乘法公式变形巧用1
八年级上册数学乘法公式
八年级上册数学乘法公式一、乘法公式的基本内容。
（一）平方差公式。
1. 公式内容。
- (a + b)(a - b)=a^2-b^2。
2. 公式的几何解释（以人教版教材为例）- 我们可以通过一个边长为a的大正方形，在其中一角去掉一个边长为b的小正方形来理解。
- 大正方形的面积是a^2，小正方形的面积是b^2。
- 剩下的图形可以看作是一个长为(a + b)，宽为(a - b)的长方形，其面积为(a +b)(a - b)，所以(a + b)(a - b)=a^2-b^2。
3. 公式的应用示例。
- 例1：计算(3x+2y)(3x - 2y)。
- 解：这里a = 3x，b=2y，根据平方差公式(a + b)(a - b)=a^2-b^2，可得(3x+2y)(3x - 2y)=(3x)^2-(2y)^2=9x^2-4y^2。
- 例2：计算( - 5m+4n)( - 5m - 4n)。
- 解：a=-5m，b = 4n，则( - 5m+4n)( - 5m - 4n)=(-5m)^2-(4n)^2=25m^2-16n^2。
（二）完全平方公式。
1. 公式内容。
- (a + b)^2=a^2+2ab + b^2；(a - b)^2=a^2-2ab + b^2。
2. 公式的几何解释（人教版）- 对于(a + b)^2，可以看作边长为(a + b)的正方形的面积。
- 这个正方形的面积可以分成四部分：边长为a的正方形面积a^2，两个长为a宽为b的长方形面积2ab，边长为b的正方形面积b^2，所以(a + b)^2=a^2+2ab +b^2。
- 对于(a - b)^2，可以看作边长为a的正方形去掉两个长为a宽为b的长方形（这两个长方形有一个边长为b的公共部分）后再加上边长为b的正方形的面积，即(a - b)^2=a^2-2ab + b^2。
3. 公式的应用示例。
- 例1：计算(2x+3y)^2。
- 解：这里a = 2x，b = 3y，根据(a + b)^2=a^2+2ab + b^2，可得(2x+3y)^2=(2x)^2+2×(2x)×(3y)+(3y)^2=4x^2+12xy + 9y^2。
乘法公式的灵活运用
1乘法公式的灵活运用一、复习：(a+b)（a —b)=a 2—b 2（a+b ）2=a 2+2ab+b 2（a-b)2=a 2—2ab+b 2（a+b ）（a 2-ab+b 2)=a 3+b 3(a —b)（a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2② 符号变化,(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4 ④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m ) =x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2) =x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2=(x -y )(x -y )-z 2=x 2-xy -xy +y 2-z 2 =x 2-2xy +y 2-z 2⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2) =x 4-y 4⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2．已知8=+b a ，2=ab ,求2)(b a -的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+b a ,2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3：计算19992—2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。
乘法公式
类型一：平方差公式的应用1、计算(1)(3x＋2)(3x－2) (2) (－2x2－5)(2x2－5)思路点拨：(1)中可以把3x看作a，2看作b．再根据公式计算；(2) 两个因式中“－5”相同，“2x2”符号相反，因而“－5”是公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2中的a，而“2x2”则是公式中的b．解：(1)原式＝(3x)2－22＝9x2－4(2)原式＝(－5－2x2)(－5＋2x2)＝(－5)2－(2x2)2＝25－4x4．总结升华：两个二项式相乘时，若各有一项相同，另一项符号相反，就可以用平方差公式计算，其结果是相同项平方，减相反项平方。
举一反三：[变式]计算：【答案】原式2、计算（1）204×196 (2) 59.8×60.2思路点拨：平方差公式用于数的计算，(1)把204与196改写成204＝200＋4，196＝200－4；(2)把59.8与60.2改写成59.8＝60－0.2 ，60.2＝60＋0.2解：(1)204×196 (2)59.8×60.2 ＝(200＋4)(200－4) ＝(60－0.2)(60＋0.2)＝2002－42＝602－0.22＝40000－16 ＝3600－0.04＝39984 ＝3599.96 总结升华：特殊的两数相乘，可以通过变形后应用平方差公式，从而使计算过程简化。
