乘法公式变形及应用
乘法公式应用综合
乘法公式应用综合在咱们的数学世界里，乘法公式那可真是个神奇的存在！就像一把万能钥匙，能帮咱们打开好多难题的锁。
先来说说完全平方公式吧，(a ± b)² = a² ± 2ab + b²，这玩意儿可太有用啦！我记得有一次，我去逛菜市场，看到一个卖水果的摊位。
摊主正在算着成本和利润。
他说一箱苹果进价是 a 元，他打算每箱加价 b 元出售。
那按照完全平方公式，他每箱的利润就是 (a + b)² - a² = 2ab +b²。
这可让他一下子就清楚了自己能赚多少钱。
还有平方差公式 (a + b)(a - b) = a² - b²，也是解决问题的好帮手。
比如在装修房子的时候，要计算房间地面的面积。
如果房间的长是 (a + b) 米，宽是 (a - b) 米，那么地面的面积就是 a² - b²平方米。
乘法公式在代数运算中更是大显身手。
比如化简式子 (x + 2y)² - (x - 2y)²，咱们就可以直接套用公式。
先把前面的 (x + 2y)²展开得到 x² +4xy + 4y²，后面的 (x - 2y)²展开得到 x² - 4xy + 4y²，然后一减，4xy 就抵消掉了，剩下 8xy 。
是不是很简单？再看这道题：已知 a + b = 5 ，ab = 3 ，求 a² + b²的值。
这时候咱们就可以用完全平方公式啦，(a + b)² = a² + 2ab + b²，变形一下，a² + b² = (a + b)² - 2ab ，把数值带进去，5² - 2×3 = 19 。
乘法公式在几何图形中也有出色的表现。
比如说一个正方形的边长增加了 x ，那它的面积增加多少呢？原来正方形的边长是 a ，面积就是 a²。
不等式的常用变形公式
不等式的常用变形公式一、加减法变形公式不等式的加减法变形公式是我们在解不等式问题时经常使用的一种变形方式。
具体表达如下：1. 加法变形公式：对于不等式 a < b，如果两边同时加上相同的数 c，不等式的方向不变，即 a + c < b + c。
例如，对于不等式2x - 3 < 5，我们可以通过加法变形公式将其变形为 2x - 3 + 3 < 5 + 3，得到 2x < 8。
2. 减法变形公式：对于不等式 a < b，如果两边同时减去相同的数 c，不等式的方向不变，即 a - c < b - c。
例如，对于不等式 3x + 4 > 7，我们可以通过减法变形公式将其变形为 3x + 4 - 4 > 7 - 4，得到 3x > 3。
二、乘法变形公式不等式的乘法变形公式是解决不等式问题时常用的另一种变形方式。
具体表达如下：1. 正数乘法变形公式：对于不等式 a < b，如果两边同时乘以一个正数 c（c > 0），不等式的方向不变，即 ac < bc。
例如，对于不等式 2x < 6，我们可以通过正数乘法变形公式将其变形为 2x * 3 < 6 * 3，得到 6x < 18。
2. 负数乘法变形公式：对于不等式 a < b，如果两边同时乘以一个负数 c（c < 0），不等式的方向改变，即 ac > bc。
例如，对于不等式-3x > 9，我们可以通过负数乘法变形公式将其变形为 -3x * (-3) > 9 * (-3)，得到 9x < -27。
三、除法变形公式除法变形公式是不等式中应用较少的一种变形方式，但在特定情况下仍然有一定的应用价值。
具体表达如下：对于不等式 a < b，如果两边同时除以一个正数 c（c > 0），不等式的方向不变，即 a/c < b/c。
例如，对于不等式4x > 12，我们可以通过除法变形公式将其变形为 4x / 4 > 12 / 4，得到 x > 3。
八年级上册数学乘法公式
八年级上册数学乘法公式一、乘法公式的基本内容。
（一）平方差公式。
1. 公式内容。
- (a + b)(a - b)=a^2-b^2。
2. 公式的几何解释（以人教版教材为例）- 我们可以通过一个边长为a的大正方形，在其中一角去掉一个边长为b的小正方形来理解。
- 大正方形的面积是a^2，小正方形的面积是b^2。
- 剩下的图形可以看作是一个长为(a + b)，宽为(a - b)的长方形，其面积为(a +b)(a - b)，所以(a + b)(a - b)=a^2-b^2。
3. 公式的应用示例。
- 例1：计算(3x+2y)(3x - 2y)。
- 解：这里a = 3x，b=2y，根据平方差公式(a + b)(a - b)=a^2-b^2，可得(3x+2y)(3x - 2y)=(3x)^2-(2y)^2=9x^2-4y^2。
- 例2：计算( - 5m+4n)( - 5m - 4n)。
- 解：a=-5m，b = 4n，则( - 5m+4n)( - 5m - 4n)=(-5m)^2-(4n)^2=25m^2-16n^2。
（二）完全平方公式。
1. 公式内容。
- (a + b)^2=a^2+2ab + b^2；(a - b)^2=a^2-2ab + b^2。
2. 公式的几何解释（人教版）- 对于(a + b)^2，可以看作边长为(a + b)的正方形的面积。
