背包问题
理学背包问题详解
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
000000000000
x1=1
w1=2 v1=6 1 0 0 6 6 6 6 6 6 6 6 6
x2=1
w2=2 v2=3 2 0 0 6 6 9 9 9 9 9 9 9
x3=0
w3=6 v3=5 3 0 0 6 6 9 9 9 9 11 11 14
可用动态规划算法求解。
3
其他类型背包问题
完全背包问题(0/1)：
有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有 无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。 求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和 不超过背包容量，且价值总和最大。
多重背包问题
有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多 有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解 将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超 过背包容量，且价值总和最大。
{// 计算x
for (int i=1; i<n; i++)
if (m[i][c]==m[i+1][c])
x[i]=0;
else
{
x[i]=1;
c-=w[i];
}
x[n]=(m[n][c])?1:0;
}
11
算法改进
由m(i,j)的递归式容易证明，在一般情况下，对每一个确定的 i(1≤i≤n)，函数m(i,j)是关于变量j的阶梯状单调不减函数。跳跃 点是这一类函数的描述特征。在一般情况下，函数m(i,j)由其 全部跳跃点唯一确定。如图所示。
(7,7)
(6,6) (4,5)
(4,5)(6,6)
(0,
0)
(2,
(3,2) 1)
背包问题的分支定界法
背包问题的分支定界法
背包问题的分支定界法是一种求解背包问题的有效方法。
分支定界法的基本思想是将问题分解为若干个子问题，通过逐个解决子问题来逼近原问题的解。
在背包问题中，分支定界法通过将问题分解为一系列背包问题，从最简单的情况开始逐步扩展问题的规模，从而逐步逼近最优解。
分支限界法求解：
1．初始化：首先确定问题的约束条件和目标函数，并初始化问题的解空间树。
解空间树是问题解的搜索空间，其中每个节点表示一个可能的解。
2．搜索：从根节点开始，按照广度优先或最小耗费优先的方式搜索解空间树。
在搜索过程中，每个节点代表一个子问题，通过对子问题进行求解，可以逐步逼近原问题的解。
3．剪枝：在搜索过程中，根据问题的约束条件和目标函数，对一些不可能成为最优解的节点进行剪枝，从而减少搜索空间的大小。
剪枝可以提高搜索效率，但需要注意避免剪枝过度导致最优解丢失。
4．求解：当搜索到叶子节点时，表示找到了一个可行的解。
此时需要对叶子节点进行评估，确定其是否为最优解。
如果叶子节点的价值大于当前最优解的价值，则更新最优解；否则将叶子节点加入到已访问节点集合中。
5．回溯：如果搜索到叶子节点时发现当前最优解的价值不小于已访问节点集合中的最大价值，则说明当前最优解已经是最优解或者已经超出了搜索空间的上限。
此时需要进行回溯操作，即从当前节点向上回溯到上一层节点，并继续搜索。
6．结束：当搜索到根节点时，表示已经搜索完了解空间树。
此时需要判断是否找到了最优解，如果没有找到则需要进一步调整搜索策略或调整问题的约束条件和目标函数。
背包问题课件
刷表法——手推
【样例输入】package.in
10 4
21
for(int i=1;i<=n;++i)
Hale Waihona Puke 33for(int v=m;v>=w[i];--v)
45
f[v]=max(f[v],f[v-w[i]]+c[i])
79
【样例输出】package.out
12
i
W[i]
C[i]
i=0
0
0
i=1
2
1
i=2
理一件物品，作为一个阶段，共有n个 阶段 2、定义状态：
定义f[i][v]是前i件物品恰好放 入一个容量为v的背包，所得到的最大 价值 3、状态转移方程： 若第i件物品没有放入背包，则f[i][v]=f[i-
1][v] 若第i件物品放入背包，则f[i][v]=f[i-1][v-
w[i]]+c[i] 根据状态定义，f[i][v]=max(f[i-1][v],f[i-
【输出格式】 仅一行，一个数，表示最大总价值。
【样例输入】package.in 10 4 21 33 45 79
【样例输出】package.out 12
