建筑力学第二章 平面力系的基本计算
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建筑力学2平面力系
3
2
平面力系
所谓平面力系是指各力的作用线都在同一平面内 的力系。 在平面力系中，若各力的作用线交于一点，则称 为平面汇交力系(图2.1)；若各力的作用线相互平行， 则称为平面平行力系(图2.2)；若各力的作用线既不完 全交于一点也不完全相互平行，则称为平面一般力系 (图2.3)。平面力系是工程实际中常见的一种基本力系。 研究力系的合成与平衡问题通常有两种方法，即 几何法和解析法。
第 一 篇 静 力 学
并规定：当从力的起点的投影(a或a′)到终点的投 影(b或b′)的方向与投影轴的正向一致时，力的投影取 正值；反之，取负值。图2.4(a)中的Fx、Fy均为正值， 图2.4(b)中的Fx、Fy均为负值。
8
2.1
平面汇交力.4
9
2.1
平面汇交力系
第 一 篇 静 力 学
4
2
平面力系
第 一 篇 静 力 学
图 2.1
5
2
平面力系
第 一 篇 静 力 学
图 2.2
6
2
平面力系
第 一 篇 静 力 学
图 2.3
7
2.1
平面汇交力系
2.1.1 力在坐标轴上的投影
设力F作用于物体的A点，如图2.4所示。在力F作 用线所在的平面内取直角坐标系Oxy，从力F的起点A 和终点B分别向x轴及y轴作垂线，得垂足a、b和a′、b′， 则线段ab加上正号或负号，称为力F在x轴上的投影， 用Fx表示。线段a′b′加上正号或负号，称为力F在y轴 上的投影，用Fy表示。
再将沿同一坐标轴的各个分力合成，分别得合力 R1、R2(图2.6(c))，其大小分别为
16
2.1
平面汇交力系
第 一 篇 静 力 学
建筑力学平面一般力系的平衡方程及其应用
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
满足平衡方程时，物体既不能移动，也不能 转动，物体就处于平衡状态。当物体在平面一般 力系的作用下平衡时，可用三个独立的平衡方程 求解三个未知量。 二、平衡方程的其它形式
1.二力矩形式的平衡方程 ∑FX= 0 ∑MA (F ) = 0 ∑MB (F ) = 0 式中x轴不可与A、B两点的连线垂直。
FAx
FNCD = 30kN (↗)
∑MD (F ) = 0
FNCD
- FAy×0.6 + 14 ×0.3 = 0
14kN 8kN
300
300 100
A 30° D B
FAy
C
FAy = 7kN (↑)
∑MC (F ) = 0
- FAx×0.6/ 3- 14 ×0.3
- 8 ×0.6 = 0 FAx = - 25.98kN (←)
5 + FAy= 0
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
3kN·m 6kN
3m
6
A
B
5
5
3m
可取∑MB (F ) = 0这一未用过的方程进行校核： 3 + 5×3 - 6×3 = 0
说明计算无误。
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
例4-4 梁AB一端是固定端支座，另一端无
约束，这样的梁称为悬臂梁。它承受荷载作用如
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
在使用三力矩式计算出结果后，可用另外两 个投影方程之一进行校核。可知计算无误。
例4-6 外伸梁受荷载如图所示。已知均布荷载 集度q=20kN/m,力偶的力偶矩M=38kN·m，集中 力FP=10kN。试求支座A、B的反力。
10kN 20kN/m 38kN·m
建筑力学 平面一般力系的平衡
Fcy F 2 sin 60 F ND 20 0.866 8.66 8.66kN
（2） 取梁AC为研究对象,受力图如图(c)
M
A
(F
)
0,
F1
2
F
' Cy
6
F
NB
4
0
F
NB
F1 2
F
' Cy
4
6
10 2
8.66 6 4
17.99kN()
F
x
0,
F
Ax
F
' Cx
0
F
Ax
F
' Cx
10kN()
（1） 取梁CD 为研究对象,受力图如图（b）
M C (F ) 0, F 2 sin 60 2 F ND 4 0
F
ND
sin
60
2
8.66 k N()