- 这个正方形的面积可以分成四部分：边长为a的正方形面积a^2，两个长为a宽为b的长方形面积2ab，边长为b的正方形面积b^2，所以(a + b)^2=a^2+2ab +b^2。
- 对于(a - b)^2，可以看作边长为a的正方形去掉两个长为a宽为b的长方形（这两个长方形有一个边长为b的公共部分）后再加上边长为b的正方形的面积，即(a - b)^2=a^2-2ab + b^2。
3. 公式的应用示例。
- 例1：计算(2x+3y)^2。
- 解：这里a = 2x，b = 3y，根据(a + b)^2=a^2+2ab + b^2，可得(2x+3y)^2=(2x)^2+2×(2x)×(3y)+(3y)^2=4x^2+12xy + 9y^2。
乘法公式变形教案
乘法公式变形教案教案标题：乘法公式变形教案教学目标：1. 理解乘法公式的基本概念和用途；2. 掌握乘法公式的变形方法；3. 能够熟练应用乘法公式解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：黑板、白板、彩色粉笔或白板笔、教学课件；2. 学生准备：练习册、笔、纸。
教学过程：Step 1：导入新知1. 教师通过提问引导学生回忆并复习乘法公式的基本概念和用途。
2. 教师向学生提出一个实际问题，例如：“小明买了3本书，每本书的价格是5元，他一共花了多少钱？”引导学生运用乘法公式解决问题。
Step 2：乘法公式的变形方法1. 教师通过示例演示乘法公式的变形方法，例如：将乘法公式a × b = c 变形为c ÷ a = b 或c ÷ b = a。
2. 教师解释变形方法的原理，帮助学生理解变形后等式的含义和关系。
Step 3：练习与巩固1. 学生个别或小组完成练习册上的乘法公式变形练习题，教师巡回指导，及时纠正学生的错误。
2. 教师组织学生进行小组讨论，分享他们的解题思路和方法。
Step 4：拓展应用1. 教师设计一些拓展应用题，要求学生运用乘法公式的变形方法解决实际问题。
2. 学生个别或小组完成拓展应用题，教师进行评价和反馈。
Step 5：总结与归纳1. 教师与学生共同总结乘法公式的变形方法及其应用。
2. 教师提醒学生在日常生活中遇到类似问题时，可以灵活运用乘法公式进行变形解决。
Step 6：作业布置1. 教师布置相关乘法公式变形的作业，要求学生独立完成。
2. 教师提醒学生及时向老师请教和解决问题。
教学反思：教师可以根据学生的实际情况和学习进度，适当调整教学方法和步骤，确保学生能够理解和掌握乘法公式的变形方法。
同时，教师还可以通过举一反三的方式，引导学生将乘法公式的变形方法应用到其他相关问题中，提高学生的综合运用能力。
乘法公式的五用
乘法公式的“五用”能否用乘法公式简化运算，关键在于熟悉并掌握应用技巧，乘法公式如下“五用”一定会使你大开眼界。
一、直接用例1 计算：（1）()()b a b a 4343--- （2）()22y x -- 解：（1）原式＝()()2234a b --＝22916a b - （2）原式＝()[]22y x +-＝()22y x +＝2244y xy x ++ 注意：即使是直接使用公式，也别忘了符号变化。
二、连续用例2 计算：()()()y x y x y x --+39322解：原式＝()()()22933y x y x y x --+＝()2229y x - ＝42241881y y x x +-三、推广用例3 计算：（1）()2c b a ++ （2）()223+-y x 解：（1）原式＝()[]2c b a ++ ＝()()222c c b a b a +⋅+++ ＝ac bc ab c b a 222222+++++（2）由上式的结论可得：原式＝()()()222323223222⋅+⋅-⋅+-⋅++-+x y y x y x ＝44126922++--+x y xy y x说明：()ac bc ab c b a c b a 2222222+++++=++实际上是完全平方公式的推广，（1）（2）两题都是利用完全平方公式的推广公式进行计算的，便得计算过程简捷。
四、逆向用例4 计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-222411311211…⎪⎭⎫ ⎝⎛-21011 解：原式＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-311311211211…⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-10111011 ＝⨯⨯⨯⨯34322321 (1011)109⨯ ＝101121⨯ ＝2011说明：这里逆用平方差公式，变形相约，使得计算十分简捷。
五、变形用例5 （1）已知4=-b a ，5=ab ，求22b a +的值。
乘法公式：平方差与完全平方
