乘法公式推广及应用
竞赛培训资料乘法公式
乘法公式一、知识要点1、乘法公式平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2立方和公式：(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3立方差公式：(a-b)( a2+ab+b2)=a3-b32、乘法公式的推广（1）(a+b)(a-b)=a2-b2的推广由(a+b)(a-b)=a2-b2, (a-b)( a2+ab+b2)=a3-b3，猜想：(a-b)( )=a4-b4(a-b)( )=a5-b5(a-b)( )=a n-b n（2）多项式的平方由(a±b)2=a2±2ab+b2，推出(a+b+c)2=( ) , (a+b+c+d)2=( )猜想：(a1+a2+…+a n)2=( )。
二、乘法公式的应用例1、运用公式计算(1) (3a+4b)(3a-4b) (2) (3a+4b)2例2、运用公式，将下列各式写成因式的积的形式。
（1）(2x-y)2-(2x+y)2(2)-49b2(3)25(a-2b) -64(b+2a)例3、填空(1) x2+y2-2xy=( )2(2) x4-2x2y2+y4=( )2(3) 49m2+14m+1=( )2(4) 64a2-16a(x+y)+(x+y)2(5) 若m2n2+A+4=(mn+2)2,则A= ;(6) 已知ax2-6x+1=(ax+b)2，则a= ,b= ;(7) 已知x2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m= .例4、计算(1) 200002-19999⨯20001 (2) 372+26⨯37+132(3) -3⨯+-100。
提示：（1）19999=20000-1例5、计算（1）(1+2)(1+22)(1+24)(1+28)(1+216)(1+232)+1。
（2）(1+3)(1+32)(1+34)(1+38)…(1+32n)。
例6、已知x+y=10,x3+y3=100,求x2+y2。
乘法公式的灵活运用
1乘法公式的灵活运用一、复习：(a+b)（a —b)=a 2—b 2（a+b ）2=a 2+2ab+b 2（a-b)2=a 2—2ab+b 2（a+b ）（a 2-ab+b 2)=a 3+b 3(a —b)（a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2② 符号变化,(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4 ④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m ) =x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2) =x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2=(x -y )(x -y )-z 2=x 2-xy -xy +y 2-z 2 =x 2-2xy +y 2-z 2⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2) =x 4-y 4⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2．已知8=+b a ，2=ab ,求2)(b a -的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+b a ,2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3：计算19992—2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。
七年级数学下期培优学案(1)-同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方
七年级下期数学培优学案（1）同底数幂的乘（除）法、幂的乘方、积的乘方一、同底数幂的乘法1.公式及其推广：m n p m n p a a a a++= 2．公式顺用：例1、计算（1）21n n n aa a ++ （2）232()()x x x -••- （3）432111()()()101010--（4）34(2)(2)(2)x y x y y x --- （5）2132()()()n n a a a ++---练习 231022(1),13m m x x x m m -=-+=若则整式 2(2)2(8)2128,n n n +•-•=-=若则33(3)m a +可以写成（4）2122)2(2)n n n +-+-=为正整数，（ 3.公式的逆用例2.2+14=6435(1)a x x x +=-a 若，解关于的方程：2二、幂的乘方1．公式的应用例3.计算 （1）（34()x - （2）34[()]x -练习：计算下列各题253(1)()x x - 2844(2)()()x x 2332222(3)()()(2)y y y y +-2．公式的逆用32231313694.(1)2,3)()2102,103,103253,4324)(),n n n n a b a b x y m n x y x y x y x y x y m n +-+====+=••=+例已知，求（的值（）已知求的值（）若求的值（）若（求的值三、积的乘方1.公式的顺用例5.125计算：（）（-x b) 322(2)(2)()ab ab23(3)3()x x --练习：计算2233(1)()()(5)ab a b ab -- 122(2)()()n n n c dc d -452342102533(3)()()()()()a a a a a a a --•+----2.公式的逆用例6.计算10010223(1)()()32- (2) 200320011(0.75)(1)3-练习：22(1)2,3,)n n n x y x y ==已知求（的值 2430,216x y x y +-=•（）已知求的值四、拓展100751.23比较与的大小2．试判断10825⨯是几位数？2004200523⨯的个位数字是多少？3．阅读下列材料：为了求1+2+22+23+…+22011的值，可令S=1+2+22+23+…+22011①，则 2S=2+22+23+…+22012②，②﹣①得 2S ﹣S=22012﹣1，即S=22012﹣1，∴1+2+22+23+…+22011=22012﹣1仿照以上推理，请计算：1+4+42+43 (42011)4．几个相同的数码摆成一个数，并且不用任何数学运算符号（含括号），如果要使摆成的数尽可能的大，该怎样摆呢？如用3个1按上述要求摆成一个数，有如下四种形式：①111；②111；③111； ④．显然，111是这四个数中的最大的数．那么3个2有几种摆法？请找出其中的最大数．5．已知2a =3，2b =5，求23a+2b+2的值6.32)1,x x x +-=已知（求整数的值。
奥数乘法公式
初中数学竞赛辅导资料（15）乘法公式1．乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。
公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。
公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。
2．基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。
完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2,平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2立方和（差）公式：(a±b)(a2 ab+b2)=a3±b33.公式的推广：①多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。
②二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）（a±b）5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5）…………注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律③由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4(a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6…………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2－…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n(a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2－…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：（a－b）(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…＋ab n－2+b n－1)=a n－b n4.公式的变形及其逆运算由（a+b）2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2－2ab由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)由公式的推广③可知：当n为正整数时a n－b n能被a－b整除,a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2n－b2n能被a+b及a－b整除。
概率：乘法公式及其应用
2. 条件概率的定义 设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称 P ( AB) (1) P ( A | B) P ( B)
为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.
