乘法公式的综合应用
乘法公式应用综合
乘法公式应用综合在咱们的数学世界里，乘法公式那可真是个神奇的存在！就像一把万能钥匙，能帮咱们打开好多难题的锁。
先来说说完全平方公式吧，(a ± b)² = a² ± 2ab + b²，这玩意儿可太有用啦！我记得有一次，我去逛菜市场，看到一个卖水果的摊位。
摊主正在算着成本和利润。
他说一箱苹果进价是 a 元，他打算每箱加价 b 元出售。
那按照完全平方公式，他每箱的利润就是 (a + b)² - a² = 2ab +b²。
这可让他一下子就清楚了自己能赚多少钱。
还有平方差公式 (a + b)(a - b) = a² - b²，也是解决问题的好帮手。
比如在装修房子的时候，要计算房间地面的面积。
如果房间的长是 (a + b) 米，宽是 (a - b) 米，那么地面的面积就是 a² - b²平方米。
乘法公式在代数运算中更是大显身手。
比如化简式子 (x + 2y)² - (x - 2y)²，咱们就可以直接套用公式。
先把前面的 (x + 2y)²展开得到 x² +4xy + 4y²，后面的 (x - 2y)²展开得到 x² - 4xy + 4y²，然后一减，4xy 就抵消掉了，剩下 8xy 。
是不是很简单？再看这道题：已知 a + b = 5 ，ab = 3 ，求 a² + b²的值。
这时候咱们就可以用完全平方公式啦，(a + b)² = a² + 2ab + b²，变形一下，a² + b² = (a + b)² - 2ab ，把数值带进去，5² - 2×3 = 19 。
乘法公式在几何图形中也有出色的表现。
比如说一个正方形的边长增加了 x ，那它的面积增加多少呢？原来正方形的边长是 a ，面积就是 a²。
20242024用乘法公式
20242024用乘法公式乘法公式是数学中非常重要的一个概念，它给出了将两个数相乘的方法。
在这篇文章中，我们将详细介绍乘法公式以及它的应用。
文章将包含以下内容：1.乘法公式的定义2.乘法运算的基本原理3.乘法公式的应用举例4.乘法公式的扩展及推广一、乘法公式的定义乘法公式是数学中一种用来表示两个数相乘的方法，它是一种简单而直观的推理，我们可以利用它来完成复杂的乘法运算。
乘法公式通常使用乘号"×"表示，表示两个数的乘积。
二、乘法运算的基本原理在乘法运算中，我们常常使用乘法表来进行计算。
乘法表是一种由数字1到10组成的表格，可以用来帮助我们进行乘法运算。
在乘法表中，每一行表示被乘数，每一列表示乘数，交叉点处的数值表示乘积。
乘法运算的基本原理是将被乘数分解成若干个部分，然后分别与乘数相乘，最后将这些部分的乘积相加得到最终的乘积。
这一原理可以通过以下公式表示：被乘数×乘数=乘积三、乘法公式的应用举例乘法公式在实际生活中有着广泛的应用。
下面我们通过几个具体的例子来说明乘法公式的应用：1.计算面积和体积：乘法公式可以用来计算各种图形的面积和立体形状的体积。
以矩形为例，矩形的面积可以通过将长和宽相乘得到。
面积=长×宽类似地，计算长方体的体积也可以使用乘法公式。
体积=长×宽×高2.财务计算：乘法公式在财务计算中也经常使用。
例如，计算折扣后的价格，可以通过将原价格与折扣率相乘得到。
折扣后价格=原价格×折扣率同样地，计算税后价格也可以使用乘法公式。
税后价格=原价格×(1+税率)3.概率计算：乘法公式在概率计算中也经常使用。
例如，计算两次独立事件发生的概率，可以将每个事件发生的概率分别相乘得到。
综合概率=第一次事件发生的概率×第二次事件发生的概率四、乘法公式的扩展及推广乘法公式不仅适用于两个数相乘的情况，还可以通过推广应用于更多的数。
乘法公式的五个层次
(a-b-c) (a+b-c) (a-b-c) (a-b-c) (a-b-c) (-a+b+c) (a-b-c) (-a+b-c) (a-b-c) (-a-b+c) (a-b-c) (-a-b-c) (-a-b-c) (a+b-c) (-a-b-c) (-a+b+c) (-a-b-c) (-a+b-c) (-a-b-c) (-a-b+c) (-a-b-c) (-a-b-c) (-a+b-c) (a+b-c) (-a+b-c) (-a+b+c) (-a+b-c) (-a+b-c) (-a+b-c) (-a-b+c)
乘法公式的使用
例 计算： (2x+y-z+5)(2x-y+z+5)． =[(2x+5) +(y-z)] [(2x+5) -(y-z)] =(2x+5)2-(y-z)2=4x2+20x+25-y2+2yz-z2
已知： 25 x = 2000,80 y = 2000. 求 1 + 1 的值. x y x y ∵ 25 = 2000,80 = 2000.