F x 0, Fcx F 2 cos60 0
Fcx F 2 cos60 20 0.5 10kN
F y 0, F cy F ND F 2 sin 60 0
F
y
0,
F
Ay
F
NB
F1
F
' Cy
0
F
Ay
F
NB
F1
F
' Cy
17.99
10
8.66
0.67k
N()
求解物体系统平衡问题的要领如下： （1） “拆”：将物体系统从相互联系的地方拆开，在拆开的地方用 相应的约束力代替约束对物体的作用。这样，就把物体系统分解为若 干个单个物体，单个物体受力简单，便于分析。 （2）“ 比”：比较系统的独立平衡方程个数和未知量个数，若彼此 相等，则可根据平衡方程求解出全部未知量。一般来说，由n 个物体 组成的系统，可以建立3n 个独立的平衡方程。 （3） “取”：根据已知条件和所求的未知量，选取研究对象。通常 可先由整体系统的平衡，求出某些待求的未知量，然后再根据需要适 当选取系统中的某些部分为研究对象，求出其余的未知量。 （4） 在各单个物体的受力图上，物体间相互作用的力一定要符合作 用与反作用关系。物体拆开处的作用与反作用关系，是顺次继续求解 未知力的“桥”。在一个物体上，可能某拆开处的相互作用力是未知 的，但求解之后，对与它在该处联系的另一物体就成为已知的了。可 见，作用与反作用关系在这里起“桥”的作用。 （5） 注意选择平衡方程的适当形式和选取适当的坐标轴及矩心，尽 可能做到在一个平衡方程中只含有一个未知量，并尽可能使计算简化。
工程力学平面基本力系课件
n
矢量的表达式：R = F1+ F2+ F3+ ···+ Fn Fi
i 1
2、平面汇交力系平衡的充要几何条件： 该力系的力多边形自行封闭，即力系中各力的矢
量和等于零。
F 0
§2–2 平面汇交力系合成与平衡的几何法
例题 2-1 水平梁AB 中点C 作用着力P，其大小等于20kN，方
向与梁的轴线成60º角，支承情况如图(a)所示，试求固定铰链
第 §2–1 力系的基本类型 二 章 §2–2 平面汇交力系合成与平衡的几何法
平 面
§2–3 平面汇交力系合成与平衡的解析法
基 §2–4 力对点之矩
本 力
§2–5 力偶及其性质
系 §2–6 力偶系的合成与平衡
§2–1 力系的基本类型
平面汇交力系
平面力偶系
平面汇交力系——各力的作用线都在同一平面内且
(1) 取制动蹬ABD 作为研究对象。
I
P
ND
J
SB
K
(c)
(2) 画出受力图。
(3) 应用平衡条件画出P、SB 和ND 的闭和力三角形。
§2–2 共点力系合成与平衡的几何法
（4）由几何关系得： OE EA 24 cm
A
P
tg DE 0.25
24
OE
O
C
O B E 6 arctg0.25 142'
A B
30°
30°
C
P
a
y
SAB B
x
30°
SBC Q 30° P
b
解：
1. 取滑轮B 轴销作为研究对象。
2. 画出受力图（b)。
§2–4 平面汇交力系合成与平衡的解析法
矢量的表达式：R = F1+ F2+ F3+ ···+ Fn Fi
i 1
2、平面汇交力系平衡的充要几何条件： 该力系的力多边形自行封闭，即力系中各力的矢
量和等于零。
F 0
§2–2 平面汇交力系合成与平衡的几何法
例题 2-1 水平梁AB 中点C 作用着力P，其大小等于20kN，方
向与梁的轴线成60º角，支承情况如图(a)所示，试求固定铰链
第 §2–1 力系的基本类型 二 章 §2–2 平面汇交力系合成与平衡的几何法
平 面
§2–3 平面汇交力系合成与平衡的解析法
基 §2–4 力对点之矩
本 力
§2–5 力偶及其性质
系 §2–6 力偶系的合成与平衡
§2–1 力系的基本类型
平面汇交力系
平面力偶系
平面汇交力系——各力的作用线都在同一平面内且
(1) 取制动蹬ABD 作为研究对象。
I
P
ND
J
SB
K
(c)
(2) 画出受力图。
(3) 应用平衡条件画出P、SB 和ND 的闭和力三角形。
§2–2 共点力系合成与平衡的几何法
（4）由几何关系得： OE EA 24 cm
A
P
tg DE 0.25
24
OE
O
C
O B E 6 arctg0.25 142'
A B
30°
30°
C
P
a
y
SAB B
x
30°
SBC Q 30° P
b
解：
1. 取滑轮B 轴销作为研究对象。
2. 画出受力图（b)。
§2–4 平面汇交力系合成与平衡的解析法
