平移经典例题

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关于“平移和旋转”的典型例题十一

典型例题
例．下图中哪些现象是平移？哪些现象是旋转？你还能说出生活中你见过的平移和旋转现象吗？
分析：图一是体操运动员在单杠上的旋转动作，图二是汽车在公路上的平行移动．
解：图一：旋转
图二：平移
生活中的旋转现象有：汽车行驶时，车轮的旋转．
跳水运动员落入水中前在空中的旋转．
电风扇通电后叶片的旋转．
儿童乐园里过山车的翻滚旋转．
风车的旋转．
……
生活中的平移现象有：行驶火车的、轮船、自行车．
钟表上转动的时针、秒针．
电梯上下的移动．
……。

人教版小学数学五年级轴对称和平移(经典例题含答案)

轴对称和平移经典例题答案班级小组姓名成绩（满分120）一、轴对称再认识（一）（一）轴对称图形的认识（共4小题，每题3分，共计12分）例1.找一找,哪些是轴对称图形?请在下面的()里面打“√”。

（√）（）（√）（√）（）（√）（√）（√）例1.变式1.下面是轴对称图形的一半,猜猜这些图形是什么?（蝴蝶）（上衣）（瓶子）（树）例1.变式2.填一填。

如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这样的图形就叫(轴对称)图形,那条直线就是(对称轴)。

例1.变式3.画出下面图形的对称轴。

（二）对称轴（共4小题，每题3分，共计12分）例2.选择。

(1)下列图形中,对称轴最多的是(C )。

A.等边三角形B.正方形C.圆D.长方形(2)下面不是轴对称图形的是(B )。

A.长方形B.平行四边形C.圆D.半圆(3)要使大小两个圆有无数条对称轴,应采用第(B)种画法。

(4)下列选项中右边图形与左边图形成轴对称的是(B )。

AB C D例2.变式1.这些图形中哪些是轴对称图形?画出它们的对称轴。

例2.变式2.先画一画,再数一数各有几条对称轴?圆有无数条对称轴24无数136例2.变式3.用三个同样大小的正方形互相连接可以组成各种不同的轴对称图形,如图:(1)还可以怎样连接组成不同的轴对称图形?你可以试着画一画。

(2)如果用四个同样大小的小正方形怎样连接能成为轴对称图形?试着画一画。

（三）轴对称概念理解（共4小题，每题3分，共计12分）例3.在方格纸上按照图上给出的对称轴画出对称图形。

例3.变式1.在方格纸上画出轴对称图形。

例3.变式2.在方格纸上画出图形的另一半。

例3.变式3.在方格图里按给定的对称轴画出对称图形。

（四）画对称轴（共4小题，每题3分，共计12分）例4.在方格纸上画出轴对称图形。

例4.变式1.在点子图上画出轴对称图形。

例4.变式2.画出下面图形的另一半。

例4.变式3.在方格纸上画出轴对称图形。

（五）根据平移的方向和距离画平移后的图形（共4小题，每题3分，共计12分）例5.画一画。

小学奥数平移、旋转、割补精选练习例题含答案解析(附知识点拨及考点)

图形变换，是指不改变图形的大小、形状，只通过位置关系的改变（旋转、平移、折叠等），构成新的图形．【例 1】右图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10．中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，它们的宽都是2，求草地部分的面积（阴影部分）有多大？【考点】平移、旋转、割补【难度】2星【题型】解答【解析】如图所示，将道路平移后的()()162102112-⨯-=。

