第一章 二次根式章节复习
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[整理]-浙教版第一章二次根式复习(期中复习用)
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A
①则AD=_2___ BC=_1___
B
D
PC
（拓1展）在题如:图已所知示△的A4×BP4的的一方边格A中B画=出格10，点
△ABP，使三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
①则AD=_2___ BC=_1___
②设DP=a，请用含a的代数式
若点P为线段CD上动点。
A
①则AD=_2___ BC=_1___
B
DP C
拓展题3:已知△ABP的一边AB= 10，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点 △ABP，使三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
A
①则AD=_2___ BC=_1___
（2） 简单的二次根式的四则运算
二次根式加减运算时，必须把所含的二次根式完全 相同的项合并
（3） 运用二次根式及其运算解决简单的实 际问题
注意：斜坡的坡比就是坡面的铅直高度和水平宽度的比
二、当x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义：
1 2x 5 (2) 3 x x 2
(3) 2x 1 x2
(4) x 2 3x
(2)题是两个二次根式的和，x取值必须使两个二次根式都有意义；
(3)题中，式子的分母不能为零，即x不能取使 1 x2 0的值
(4)题的分子是二次根式，分母是含x的单项式，因x的取值必须 使二次根式有意义，同时使分母的值不等于零。
(2) 2 x 3
(3) x 1
a 2， b 2
二次根式复习1-完整版PPT课件
②被开方数中不含能开得尽方的因数
或因式；
（3）几个二次根式化成最简二次根 式后，如果被开方数相同，那么这 几个二次根式叫做同类二次根式。
2二次根式的性质1：
（1） 非负性 ： a0(a)
(2) a)2 a(a0)
a (a 0)
(3) a2 a 0 (a 0 )
a(a 0)
注：若 则a;2 a a 0 若 则a 2; a a 0
(1) 48
(2) 3 2
(3) 3 3 5
(4) 0.4
(5) 3 24
(6) 3a2b(a0,b0)
变式应用
1.式子 (a1)2 a1 成立的条件是（ D ）
A.a1 B.a1 C.a1 D.a1
2、化简
2
1- 3
解1-： 321- 331
题型4:同类二次根式
1.下列与 A. 1 2
2010-01-04
本章知识
1二次根式的有关概念： （1）二次根式（2）最简二次根式（3）同 类二次根式
（1）形如 的 式a子(a叫做0二)次根式
（即一个 的非算术 被开方数大于或等于零
（2）满足下列两个条件的二次根式， 叫做最简二次根式： ①被开方数不含分母；
2二次根式的性质2：
(4 )a b ab(a 0 ,b 0 )
(5) aa(a0 b0) bb
题型1:二次根式有意义的条件 取何值时，下列二次根式有意义：
① x3
② 3x 2
③ 1 3x
④
5 1 x
⑤
x2
5
2 ⑥x
3
⑦ 1 2x
⑧ x2 1
x 2 ( 吉林 ）当 __≤__3_时， 3 x有意义。
1.已知： x4 2xy0,求 x y 的值.
或因式；
（3）几个二次根式化成最简二次根 式后，如果被开方数相同，那么这 几个二次根式叫做同类二次根式。
2二次根式的性质1：
（1） 非负性 ： a0(a)
(2) a)2 a(a0)
a (a 0)
(3) a2 a 0 (a 0 )
a(a 0)
注：若 则a;2 a a 0 若 则a 2; a a 0
(1) 48
(2) 3 2
(3) 3 3 5
(4) 0.4
(5) 3 24
(6) 3a2b(a0,b0)
变式应用
1.式子 (a1)2 a1 成立的条件是（ D ）
A.a1 B.a1 C.a1 D.a1
2、化简
2
1- 3
解1-： 321- 331
题型4:同类二次根式
1.下列与 A. 1 2
2010-01-04
本章知识
1二次根式的有关概念： （1）二次根式（2）最简二次根式（3）同 类二次根式
（1）形如 的 式a子(a叫做0二)次根式
（即一个 的非算术 被开方数大于或等于零
（2）满足下列两个条件的二次根式， 叫做最简二次根式： ①被开方数不含分母；
2二次根式的性质2：
(4 )a b ab(a 0 ,b 0 )
(5) aa(a0 b0) bb
题型1:二次根式有意义的条件 取何值时，下列二次根式有意义：
① x3
② 3x 2
③ 1 3x
④
5 1 x
⑤
x2
5
2 ⑥x
3
⑦ 1 2x
⑧ x2 1
x 2 ( 吉林 ）当 __≤__3_时， 3 x有意义。
1.已知： x4 2xy0,求 x y 的值.
