V t
第一章
矢量分析
场的定义：
如果在某一空间区域内的每一点，都对应着某 个物理量的一个确定的值，则称在此区域内确定了 该物理量的一个场。
若该物理量为标量，则称标量场,
可用标量函数表示f(x,y,z)；
x
证明：M点的坐标为M(x0+Δx, y0+Δy, z0+Δz)，由于函数φ在 M0处可微，故
( M ) ( M 0 ) x y z x y z
第一章
矢量分析
z
两边除以ρ，可得
x y z x y z cos cos cos x y z
x 2 y 2 c2 解之即得矢量方程 z c1 x
c1和c2是积分常数。
第一章
矢量分析
1.2 标量场的方向导数和梯度
1.2.1 标量场的方向导数
方向导数表征标量 场空间中，某点处场值沿
各个方向变化的规律。
方向导数的定义：
图 1-2 方向导数的定义
第一章
矢量分析
设M0是标量场φ=φ(M)中的一个已知点，从M0出发沿某一方
A B
矢量的加法运算
A B B A
A B
A B
A B A ( B)
矢量的减法运算
A B
第一章
矢量分析
两个矢量的乘积
两个矢量的乘积有两个定义： 点积
运算结果 运算结果
标量 矢量
标积 矢积
第1章矢量分析
F dS S
S1 F dS1
S2 F dS2
S3 F dS3
S4 F dS4
S5 F dS5
S6 F dS6
aˆx aˆz 0, aˆy aˆy 1,
aˆy aˆz 0 aˆz aˆz 1
A B (Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) (Bxaˆx Byaˆy Bzaˆz )
Ax Bx Ay By Az Bz
•结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
其中：dl ,dS 和 dV 称为微分元。
dS
dl
1. 直角坐标系
在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。
线元：dlx dxaˆx
dly dyaˆy
面元： dSx dydzaˆx dSy dxdzaˆy
dlz dzaˆz dl dxaˆx dyaˆy dzaˆz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
3.乘法：
（1）标量与矢量的乘积：
k 0 方向不变，大小为|k|倍
kA k | A | aˆ
k
0
k 0 方向相反，大小为|k|倍
（2）矢量与矢量乘积分两种定义
a. 标量积（点积）：
B
A B | A| | B | cos
A
两矢量的点积含义： 一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，
定义： A BC | A|| B || C | sin cos
含义： 标量三重积结果为三矢量构成
的平行六面体的体积 。
h BC
A C
B
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
V A (BC) C (A B) B (C A)
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矢 量 分 析
一：定义
标量：只有大小，没有方向的物理量。
如质量，时间，温度
等
矢量：即有大小，又有方向的物理量。
如力，位移，速度等 二：矢量表示法
线段的长度表示矢量的大小
箭头的指向表示矢量的方向 记为：
A
或x o
三：矢量的模和单位矢量
模： 矢量的大小，记为A
单位矢量：若矢量0A
的模为1，且方向与 A 相同,则称0
A 为A
方向上的单位矢量。
有
A =
A
0A
----大小和方向分离表示
四：矢量运算
相等：两个大小相等且方向相同的矢量相等。
平移：矢量平移后，大小和方向均保持不变。
负矢量：大小相等，方向相反的矢量，记为-A
加法：既矢量合成，服从平行四边形法则
=A
+ B
A
可演化成三角形法则
多矢量合成服从多边形法则
减法：既矢量的分解，是加法的逆运算
)
(B
A
B
A
C
-
+
=
-
=
大小A
m
数乘：A
m
A
m
=
⨯方向: m＞0 与A
同向
m＜0 与A
反向
五：矢量的坐标表示
2
22Z
Y X Z Y X A A A A k
A j A i A A ++=++= 令 两矢量
k
B j B i B B k
A j A i A A Z Y X Z Y X
++=++=
则有
k
mA j mA i mA k A j A i A m A m k B A j B A i B A B A z y x z y x z z y y x x ++=++=±+±+±=±)()()()( B A = 当且仅当 z z y y x x B A B A B A
===
六：标积（点积）
两矢量相乘得到一个标量
A B Cos B A B A C
⋅==⋅=θ c
由定义可知
当θ=0时 C οS θ=1 B
A B A
=⋅ B
当θ=π/2时 C οS θ=0
0=⋅B A
七：矢积（叉积）
A
两矢量相乘得到一个矢量
B A C
⨯= 大小: ),(B A Sin B A Sin B A =θ
方向: 右手系
由定义可知
当θ=0时 Sin θ=0 0=⨯B A
当θ=π/2时 Sin θ=1 B A B A
=⨯
)(A B B A
⨯-=⨯ 不服从交换律
八：矢量的求导
令存在矢量 k t A j t A i t A t A z y x )()()()(++=
则
有
:
k dt
t dA j dt t dA i dt t dA dt t A d z y x
)()()()(++=
例： 一人字原点出发，先向东走了30米，又向南走了10米，再向西北走了18米，求合位移的大小和方向。
解：应用矢量方法 北
j
i A A A A j i A j A i A
)1029()2930(45sin 1845cos 1810303
21321-+-=++=∴︒+︒-=-==
故合位移大小为：
m
A 5.17)1029()2930(2
2=-+-=
方向： ︒==∆∆=91581.0a r g a r g
tg x
y
tg θ。