2建筑力学与结构(第3版)第二章平面力系的合成与平衡
第三节 平面一般力系
在平面力系中,若各力的作用线都处于同一平面内, 既不完全汇交于一点,相互间也不全部平行,此力系 称为平面一般力系(也称平面任意力系)。平面一般 力系是工程中很常见的力系,很多实际问题都可简化 成一般力系问题得以解决。
一、力的平移定理
作用在刚体上的一个力F,可以平移到同一刚体上的 任一点O,但必须同时附加一个力偶,其力偶矩等于原 力F对新作用点O的矩。这就是力的平行移动定理, 简称力的平移定理。
三、用几何法求平面汇交力系的合力
1.两个汇交力的合成
如图(a)所示,设在物体上作用有汇交于A点的两个力 F1和F2,根据力的平行四边形法则可求得合力R。用 作图法求合力矢量时,可以作图(a)所示的力的平行四 边形,而采用作力三角形的方法得到。
其作法是:选取适当的比例尺表示力的大小,按选定 的比例尺依次作出两个分力矢量F1和F2,并使二矢量
(3)主矢为零,主矩不为零。
(4)主矢与主矩均为零。
四、平面一般力系的平衡条件及平衡方程
(一)平面一般力系的平衡条件
平面一般力系向平面内任一点简化,若主矢F'和主矩 MO同时等于零,表明作用于简化中心O点的平面汇 交力系和附加力平面力偶系都自成平衡,则原力系一 定是平衡力系;反之,如果主矢F'和主矩MO中有一个 不等于零或两个都不等于零,则平面一般力系就可以 简化为一个合力或一个力偶,原力系就不能平衡。
F3的投影: X3=-F3•cos30°=-80×0.866=-69.28(N) Y3=F3•sin30°=80×0.5=40(N) F4的投影: X4=-F4•cos60°=-60×0.5=-30(N) Y4=-F4•sin60°=-60×0.866=-51.96(N) 二、合力投影定理
第二章 平面力系与空间力系
一、平面一般力系的平衡
（一）平面一般力系平衡方程的基本形式
在上一节中，平面一般力系向任选的—点简化，可得到一个主矢量 RO、一个主矩 MO。
而主矢量 RO 与主矩 MO 和原来力系等效。由此而得平面一般力系平衡的必要与充分条件是
主矢量 RO 和主矩 MO 都等于零，即
∑ ∑ RO = (
Fxi )2 + (
∑M ∑M
A B
(Fi (Fi
) )
= =
0 0
∑ M C (Fi ) = 0
（A、B、C 三点不在意直线上）
（三）平面一般力系平衡方程的应用
求解平面一般力系平衡问题的步骤如下：
（2—6）
1、选取研究对象．取分离体，将荷裁、构件和约束进行简化，画受力图。
2、根据受力图中力系的特点，灵活地选取投影轴和矩心。投影轴和矩心的选取原则是：
由此可知，在一般情况下，将平面一般力系向其作用平面内任意—点 O 简化，可得到
一个作用在 O 点的力和一个力偶。O 点叫做简化中小，力矢 RO 叫做原力系的主矢量，MO 叫做原力系对 O 点的主矩。
必须注意的是，力 RO 并非原力系的合力，而只是作用在简化中心的平面汇受力系的合 力。主矢量 RO 的大小和方向与简化中心的位置无关，而主矩 MO 的大小和转向则—般将由 于所选简化中心的位置不同而改变。
R =Rxi+Ry j =-150i
由
M O (R) = xRy − yRx = −(−150) y = −900 mm
得合力作用线的位置 y = −6mm ，见图 2—6（c）。
第二节 平面力系的平衡
平面力系的平衡，是指受平面力系作用物体相对于惯性参照系处于静止或作匀速直线 运动的状态，即加速度为零的状态。平面力系的平衡条件是指受平面力系作用的物体处于 平衡状态时，作用在物体上的力系应满足的条件。
建筑力学2
DE x
PF
(b)
(1)
(2)
MA(F) 0
FT AB sin 300 P AD F AE 0
(3)
由(3)解得
FT
2P 3F 4sin 300
2 4 3 10 4 0.5
19 kN
y
以FT之值代入(1)、(2)，可得：FAx A
FT
300
B
DE x
FAx=16.5 kN, FAy=4.5 kN。 FAy
PF
(b)
即铰链A的反力及与x轴正向的夹角为：
FA FA2 x FA2 y 17.1 kN
y
arctan FA y 15.30
FAx A
FA x
FA y
FT
300
B
DE x
PF
(b)
(1) 由右图所示的受力图，试按
MA(F) 0
MB(F) 0 Fx 0
y FAx A
FT
300