第三层次──活用 第三层次 活用
根据待求式的结构特征，探寻规律，连续反复使用乘法公式；有时 根据需要创造条件，灵活应用公式．
例3 化简 (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1． 分析 直接计算繁琐易错，注意到这四个因式很有规律，如果再增
添一个因式“2-1”便可连续应用平方差公式，从而问题迎刃而解．
第五层次──综合应用 第五层次 综合应用
人教版数学八年级上册《第十二课时乘法公式的综合应用》教案
人教版数学八年级上册《第十二课时乘法公式的综合应用》教案一. 教材分析人教版数学八年级上册《第十二课时乘法公式的综合应用》这一课时，是在学生掌握了平方差公式、完全平方公式等基本乘法公式的基础上进行教学的。
本课时主要让学生进一步理解乘法公式的结构特征，提高学生灵活运用乘法公式解决实际问题的能力，培养学生的逻辑思维能力和创新思维能力。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了平方差公式、完全平方公式等基本乘法公式，对公式有一定的理解，但在运用公式解决实际问题时，往往会因为对公式的理解不够深入而出现错误。
此外，学生的逻辑思维能力和创新思维能力还有待提高，因此，在教学中，需要引导学生深入理解乘法公式的结构特征，培养学生灵活运用公式解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生进一步理解乘法公式的结构特征，提高学生灵活运用乘法公式解决实际问题的能力。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流的方式，培养学生独立解决问题的能力，提高学生的逻辑思维能力和创新思维能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，使学生感受到数学在生活中的重要性，培养学生的团队协作精神和积极进取的精神。
四. 教学重难点1.教学重点：让学生进一步理解乘法公式的结构特征，提高学生灵活运用乘法公式解决实际问题的能力。
2.教学难点：如何引导学生深入理解乘法公式的结构特征，如何培养学生灵活运用公式解决实际问题的能力。
五. 教学方法1.自主学习法：引导学生独立思考，自主探究，提高学生的独立解决问题的能力。
2.合作交流法：鼓励学生之间相互讨论、交流，培养学生的团队协作精神。
3.启发式教学法：教师通过提问、设疑，引导学生深入思考，激发学生的创新思维。
六. 教学准备1.教师准备：教师需要对乘法公式有深入的了解，以便在教学中引导学生深入理解乘法公式的结构特征。
2.学生准备：学生需要预习平方差公式、完全平方公式等基本乘法公式，以便在课堂上更好地理解和运用。
小专题(一) 乘法公式的综合应用
小专题(一) 乘法公式的综合应用乘法公式是初中数学中的重要公式,也是中考常见的考点之一.平方差公式:(a+b )(a-b )=a 2-b 2,公式的左边是两个数的和乘这两个数的差,右边正好是这两个数的平方差,两边都有差的运算,关键要准确把握谁减去谁.完全平方公式:(a+b )2=a 2+2ab+b 2,(a-b )2=a 2-2ab+b 2,公式的左边是两个数的和(或差)的平方,右边是这两个数的平方和,再加上(或减去)这两个数积的2倍,两边的符号是一致的,要准确把握符号问题.在解决问题时,要注意观察式子的特点,选择合适的方法和解题思路,不要拘泥于公式的形式,而要深刻理解,加以灵活运用.完全平方公式的常见变形有:a 2+b 2=(a+b )2-2ab=(a-b )2+2ab ;ab=12[(a+b )2-(a 2+b 2)]=14[(a+b )2-(a-b )2]=(a+b 2)2−(a -b 2)2; (a+b )2+(a-b )2=2a 2+2b 2.类型1 直接应用公式1.计算:(x-3y+2z )(x+3y-2z ).解:原式=[x-(3y-2z )][x+(3y-2z )]=x 2-(3y-2z )2=x 2-[(3y )2-2×3y×2z+(2z )2]=x 2-9y 2+12yz-4z 2.