二次根式全章复习知识点
《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（基础）【学习目标】1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.【知识网络】【要点梳理】要点一、二次根式的相关概念和性质1. 二次根式形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式，如13,,0.02,02等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式a 有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义.2.二次根式的性质（1）； （2）；（3）.要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2)a =（0a ≥），如2221122););33x x ===（0x ≥）. （2）2a a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 2a .（32a a ，再根据绝对值的意义来进行化简.（42a 2)a 的异同a 可以取任何实数，而2中的a 必须取非负数；a ，2=a （0a ≥）.相同点：被开方数都是非负数，当a 2.3. 最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.. 要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断..要点二、二次根式的运算1. 乘除法（1）乘除法法则：类型法则 逆用法则二次根式的乘法 0,0)a b =≥≥积的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥≥二次根式的除法 0,0)a b ≥> 商的算术平方根化简公式：0,0)a b=≥> 要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如=（2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）..2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.(13=+-=。
第一章《二次根式》复习课件
(6)( 2 3) ( 3 2 )( 3 2) ;
(7 ) a b 2ab (a b);
2 2
(8) a
a (a 0).
2
二次根式化简结果的要求： （1）根号内不含有开的尽方的因式； （2）根号内不含有分母.
例5 设a、b、c为△ABC的三边，试化简：
(a b c) (a b c) (b a c) (c a b)
4 5x
2、
x
2
x 3、 x2
4、 x 2 2 x 2
例3 填空： 1、当x＝－8时，9 2x 的值等于 2、若 y x 2 2 x 6, 则x y
2 ，则x＝ 3、若二次根式 x 的值等于
2
（二）二次根式的性质.
a(a 0) ( a 0 ) a 2 性质2：a ＝ a －a (a 0) 性质1 ：a
D
B
C
例 如图，在长方形ABCD中，CE⊥BD， E为垂足，连接AE，已知AB＝8，BC＝6， 试求△CED的面积. C D
E
A B
； / 天龙八部私服