Fx 0, Fy 0,
P mg
FCBcos 30 FABcos 45 0 P FCBsin 30 FABsin 45 0
联立上述两方程，解得：
FAB= 88.0 N， FCB= 71.8 N。
F F 由于求出的 AB 和 CB 都是正值，所以原先假设的方向是正确的，即 BC
平面交汇力 系的平衡
FR这个力矢量会 收缩成一个点
力的多边形自行封闭
平面汇交力系的平衡例题
思考题
试指出图示各力之间的关系。
(a)
(b)
(c)
(d)
2.1 平面汇交力系的简化与平衡（3）
解析法
复习：运用力的平行四边形公理可以将两个共点的力合成为一个力。 联想：同样，一个已知力也可以分解为两个力。但需注意，一个已知 力分解为两个分力可有无数个解。当平行四边形为矩形时，如右图所 示，可以对力进行正交分解。
《建筑力学》教案
《建筑力学》教案一、教学目标1. 了解建筑力学的基本概念和原理，掌握力学的基本计算方法。
2. 能够运用建筑力学知识分析和解构建筑结构中的受力情况。
3. 培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 第一章：建筑力学基本概念教学重点：力学的基本概念、力学单位制、牛顿运动定律。
教学难点：牛顿运动定律的理解和应用。
2. 第二章：平面力系教学重点：力的合成与分解、平行四边形法则、力的矩、力的偶矩。
教学难点：力的合成与分解的计算、力的矩的理解。
3. 第三章：空间力系教学重点：空间力的合成与分解、空间力的平行四边形法则、空间力的矩。
教学难点：空间力的合成与分解的计算、空间力的矩的理解。
4. 第四章：轴向拉伸与压缩教学重点：轴向拉伸与压缩的基本概念、应力、应变、弹性模量、屈服强度。
教学难点：应力、应变的计算、弹性模量和屈服强度的理解。
5. 第五章：扭转教学重点：扭转的基本概念、扭矩、剪切应力、扭转刚度。
教学难点：扭矩的计算、剪切应力的理解、扭转刚度的概念。
三、教学方法1. 采用讲授法，讲解建筑力学的基本概念和原理，并通过实例进行解释和阐述。
2. 使用图形和模型辅助教学，帮助学生建立空间想象能力。
3. 引导学生进行课堂练习和思考，培养学生的解决问题的能力。
4. 组织课堂讨论和小组活动，促进学生之间的交流和合作。
四、教学评估1. 课堂练习：布置相关的习题和案例，检查学生对建筑力学知识的掌握程度。
2. 小组讨论：评估学生在小组活动中的参与程度和合作能力。
3. 期末考试：全面测试学生对建筑力学的理解和应用能力。
五、教学资源1. 教材：《建筑力学》教科书。
2. 图形和模型：力学图示、建筑结构模型。
3. 计算机软件：用于辅助教学和计算的软件。
4. 网络资源：相关的在线教学资源和案例。
六、第六章：弯曲教学重点：弯曲的基本概念、弯曲应力、弯曲变形、梁的弯曲强度。
教学难点：弯曲应力、弯曲变形的计算、梁的弯曲强度的理解。
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④ 互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和为零。
重庆大学出版社
建筑力学
2 平面力矩的计算方法
方法一：根据定义公式计算。 方法二：根据三角形面积计
算，大小为三角形 面积的二倍。 方法三：应用合力矩定理计算。
重庆大学出版社
建筑力学
2.4力偶与力偶矩
1 力偶及力偶矩的概念 由大小相等，方向相反， 作用线平行的两个力组 成的力系称为力偶。
'
M M
力 F 力偶 （F，F ）
n
合力偶矩： MR Mi i 1 平面力偶系合成结果是一个合力偶,其力偶矩为各力偶
矩的代数和。
重庆大学出版社
建筑力学
2.5力的平移定理
作用在刚体上点A的力 F ，可以平行移到刚体上任一点B，
但必须同时附加一个力偶。这个力偶的力偶矩等于原来的力
F 对新作用点B的矩。
力F
力系 F,F , F
重庆大学出版社
FRx F1x F2x F3x F4x Fx
FRy F1y F2 y F3 y F4 y Fy
x
FRx Fx
FRy Fy
合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一 轴上投影的代数和。
重庆大学出版社
建筑力学
计算图示平面汇交力系的合力，其中 F1 F2 F3 F4 60kN
建筑力学第二章 平面力系的基本计 算