乘法公式一、细说乘法公式1、平方差公式应用的条件：两个多项式相乘，一个多项式可以看作两数的和，另一个多项式正好是这两数的差，或两多项式中，一项相同，另一项互为相反数结果写成：（相同项）2-（相反项）2 2、完全平方公式：结果可看作对这两数分别平方，再加上它们乘积的2即写成：（a-b ）2=a 2+b 2-2ab 试写出：（a-b-c ）2=3、完全平方公式相关变形及推广： ○1()()222222a b a b ab a b ab +=+-=-+； ○2ab b a b a 4)()(22=--+; ○3()()()222a b a b a b -+=--=-⎡⎤⎣⎦； ○4()()()222a b a b a b --=-+=+⎡⎤⎣⎦；⑤（a-b+c-d ）2 =二、下列能运用什么乘法公式：3、(b-a) (-a-b) 〈比较两项的关系： 〉∴=4、（-a-b ）(a+b) 〈比较两项的关系： 〉∴=5、（-a+b ）(-a-b) 〈比较两项的关系： 〉∴=6、(a+b) (-a+b) 〈比较两项的关系： 〉∴=7、(-a-b) (a-b) 〈比较两项的关系： 〉∴=8、(-a+b) (a-b) 〈比较两项的关系： 〉∴=平方差公式组题【典型例题】 9、 热身训练 （1）（21x+31y ）（31y －21x ）＝（2）（２x －３y ）（ ）＝９y 2－４x 2 （3）（－a ＋51）（－a －51）＝（－a －５）（ ）＝25－a 2 （4）(x-1)(2x +1)( )=4x -1（5）(a+b+c)(a-b-c)= [ a + ( )] [ a - ( )]相同项 相反项用乘法公式运算：（7）1000110199⨯⨯ （8）2010200820092⨯-10．计算：（1）))(()2)(2(222x y y x y x y x x +-++--11．已知02,622=-+=-y x y x ，求5--y x 的值．12．解方程：()()2313154322365=⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-++x x x x x13. 已知两个连续奇数的平方差为2000，则这两个连续奇数分别是多少？14、【初试锋芒】1）．1.010.99⨯= 2）．2221000252248-= ;3）22(2)(2)(4)x y x y x y -++=4）．在下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是（ ）A ．()()x y x y --+B ．3333()()a b a b -+C ．2222()()c d d c -+D ．()()m n m n ---【大展身手】 15. 填空题1）．若222,10x y x y -=-=则x+y= 2）.2(1)(1)(1)x x x +-+= 3）．(1)(2)(3)(3)x x x x +---+= 4）．=⨯10199 16、选择题1）．下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ） A ．()()a b a b -+- B ．(2)(2)x x ++C ．1133x y y x ⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．(2)(1)x x -+2）．在下列各式中，运算结果是2236y x -的是（ ） A. ()()x y x y --+-66 B. ()()x y x y -+-66 C. ()()y x y x 94-+ D. ()()x y x y ---66 17 ：解答题 1 ） 计算： 2229995(2)(2)x x x-+--2） 解方程(21)(21)3(2)(2)(1)(2)12x x x x x x -+-+-=+-+完全平方公式组题【典型例题】1．课前热身训练：（1）221⎪⎭⎫ ⎝⎛+-cd （2）()23x y -+ （3）2199（4）)2)(2(4)2(2y x y x y x +--- （5）)12)(12(-+++y x y x2．已知()222116x m xy y -++是一个完全平方式，求m 的值．3．已知()()227,4a b a b +=-=，求22a b +和a b 的值．4. 若0132=+-a a ，求aa 1+的值.【初试锋芒】1．212a b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭运算结果是（ ）A 、2214a b+B 、2214a b-C 、2214a ab b++D 、221124a ab b++2．运算结果是24221m n mn -+的是（ ）A 、22(1)m n -B 、22(1)m n -C 、22(1)m n --D 、22(1)m n +3．若224222)(n n m m M n m ++=+-，则M （ ）A 、0B 、2m nC 、22m n -D 、24m n4．若249x Nx ++（N 为整数）是一个完全平方式，则N=（ ）A 、6，-6B 、12C 、6D 、12，-125．