01背包
【问题描述】 一个旅行者有一个最多能用m公斤的
背包，现在有n件物品，它们的重量分别是 W1，W2，...,Wn,它们的价值分别为 C1,C2,...,Cn.若每种物品只有一件求旅行者 能获得最大总价值。 【输入格式】
1][v-w[i]]+c[i]) 4、临界值： 当i==0时，表示一件物品也没有， f[0][v]=0，数组f在main函数前定义即可
刷表法——手推
【样例输入】package.in 10 4
背包问题
完全背包问题也是一个相当基础的背包问题，它有两个状态转移方程，分别在“基本思路”以及“O(VN） 的算法“的小节中给出。希望你能够对这两个状态转移方程都仔细地体会，不仅记住，也要弄明白它们是怎么得 出来的，最好能够自己想一种得到这些方程的方法。事实上，对每一道动态规划题目都思考其方程的意义以及如 何得来，是加深对动态规划的理解、提高动态规划功力的好方法。
这个问题非常类似于01背包问题，所不同的是每种物品有无限件。也就是从每种物品的角度考虑，与它相关 的策略已并非取或不取两种，而是有取0件、取1件、取2件……等很多种。如果仍然按照解01背包时的思路，令 f[i,v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值。仍然可以按照每种物品不同的策略写出状态转移方程， 像这样：f[i,v]=max{f[i,v-vi]+wi,f[i-1,v]}。这跟01背包问题一样有O(N*V）个状态需要求解，但求解每个状态的 时间则不是常数了，求解状态f[v]的时间是O(v/c），总的复杂度是超过O(VN）的。
背包问题已经研究了一个多世纪，早期的作品可追溯到1897年 数学家托比亚斯·丹齐格（Tobias Dantzig， 1884-1956）的早期作品 ，并指的是包装你最有价值或有用的物品而不会超载你的行李的常见问题。
应用
1998年的石溪布鲁克大学算法库的研究表明，在75个算法问题中，背包问题是第18个最受欢迎，第4个最需 要解决的问题（前三为后kd树，后缀树和bin包装问题）。
基础背包
题目 基本思路
空间复杂 示例程序
递归实现 程序
测试数据 总结
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的重量是w[i]，价值是v[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些 物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。
数学建模背包问题
背包问题背包问题(Knapsack problem)是一种组合优化的NP 完全问题。
问题可以描述为：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。
问题的名称来源于如何选择最合适的物品放置于给定背包中。
相似问题经常出现在商业、组合数学，计算复杂性理论、密码学和应用数学等领域中。
也可以将背包问题描述为决定性问题，即在总重量不超过W 的前提下，总价值是否能达到V ？它是在1978年由Merkel 和Hellman 提出的一、定义：背包问题属于组合优化问题，一般的最优化问题由目标函数和约束条件两部部分组成：我们有n 种物品，物品i 的重量为w i ，价格为p i 。
我们假定所有物品的重量和价格都是非负的。
背包所能承受的最大重量为W 。
如果限定每种物品只能选择0个或1个，则问题称为0-1背包问题。
可以用公式表示为：1max ni i i p x =∑1..,ni i i S T w x W =≤∑ {}0,1i x ∈如果限定物品i 最多只能选择b i 个，则问题称为有界背包问题。
可以用公式表示为：1max ni i i p x =∑1..,n i i i S T w xW =≤∑ {}0,1,,i i x b ∈⋅⋅⋅如果不限定每种物品的数量，则问题称为无界背包问题。
各类复杂的背包问题总可以变换为简单的0-1背包问题进行求解。
二、基本模型的建立方法1、0-1背包问题的数学模型（最基础的背包问题）分类：0-1背包问题简单分为一维背包和二维背包问题。
特点：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。
1.1 一维背包问题问题：一个旅行者准备进行徒步旅行，为此他必须决定携带若干物品。
设有n 件物品可供他选择，编号为1,2,...,n 第i 件物品重量为i w 千克，价值为i p 元，他能携带的最大重量为w 千克。
他应该装入哪几件物品价值最大。