类型2 逆用公式2.(上海中考)计算:(a+1)2-a 2.解:原式=2a+1.类型3 变形应用公式3.(枣庄中考)若m-1m =3,则m 2+1m 2= 11 .4.若x+y=3,且(x+2)(y+2)=12.(1)求xy 的值;(2)求x 2+3xy+y 2的值.解:(1)由(x+2)(y+2)=12,得xy+2(x+y )+4=12,因为x+y=3,所以xy=2.(2)因为x2+3xy+y2=(x+y)2+xy,又x+y=3,xy=2,所以原式=(x+y)2+xy=32+2=11.类型4整合公式5.已知实数a,b满足(a+b)2=1,(a-b)2=25,求a2+b2+ab的值.解:由(a+b)2=1,得a2+2ab+b2=1,①由(a-b)2=25,得a2-2ab+b2=25,②①+②,得a2+b2=13,①-②,得ab=-6,所以a2+b2+ab=13+(-6)=7.类型5解决探究问题6.(1)如图1,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形,把图1中的阴影部分拼成一个长方形(如图2所示),通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积,可以得到乘法公式为a2-b2=(a+b)(a-b).(用含a,b的等式表示)(2)运用(1)中所得到的公式,计算下列各题:①20192-2020×2018;②2(x-y-3)(x-y+3).解:(2)①20192-2020×2018=20192-(2019+1)×(2019-1)=20192-(20192-1)=1.②2(x-y-3)(x-y+3)=2[(x-y)2-9]=2(x2-2xy+y2-9)=2x2-4xy+2y2-18.。
第1讲 乘法公式的综合应用(学生版)
知识总结典型例题1计算：2已知3若4当5已知6解答下列问题．7设8知识总结典型例题9若10已知：11已知12已知13阅读下列材料，并利用材料中使用的方法解决问题．这样的“走马灯” 性质实在是让人啧啧称奇．于是我们开始好奇，142857 为什么会具有这样神奇的性质？是否还会有其他数具有这样的性质呢？先回答第一个问题．数学系的人也许会高冷地回答你：因为 10 是模 7 的一个原根．但这个回答，一定是令 99 % 的人懵逼的．大部分普通人恐怕会问：“原根” 是什么？当然，也许还有些连初中数学都还给老师的人，会问：“模” 是什么，哈这个问题，其实正是让数学小白们叩开初等数论大门的伟大机会啊！我相信，要完整地理解这个问题的来龙去脉，对于初中数学水平的人，大概也就需要半个小时而已~当然，需要 3 个很简单的前提条件：你知道质数（素数）的概念：只能被 1 和自身整除的数；也知道互质的含义（最大公约数为1）；你会竖式计算；你已经知道：142857*7=999999；那么，下面我们开始吧~一、竖式计算的奥秘既然你已经知道了 142857*7=999999，那么你一定很容易联想到 1/7 会有 142857 的循环节．毕竟1000000 除以 7 余 1 嘛！竖式计算告诉我们，产生循环几乎是显然的：仔细观察一下竖式计算，你会发现一个很有趣的现象：前 6 次相减，余数分别 3、2、6、4、5、1，恰好遍历了比 7 小的 1~6，这就意味着，下一个余数无论是几，都必然会和前面的重复，从而必须产生循环．这个现象揭示了一个简单的定理：定理 1.1：1/n 的小数展开，其循环节长度不超过 n-1．如果循环节恰好为 n-1 ，在竖式计算的每一步中，余数一定遍历了 1，2，…，n-1，那么显然，1/n, 2/ n,…， (n-1)/n 的竖式计算，一定能和 1/n 的竖式计算中的某一步衔接起来，循环节会形成 “走马灯” 的效果．反之，对于任意一个“走马灯数”，我们可以把它当做循环小数的循环节，而循环小数必然可以表示成分数 k/n，若循环节小于 n-1，那么余数必然不能遍历 1，2，…，n-1，那么 “走马灯” 的效果则不会出现．于是我们得到了另一个定理：定理 1.2：对每一个 “走马灯数” ，都存在自然数 n，走马灯数为 1/n 的小数展开后的循环节，且这个循环节恰好有 n-1 位．接下来，我们需要寻找满足条件的 n，初等数论的大门将缓缓打开．14如图，在边长为15已知16若17已知18如果多项式19关于多项式20若21已知22已知。