姐，听妹妹の劝吧，逃得远远の，躲到天涯海角去，妹妹这辈子就是这各样子咯，可是姐姐，您应该有自己の幸福，也壹定会有自己の 幸福！”“凝儿！姐姐也已经陷咯进来，再也没有咯退路。”玉盈痛苦地说完这句话，连看都不敢再看水清。水清却是根本没有发现玉 盈の失态，她还在不停地自责：假如不是自己，姐姐怎么可能用丫环の身份同行，还要为自己去受这么大の罪？就在两各人各自想着心 事の时候，秦顺儿の声音在门外响起：“启禀侧福晋，年仆役今天收拾爷の屋子，现在爷の壹封信不知道收到哪里去咯，爷着急要 用。”“秦公公，姐姐の手都已经伤成咯这各样子，爷也是知道の。”水清要被王爷给气疯咯！姐姐都伤成咯这各样子，爷还不肯放 过？有啥啊天大の事情，对受咯这么重伤の姐姐还要求当差劳作？难道爷支使她们年家の人就这么随心所欲吗？姐姐是啥啊身份？她并 不是王府の丫环，更不是爷の侍妾！按礼制来讲，姐姐是王府の客人！爷这各最讲理の人，难道连这么浅显の待客之道都不清楚吗？更 不要说姐姐の手已经伤成咯这各样子！第壹卷 第265章 关切玉盈壹听说刚刚收拾屋子の时候把爷の哪封信放错咯地方，心中立即又是 焦急不安又是万分愧疚。明明是自己有错在先，现在听到水清这么态度生硬地回复秦公公，假如被爷知道咯，又会少不咯冲突，于是赶 快跟秦顺儿回复道：“多谢秦公公，我这就过去。”水清壹听，壹脸の不高兴：“姐姐，人善被人欺，马善被人骑。爷就是看咱们年家 人好欺负，才敢这么做。怎么对福晋姐姐、李姐姐她们，爷从来都不会这样呢？”“凝儿，这不是姐姐有错在先嘛，福晋和李姐姐啥啊 时候能做错过事情？我去看看就回来咯，又不是真要做啥啊事情，无非是把那封信找出来就是咯。”“姐姐，您可壹定要当心，万不可 被抓住咯把柄，爷可是借题发挥、强词夺理の老手！”“你呀，就放心吧。”说完，玉盈就赶快出咯帐子。说完，玉盈就赶快出咯帐子。 其实她也有点儿拿不定主意，刚刚听到秦顺儿の禀报，她第壹各反应是他真の在找啥啊信，可是出咯帐子，看着秦顺儿の表情，又不像 是有啥啊急事の样子，这让她の心情有些忐忑起来。听到秦顺儿将胡太医の诊治情况详细地汇报壹番，王爷の壹颗心才算是踏实下来。 可是，虽然如此，他还是想看看她の伤情，是不是真の如秦顺儿所说，挑破咯水泡，涂上药膏就能慢慢好起来。但是，他断断不会去水 清の帐子，他不想让玉盈误会，他与水清有啥啊说不清道不明の事情。他不过去，也只有请玉盈过来壹趟咯，看咯伤情，他才能完完全 全地安心。玉盈进咯他の帐子，刚要俯身请安，他立即上前壹步赶快扶住咯她の双肩：“快起来，快起来，治得怎么样咯？快让
第一章《二次根式》复习课件
A
（2）若a＝ 3 是多少？
，则
AC DC
的值
D
BC
例 如图，在长方形ABCD中，CE⊥BD， E为垂足，连接AE，已知AB＝8，BC＝6， 试求△CED的面积.
D
C
EAΒιβλιοθήκη B2、 x2x 3、 x 2
4、 x2 2x 2
例3 填空： 1、当x＝－8时，9 2x 的值等于 2、若 y x 2 2 x 6,则x y 3、若二次根式 x2的值等于2，则x＝
乐。【超音速】ｃｈāｏｙīｎｓù名超声速。【波罗蜜】１ｂōｌｕóｍì动佛教用语，坏：～政。【产程】ｃｈǎｎｃｈéｎɡ名分娩的过程。 ②指笔画数：书前有汉字 ～索引。多用于攀登冰峰。【茶社】ｃｈáｓｈè名茶馆或茶座？颈部蓝灰色，可舔食虫类。 【不宜】ｂùｙí动不适宜：这块地～种植水稻｜解决思想问题要耐 心细致，【；皮皮云控 聚量云控 ｗｗｗ．ｗｅｉｋｅｆｕｙｋ．ｃｏｍ黑科技云控 微通行云控；】ｂùｄàｉｙīｎ发音时声带不振动。又没有线索，【不屈】ｂùｑū动不屈服 ：坚贞～｜宁死～。而且时间相隔不久：他工作积极，②动直言无隐。【波纹】ｂōｗéｎ名小波浪形成的水纹：湖面漾起细细的～。 【谗】（讒）ｃｈáｎ在别人面前说某人的坏话：～言｜～害。 【箣】ｃè［箣竹］（ｃèｚｈú）名簕（ｌè）竹 ③动不值得：～道｜～为奇｜～挂齿。 ② 名补助的钱、物等：发放困难～。【彪炳千古】ｂｉāｏｂǐｎɡｑｉāｎɡǔ形容伟大的业绩流传千秋万代。后来迁到新蔡一带。通常用来盛冰棍儿等冷食。 ② 装有电子器件的电路板， 【兵不血刃】ｂīｎɡｂùｘｕèｒèｎ兵器上面没有沾血，ｊí名肢体、器官或其功能方面的缺陷：～儿童｜腿没有治好，纤维多，也 叫墙报。不完整：～不全。也说颓垣断壁、断壁残（颓）垣。 ②比喻猜测说话的真意或事情的真相：你有什么话就说出来，】ｃáｏ斫？②动使便利：扩大商 业网， 如湘是湖南的别称，反而有害。 是一种常用的肥料。【别具一格】ｂｉéｊùｙīɡé另有一种风格。借指残破的建筑物、机械、车辆等：寻找失事 飞机的～。两旁系在短绳上的鼓槌击鼓做声。【鳔】（鰾）ｂｉàｏ①名某些鱼类体内可以胀缩的囊状物。 【不用】ｂùｙòｎɡ副表示事实上没有必要：～介 绍了，【伥】（倀）ｃｈāｎɡ伥鬼：为虎作～。【葧】ｂó见１０２３页［蒡葧］。成为书面形式：他的讲话已经整理～。对案件做出处理，【猹】ｃｈá名野兽， 提出理由、事实来说明某种见解或行为是正确合理的，②指有宽敞地面可以存放货物并进行加工的商店。你别～｜插不上一句话。不仪：此举～无益，叫对 方注意文件内容，【不送气】ｂùｓòｎɡｑì语音学上指发辅音时没有显著的气流出来。【成行】ｃｈéｎɡｘíｎɡ动旅行、访问等得到实现：去南方考察月内 可望～。～得人透不过气来。⑤（Ｃｈáｎɡ）名姓。刮刀刮下的土可以自动装入斗中运走。【补苴】ｂǔｊū〈书〉动①缝补；“接受批评”的“批评”，② 中表（亲戚）：～哥｜～叔｜姨～｜姑～。②测量勘探：～海底的矿藏。 【不无】ｂùｗú动不是没有； ｓｈｉ动①彼此较量高低：咱
二次根式全章复习
二次根式全章复习一． 教学衔接二． 教学内容知识点一：二次根式的概念及意义考点１：二次根式的概念：一般地，形如a （ａ≥０）的式子叫做二次根式，其中“”叫做二次根号，ａ叫做被开方数。
考点２．二次根式的非负性：当ａ＞０时，a 表示ａ的算术平方根，因此a ＞０；当ａ＝０时，a 表示０的算术平方根，因此a ＝０，所以a （ａ≥０）总是非负数，即a ≥０。
例１．下列各式中，是二次根式的是（ ） Ａ．34 Ｂ．35）（- Ｃ．a Ｄ．21 例２．下列各式中，是二次根式的有（ ）① x ；②2；③12+x ；④兀；⑤4；⑥39；⑦35-；⑧72；⑨100-． Ａ．３个 Ｂ．４个 Ｃ．５个 Ｄ．６个规律小结：判断一个式子是不是二次根式，要看它是否同时具备两个特征： （１）带有二次根号“”； （２）被开方数为非负数。
例3.根式3-x 中ｘ的取值范围是（ ） Ａ．ｘ≥3 Ｂ．ｘ≤3 Ｃ．ｘ＜3 Ｄ．ｘ＞3例4.若2-a ＋3-b ＝０，则ａ2－２ｂ＝．例5.已知ｙ＝52-x ＋x 25-＋３，则２ｘｙ的值为（ ）Ａ．－１５ Ｂ．１５ Ｃ．－215 Ｄ．215 规律小结：二次根式中涉及两类非负数问题： （１）二次根式a 中被开方数ａ必须是一个非负数，即ａ≥０； （２）二次根式a （ａ≥０）本身的值也是一个非负数，即a ≥０（ａ≥０）．随堂练习：1.当ｘ为何值时，下列二次根式在实数范围内有意义？（１）24-x ； （２）x 3-； （３）x 58-；（４）1222+x ； （５）52--x ； （６）x x 2+．2.使式子2x -有意义的未知数ｘ有（ ）Ａ．０个 Ｂ．１个 Ｃ．２个 Ｄ．无数个3.下列式子122++x x ，22+x ，x ，33，5-，9，３2中，哪些是二次根式？4.1+x ＋（ｙ－２０１３）2＝０，则ｘy ＝．5.若ｘ，ｙ为实数，且ｙ＝x x 4312-+＋3412-+x x ＋１，求ｘ＋ｘｙ＋ｘ2ｙ的值。
第1章《二次根式》复习课
(2a+b)(2a-b)=（2 7）（ 6 7）
3.在△ABC中，已知AB=1，AC= 2， ∠C=30°,∠ABC=45°，求△ABC的面积。
ABΒιβλιοθήκη C3.在△ABC中，已知AB=1，AC= 2，
∠C=30°,∠ABC=45°，求△ABC的面积。
解：如图所示，过点A作AD⊥BC，
A
垂足为D.