【答案】112【例 2】如图所示，一个正十二边形的边长是1厘米，空白部分是等边三角形，一共有12个．请算出阴影部分的面积．1cm【考点】平移、旋转、割补【难度】3星【题型】解答【解析】如图，将阴影部分分割成一个正六边形和12个小三角形，再把正六边形分割成6个正三角形，由于正十二边形的每个内角为()180********︒⨯-÷=︒，所以阴影小三角形的顶角等于15060230︒-︒⨯=︒，每个顶角的两边和与其相邻的正三角形的底边所成的角都是306090︒+︒=︒，所以通过如右上图所示的平移可以组成6个边长为1厘米的正方形，所以所求阴影部分面积为2166⨯=平方厘米．【答案】6【例 3】如图所示，梯形ABCD 中，AB 平行于CD ，又4BD =，3AC =，5AB CD +=．试求梯形ABCD 的面积．D CBAEDCBA【考点】平移、旋转、割补【难度】3星【题型】解答【解析】如右图，将AB 沿AC 平移至CE ,连接BE ,在三角形BDE 中，有4BD =，3BE AC ==，5DE AB CD =+=，有222BD BE DE +=，所以三角形BDE 为直角三角形．由于ABD ABC BCE S S S ∆∆∆==，所以梯形ABCD 的面积与三角形BDE 的面积相等，为13462⨯⨯=．【答案】6例题精讲4-2-5.平移、旋转、割补【例 4】如下图，六边形ABCDEF 中，AB ED =，AF CD =，BC EF =，且有AB 平行于ED ，AF 平行于CD ，BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知24FD =厘米，18BD =厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？FD BAGFE DCBA【考点】平移、旋转、割补【难度】5星【题型】解答【解析】如图，我们将BCD ∆平移使得CD 与AF 重合，将DEF ∆平移使得ED 与AB 重合，这样EF 、BC 都重合到图中的AG 了．这样就组成了一个长方形BGFD ，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD 的面积为2418432⨯=平方厘米，所以六边形ABCDEF 的面积为432平方厘米．【答案】432【例 5】如图2，六边形ABCDEF 为正六边形，P 为对角线CF 上一点，若PBC 、PEF 的面积为3与4，则正六边形ABCDEF 的面积是．E【考点】平移、旋转、割补【难度】4星【题型】解答【关键词】迎春杯、中年级、初赛、7题【解析】这是一道几何问题，考察同学们对常见图形性质的认识．正六边形的六条边都相等，每个角都是，每一组对边都互相平行，正六边形可以看作是由六个正三角形拼成的（如图（1））．其中正六边形的面积是正三角形面积的6倍．每相邻两个正三角形拼成的是一个平行四边形．如图（2），连结BF ，三角形ABF 的面积是平行四边形ABFO 面积的一半．六边形ABCDEF 的面积是平行四边形ABFO 的3倍，故六边形ABCDEF 的面积是三角形ABF 的面积的6倍．如图（3），连结BF ，CE ，三角形BCP 的面积与三角形EFP 的面积和是平行四边形BFEC 面积的一半．而六边形ABCDEF 的面积是平行四边形BFEC 的1.5倍，故六边形ABCDEF 的面积是三角形BCP 的面积与三角形EFP 的面积和的3倍．图（1）OAB CDEF图（2）OB ACDEF图（3）E所以，由PBC △、PEF △的面积分别为3与4，可知正六边形ABCDEF 的面积是(34)321+⨯=．【答案】21【例 6】正六边形A1A2A3A4A5A6的面积是2009平方厘米，B1,B2,B3,B4,B5,B6分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是平方厘米．4A 3【考点】平移、旋转、割补【难度】5星【题型】解答【关键词】迎春杯、六年级、初赛、14题【解析】如图，设62B A 与13B A 的交点为O ，则图中空白部分由6个与23A OA △一样大小的三角形组成，只要求出了23A OA △的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积.4A 3A 654连接63A A 、61B B 、63B A设116A B B △的面积为“1”，则126B A B △面积为“1”，126A AB △面积为“2”，那么636A A B △面积为126A A B △的2倍，为“4”，梯形1236A A A A 的面积为224212⨯+⨯=，263A B A △的面积为“6”，123B A A △的面积为2根据蝴蝶定理，1263261316B A B A A B B O A O S S ===△△∶∶，故21233612167A OAB A A S S ==+△△，所以231236A A A A 121277A OA S S =△梯形∶∶∶1∶，即23A OA △的面积为梯形1236A A A A 面积的17，故为六边形123456A A A A A A 面积的114，那么空白部分的面积为正六边形面积的136147⨯=，所以阴影部分面积为32009111487⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭(平方厘米).