3 断裂力学基础

不变。因此，工程上 KⅠC 是指达到一定厚 度后（平面应变）断 裂韧度。
K C B 2.5 s
2
常用工程材料的断裂韧度
复合型裂纹断裂判据
在很多实际情况下，裂纹所受载荷常常是几种形式的复合，或者裂纹 扩展方向与应力方向呈一定的角度。我们把这一类裂纹归结为复合型裂纹。
1 K


3 xy sin cos cos 2 2 2 E 2r
1 K
位 移 场
1 2r 2 u K cos 1 2 sin E 2 2
1 2r 2 v K cos 2 2 cos E 2 2
•
本章内容
— 裂纹尖端应力场强度因子 K 及临界值 Kc
— 裂纹扩展能量释放率 G及临界值 Gc
— 裂纹尖端张开位移 δ （CTOD）及临界值 δc — J 积分及临界值 Jc
断裂力学局部参数法基本内容
基本步骤 线弹性断裂 弹塑性断裂
裂纹尖端应力场
σi,j K
ui,j δ
σi,j J
断裂力学场参量
（ 3）
（ 4）
由于在θm方向上，σθ达到最大值σθmax，则τrθ(θm) = 0 ，即σθmax为主应力， 且满足： 3 cos m KⅠcos2 m KⅡ sin m 2 （ 5） 2 2 K max
m max
2
若取ν=0.3，则：
1 r02 r01 6
应力松弛后的塑性区
局部塑性变形会造成应力松弛， 这样还会使塑性区尺寸进一步增大。 从能量上考虑，阴影区面积应等于 矩形BDEC的面积，由此可求出松 弛后塑性区宽度为：
R01
1 K s
1

z 0 （平面应力－薄板）
z x y （平面应变－厚板）
裂尖前沿应变场、位移场（平面应变）
3 x cos 1 2 sin sin 2 2 2 E 2r
1 K


应 变 场
3 y cos 1 2 sin sin 2 2 2 E 2r
修正后线弹 性断裂力学
弹塑性断裂 力学
由此可见，材料中是否存在裂纹，对材料强度、断裂方式有很大影响， 甚至影响到工程结构强度设计方法。
断裂力学分析方法及本章内容
•
断裂力学分析方法：
— 局部参数法：着眼于裂纹尖端附近的应力场和位移场，以表征其特 征的参数来描述断裂问题，其参数有：K、COD、J 积分 — 能量法：裂纹的扩展会导致含裂纹体的应变能或势能随之发生变化， 可通过能量变化关系来确定断裂发生条件。其参数有：G、R
3 断裂力学基础
韧、脆两类材料在有、无裂纹存在时，强度指标有所不同，其描述的 理论和失效判据也不同。 材料 脆性材料 脆性材料 韧性材料 韧性材料 韧性材料 裂纹情况 无裂纹 有裂纹 无裂纹 有裂纹 有裂纹 断裂方式 脆性断裂 更脆性断裂 韧性断裂 小范围屈服 大范围屈服 强度指标 σth KⅠ C σs、σb 修正后KⅠC J、COD 适用理论 键合理论 线弹性断裂 力学 材料力学
（ 2）
（2）最大周向正应力准则（续）
根据假设（1），裂纹扩展方向应满足：
d 0 ，则有： d
KⅠsin m KⅡ3 cos m 1 0
由（3）式解得： K m 2 arctan Ⅰ KⅡ
2 KⅠ K ＋8 Ⅱ 4
1 2 2 2 3 2 3 1 2 2 s 2
由材料力学原理可知一点的三个主应力为：
1
1 x y 2

2 4 x y xy 2
2
1 x y 2

2 4 x y xy 2


d 2S 0 且 2 d
（ 5） （ 6）
dS 0 裂纹扩展时应沿最小S方向（θm），即满足： d
而失效临界条件为：
2 2 S a11KⅠ 2a12 KⅠKⅡ a22 KⅡ Scr


（ 7）
（ 8）
在纯Ⅰ型加载条件下，有： S S 0 a K 2 Ⅰ Ⅰ 11 Ⅰ min
两个假设： • 裂纹开始扩展沿着周向正应力达到最 大的方向； • 当这个方向的应力场强度因子达到临 界值KⅠC时，裂纹开始失稳扩展：
lim 2r max K C
r 0
（ 1）
Ⅰ+Ⅱ复合型裂纹尖端应力场为：
1 3 3 3 5 5 cos cos sin sin 4 2 4 2 4 2 4 2 r KⅠ 3 cos 1 cos 3 KⅡ 3 sin 3 sin 3 2 4 2 2 4 2 2r 4 2r 4 r 1 sin 1 sin 3 1 cos 3 cos 3 2 4 2 2 4 2 4 4
裂纹尖端应力场强度因子通式
通式：
K Y a
单位： MPa m 或 KN m
1 2