已知y x y x y x >=+=+且,7,2522，则x-y 的值等于【大展身手】 1．（35x +）2=22962525x xy y++ 2．22()()a b a b -=+3．()222a b a b +=-+ =2()a b +- 4．()2a b c -+= 4．若7,12,a b ab +==则22a ab b -+=5．要使等式()()22a b M a b -+=+成立，代数式M 应是（ ）A 、2abB 、4abC 、4ab -D 、2ab - 【中考真题演练】1.（2009枣庄）若3n m =+，则222426m mn n ++-的值为（ ）Ａ．12Ｂ．6Ｃ．3Ｄ．02.（2009台州）若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式．．．．．，如a b c ++就是完全对称式.下列三个代数式：①2)(b a -；②ab bc ca ++；③222a b b c c a ++．其中是完全对称式的是( )A ．①② B．①③ C ． ②③ D ．①②③ 3.（2009北京）已知2514x x -=，求()()()212111x x x ---++的值4.（2009十堰）已知3b a =+，2=ab ,求下列各式的值： （1）22ab b a + （2）22b a +。
乘法公式变形题(含答案)
乘法公式变形与应用一、【和平方（差平方）、平方和、2倍积的关系如下：】1、（a+b）2＝（a2＋b2）＋2ab （a－b）2＝（a2＋b2）－2ab2、（a+b）2＝（a－b）2＋4ab （a－b）2＝（a＋b）2－4ab3、a2＋b2＝（a+b）2－2aba2＋b2＝（a－b）2＋2aba2＋b2＝()()222a b a b++-4、4ab＝（a+b）2－（a－b）22ab＝（a+b）2－（a2＋b2）5、（a-b）2＝（b-a）2（a-b）3＝－（b-a）3练习题：1、a+b=7, a2＋b2＝29,（a－b）2＝______ 。
2、（a+b）2＝4, （a－b）2＝36,求：a2＋b2＋ab＝______ 。
a4＋b4＝______ 。
3、m＋1m ＝3, 则m2＋21m＝______ 。
m－1m＝______。
m2－21m＝______。
4、x＋1x＝－3, 则x4＋41x＝______ 。
5、x＋1x则x－1x＝______。
6、（1－212）（1－213）（1－214）…（1－219）（1－2110）7、（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232＋1）＋18、x＝12a＋1，y ＝12a＋2 ，z＝12a＋3，求：x2＋y2＋z2－xy－yz－zx值。
9、12＋14＋18＋…＋12n10、201320122014222+二、常数项＝－次项系数一半的平方。
与（△＝0）【方程法】11、x2＋kxy＋9y2是x的完全平方式，k＝______ 。
12、4x2＋kxy＋9y2是x的完全平方式，k＝______13、16x2＋1添加__________________ 后，可构成整式的完全平方式。
14、x2－2（m－3）x＋16是x的完全平方式，m＝______ 。
15、4x2－（k＋2）x＋k－1是x 的完全平方式，k＝______ 16、x2－6x＋m2是x的完全平方式，m＝______ 。
乘法公式2两数和(或差)的平方
通过乘法公式和向量外积计算三角 形的面积。
体积计算
01
02
03
长方体体积
通过乘法公式计算长方体 的体积，即长乘以宽乘以 高。
圆柱体体积
利用乘法公式和圆的面积 公式计算圆柱体的体积。
圆锥体体积
通过乘法公式和圆的面积 公式以及高计算圆锥体的 体积。
长度计算
向量的模
通过乘法公式计算向量的 模，即向量各分量的平方 和的平方根。
空间中两点的距离
利用乘法公式和向量减法 计算空间中两点的距离。
圆的周长
通过乘法公式和圆的半径 计算圆的周长。
05 乘法公式在物理中的应用
运动学问题
匀变速直线运动
利用乘法公式推导位移与时间的 关系，如$s = v_0t + frac{1}{2}at^2$。
抛体运动
将乘法公式应用于抛体运动的水 平位移和竖直位移，求解物体的
通过乘法公式的运用， 可以简化复杂的多项 式表达式，降低计算 难度。
方程求解
利用乘法公式将方程化为标准形式， 便于求解未知数。
通过对方程的变形和化简，可以更容 易地找到方程的解，提高解题效率。
在解方程时，可以根据乘法公式的特 点，选择合适的变形方式，简化求解 过程。
不等式证明
利用乘法公式证明不等式，可 以将复杂的不等式化为简单的 形式，便于证明。
运动轨迹。
圆周运动
通过乘法公式计算向心加速度、 线速度、角速度等物理量之间的
关系。
动力学问题
1 2
牛顿第二定律
结合乘法公式，推导物体加速度与作用力、质量 之间的关系，即$F = ma$。
动量定理