【答案】1148【例 7】按照图中的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形．已知甲三角形两条直角边分别为2cm 和4cm ，乙三角形两条直角边分别为3cm 和6cm ，求图中阴影部分的面积．【考点】平移、旋转、割补【难度】3星【题型】解答【解析】如右图，我们将三角形甲与乙进行平移，就会发现平行四边形面积等于平移后两个长方形面积之和．所以阴影部分面积为：2346236242211cm ⨯+⨯-⨯÷+⨯÷=（）（）【答案】11【例8】在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段(见右图)，求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几.【考点】平移、旋转、割补【难度】3星【题型】解答【解析】阴影总值是一个梯形.我们用三种方法解答.⑴割补法从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形.将这两个直角三角形拼成一个长方形(见下图).显然，阴影部分正好是长方形的13，所以原题阴影部分占整个图形面积的13.⑵拼补法将两个这样的三角形拼成一个平行四边形(下页左上图).显然，图中阴影面积占平行四边形面积的13.根据商不变性质，将阴影面积和平行四边形面积同时除以2，商不变.所以原题阴影部分占整个图形面积的13.⑶等分法将原图等分成9个小三角形(见右上图)，阴影部分占3个小三角形，所以阴影部分占整个图形面积的3193=.注意，后两种方法对任意三角形都适用.也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立.【答案】13【例9】如下左图，有两个大小相同的完全重叠在一起的正方形，现在以点P为中心转动一个正方形．当5AB=厘米，13BC=厘米，12CA=厘米时(如下右图)，求右图中的两个正方形相重叠部分的面积(注意，图的尺寸不一定准确)．P【考点】平移、旋转、割补【难度】3星【题型】解答【解析】右图由左图旋转而得，则右图中的8个空白小三角形都是完全相同的，右图中重叠部分的面积等于正方形面积减去4个小三角形的面积，从右图中可以看出正方形的边长为5131230++=厘米，所以重叠部分的面积为：2304(5122)780-⨯⨯÷=(平方厘米)．【答案】780【例10】如图，在直角三角形中有一个正方形，已知10BD=厘米，7DC=厘米，求阴影部分的面积．【考点】平移、旋转、割补【难度】4星【题型】解答【解析】绕D 点逆时针旋转CED ∆，使E 与F 重合，则C 点落在AB 边上的'C 点处，且'C D CD =．则阴影部分面积转化为直角三角形'BC D 的面积，所以阴影部分的面积为107235⨯÷=平方厘米．【答案】35【例 11】四边形ABCD 中,AB =30,AD =48,BC =14,CD =40.又已知∠ABD +∠BDC =900,求四边形ABCD 的面积．DBA【考点】平移、旋转、割补【难度】5星【题型】解答【解析】如下图,以BD 的垂直平分线为对称轴L ,做△ABD 关于L 的对称图形△A 'BD .连接A 'C ．A 1IABCD因为∠ABD +∠BDC =9000而∠ABD =∠A 'DB =900,所以有∠A 'DB +∠BDC =900．那么A 'CD 为直角三角形,由勾股定理知2A C '=22AB CD +=2500,所以50A C '=.而在△A 'BC 中,有A 'B =AD =48,有482+142=2500,即A 'B 2+BC 2=A 'C 2,即△A 'BC 为直角三角形．有A CD A BCSS''+130402=⨯⨯114489362+⨯⨯=. 而|ABCDS 四边形A CD A BC S S ''=+936=.评注:Ⅰ.本题以∠ABC +∠BDC =900突破口,通过对称变换构造出与原图形相关的角三角形Ⅱ.对于这道题我们还可以将△BCD 作L 的对称图形.如下：C 1lABCD【答案】936【例 12】如图,在三角形ABD 中,当AB 和CD 的长度相等时,请求出“?”所示的角是多少度,给出过程．DCAB?30°40°【考点】平移、旋转、割补【难度】5星【题型】解答【解析】因为AB =CD ,于是可以将三角形ABC 的边BA 边与CD 对齐,如下图．在下图中有∠BCA =110°,所以∠ACD =70°于是∠AC C '=∠ACD +∠DC C '=∠ACD +∠ABC =70°+40°=110°；A 1D C 1CB 1BA即∠AC C '=110°=∠CC D '；又因为C A ''只是CA 移动的变化,所以C A ''=CA ；则A B CA ''是一等腰梯形．于是,∠ADC '=180°-110°=70°；又∠CDC '=30°,所以∠ADC =70°-30°=40°.【答案】40°【例 13】如图所示的四边形的面积等于多少？DB13131212【考点】平移、旋转、割补【难度】4星【题型】解答【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为1212144⨯=.(也可以用勾股定理)【答案】144【例 14】如图，三角形ABC 是等腰直角三角形，P 是三角形外的一点，其中90BPC ∠=︒，10cm AP =，求四边形ABPC 的面积．