类型二：完全平方公式的应用3、计算(1)(2x－3)2 (2)(3)思路点拨：(1)把2x看做a，把3看做b,可直接套用完全平方差公式；(2)、(3) 中a、b符号处理方法之一：把两式分别变形为；，再用公式计算(反思得：；)；方法二：把两式分别变形为：；后直接用公式计算；方法三：把两式分别变形为：；后直接用公式计算。
解：(1) (2x－3)2 = (2x)2－2×(2x)×3＋32＝4x2－12x＋9（2）(3) ==总结升华：要牢记完全平方公式的结构特点，注意和平方差公式的区别，理解公式中字母的广泛含义，只要所给题目符合公式结构特点，就可运用这一公式。
乘法公式变形教案
乘法公式变形教案教案标题：乘法公式变形教案教学目标：1. 理解乘法公式的基本概念和用途；2. 掌握乘法公式的变形方法；3. 能够熟练应用乘法公式解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：黑板、白板、彩色粉笔或白板笔、教学课件；2. 学生准备：练习册、笔、纸。
教学过程：Step 1：导入新知1. 教师通过提问引导学生回忆并复习乘法公式的基本概念和用途。
2. 教师向学生提出一个实际问题，例如：“小明买了3本书，每本书的价格是5元，他一共花了多少钱？”引导学生运用乘法公式解决问题。
Step 2：乘法公式的变形方法1. 教师通过示例演示乘法公式的变形方法，例如：将乘法公式a × b = c 变形为c ÷ a = b 或c ÷ b = a。
2. 教师解释变形方法的原理，帮助学生理解变形后等式的含义和关系。
Step 3：练习与巩固1. 学生个别或小组完成练习册上的乘法公式变形练习题，教师巡回指导，及时纠正学生的错误。
2. 教师组织学生进行小组讨论，分享他们的解题思路和方法。
Step 4：拓展应用1. 教师设计一些拓展应用题，要求学生运用乘法公式的变形方法解决实际问题。
2. 学生个别或小组完成拓展应用题，教师进行评价和反馈。
Step 5：总结与归纳1. 教师与学生共同总结乘法公式的变形方法及其应用。
2. 教师提醒学生在日常生活中遇到类似问题时，可以灵活运用乘法公式进行变形解决。
Step 6：作业布置1. 教师布置相关乘法公式变形的作业，要求学生独立完成。
2. 教师提醒学生及时向老师请教和解决问题。
教学反思：教师可以根据学生的实际情况和学习进度，适当调整教学方法和步骤，确保学生能够理解和掌握乘法公式的变形方法。
同时，教师还可以通过举一反三的方式，引导学生将乘法公式的变形方法应用到其他相关问题中，提高学生的综合运用能力。
巧用顺口溜熟记初中数学公式和规律
巧用顺口溜熟记初中数学公式和规律有理数的加法运算：同号相加一边倒；异号相加“大”减“小”，符号跟着大的跑；绝对值相等“零”正好。
【注】“大”减“小”是指绝对值的大小。
合并同类项：合并同类项，法则不能忘，只求系数和，字母、指数不变样。
去、添括号法则：去括号、添括号，关键看符号，括号前面是正号，去、添括号不变号，括号前面是负号，去、添括号都变号。
恒等变换：两个数字来相减，互换位置最常见，正负只看其指数，奇数变号偶不变。
（a-b）2n+1=-（b - a）2n+1（a -b）2n=（b - a）2n 平方差公式：平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相混淆。
完全平方：完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央；首±尾括号带平方，尾项符号随中央。
因式分解：一提（公因式）二套（公式）三分组，细看几项不离谱，两项只用平方差，三项十字相乘法，阵法熟练不马虎，四项仔细看清楚，若有三个平方数（项），就用一三来分组，否则二二去分组，五项、六项更多项，二三、三三试分组，以上若都行不通，拆项、添项看清楚。
“代入”口决：挖去字母换上数（式），数字、字母都保留；换上分数或负数，给它带上小括弧，原括弧内出（现）括弧，逐级向下变括弧（小—中—大）单项式运算：加、减、乘、除、乘（开）方，三级运算分得清，系数进行同级（运）算，指数运算降级（进）行。
一元一次不等式解题的一般步骤：去分母、去括号，移项时候要变号，同类项、合并好，再把系数来除掉，两边除（以）负数时，不等号改向别忘了。
一元一次不等式组的解集：大大取较大，小小取较小，小大，大小取中间,大小,小大无处找。
一元二次不等式、一元一次绝对值不等式的解集：大(鱼)于(吃)取两边,小(鱼)于(吃)取中间。
分式混合运算法则：分式四则运算，顺序乘除加减，乘除同级运算，除法符号须变（乘）；乘法进行化简，因式分解在先，分子分母相约，然后再行运算；加减分母需同，分母化积关键；找出最简公分母，通分不是很难；变号必须两处，结果要求最简。
沪教版七年级 整式乘法公式,带答案