乘法公式的运用
乘法公式的运用乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘，得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用，在学习乘法公式时，应该做到以下几点：1．熟悉每个公式的结构特征，理解掌握公式；2．根据待求式的特点，模仿套用公式；3．对公式中字母的全面理解，灵活运用公式；4．既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合，综合运用公式．【例1】 (1)已知两个连续奇数的平方差为2000，则这两个连续奇数可以是 ．(2)已知(2000一a)(1998一a)=1999，那么(2000一a)2+(1998一a)2= ．从特殊到一般的过程是人类认识事物的一般规律，而观察、发现、归纳是发现数学规律最常用的方法. 常见公式变形有： (1)ab b a b a 2)(222 ±=+， 2)()(2)()(222222b a b a b a b a ab --+=+-+=． (2)222222)()(b a b a b a +=-++； (3) ab b a b a 4)()(22=--+；（4）4)()(22b a b a ab --+=，)(2)(2222ac bc ab c b a c b a ++-++=++ 【例2】 若x 是不为0的有理数，已知)12)(12(22+-++=x x x x M ，)1)(1(22+-++=x x x x N ，则M 与N 的大小是（ ）A ．M>NB ． M<NC ． M=ND ．无法确定思路点拨 运用乘法公式，在化简M 、N 的基础上，作差比较它们的大小．【例3】 计算：(1)6(7十1)(72十1)(74十1)(78十1)+1；(2)1.345×0.345×2.69—1.3452一1.345×0.3452．【例4】 (1)已知x 、y 满足x 2十y 2十45＝2x 十y ，求代数式yx xy +的值． (2)整数x ，y 满足不等式y x y x 22122+≤++，求x+y 的值．(3)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率为a ，第二次提价的百分率为b ，乙商场：两次提价的百分率都是2b a +(a>0，b>o)，丙商场：第一次提价的百分率为b ，第二次提价的百分率为a ，则哪个商场提价最多?说明理由．完全平方公式逆用可得到两个应用广泛的结论：(1)0)(2222≥±=+±b a b ab a ；(2)ab b a 222≥+ 揭示式子的非负性，利用非负数及其性质解题．【例5】 已知a 、b 、c 均为正整数，且满足222c b a =+，又a 为质数．证明：(1)b 与c 两数必为一奇一偶；(2)2(a+b+1)是完全平方数．思路点拨 从222c b a =+的变形入手；222b c a -=，运用质数、奇偶数性质证明． 学力训练1．观察下列各式：(x 一1)(x+1)＝x 2一l ；(x 一1)(x 2+x+1)=x 3一1；(x 一1)(x 3十x 2+x+1)=x 4一1．根据前面的规律可得(x 一1)(x n +x n-1+…+x+1)= ．2．已知052422=+-++b a b a ，则ba b a -+= ． 3．计算：(1)1.23452+0.76552+2.469×0.7655： ；(2)19492一19502+19512一19522+…+19972一19982+19992 = ；(3)2199919991999199719991998222-+ ． 4．如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a 、b 的恒等式 ．5．已知51=+a a ，则2241a a a ++= ． 6．已知5,3-=+=-c b b a ，则代数式ab a bc ac -+-2的值为( )．A ．一15B ．一2C ．一6D ．6 7．乘积)200011)(199911()311)(211(2222----等于( )． A ．20001999 B ．20002001 C ．40001999 D ．40002001 8．若（x －y ）2＋N=x 2＋xy ＋y 2,则N 为（ ）。