P DCBAP'PDCBA【考点】平移、旋转、割补【难度】5星【题型】解答【解析】因为BAC ∠和BPC ∠都是直角，和为180︒，所以ABP ∠和ACP ∠的和也为180︒，可以旋转三角形APC ，使AC 和AB 重合，则四边形的面积转化为等腰直角三角形'AP P ，面积为1010250⨯÷=平方厘米．【答案】50【例 15】如图所示，ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，5BC =，以AC 为一边向ABC ∆外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC ∆的面积．【考点】平移、旋转、割补【难度】5星【题型】解答【关键词】武汉明心奥数【解析】如图，将OAB ∆沿着O 点顺时针旋转90︒，到达OCF ∆的位置．由于90ABC ∠=︒，90AOC ∠=︒，所以180OAB OCB ∠+∠=︒．而OCF OAB ∠=∠，所以180OCF OCB ∠+∠=︒，那么B 、C 、F 三点在一条直线上．由于OB OF =，90BOF AOC ∠=∠=︒，所以BOF ∆是等腰直角三角形，且斜边BF 为538+=，所以它的面积为218164⨯=．根据面积比例模型，OBC ∆的面积为516108⨯=．【答案】10【例 16】如图，直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB BC ⊥，2AD =，3BC =，将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90︒至ED ，连接AE 、CE ，则ADE ∆的面积是．ED CBAH FEDCBA【考点】平移、旋转、割补【难度】5星【题型】解答【关键词】武汉明心奥数【解析】如图所示，将ADE ∆以D 为中心顺时针旋转90︒，到FDC ∆的位置．延长FD 与BC 交于H ．由于ABCD 是直角梯形，AD 与FD 垂直，则四边形ADHB 是长方形，则BH AD =．由于ADE ∆与FDC ∆面积相等，而FDC ∆的底边2FD AD ==，高321CH BC BH =-=-=，所以FDC ∆的面积为2121⨯÷=，那么ADE ∆的面积也为1．【答案】1【例 17】如图，正方形ABCD 和DEFG 有一个公共点D ，试比较三角形ADG 和三角形CDE 的面积．GFEDC BAA'GFEDCBA【考点】平移、旋转、割补【难度】5星【题型】解答【解析】因为ADC ∠和GDE ∠是直角，所以ADG ∠和CDE ∠是互补角，将三角形ADG 顺时针旋转90︒到达'A DE ∆的位置，则'A 、D 、C 在同一条直线上，且'A D AD CD ==，即D 是'A C 的中点，所以三角形CDE 和三角形'A DE 面积相等，则三角形CDE 和三角形ADG 面积相等．【答案】相等【例 18】如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，90AEB ∠=︒，AC 、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE 的面积．F【考点】平移、旋转、割补【难度】5星【题型】解答【关键词】资优杯【解析】如图，连接DE ，以A 点为中心，将ADE ∆顺时针旋转90︒到ABF ∆的位置．那么90EAF EAB BAF EAB DAE ∠=∠+∠=∠+∠=︒，而AEB ∠也是90︒，所以四边形AFBE 是直角梯形，且3AF AE ==，所以梯形AFBE 的面积为：()1353122+⨯⨯=(2cm )．又因为ABE ∆是直角三角形，根据勾股定理，222223534AB AE BE =+=+=，所以21172ABD S AB ∆==(2cm )．那么()17125BDE ABD ABE ADE ABD AFBE S S S S S S ∆∆∆∆∆=-+=-=-=(2cm )，所以12.52OBE BDE S S ∆∆==(2cm )．【答案】2.5【例 19】如图，已知4cm AB AE ==，BC DC =，90BAE BCD ∠=∠=︒，10cm AC =，则S ABC ACE CDE S S ∆∆∆++= 2cm ．EDCBADEC 'A 'CBA【考点】平移、旋转、割补【难度】5星【题型】解答【关键词】迎春杯、高年级、复赛、10题【解析】将三角形ABC 绕A 点和C 点分别顺时针和逆时针旋转90，构成三角形'AEC 和'A DC ，再连接''A C ，显然'AC AC ⊥，'AC A C ⊥，''AC A C AC ==，所以''ACA C 是正方形．三角形'AEC 和三角形'A DC 关于正方形的中心O 中心对称，在中心对称图形''ACA C 中有如下等量关系： ''AEC A DC S S ∆∆=；''AEC A DC S S ∆∆=；'CED C DE S S ∆∆=．所以2'''11101050cm 22ABC ACE CDE AEC ACE CDE ACA C S S S S S S S∆∆∆∆∆∆++=++==⨯⨯=．【答案】50【例 20】如图所示的四边形ABCD 中，45A C ∠=∠=°，105ABC ∠=°，15AB CD ==厘米，连接对角线BD ，30ABD ∠=︒．求四边形ABCD 的面积．DCB A DECBA【考点】平移、旋转、割补【难度】4星【题型】解答【关键词】第八届、华杯总决赛【解析】由45A ∠=°，30ABD ∠=︒，可得1804530105ADB ∠=︒-︒-︒=︒，1053075DBC ∠=︒-︒=︒．