乘法公式课时目标1. 学会用文字和字母表示平方差公式，知道平方差公式的结构特征.2. 在数的简捷运算、代数式的化简求值及解方程中正确、熟悉地运用平方差公式.3. 学会用文字和字母表示完全平方公式，知道完全平方公式的结构特征.4. 理解平方差公式和完全平方公式中的字母，既可以表示数，又可以表示单项式或多项式等.5. 在运用乘法公式时，逐步树立代换的思想，利用字母的意义，灵活进行乘法运算，如公式的逆用和配方.知识精要一．平方差公式()()__________a b a b +-=注：公式中的 ,a b 既可表示一个数，也可以表示单项式，多项式等代数式. 二、完全平方公式2()__________a b +=2()_______________a b -=推广：2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++22222()2222a b c d a b c d ab bc cd da +++=+++++++ 三、乘法公式的变形应用 （1）平方差公式的常见变形 ● 位置变化如()()__________a b b a +-= ● 符号变化如()()()()a b a b b a b a ---=--⋅-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦22()b a =--22a b -=2222()()()()()a b a b a b a b a b a b ---=-+-=--=-+● 系数变化如()()()()ma mb a b m a b a b +-=+-22()m a b =- （2）完全平方公式的常见变形 ● 符号变化如2222()()2a b a b a ab b --=+=++或 2222()()2a b a b a ab b -+=-=-+ ● 移项变化222()2a b a ab b +=++（1）22___________a b →+=222()2a b a ab b -=-+（2）22____________a b →+=22(1)(2)()()4a b a b ab -=+--=（3）立方和（差）公式：22()()__________a b a ab b +-+=热身练习7. 填空题1. 计算：)121)(121(+---a a =_________________2. 计算：11()()33n n x x -+=______________________3. 计算：2211()(________)24x y x y -+=-4. 将多项式21x +加上一个单项式后，使它能成为另一个整式的完全平方，你 添加的这个单项式可以是____________.（只要填一个符合题意的即可）5. 22222()()()_________x y x y x y -+-+=6. 2222(9)(9)(9)x x x -+--_____________=8. 选择题7.下列运算不能用平方差公式的是（ ）A.()()a b b a ---B.2222()()m n n m -+C.(13)(31)a a -+D.()()a b a b +-- 8.下列各式的计算中正确的是（ ）A.22(3)(3)3m n m n m n +-=-B.2(23)(23)29x x x +-=-C.222(2)24x y x xy y +=++D.22(1)21x x x --=++ 9.已知2244(34)169x y A y x --⋅=-，则A 等于（ ） A.2234x y - B.2243y x - C. 2234x y -- D. 2234x y +10.在一块直径为a +b 的圆形场上，分别划出一个直径为a ，另一个直径为b 的小的圆形场地上植满花卉，剩余的部分铺设草皮，试求需铺设草的场地面积. （用,,a b π的代数式表示）精解名题1.分组讨论探索：你们能理解下列图形所表达的恒等式？ 试写出来，并说出图形的意义(1)a+ a = a a + a恒等式__________________________(2) b=a= + + +恒等式__________________________2.计算：(1) 2(1)(1)(1)x x x+-+；(2) (1)(1)x y x y+---（3）21495033⨯3.已知,x y a xy b+==.求：（1）22x y+（2）33yx+4.求证：四个连续整数的积加上1的和，一定是整数的平方.5.用完全平方公式推导“个位数字为5的两位数的平方数”的计算规律.6.某高级中学得到政府投资，进行了校园改造建设，他们的操场原来是长方形，改建后变为正方形，正方形的边长比原来的长方形的长少6米，比原来长方形的宽多了6米，问操场的面积比原来大了还是小了？相差多少平方米？7.将多项式29x x +加上一个整式后，使它能成为另一个整式的完全平方，你有哪些方法，请尽量写出不同的解法.备选例题一．用平方差公式解题 1.计算：2432(12)(12)(12)(12)1+++++2.计算：1)13()13)(13)(13(23242+++++3.计算：)1611)(411)(211(+++错误!未找到引用源。
乘法公式的五个层次
(a-b-c) (a+b-c) (a-b-c) (a-b-c) (a-b-c) (-a+b+c) (a-b-c) (-a+b-c) (a-b-c) (-a-b+c) (a-b-c) (-a-b-c) (-a-b-c) (a+b-c) (-a-b-c) (-a+b+c) (-a-b-c) (-a+b-c) (-a-b-c) (-a-b+c) (-a-b-c) (-a-b-c) (-a+b-c) (a+b-c) (-a+b-c) (-a+b+c) (-a+b-c) (-a+b-c) (-a+b-c) (-a-b+c)
乘法公式的使用
例 计算： (2x+y-z+5)(2x-y+z+5)． =[(2x+5) +(y-z)] [(2x+5) -(y-z)] =(2x+5)2-(y-z)2=4x2+20x+25-y2+2yz-z2
已知： 25 x = 2000,80 y = 2000. 求 1 + 1 的值. x y x y ∵ 25 = 2000,80 = 2000.