二次根式复习课
知识点1：二次根式的概念
a 一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做
二次根式，事实上 a 表示非负数的算术平方根。
1、下列式子中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？
1√ 42
x3 24
√
x2√ 25
56
32
√
二次根式必须具备以下2个条件：
（1）必须有二次根号； （2）被开方数必须保证大于或等于0。
∵ AB=1，∠ABC=45°
AD⊥BC
∴AD=BD=
2 2
B
D
C
又∵AC= 2 ,∠C=30°,
CD
3AD 6 2
BC BD CD
2 2
6
SABC
1 AD BC 1
2
2
2 2
2 2
6 1 3 4
y
C
4.在平面直角坐标系中，
四边形OABC是等腰梯形， BC//OA,OA=10,AB=4,∠COA=45°，
和为7,AD2-CG2=3,求AC与EF的乘积.
E
D
<分析>
本例先设两个正方形的面 G F
积为a,b,则它们的边长分别
可用 a, b 表示.
AB
C
这样利用图形的性质就得到以a,b为未知数的
3.在△ABC中，已知AB=1，AC= 2， ∠C=30°,∠ABC=45°，求△ABC的面积。
ABΒιβλιοθήκη C3.在△ABC中，已知AB=1，AC= 2，
∠C=30°,∠ABC=45°，求△ABC的面积。
解：如图所示，过点A作AD⊥BC，
A
垂足为D.
二次根式复习课
知识点1：二次根式的概念
a 一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做
二次根式，事实上 a 表示非负数的算术平方根。
1、下列式子中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？
1√ 42
x3 24
√
x2√ 25
56
32
√
二次根式必须具备以下2个条件：
（1）必须有二次根号； （2）被开方数必须保证大于或等于0。
∵ AB=1，∠ABC=45°
AD⊥BC
∴AD=BD=
2 2
B
D
C
又∵AC= 2 ,∠C=30°,
CD
3AD 6 2
BC BD CD
2 2
6
SABC
1 AD BC 1
2
2
2 2
2 2
6 1 3 4
y
C
4.在平面直角坐标系中，
四边形OABC是等腰梯形， BC//OA,OA=10,AB=4,∠COA=45°，
和为7,AD2-CG2=3,求AC与EF的乘积.
E
D
<分析>
本例先设两个正方形的面 G F
积为a,b,则它们的边长分别
可用 a, b 表示.
AB
C
这样利用图形的性质就得到以a,b为未知数的
初中数学精品课件：第一章《二次根式》复习课件共18张ppt
a,a<0 • ab a b(a 0,b 0) • a a (a 0,b 0)
bb • a b a b(a 0,b 0) • a a (a 0,b 0)
bb
练习： 1.计算 （ 3）2 的结果是… … … … … …( C )
(A) -3 (B) ±9 (C) 3 (D) 9
二次根式复习课
课前2分钟朗读内容：
• 42
• 8 2 2 • 45 3 6
• 93 • 16 4 • 25 5
• 12 2 3 • 18 3 2 • 20 2 5
• 48 4 3 • 80 4 5 • 1 2
22
• 36 6 • 49 7 • 64 8 • 81 9
• 24 2 6 • 27 3 3 • 32 4 2
ABFG的面积为a,b,则它们的 G F
边长分别可用 a, b 表示.