将DBC ∆剪下来，翻转，再贴在BD 边上，即将B 点粘在D 点上，D 点粘在B 点上，如右上图所示．则C 点在E 点的位置．由于10575180ADB EDB ∠+∠=︒+︒=︒，所以A 、D 、E 三点在同一条直线上．由于45A E C ∠=∠=∠=°，所以90ABE ∠=︒，即ABE ∆是等腰直角三角形，它的面积就等于四边形ABCD 的面积，所以四边形ABCD 的面积为1515112.52⨯=平方厘米．【答案】112.5【例 21】如图，在ABD ∆中，AB CD =，求“？”的度数．40°30°?DCBAD【考点】平移、旋转、割补【难度】5星【题型】解答【解析】如图，由于AB CD =，可以将ABC ∆移动到DCE ∆，由于180(3040)110AC B ∠=︒-︒+︒=︒，18011070ACD ∠=︒-︒=︒，所以7040110ACE ∠=︒+︒=︒，又110CED ∠=︒，而AC DE =，所以四边形ACED 是等腰梯形，有180********ADE CED ∠=︒-∠=︒-︒=︒，703040ADC ∠=︒-︒=︒．点评：通过构造全等三角形来转化．【答案】40°【例 22】下图三角形ABC 是等腰三角形，AB AC =，120BAC ∠=︒．三角形ADE 是正三角形，点D 在BC边上，:2:3BD DC =．当三角形ABC 的面积是250cm 时，三角形ADE 的面积是多少？EDCB AGP R Q F EDCA【考点】平移、旋转、割补【难度】5星【题型】解答【解析】以点A 为中心，由三个三角形ABC 可拼成右图：连结QE 、RF 、GD ，则DEQFRG 是一个正六边形．连结RD 、DQ 、RQ ，显然RDQ 是一个等边三角形，并且它的面积是正六边形面积的一半，所以是三角形ADE 的面积的3倍．由于23150cm PBC ABC S S ∆∆=⨯=，根据“鸟头定理”，22336cm 3223DQC PBC S S ∆∆=⨯⨯=++，所以2342cm RDQ PBC DQC S S S ∆∆∆=-⨯=，则2342314cm ADE RDQS S ∆∆=÷=÷=．【答案】14【例 23】如图，正方形PQRS 有三个顶点分别在ABC ∆的三条边上，BQ QC =．求正方形PQRS 的面积．【考点】平移、旋转、割补【难度】5星【题型】解答【解析】如下图，我们设ABC ∆的面积为1，有161279341()122132111311143a e c db =---+=-⨯-⨯-⨯=，所以682143a e ==，751143bcd a ++=-=，所以6875a b c d =++．如下图左，将三角形c 和三角形d 分别以P 、R 为中心按箭头方向旋转90︒，形成由两个直角三角形连在一起的一个四边形，如下图右，b 、c 、d 被虚线分成两个直角三角形，它们的面积之和为：276292230cm b c d ++=⨯÷+⨯÷=，所以2683027.2(cm )75a =⨯=．【答案】27.2【例 24】如下图,△ABC 是边长为1的等边三角形,△BCD 是等腰三角形BD =CD ，顶角∠BDC =1200,∠MDN =600,求△AMN 的周长.120°60°M BD CNA【考点】平移、旋转、割补【难度】4星【题型】解答【解析】如下图, 延长AC 至P ,使CP =MB ,连接DP .120°60°M BD C NA则有∠MBD =600+1163ADEDQRDEQSRT SS S ==正六边形01801202-=∠PCD ；CP =BM ；BD =CD ,所以有△MBD ≌△PCD .于是∠MDC =∠PDC ；又因为∠MDB +∠NDC =600,所以∠PDC +∠NDC =∠NDP =600； MD =PD ,在△MDN 、△PND 中,∠NDM =∠NDP ,ND =ND ,MD =PD ,于是△MND ≌△PND .有MN =PN .因为NP =NP =NC +CP ,而AM =AB -MB =AB -CP , 所以AM +AN +MN =(AB -CP )+AN +(NC +CP )=AB +AN +NC =2.即△AMN 的周长为2.【答案】2【例 25】若干个大小相同的正五边形如右图排成环状，下图中所示的只是3个五边形．那么要完成这一圈共需个正五边形．【考点】平移、旋转、割补【难度】4星【题型】解答【关键词】迎春杯、六年级、初赛、5题【解析】如图，设O 为圆心，A 、B 、C 、D 为五边形的顶点，连接OA 、OB 、OC .DC BAO从图中可以看出，OAB △和OBC △是完全相同的，所以OBA OBC ∠=∠，又五边形内角和为540°，所以正五边形的每个内角都为5405108÷=°°，即108ABD CBD ∠=∠=°，那么3601082144ABC ∠=︒-︒⨯=︒，则144272OBA ∠=÷=°°，又OAB OBA ∠=∠，所以18072236AOB ∠=︒-︒⨯=︒ 所以要用3603610+=°°个正五边形才能围成一圈.【答案】10【例 26】如图，ABCD 是矩形，BC =6cm , AB=10cm ,AC 和BD 是对角线，图中的阴影部分以C 为轴旋转一周，则阴影部分扫过的立体的体积是多少立方厘米？（π取3.14）【考点】平移、旋转、割补【难度】3星【题型】解答【关键词】华杯赛、决赛、第11题【解析】 ①设三角形BCO 以CD 为轴旋转一周所得到的立体的体积是s ，S 等于高为10厘米，底面半径是6厘米的圆锥的体积减去2个高为5厘米，底面半径是3厘米的圆锥的体积。