B
若事件B已发生, 则为使 A也发生 , 试验结果必须是既 在 B 中又在A中的样本点 , 即 此点必属于AB. 由于我们已经 知道B已发生, 故B变成了新的 样本空间 , 于是 有(1).
对于看守的上述理由,你是怎么想的?
解：记 A={囚犯甲被处决}, B={囚犯乙被处决}
C={囚犯丙被处决} 依题意，P(A)=1/3, P(A| B)=P(A)／[1-P(B)]=1/2, 甲 P(A|C )=1/2, 看守说得对.
对于看守的上述理由,你是怎么想的?
解：记 A={囚犯甲被处决}, B={囚犯乙被处决}
概率：乘法公式及其应用
一、条件概率
1. 条件概率的概念
在解决许多概率问题时，往往需要在 有某些附加信息(条件)下求事件的概率. 如在事件B发生的条件下求事件A发生的 概率，将此概率记作P(A|B). 一般 P(A|B) ≠ P(A)
例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，
B={掷出偶数点}， P(A )=1/6， P(A|B)=？
1000 个
求的是 P(A|B) .
B发生, 在P(AB)中作为结果; 在P(A|B)中作为条件.
例3 设某种动物由出生算起活到20年以上的 概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现 年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概 率是多少？
解：设A={能活20年以上}，B={能活25年以上} 所求为P(B|A) . 依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4
乘法公式的五用
乘法公式的“五用”能否用乘法公式简化运算，关键在于熟悉并掌握应用技巧，乘法公式如下“五用”一定会使你大开眼界。
一、直接用例1 计算：（1）()()b a b a 4343--- （2）()22y x -- 解：（1）原式＝()()2234a b --＝22916a b - （2）原式＝()[]22y x +-＝()22y x +＝2244y xy x ++ 注意：即使是直接使用公式，也别忘了符号变化。
二、连续用例2 计算：()()()y x y x y x --+39322解：原式＝()()()22933y x y x y x --+＝()2229y x - ＝42241881y y x x +-三、推广用例3 计算：（1）()2c b a ++ （2）()223+-y x 解：（1）原式＝()[]2c b a ++ ＝()()222c c b a b a +⋅+++ ＝ac bc ab c b a 222222+++++（2）由上式的结论可得：原式＝()()()222323223222⋅+⋅-⋅+-⋅++-+x y y x y x ＝44126922++--+x y xy y x说明：()ac bc ab c b a c b a 2222222+++++=++实际上是完全平方公式的推广，（1）（2）两题都是利用完全平方公式的推广公式进行计算的，便得计算过程简捷。
四、逆向用例4 计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-222411311211…⎪⎭⎫ ⎝⎛-21011 解：原式＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-311311211211…⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-10111011 ＝⨯⨯⨯⨯34322321 (1011)109⨯ ＝101121⨯ ＝2011说明：这里逆用平方差公式，变形相约，使得计算十分简捷。
五、变形用例5 （1）已知4=-b a ，5=ab ，求22b a +的值。
整式的乘除—乘法公式
整式的乘除—乘法公式1整式的乘除—乘法公式【复习】(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3 (a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳⼩结公式的变式，准确灵活运⽤公式：①位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2②符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2③指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4④系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2⑤换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m )=x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2)=x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2=(x -y )(x -y )-z 2=x 2-xy -xy +y 2-z 2=x 2-2xy +y 2-z 2⑦连⽤公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2)=x 4-y 4⑧逆⽤公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )]=2x (-2y +2z )=-4xy +4xz【典例分析】例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