解：引入变量i x ，且设1,(1,2,,)0,i i x i n i ⎧==⎨⎩表示将第种物品装入包中表示不将第种物品装入包于是此问题的数学模型为：1max ni i i f p x ==∑1122.....01,1,2,...,.n n iw x w x w x W S T x i n +++≤⎧⎨==⎩或 1.2 二维背包问题一维背包问题只考虑了背包重量的限制，如果再增加背包体积的限制为V ，并设第i 件物品的体积i v ，问如何携带可使总价值最大。
背包问题状态转移方程
背包问题是一个经典的动态规划问题，有两个主要变种：0/1背包问题和背包问题。
以下是它们的状态转移方程：
1.0/1背包问题：
–设物品的重量数组为weights，价值数组为values，背包容量为W，物品个数为n。
–令dp[i][j]表示在前i个物品中选择一些物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。
–状态转移方程：
dp[i][j]=max(dp[i−1][j],dp[i−1][j−weigℎts[i]]+values[i])
–其中，dp[i-1][j]表示不选择第i个物品，dp[i-1][j-weights[i]] + values[i]表示选择第i个物品。
2.背包问题（允许物品分割）：
–设物品的重量数组为weights，价值数组为values，背包容量为W，物品个数为n。
–令dp[i][j]表示在前i个物品中选择一些物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。
–状态转移方程：
dp[i][j]=max(dp[i−1][j],dp[i][j−weigℎts[i]]+values[i])
–其中，dp[i-1][j]表示不选择第i个物品，dp[i][j-weights[i]] + values[i]表示选择第i个物品。
这两个状态转移方程是背包问题中最基本的形式，它们都采用动态规划的思想，通过填表格的方式逐步求解问题。
在实际应用中，你可以根据具体问题的要求进行适当的调整。
背包问题的算法
背包问题是一种经典的优化问题，通常用于解决在给定一组物品和它们的重量、价值等信息的情况下，如何选择一些物品放入一个容量有限的背包中，使得背包中物品的总价值最大或总重量最小等问题。
以下是背包问题的一种经典算法——动态规划法：
1. 定义状态：设f[i][j]表示前i个物品中选择若干个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值或最小重量。
2. 状态转移方程：对于第i个物品，有两种情况：
- 不放入背包中，此时f[i][j]=f[i-1][j]；
- 放入背包中，此时f[i][j]=max(f[i-1][j], f[i-1][j-w[i]]+v[i])，其中w[i]和v[i]分别表示第i 个物品的重量和价值。
3. 初始化：f[0][0]=0。
4. 计算最优解：根据状态转移方程，从上到下依次计算每个物品的状态值，最终得到f[n][m]即为所求的最优解。
时间复杂度：O(n*m)，其中n为物品数量，m为背包容量。
空间复杂度：O(n*m)。
01背包问题动态规划算法
01背包问题动态规划算法
01背包问题是求在限定条件下，在一定的容量内最优装载物品，使得总价值最大。
动态规划算法是一种用于解决多阶段决策问题的途径，其特点是将原问题划分成若干子问题，每个子问题只求解一次，保存子问题的解，避免了重复计算。
01背包问题动态规划算法的步骤如下：
1、确定状态：物品的种数i (i=1,2,…n)，背包的容量j (j=0,1,2,…V)。
2、确定状态转移方程：f[i][j]=max{f[i-1][j],f[i-1][j-wi]+vi}。
3、确定初始状态：f[i][0]=0,f[0][j]=0。
4、确定输出：最后f[n][V]即为最优解。
5、根据状态转移方程从左到右，从上到下进行迭代计算。
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课程设计报告课程名称数据结构课程设计课题名称背包问题专业信息与计算科学班级1001班学号22姓名王锐指导教师刘洞波张晓清郭芳2012年6月9日课程设计任务书课程名称数据结构课程设计课题背包问题专业班级信科1001班学生姓名王锐学号22指导老师刘洞波张晓清郭芳审批刘洞波张晓清郭芳任务书下达日期：2012年6月9日任务完成日期：2012年6月16日一、设计内容与设计要求1．设计内容：1）问题描述假设有一个能装入总体积为T的背包和n件体积分别为W1，W2，···，Wn的物品，能否从n件物品中挑选若干件恰好装满背包，即使W1+W2+···+Wn=T，要求找出所有满足上述条件的解。