椭圆中的平移问题方法总结及典型例题

椭圆中的平移问题方法总结及典型例题概述椭圆是在平面上固定的点到两个固定点的距离之和等于常数的点的集合。

在椭圆中，进行平移操作可以改变图形的位置，但保持形状和大小不变。

本文将总结椭圆中的平移问题的解决方法，并提供一些典型例题。

方法总结方法一：矩阵变换通过矩阵变换可以实现椭圆的平移。

设原椭圆的方程为$(x/a)^2+(y/b)^2=1$，平移后的椭圆的中心为$(h, k)$，则平移后的椭圆的方程为$((x-h)/a)^2+((y-k)/b)^2=1$。

通过这种方法，我们可以将椭圆沿着平移向量$(h, k)$进行平移。

方法二：参数方程变换椭圆的参数方程为$x = a\cos(\theta)$，$y = b\sin(\theta)$。

对于原椭圆，我们可以将参数$\theta$的范围设定为$[0, 2\pi)$。

在进行平移操作时，我们只需要将参数方程中的参数$\theta$替换为$\theta - \phi$，其中$\phi$为平移角度。

典型例题例题一已知椭圆的方程为$(x/2)^2+(y/3)^2=1$，求将该椭圆平移$(4, 2)$后的椭圆方程。

解答：根据方法一的矩阵变换，将原椭圆的中心平移$(4, 2)$后得到新椭圆的方程为$((x-4)/2)^2+((y-2)/3)^2=1$。

例题二已知椭圆的参数方程为$x = 2\cos(\theta)$，$y = 3\sin(\theta)$，求将该椭圆逆时针平移$\pi/4$弧度后的椭圆的参数方程。

解答：根据方法二的参数方程变换，将原椭圆的参数$\theta$替换为$\theta - \pi/4$得到新椭圆的参数方程为$x = 2\cos(\theta - \pi/4)$，$y = 3\sin(\theta - \pi/4)$。

结论通过矩阵变换和参数方程变换，我们可以解决椭圆中的平移问题。

矩阵变换适合处理椭圆的方程形式，而参数方程变换适合处理椭圆的参数形式。

平移与旋转经典例题

《平移与旋转》单元复习知识点回顾1. 平移与旋转的概念及其性质2.平移距离和旋转角度的找法及应用（重难点）【典型例题】1. 如图，已知△沿BD 平移到了△FCE 的位置， BE ＝10，CD ＝4，则平移的距离是。

2. 如图，把一块砖ABCD 直立于地面上，然后将其轻轻推倒，在这个过程中A 点保持不动，四边形ABCD 旋转到AD’C’B’位置。

（1）指出在这个过程中的旋转中心，并说出旋转角度是多大？（2）指出图中的对应线段。

C ’B A D ’3、如图，正方形ABCD 和CEFG 的边长分别为m 、n ，那么∆AEG 的面积的值（） A ．与m 、n 的大小都有关 B ．与m 、n 的大小都无关C ．只与m 的大小有关D ．只与n 的大小有关4. 如图，小华同学正在黑板上画ABC ∆绕ABC ∆外一点P 旋转︒45的旋转图，当他画完A 、B 两点旋转后的对应点''B A 、时，不小心将旋转中心P 擦掉了，没有旋转中心P ，小明不知道如何画下去，你能帮助小明找到旋转中心P ，使他继续完成剩下的图形吗？A ’B ’5.国旗上的五角星是旋转对称图形，它需要旋转（）后，才能与自身重合。

A. 36° B. 45° C. 60° D. 72°6.如图，O 是等边三角形的旋转中心，EOF EOF ∠︒=∠，120绕点O 进行旋转，在旋转过程中，OE 、OF 与ABC ∆的边构成的图形面积（）第3题图A. 等于ABC ∆面积的31ABC ∆面积的21C. 等于∆7.如图，等边∆么旋转角是（ A. 15° 8、如图，正方形数。

9.如图7，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小；（6分）10.如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连结P A 、PB 、PC ，•以BP 为边作∠PBQ =60°，且BQ =BP ，连结CQ ．（1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．（2）若P A ：PB ：PC =3：4：5，连结PQ ，试判断△PQC 的形状，并说明理由．练习题1. （基础题）如图，旋转角是_________， 2. （基础题）如图，按________方向旋转了B C E3、如图，Rt△ABC 中，∠ACB =90°，∠A =50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A ′处，折痕为CD ，则A DB '∠=（）A 'BDA 、40B ．30° C．20° D．10°4、如图，∠AOB ＝90°，∠B ＝30°，△A ’OB ’可以看作是由△AOB 绕点O 顺时针旋转α角度得到的，若点A ’在 AB 上，则旋转角α的大小可以是（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°5、如图，将三角尺ABC （其中∠ABC=60°，∠C=90°）绕点B 按顺时针转动一个角度到A 1BC 1的位置，使得点 A 、B 、C 1在同一条直线上，那么这个角度等于（） A.120° B.90° C. 60° D. 30°6. 如图，ABC ∆是等腰三角形，︒=∠90ACB ，延长BC 到D ，连接AD ，作AD BE ⊥于E ，交AC 于F ，在这个图形中，哪两个三角形可以看成是一个三角形沿某一点旋转而得到的？试说明理由。