建筑力学
说明： （1）Fx的指向与 x 轴一致，为正，否则为负； （2）力在坐标轴上的投影为标量。
重庆大学出版社
建筑力学
x y 已知 F1 F2 F3 F4 60kN ，计算各力在 及 轴上的投影。
1 45
X1 F1 cos1 60 cos 45 42.42(kN ) Y1 F1 sin 1 60sin 45 42.42(kN ) X2 0
Y2 F2 60(kN )
X 3 F3 cos3 60 0.8 48(kN ) Y3 F3 sin3 60 0.6 36(kN )
X 4 60(kN )
Y4 0
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建筑力学
2.2合力投影定理
y
F4
FR
F3
F1
FRx
F2 F4x
o
F1x Байду номын сангаас2x
F3x
由图可看出，各分力在x 轴和在 y轴投影的和分别为：
X 4 60(kN )
Y4 0
RX X1 X 2 X 3 X 4 42.42 0 48 60 65.58(kN )
RY Y1 Y2 Y3 Y4 42.42 60 36 0 53.58(kN )
R RX 2 RY 2 65.582 53.582 84.68kN
tg Ry Rx 53.58 65.58 0.817
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建筑力学
2.3力矩
1 力对点之矩
MO (F ) Fh
＋
－
力臂
A
F
h
B
O
MO (F ) 2SABO
矩心
说明：
① 平面内力对点之矩是代数量，不仅与力的大小有关，且与矩心位置有关。
② 力对点之矩不因力的作用线移动而改变。
③ 当F=0 或 h=0 时， MO (F ) =0。
1 45
X1 F1 cos1 60 cos 45 42.42(kN )
Y1 F1 sin 1 60sin 45 42.42(kN )
X2 0
Y2 F2 60(kN )
X 3 F3 cos3 60 0.8 48(kN )
Y3 F3 sin3 60 0.6 36(kN )
4）力偶可以在其作用面内任意移动，不影响它对刚体的作 用效应。
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建筑力学
5）只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变力偶中 力的大小和相应力偶臂的长短，而不改变它对刚体 的作用效应。
6N
8N 3N
24Nm 24Nm
4m
3m
8m
6N
8N
3N
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建筑力学
3 平面力偶的合成
对于 n 个力偶组成的平面力偶系：
F
d F'
两个力对物体的转动效应则理应由该力偶 之矩即力偶矩决定。
m(F1, F2 ) Fd
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建筑力学
2 平面力偶的性质
1）力偶无合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。 力偶只能和力偶平衡，而不能和一个力平衡。
2）力偶中两个力在任意坐标轴上投影之代数和为零。
3）力偶中两力对任一点取矩恒等于力偶矩，而与矩心的位 置无关。
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建筑力学
2 平面力矩的计算方法
方法一：根据定义公式计算。 方法二：根据三角形面积计
算，大小为三角形 面积的二倍。 方法三：应用合力矩定理计算。
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建筑力学
2.4力偶与力偶矩
1 力偶及力偶矩的概念 由大小相等，方向相反， 作用线平行的两个力组 成的力系称为力偶。
'
M M
力 F 力偶 （F，F ）
n
合力偶矩： MR Mi i 1 平面力偶系合成结果是一个合力偶,其力偶矩为各力偶
矩的代数和。
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2.5力的平移定理
作用在刚体上点A的力 F ，可以平行移到刚体上任一点B，