例3：计算19992-2000×1998例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2+b 2和(a-b)2的值。
2 例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。
求x 2-z 2的值。
《整数乘法运算定律推广到小数》教案
《整数乘法运算定律推广到小数》教案《整数乘法运算定律推广到小数》教案1教学目标：1、使学生知道整数乘法的运算定律对于小数乘法同样适用，能运用乘法的运算定律正确地、合理地、灵活地进行小数乘法的简便计算。
2、培养学生的观察能力，类推能力和灵活运用所学知识解决问题的能力。
3、让学生相互交流、合作、体验成功的喜悦。
教学重点：1、理解整数乘法的运算定律在小数乘法中同样适用。
2、运用运算定律进行小数乘法的简便计算。
教学难点：运用运算定律进行小数乘法的简便计算。
教具准备：电脑投影、卡片教学过程一、谈话引入师：同学们，在上节课我们通过学习，已经知道了整数混合运算顺序适用于小数，除此以外，还有哪些适用于小数呢，这节课我们一起来探讨整数乘法运算定律适不适用于小数(教师板书课题)。
二、探索新知1、教学整数乘法的运算定律对于小数乘法同样适用。
师：谁来说说你们在整数乘法中学过了哪些运算定律、用定母表示。
生：乘法交换律：a·b=b·a，乘法结合律(a·b)·c=a·(b·c)乘法的分配律：(a+b)·C=ac+bc。
(板书)0.7×1.2=1.2×0.7(0. 8×0.5)×0.4=0.8×(0.5×0.4)(1. 4+3.6)×0.5=2.4×0.5+3.6×0.5师：(手指算式)这些算式各说明了什么呢?生1：第一行算式运用了整数乘法的交换律;生2：第二行算式运用了整数乘法的结合律;生3：第三行算式运用了整数乘法的分配律。
师：谁能用一句话来概括一下这些算式说明了什么?生4：说明了整数乘法的运算定律对于小数乘法同样适用。
2、教学怎样运用乘法运算定律：师：(板书)0.25×4.78×4请同学们认真地观察，看看这道题能不能用简便方便计算，怎样算简便，请把你们的思路在小组里相互交流。
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乘法公式推廣及應用
一、乘法公式：
1、基礎應背的公式
(1)分配率：()()a b c d ac ad bc bd ++=+++
(2)和的平方：222()2a b a ab b +=++ (3)差的平方：222()2a b a ab b -=-+ (4)平方差：22()()a b a b a b -=+- 2、進階推廣：
(1)和的平方推廣：2222()222a b c a b c ab bc ac ++=+++++ (2)立方和：3322()()a b a b a ab b +=+-+ (3)立方差：3322()()a b a b a ab b -=-++ (4)和的立方：333()3()a b a b ab a b +=+++ (5)差的立方：333()3()a b a b ab a b -=--- 3、應用：
(1)簡化計算 (2)幾何面積
例題一 簡化計算
利用乘法公式，求下列各式的值：
(1)250.8 (2)2159.5 (3)90.889.2⨯ (4)229312931921921-⨯⨯+
例題二 求值應用
1、已知5,4a b ab +==求： (1)22a b + (2)22232a ab b -+的值
2、已知5,24a b ab -==，求： (1)22a b + (2)a b +的值
(1)化簡22(2)(2)(1)(3)(3)(1)x x x x x x +-++-+---的結果。
(2)利用(1)的結果，計算22848083857981⨯+-⨯-
二、因式分解：
1、各項提公因式法；
2、分組再分解；
3、利用乘法公式因式分解。
4、利用十字交乘法因式分解。
例一 各項題公因式法 (1)2(1)33x x -+-
(2)2(1)(37)(1)x x x ---- (3)2(5)(204)x x x ---
例二 分組分解 (1)3227931x x x -+- (2)322510x x x +-- (3)3(32)(61)x x x ---
(1)22(31)(3)x x --+
(2)2966121x x -+
(3)22(21)6(21)(2)9(2)x x x x +++-+- (4)2244x y x -++
例四 利用十字交乘法因式分解 (1)215228x x ++ (3)23116x x -+ (5)25176x x -+ (2)2712x x ++ (4)262x x +- (6)2294x x ++
一元二次方程式
一、意義：當一個方程式只含有一個未知數，且這方程式最高的次數為2次時，
我們稱這方程式為一元二次方程式。
二、一元二次的標準型式：20ax bx c ++=
三、一元二次方程式的解：將一個數字代入一元二次方程式中，能讓等號左右的
結果相等，則此數稱為一元二次方程式的解或根。
四、利用因式分解求二元一次方程式的解。
例題一 解一元二次方程式 (1)2230x x -=
(2)2490x -=
(5)2915360x x -+=
(7)218770x x -+= (3)2162490x x -+=
(4)2251010x x ++=
(6)2(3)54(1)x x +-=+
(8)2200x x +-=
五、利用配方法求二元一次方程式的解。
依題目選擇使用和的平方公式與差的平方公式。
六、一元二次方程式的係數與兩根之和、兩根之積的關係： 若一元二次方程式為20ax bx c ++=，其兩根分別為,αβ
則b a
c a αβαβ⎧
+=-⎪⎪⎨⎪⋅=
⎪⎩
七、利用公式解求一元二次方程式的解： 若一元二次方程式為20ax bx c ++=
則x =。