平移1

的角，若∠O＝65°，则∠ABC等于多少度？
A B O D C 解： ∠ ABC 是∠O平移过程中的对应角，所以
∠ ABC＝∠O＝65°
5、课本P80
1、如图：线段CD是线段AB经过平移后得到的，则
C点 A点的对应点是_____________ ，Ｄ点 B点的对应点是___________ ，
平移只改变位置，不改变图形的特征：
形状和大小。p78
练一练：
1、下面这几种物体的运动中，哪些是在平移？
自由论坛
2、下列现象中，属于平移的是：（1）（3）（7）（1）打针时针管的移动（2）射出的子弹
（3）火车在笔直的铁轨上行驶
（4）冷水受热过程中小气泡上升变成大气泡
（5）人在楼梯上走
（6）钟摆的摆动
生活中的平移
一、观察这些图片做了什么运动？
1、平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.P78
意味着：图形上的每一点都沿同
二、你能发现平移前后两个图形相比较，什么没有改变，什么发生了改变吗？位置、形状、大小
E H A D F B C G
4、课本P79议一议
平移的性质：
(1) (2) (3) (4) 平移后对应点所连的线段_____________ 平行且相等或在同一条直线上平移后对应线段______________ 相等平移后对应角______________ Y 全等图形平移后新图形和原图形是一对_________
X A A’
平行且相等或在同一条直线上
B’
C’
B
C
例题、如图，△ABC沿射线XY的方向平移一定距离，△DEF为平移后的图形，找出图中三组平行且相等的线段和一组全等三角形。

四年级奥数旋转平移题目

四年级奥数的旋转平移题目例题：请将右图中的三角形ABC向右平移三个单位长度，再绕B点逆时针旋转90度。

解析：1. 右图中的三角形ABC首先要向右平移三个单位长度。

这就意味着，我们需要把三角形的每一个顶点都向右平移三个单位。

根据点的平移规律，新位置的坐标是原位置的坐标加上平移的单位。

比如，A点的原始坐标是(0，0)，向右平移三个单位后，新的坐标就会变成(3，0)。

同理，B点的原始坐标是(3，0)，平移后新的坐标会是(6，0)。

而C点的原始坐标是(0，3)，平移后新的坐标会是(3，3)。

得到新的三角形A1B1C1。

2. 接下来，我们需要将三角形A1B1C1绕B1点逆时针旋转90度。

在旋转过程中，每一个顶点的坐标都会发生变化。

根据点的旋转规律，旋转90度后，新的坐标可以通过将原坐标的x轴坐标和y轴坐标互换并取负数得到。

比如，B1点的原始坐标是(6，0)，旋转90度后，新的坐标会是(0，-6)。

同理，A1点的原始坐标是(3，0)，旋转后新的坐标会是(0，-3)。

而C1点的原始坐标是(3，3)，旋转后新的坐标会是(0，-3)。

得到旋转后的三角形A2B2C2。

答案：通过以上步骤，我们得到了最终的旋转平移后的三角形A2B2C2。

通过这个例题，我们可以了解到旋转平移问题的解题技巧主要是：1. 理解并应用点的平移和旋转规律；2. 有耐心并仔细地计算每一个点的新的坐标；3. 理解并应用数学中的空间想象力，能够在头脑中形成清晰的图像，帮助我们更好地理解问题的变化过程。