3 2
式中，Y－裂纹形状系数，取决于裂纹类型，可查表。 KⅠ综合反映了外加应力和裂纹几何（包括裂纹长度、 位置、形状）对裂纹尖端应力场大小的影响。
特例－含2a长中心穿透裂纹的无限大平板受远场均匀拉伸
2k 1 2 2 临界时，有： S cr a11 KⅠ KⅠC C 16
将（9）式代入（7）式得： 16
（ 9）
1 2
a 2k 1
2 2 K 2 a K K a K 11 Ⅰ 12 Ⅰ Ⅱ 22 Ⅱ m K ⅠC

（2）最大周向正应力准则（σθmax判据）
无限大平板含中心穿透裂纹的裂纹尖端应力场
模型：含2a长中心穿透裂纹无限大平板受均匀拉伸应力σ
x
K
3 cos 1 sin sin 2 2 2 2r
3 y cos 1 sin sin 2 2 2 2r
K
xy
K
3 sin cos cos 2 2 2 2r


（ 4）
a22
1 k 11 cos 1 cos 3 cos 1 16
k 3 4
k 3 1
（平面应变） （平面应力）
式中，μ－切变模量；ν－泊松比。
（1）应变能密度准则（续2）
令：
2 2 S a11KⅠ 2a12 KⅠKⅡ a22 KⅡ
（ 2）
（ 3）
（1）应变能密度准则（续1）
将（3）式代入（2）式，得到裂纹尖端处应变能密度：
dU 1 2 2 a11 KⅠ 2a12 KⅠKⅡ a22 KⅡ dV r
a11 a12 1 1 cos k cos 16 1 sin 2 cos k 1 16
当 r →0 时， σy →∞，表明裂纹尖端前沿应力场具有 r 阶奇异性。参 数 K 表征了应力场奇异性程度，称为“应力场强度因子”。 K 的形式和数值取决于裂纹几何以及外加应力，通常由下列方法得到： • 解析法－仅对形状和受力状况简单的场合适用；
1 2
• 数值外插法－针对边界条件复杂的情况；
• 有限元法； • 柔度试验法。
Smin Scr

（ 1）
以Ⅰ＋Ⅱ型复合裂纹为例，根据弹性力学， 应变能密度为：
1 1 2 dU 1 2 2 r 2 r r dV 2E E 2
复合型裂纹尖端处的应力，可通过Ⅰ和Ⅱ型应力场叠加得到：
1 3 3 3 5 5 cos cos sin sin 4 2 4 2 4 2 4 2 r KⅠ 3 cos 1 cos 3 KⅡ 3 sin 3 sin 3 2 4 2 2 4 2 2r 4 2r 4 r 1 sin 1 sin 3 1 cos 3 cos 3 2 4 2 2 4 2 4 4
应力σ
K a
3.1.2 断裂韧度KⅠC及断裂判据
当名义应力和裂纹尺寸单独或者共同增大时，KⅠ和裂纹尖端各应力 也随之增大，当名义应力增加到临界值σ c 或裂纹尺寸增大到临界值 ac 时，裂纹尖端前沿足够大的范围内应力达到了材料的解理断裂应力，裂 纹便失稳扩展而导致材料断裂。对应于这个临界或者失稳状态的 KⅠ值 记做 KⅠC 或者 KC，称为断裂韧度:
KⅠC Y C aC
材料的 KⅠC 越高，则裂纹体的断裂应力或者临界裂纹尺寸越大， 表明材料难以断裂。故 KⅠC 是一个材料参数，表征材料抵抗断裂的 能力。因此，含裂纹构件断裂与否的判据即为：
K K C
断裂韧度与板厚度的关系
一般随板厚增加， KⅠC 先升、后降、再
达到一定厚度后保持
场参量临界值
KC K≥KC
δC δ≥δC
JC J≥JC
断裂判据
应用：结构设计、材料选择、安全校核
3.1 裂纹尖端应力场强度因子及断裂韧度
3.1.1 裂纹尖端应力场强度因子
对含裂纹体，沿裂纹线平面上 y 方向应力σy 与所研究点到裂纹尖端距 离 r 有如下关系： 1 1 或 2 2
y r
r y K
此法则虽然形式简单，但很不适用，材料参数过多，如 KⅡC、KⅢC 对 一般材料而言均为未S判据）； • 最大周向正应力准则（σθmax判据）。
2
2
2
（1）应变能密度准则（S判据）
复合型裂纹在其最小应变能密度因子 Smin 等于某一临界值 Scr 时，沿 Smin 方向扩展，记为：