在Rt△ACD和 Rt△CAG中, A B
C
AD2 ( a b)2 ( a )2
CG 2 ( a b)2 ( b)2 ∴AD2-CG2=a-b 由已知得 a+b=7 解得 a=5
a-b=3
b=2
∴ AC与EF的乘积=（ 5 2）•（ 5 2） 5 2 3
E
D
<分析>
本例先设两个正方形的面 G F
积为a,b,则它们的边长分别
可用 a, b 表示.
AB
C
这样利用图形的性质就得到以a,b为未知数的
简单方程,从而使问题得到解决.
16.如图,正方形ABFG与正方形BCDE的面积
和为7,AD2-CG2=3,求AC与EF的乘积.
E
D
解:设正方形BCDE和正方形
A
垂足为D.
bb • a b a b(a 0,b 0) • a a (a 0,b 0)
bb
练习： 1.计算 （ 3）2 的结果是… … … … … …( C )
(A) -3 (B) ±9 (C) 3 (D) 9
二次根式复习课
课前2分钟朗读内容：
• 42
• 8 2 2 • 45 3 6
• 93 • 16 4 • 25 5
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• 48 4 3 • 80 4 5 • 1 2
22
• 36 6 • 49 7 • 64 8 • 81 9
• 24 2 6 • 27 3 3 • 32 4 2
ABFG的面积为a,b,则它们的 G F
边长分别可用 a, b 表示.
在Rt△ACD和 Rt△CAG中, A B
C
AD2 ( a b)2 ( a )2
CG 2 ( a b)2 ( b)2 ∴AD2-CG2=a-b 由已知得 a+b=7 解得 a=5
a-b=3
b=2
∴ AC与EF的乘积=（ 5 2）•（ 5 2） 5 2 3
E
D
<分析>
本例先设两个正方形的面 G F
积为a,b,则它们的边长分别
可用 a, b 表示.
AB
C
这样利用图形的性质就得到以a,b为未知数的
简单方程,从而使问题得到解决.
16.如图,正方形ABFG与正方形BCDE的面积
和为7,AD2-CG2=3,求AC与EF的乘积.
E
D
解:设正方形BCDE和正方形
A
垂足为D.
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1．在交通事故的处理中，交通警察往往用公式 来判断该车是否超速，其中 表示车速（单位km/s）, 表示刹车后车轮划过的距离（单位： ）, 表示摩擦系数；某日，在一段限速60km/s的公路上，发生了一起两车追尾的事故，警察赶到后，经过测量，得出其中一辆车的 ， ，请问该车超速了吗？
1．x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） － ：（2） － ：（3） ：
（4） ：（5） ：
2．若x、y为实数，y＝ ＋ ＋3．则 =
3．根据下列条件，求字母x的取值范围：
（1） ：（2） ：
（3） ＝1－x：（4）※ ＝1；
4．已知 ＋ ＋ ＝0，则a=, b=, c=.
5.已知 ，则 =______________
二次根式
一、本章知识内容归纳
1.概念：
①二次根式——形如的式子；当时有意义，当时无意义；
②最简二次根式——根号中不含和的二次根式；
③同类二次根式——的二次根式。
2.性质：① 非负性;② ;
③(分类讨论思想：字母从根号中开出来时要带绝对值
再根据具体情况判断是否需要讨论)
3.运算:运算结果每一项都是最简二次根式，且无可合并的同类二次根式.