第三层次──活用 第三层次 活用
根据待求式的结构特征，探寻规律，连续反复使用乘法公式；有时 根据需要创造条件，灵活应用公式．
例3 化简 (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1． 分析 直接计算繁琐易错，注意到这四个因式很有规律，如果再增
添一个因式“2-1”便可连续应用平方差公式，从而问题迎刃而解．
第五层次──综合应用 第五层次 综合应用
微专题六乘法公式的变形-2020秋人教版八年级数学上册课件(共24张PPT)
(2)由题意，得 x△1x＝－4＝x－1x2－x＋1x2，∵x＋1x＝3， ∴－4＝x－1x2－32，∴x－1x2＝5， ∴x－1x4＝52＝25； (3)(a△b)△c＝a△(b△c)成立，理由如下： ∵(a△b)△c＝(－4ab)△c＝－4×(－4ab)×c＝16abc， a△(b△c)＝a△(－4bc)＝－4a×(－4bc)＝16abc， ∴(a△b)△c＝a△(b△c)．
微专题六 乘法公式的变形
一 二
一 整体求值 (教材 P112 习题 14.2 第 7 题) 已知 a＋b＝5，ab＝3，求 a2＋b2 的值． 解：∵a＋b＝5，ab＝3， ∴(a＋b)2＝25，即 a2＋2ab＋b2＝25. ∴a2＋b2＝25－2ab＝25－2×3＝19.
【思想方法】 本题利用所得结论还可进一步求 a－b ＝± （a＋b）2－4ab＝± 13以及 a 和 b.完全平方公式的一些主要变形：(a＋b)2 ＋(a－b)2＝2(a2＋b2)，(a＋b)2－(a－b)2＝4ab，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab， 在四个量 a＋b，a－b，ab 和 a2＋b2 中，知道其中任意的两个量，就能求出(整体代换) 其余的两个量．
已知|x－3|和(y－2)2 互为相反数，先化简，并求值：(x－2y)2－(x－y)(x ＋y)．
解：由题意得|x－3|＋(y－2)2＝0， 可得 x－3＝0，y－2＝0，解得 x＝3，y＝2， 则原式＝x2－4xy＋4y2－x2＋y2 ＝－4xy＋5y2＝－24＋20＝－4.
[2019 春·西湖区校级月考]两个边长分别为 a 和 b 的正方形如图 1①放置，
解：原式＝m2－4n2－m2＋2mn－n2－3mn＋4n2 ＝－n2－mn， 当 m＝2，n＝－1 时，原式＝－1＋2＝1.
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龙文教育1对1 一．乘法公式巧用
1、平方差公式：（a+b）(a-b)=a2- b2
几种变化形式：（1）、（a+b）(-b+a) （错位）
（2）、（-a-b）(a-b) （符号变化）
（3）、（a+b-c）(a-b-c)（增项变化）
2、完全平方合式：1、（a+b）2=a2+2ab+b2
2、（a-b）2=a2-2ab+b2
几种变化形式：（1）、a2+b2=（a+b）2-2ab
（2）、a2+b2=（a-b）2+2ab
（3）、（a+b）2=（a-b）2+4ab
3、两条公式都是代数式的恒等变形，多用于数或式的化简，对公式的逆用较多；平方差
公式是二项式的变形，而完全平方公式则是对二次三项式的变形。
二、具体用法：
1、变形整合：如：20082-2009*2007
2、整体思维：如：（2a+1+2ab）（2b-1+2a）=63 求a+b的值
如：a（a+1）-（a2+b）=2 求
2
4
2
a b
+2
2
2
a b
+
-ab的值
3、拆项或拼项：如：a2+a2b2+ b2+10ab+16=0 求a+b的值
三、乘法公式部分相应题型：
1、已知：式子9y2+my+16
9
是一个关于y的完全平方式，分别指出它的二次项系数，一
次和常数项，并且求出m的值。
2、试说明对于代数式2a2-4a+3，不论a为任何有理数，它的值总为非负数。
3、已知：24a+4b+1=4a2b，求满足该等式成立的实数对a、b的值。
4、已知：正整数a、b、c，且满足3ab+3bc+3ca=（a+b+c）2，试说明三个正整数a、b、c
之间的关系。