同时，我们也学到了旋转平移问题的相关知识：在解决这类问题时，我们需要应用平面几何的知识，如点的平移规律、旋转规律等。

此外，我们还需要进行计算和空间想象，这些都是解决这类问题的重要技能。

一次函数-图象的左右平移

19.2.2(4.3)一次函数--图像的左右平移一．【知识要点】1.一次函数--图像的左右平移二．【经典例题】1.将直线12x y -=-向上平移1个单位，得到的直线的解析式是．直线x y 2-=向上平移3个单位，再向左平移2个单位后直线解析式为：_____________.2.已知一次函数y=2x-3，按以下要求求函数解析式：（1）将y=2x-3向右平移3个单位长度后得到的解析式： .（2）将y=2x-3向下平移5个单位长度后得到的解析式： .（3）将y=2x-3先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长后得到的解析式： .三．【题库】【A 】1.将直线y=-2x 向右平移2个单位所得直线的解析式为（） A.y=-2x+2 B.y=-2(x+2) C.y=-2x-2 D.y=-2(x-2)2.把直线y=2x −1向左平移1个单位,平移后直线的关系式为( )A. y=2x −2B. y=2x+1C.y=2xD.y=2x+2【B 】1.将直线y =﹣2x+6向右平移2个单位所得直线的解析式为（）A. y=﹣2x+2B. y=﹣2x ﹣4C. y=﹣2x ﹣2D. y=﹣2x+102.将一次函数y=-2x+4的图象平移得到图象的函数关系式为y=-2x ，则移动方法为（）A. 向左平移4个单位B. 向右平移4个单位C. 向上平移4个单位D. 向下平移4个单位【C 】1．将直线y ＝﹣2x ﹣3向左平移2个单位得到直线解析式．【D 】1.如图，直线24y x =+与x ，y 轴分别交于A ，B 两点，以OB 为边在y 轴右侧作等边OBC ∆，将点C 向左平移，使其对应点C '恰好落在直线AB 上，则点C '的坐标为．。

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1．平移的定义
（1）定义：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，图形的这种移动，叫做________．
（2）要素：一是平移的_________，二是平移的距离．
2．平移的性质
性质：平移后的新图形与原图形的形状和大小完全__________，即平移前后的两个图形的对应边__________（或在同一条直线上）且相等，对应角相等；连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等．
【注意】（1）连接对应点的线段的长度就是平移的距离．
（2）从原图形上一点到其对应点的方向即为平移的方向．
K知识参考答案：
1．（1）平移（2）方向2．相同，平行
一、平移的定义
把一个图形整体沿着某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．
【例1】下列现象中，不属于平移的是
A．滑雪运动员在的平坦雪地上滑行B．大楼上上下下地迎送来客的电梯C．钟摆的摆动D．火车在笔直的铁轨上飞驰而过【答案】C
【解析】A.滑雪运动员在平坦的雪地上滑行，符合平移的定义，故不符合题意；
B.大楼电梯上上下下地迎送来客，是平移，故不符合题意；
C.钟摆的摆动不是平移，故符合题意；
D.火车在笔直的铁轨上飞驰而过，是平移，故不符合题意；
故答案为C.
【例2】观察下列图案，能通过如图的图形平移得到的是
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】通过图案平移得到必须与题中已知图案完全相同，角度也必须相同，
观察图形可知C可以通过题中已知图案平移得到．
故选D．
二、平移的性质
1．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行且相等．
2．平移的特征：（1）平移不改变图形的形状和大小；（2）连接各组对应点的线段平行且相等．
【例3】如图，在△ABC中，BC=5，∠A=70°，∠B=75°，把△ABC沿直线BC的方向平移到△DEF的位置，若CF=3，则下列结论中错误的是
A．BE=3 B．∠F=35°C．DF=5 D．AB∥DE
【答案】C
【解析】∵∠A=70°，∠B=75°，∴∠ACB=35°，∵△DEF由△ABC平移得到，∴BC=EF=5，∠F=∠ACB=
35°，AB∥DE，∴B、D选项正确；∵CF=3，∴EC=2，∴BE=3，故A选项正确；C选
项DF的长度不能求出，故C选项错误，故选C．
【例4】下列图案只用其中一部分平移就可得到的是
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】A、通过平移得不到，故错误；
B、图形的形状和大小不变，符合平移性质，故正确；
C、通过平移得不到，故错误；
D、最后一个形状不同，故错误．
故选B．
三、平移的应用
在解决面积问题时，如果图形是不规则图形或者是由几个图形组成的，可设法将图形转化为规则的图形求面积，平移可作为其中的一种手段．
【例5】若在运动会颁奖台上面及两侧铺上地毯（如图阴影部分），长为m，宽为n，高为h，（单位为：cm）．
（1）用m，n，h表示需要地毯的面积；
（2）若m=160，n=60，h=80，求地毯的面积．
【答案】（1）mn+2nh；（2）19200 cm2
【解析】（1）地毯的面积为：（m+2h）n=mn+2nh．
（2）地毯总长：80×2+160=320（cm），
320×60=19200（cm2），
答：地毯的面积为19200 cm2．
【例6】如图，在一块长为a m，宽为b m的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1 m就是它的右边线，则这块草地的绿地面积为
A．（a-1）b B．a（b-1）
C．ab-1 D．（a-1）（b-1）
【答案】A
【解析】小路的左边线向右平移1 m就是它的右边线，路的宽度是1 m，绿地的长是（a−1）m，绿地的面积是（a−1）b，故选A．。