例如：当T=10，共6件物品，物品的体积为{1，2，3，4，5，8}，那么可找到下列4组解：（1，2，3，4）、（1，4，5）、（2，3，5）、（2、8）。
2）实现提示可利用回溯法的设计思想来解决背包问题。
首先，将物品排成一列，然后顺序选取物品装入背包，假设已选取了前i件物品之后背包还没有装满，则继续选取第i+1件物品，若该件物品“太大”不能装入，则丢弃而继续选取下一件，直至背包装满为止。
但如果在剩余的物品中找不到合适的物品以填满背包，则说明“刚刚”装入背包的那件物品“不合适”，应将它取出“丢弃一边”，继续再从“它之后”的物品中选取，如此重复，直至求得满足条件的解，或者无解。
由于回溯求解的规则是“后进先出”，因此要用到栈。
2．设计要求：课程设计报告规范1)需求分析a.程序的功能。
b.输入输出的要求。
2)概要设计a.程序由哪些模块组成以及模块之间的层次结构、各模块的调用关系；每个模块的功能。
b.课题涉及的数据结构和数据库结构；即要存储什么数据，这些数据是什么样的结构，它们之间有什么关系等。
3)详细设计a.采用C语言定义相关的数据类型。
b.写出各模块的类C码算法。
c.画出各函数的调用关系图、主要函数的流程图。
4)调试分析以及设计体会a.测试数据：准备典型的测试数据和测试方案，包括正确的输入及输出结果和含有错误的输入及输出结果。
b.程序调试中遇到的问题以及解决问题的方法。
c.课程设计过程经验教训、心得体会。
5)使用说明用户使用手册：说明如何使用你编写的程序，详细列出每一步的操作步骤。
6)书写格式见附带说明。
7)附录a.参考书目b.源程序清单（带注释）●考核方式指导老师负责验收程序的运行结果，并结合学生的工作态度、实际动手能力、创新精神和设计报告等进行综合考评，并按优秀、良好、中等、及格和不及格五个等级给出每位同学的课程设计成绩。
具体考核标准包含以下几个部分：①平时出勤（占10%）②系统需求分析、功能设计、数据结构设计及程序总体结构合理与否（占10%）③程序能否完整、准确地运行，个人能否独立、熟练地调试程序（占40%）④设计报告（占30%）注意：不得抄袭他人的报告（或给他人抄袭），一旦发现，成绩为零分。
⑤独立完成情况（占10%）。
●课程验收要求①运行所设计的系统。
②回答有关问题。
③提交课程设计报告。
④提交软盘（源程序、设计报告文档）。
⑤依内容的创新程度，完善程序情况及对程序讲解情况打分。
二、进度安排附：课程设计报告装订顺序：封面、任务书、目录、正文、评分、附件（A4大小的图纸及程序清单）。
正文的格式:一级标题用3号黑体,二级标题用四号宋体加粗,正文用小四号宋体;行距为22。
正文的内容:一、课题的主要功能；二、课题的功能模块的划分（要求画出模块图）；三、主要功能的实现（至少要有一个主要模块的流程图）；四、程序调试；五、总结；六、附件（所有程序的原代码，要求对程序写出必要的注释）。
正文总字数要求在5000字以上（不含程序原代码）。
目录1.需求分析……………………………………………………………………1.1程序功能……………………………………………………………….1.2输入输出要求………………………………………………………….2.概要设计……………………………………………………………………2.1主要程序功能模块图…………………………………………………2.2数据结构及其关系……………………………………………………3.详细设计……………………………………………………………………3.1C语言定义的相关数据类型……………………………………………3.2模块的主要类C码算法……………………………………………….3.3主要函数的流程图……………………………………………………3.4各函数模块的调用关系图……………………………………………4.调试分析以及设计体会……………………………………………………4.1测试数据………………………………………………………………4.2调试中的问题与分析…………………………………………………4.3课程设计心得体会……………………………………………………5.使用说明……………………………………………………………………6.参考书目……………………………………………………………………附录：源程序清单（带注释）1．需求分析1.1程序的功能程序的功能是：假设有一个能装入总体积为T的背包和n件体积分别为W1，W2，···，Wn的物品，能否从n件物品中挑选若干件恰好装满背包，即使W1+W2+···+Wn=T，要求找出所有满足上述条件的解。
例如：当T=10，共6件物品，物品的体积为{1，2，3，4，5，8}，那么可找到下列4组解：（1，2，3，4）、（1，4，5）、（2，3，5）、（2、8）。