微探究小专题9 乘法公式的综合应用【习题课件】八年级上册人教版数学
S3
∵ S1＋ S2＝ a2＋ b2－ ab ＝28，
∴ S3＝ ×28＝14.
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微探究小专题9
乘法公式的综合应用
利用乘法公式进行简便运算
2. 利用乘法公式进行简便运算.
(1)1 007×993＋49；
解：原式＝(1 000＋7)(1 000－7)＋49＝1 0002－49＋49＝106.
(2)2 0232－2 024×6＋15.
解：原式＝(2 024－1)2－2 024×6＋15＝2 0242－2 024×8＋16＝(2 024
2×4]2－2×42＝257.
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微探究小专题9
乘法公式的综合应用
利用乘法公式对数式的关系进行探究
6. [发现] 两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，
且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.
[验证]如，(2＋1)2＋(2－1)2＝10为偶数，请把10的一半表示为两个正整
第十四章
整式的乘法与因式分解
微探究小专题9
乘法公式的综合应用
微探究小专题9
乘法公式的综合应用
乘法公式的应用
1. 计算：
(1)( x2＋1)2－4 x2；
解：原式＝ x4＋2 x2＋1－4 x2＝ x4－2 x2＋1.
(2)[( a ＋2 b )(2 b － a )]2.
解：原式＝(4 b2－ a2)2＝16 b4－8 a2 b2＋ a4.
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乘法公式的综合应用
题型一、直接应用
1、计算：（1）；（2）（3）
2、计算：（1）；（2）
题型二、变位应用
3、计算：（1）；（2）；（3）
题型三、整体思想应用
4、计算：（1）（2）
易错题
1、2、
3、
4、若，求的值。
5、计算：
题型四、连续思想应用
5、计算（1）（2）99×101×10001
题型五、逆向思维应用
6、计算：（1）（2）472-94×27+272
7、已知，并且，求的值。
题型六、变形应用
8、用乘法公式计算：（1）792；（2）； 982－101×99
9、计算：（1）；（2）
10、已知：，求下列各式的值：
（1）；（2）（3）
11、已知：，求的值
12、计算：
题型七、配方法的应用
13、若是一个完全平方式，则M的值为_______。
14、（1）已知，求的值为________；
（2）若，则的值为_______。
15、（1）已知，则的值是__________；
（2）已知，则的值是__________；
（3）已知代数式，则_____，_____时，代数式有最_____值是__________.
16、已知，求的值。
17、已知，试判断M、N的大小。
题型八、代数式求值
18、（1）已知，那么的值是_______；
（2）若，则的值为________；
19、若，则的值________
20、（1）当时，多项式的值是，求当时，多项式的值是多少
（2）已知，求代数式的值。
21、已知，求代数式的值。
22、当，求代数式的值。
23、已知多项式能被整除，求代数式的值。