但必须同时附加一个力偶。这个力偶的力偶矩等于原来的力
F 对新作用点B的矩。
力F
力系 F,F , F
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FRx F1x F2x F3x F4x Fx
FRy F1y F2 y F3 y F4 y Fy
x
FRx Fx
FRy Fy
合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一 轴上投影的代数和。
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建筑力学
计算图示平面汇交力系的合力，其中 F1 F2 F3 F4 60kN
建筑力学第二章 平面力系的基本计 算
建筑力学
说明： （1）Fx的指向与 x 轴一致，为正，否则为负； （2）力在坐标轴上的投影为标量。
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建筑力学
x y 已知 F1 F2 F3 F4 60kN ，计算各力在 及 轴上的投影。
1 45
X1 F1 cos1 60 cos 45 42.42(kN ) Y1 F1 sin 1 60sin 45 42.42(kN ) X2 0
Y2 F2 60(kN )
X 3 F3 cos3 60 0.8 48(kN ) Y3 F3 sin3 60 0.6 36(kN )
X 4 60(kN )
Y4 0
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2.2合力投影定理
y
F4
FR
F3
F1
FRx
F2 F4x
o
F1x Байду номын сангаас2x
F3x
由图可看出，各分力在x 轴和在 y轴投影的和分别为：
X 4 60(kN )
Y4 0
RX X1 X 2 X 3 X 4 42.42 0 48 60 65.58(kN )
RY Y1 Y2 Y3 Y4 42.42 60 36 0 53.58(kN )
R RX 2 RY 2 65.582 53.582 84.68kN
tg Ry Rx 53.58 65.58 0.817
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2.3力矩
1 力对点之矩
MO (F ) Fh
＋
－
力臂
A
F
h
B
O
MO (F ) 2SABO
矩心
说明：
① 平面内力对点之矩是代数量，不仅与力的大小有关，且与矩心位置有关。
② 力对点之矩不因力的作用线移动而改变。
③ 当F=0 或 h=0 时， MO (F ) =0。
1 45
X1 F1 cos1 60 cos 45 42.42(kN )
Y1 F1 sin 1 60sin 45 42.42(kN )
X2 0
Y2 F2 60(kN )
X 3 F3 cos3 60 0.8 48(kN )
Y3 F3 sin3 60 0.6 36(kN )
4）力偶可以在其作用面内任意移动，不影响它对刚体的作 用效应。
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建筑力学
5）只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变力偶中 力的大小和相应力偶臂的长短，而不改变它对刚体 的作用效应。
6N
8N 3N
24Nm 24Nm
4m
3m
8m
6N
8N
3N
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建筑力学
3 平面力偶的合成
对于 n 个力偶组成的平面力偶系：
F
d F'
两个力对物体的转动效应则理应由该力偶 之矩即力偶矩决定。
m(F1, F2 ) Fd
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2 平面力偶的性质
1）力偶无合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。 力偶只能和力偶平衡，而不能和一个力平衡。
2）力偶中两个力在任意坐标轴上投影之代数和为零。
3）力偶中两力对任一点取矩恒等于力偶矩，而与矩心的位 置无关。