应用乘法公式求解物体动量变化与冲量之间的关 系，如$Delta p = Ft$。
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乘法公式变形及应用
1、2a b a b ab +222（）＝（＋）＋ 2a b a b ab 2
22（－）＝（＋）－
2、4a b a b ab +22（）＝（－）＋ 4a b a b ab 22
（－）＝（＋）－
3．2a b a b ab +222＋＝（）－ 2a b a b ab 222＋＝（－）＋
()()2
2
2
a b a b a b ++-2
2
＋＝
4、4ab a b a b +2
2
＝（）
－（－） 4
a b a b ab +2
2
（）－（－）＝ 2ab a b a +2
2
2
＝（）－（＋b ）
2
a b a b ab +2
22（）－（＋）＝
5、
a b b a --2
2
（）＝（） a b b a --3
3
（）＝－（） 练习题：
1、, ,a b a b +=22729＋＝ ______a b 2
（－）＝。
2、,,a b a b +22
436（）＝（－）＝
求： ____________a b ab a b 2244＋＋＝。
＋＝。
3、22
113,______m m m
m
＋＝则＋
＝。
2211 ____________m m m m －＝。
－＝。
例1、若()2
15m n += ()2
5m n -=求mn ，2
2
m n +的
值。
变形1：若()2
215m n += ()2
25m n -=求
mn ，
224m n +的值。
乘法公式变形及应用
1、
2a b a b ab +222（）＝（＋）＋ 2a b a b ab 2
22（－）＝（＋）－ 2、
4a b a b ab +22（）＝（－）＋ 4a b a b ab 22
（－）＝（＋）－ 3．2a b a b ab +222＋＝（）
－ 2a b a b ab 222＋＝（－）＋ ()()2
2
2
a b a b a b ++-2
2
＋＝
4、4ab a b a b +2
2
＝（）
－（－） 4
a b a b ab +2
2
（）－（－）＝ 2ab a b a +2
2
2
＝（）－（＋b ）
2
a b a b ab +2
22（）－（＋）＝
5、a b b a --22（）＝（） a b b a --33
（）＝－（） 练习题：
1、, ,a b a b +=22729＋＝ ______a b 2
（－）＝。
2、,,a b a b +22
436（）＝（－）＝
求： ____________a b ab a b 2244
＋＋＝。
＋＝。
3、22113,______m m m m
＋＝则＋＝。
2211 ____________m m m m －＝。
－＝。
例1、若()215m n += ()2
5m n -=求mn ，22m n +的值。
变形1：若()2
215m n += ()2
25m n -=求
mn ，
224m n +的值。
变形2、若()2
2315m n += ()2
235m n -=求mn ，
22
94
m n +
的值。
变形3、若()()35436a a --=-，求()()
2
2
3543a a -+-的值。
例2、已知32232,16
3,1ab b a b a ab b a +-=
=+求的值。
例3、已知2
441
13,x x x x ⎛
⎫+=+ ⎪⎝
⎭1求x-及x
例4、若2
2(1)0m n ++-=，则2m n +的值为________ 变形1、若2
2210,m n n ++-+=则2m n +的值为_ 变形2、若2244(1)0
m m n +++-=，
则2m n -的值为
变形3、若2
2
4250m n m n ++-+=，则2mn 的值为
例5、对于式子154622+-++b a b a 能否确定其值的正负性？若能，请说明理由．
例6、如果)122)(122-+++b a b a （＝63，那么a+b 的值为多
变形2、若()2
2315m n += ()2
235m n -=求mn ，
22
94
m n +
的值。
变形3、若()()35436a a --=-，求()()
2
2
3543a a -+-的值。
例2、已知32232,16
3,1ab b a b a ab b a +-=
=+求的值。
例3、已知2
441
13,x x x x ⎛
⎫+=+ ⎪⎝
⎭1求x-及x
例4、若2
2(1)0m n ++-=，则2m n +的值为________ 变形1、若2
2210,m n n ++-+=则2m n +的值为_ 变形2、若2
2
44(1)0
m m n +++-=，
则2m n -的值为
变形3、若2
24250m n m n ++-+=，则2mn 的值为
例5、对于式子15462
2+-++b a b a 能否确定其值的正负性？若能，请说明理由．
例6、如果)122)(122-+++b a b a （＝63，那么a+b 的值为多。