1.2输入输出要求1．从界面中输入的供选择的物品的数目不能超过程序定义的N；2. 输入一个物品体积后，要按回车键，然后输入下一个数据；3．输入背包容纳的体积T不能大于所有物品的体积总和；4，输入后稍等片刻，程序进行清屏。
2．概要设计2.1主要程序的功能模块图功能模块图如下图1图12.2数据结构及其关系程序中定义了主要的类型是int类型和struct 类型。
int 类型中有int w[M]，int T，int N，int i，int j等，int w[M]是一个数组，其中的各数据元素都是同属一个集合的关系，是的顺序存储结构。
其它的数据是无向关系。
struct类型：struct{int s[M];int top;}things;struct 类型中int s[M]和int top都是其所属的元素。
其中int s[M] 是一个数组，其中的各数据元素都是同属一个集合的关系，是的顺序存储结构。
int s[M]和int top是一种线性关系。
结构体本身事顺序存储的。
3．详细设计3.1 C语言定义的相关数据类型int 类型：int w[M]; //供选择的物品int T=0; //背包的最大容量int N=0; //物品的数目int k=0;int i=0;int j=1struct类型：struct{int s[M]; //存放被选出来的物品序号的数组int top; //栈顶指针}things;3.2模块的主要类C码算法初始化模块：for(i=0;i<N;i++){things.s[i]=0;things.top=0;}挑选模块和输出模块：do{ while(T>0&&k<=N){if(T>=w[k]){ things.s[things.top++]=k;T-=w[k];}k++;}if(T==0){ printf("\n第%d种挑选方法:(",j);for(i=0;i<things.top;i++){printf("\t%d ",w[things.s[i]]);}j++;printf(")\n");}k=things.s[--things.top];things.s[things.top]=0;T+=w[k];k++;}while(!(things.top==0&&k==N));3.3主要函数的流程图流程图如下图2图23.4各函数模块的调用的关系图模块调用关系图如下图3图34.调试分析以及设计体会4.1测试数据为了测试程序的正确性，我准备了几份数据，数据如下：1.输入供选择的物品的数目:6输入供选择的物品的体积：第一个物品的体积：1第二个物品的体积：3第三个物品的体积：4第四个物品的体积：5第五个物品的体积：8第六个物品的体积：2输入背包的容量：10测试结果如下图4图42.输入供选择的物品的数目:3输入供选择的物品的体积：第一个物品的体积：1第二个物品的体积：3第三个物品的体积：4输入背包的容量：4输出结果如下图5图54.2调试中的问题与分析调试程序是课程设计中一个很重要的环节，它让我们发现自己程序的错误，让我们不断的改正错误直到程序可以运行。
在调试中，我的程序出现了很多的问题，有些是出于本身的知识遗忘缺陷和，有些一些是出于实践与理论的差别，还有一些是由于粗心引起的。
由于很久没有温习C语言的，所以对C语言输入输出的知识有所遗忘，在输入物体体积时，开始在scanf语句输入数组的一个数，我以为数组输入只需写数组名，没有使用地址符，只写“W[i]”，结果数据一直无法输入，后来在同学的提醒下才想起来，对数组中的数据一个一个输入和一次输入数组时不同的，前者需要输写地址符，正确的输入应该是”&W[i]”,修改后数据才正常的输入，这是个对知识遗忘引起的错误。
在调用延时清屏函数时犯了一个错误就是Sleep函数中S必须大写，这是头文件中#include"windows.h"中默认的形式，如果不大写将无法调用该函数。
在平时运行中，程序都可以做，但是在答辩那天程序不能做，检查了好久的程序觉得没有错误，找了好多人来检查程序也没发现错误，直到后来回到寝室才发现，是自己不小心挪动了初始化数据的部分，使其放到了输入数据之前，在输入数据之前对数据进行了初始化，在使用数据时，出现数据溢出的现象。
这个问题是由于粗心引起的，而且是个很难发现的错误。
调试程序的过程中，我发现了很多的错误。
这个过程不仅仅是对程序的检测也是对我的学习的检测。
让自己发现自己还存在着很多的不足。
在机房的几次调试，让我再次去温习了C语言，对于C语言和自己学习的成果有了再次的提升，也对自己的编写习惯有了一些改变。
总之调试程序让我受益匪浅。
4.3课程设计心得体会本次课程设计让我将我所学的C语言与数据结构有机结合，即提升了动手写程序的能力，也温习了C语言和检测了我的学习效果。
虽然在两周的课程设计中我遇到了很多的困难，但是最后看着自己编写的程序能够实现功能并且很好的运行是一件非常开心的事。