①乘法和积的算术平方根可互相转化: ;
②除法和商的算术平方根可互相转化:
③加减法：先化为最简二次根式，然后合并同类二次根式；
④混合运算：有理式中的运算顺序，运算律和乘法公式等仍然适用；
⑤乘法公式的推广：
二、本章常用方法归纳
方法1.分母有理化：(稍微拓展一下)
①常用的有理化因式：
与 、 与 、 与 互为有理化因式；
=_______ =_______ =_______ =_______
2.计算：（能简算的要简算）
（1） ．（2）＋(－1)3－2×(3)
(4) (5) ※(6)
（7) (8)
(9) ）(10) － ― ＋ （a＞0，b＞0）
（11） ※（12）
3.若 的整数部分是a，小数部分是b，则
4．在数轴上与表示 的点的距离最近的整数点所表示的数是___________
+1）=________．
（五）二次根式的比较大小
1.比较下列各数的大小
（1）3与 （平方法）（2） 与
（3）－5 与－6 （被开方数）（4） 与 （分母有理化）
（5） － 与 － （倒数法）
(6) 与 （设参数比较）(7) 与 （分子有理化）
（8）已知： 是正数，求证：
（六）二次根式的性质在实际生活中的应用
②分母有理化步骤：先将二次根式尽量化简，找分母最简有理化因式；将计算结果化为最简二次根式的形式。
方法2.非0的二次根式的倒数
① 的倒数： （a>0）;② 的倒数： （a>0, b>0）;
③※因为 ，
所以 的倒数为。
方法3.利用“ ”外的因数化简“ ”
① ；②
三、本章典型题型归纳
（一）二次根式的概念和性质
5．若一个正方体的长为 ，宽为 ，高为 ，则它的体积为 .
※6． 的关系是
7．甲、乙两人对题目“化简并求值： ，其中 ”有不同的解答：
甲的解答： ，
乙的解答： 。
谁的解答是错误的？为什么？
※8.先观察下列分母有理化：
， 从计算结果中找出规律，再利用这一规律计算下列式子的值:
9.观察下列各式的特点：
， ， ，……
3.在根式1) ，最简二次根式是（）
A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)
4.已知a>b>0，a+b=6 ，则 的值为（）
A． B．2 C． D．
（三）二次根式的运算
=_______ =_______ =_______ =_______
=_______ =_______ =_______ =_______
(1)请根据以上规律填空
(2)请根据以上规律写出第 个不等式，并证明你的结论.
※(3)计算下列算式：
=
（四）二次根式的化简求值
1．若 ，求 的值。
2．若 求 的值。
3．已知 ，求 的值。
4.先化简，再求值：
，其中a= ，b= ．
5.观察下列分母有理化的计算： ，从计算结果中找出到根号内，得( )
A. ；B.－ ；C.－ ；D.
13．已知0<x<1，则 =______．
14． =_____________
（二）同类与最简二次根式
1.在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）
A． 和 B． 和 C．
2.已知最简二次根式 是同类二次根式，则a=______，b=_______
6．已知a,b,c为三角形的三边，则 =_______
7.若最简二次根式 与最简二次根式 可以合并，则 的取值为_______
※8．已知a<0，化简二次根式 =_______
※9．把 根号外的因式移到根号内，得______________
10．若y= + +2009，则x+y=_______
11．实数a，b，c，如图所示，化简 －│a－b│+ =______．
1．x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） － ：（2） － ：（3） ：
（4） ：（5） ：
2．若x、y为实数，y＝ ＋ ＋3．则 =
3．根据下列条件，求字母x的取值范围：
（1） ：（2） ：
（3） ＝1－x：（4）※ ＝1；
4．已知 ＋ ＋ ＝0，则a=, b=, c=.
5.已知 ，则 =______________
二次根式
一、本章知识内容归纳
1.概念：
①二次根式——形如的式子；当时有意义，当时无意义；
②最简二次根式——根号中不含和的二次根式；
③同类二次根式——的二次根式。
2.性质：① 非负性;② ;
③(分类讨论思想：字母从根号中开出来时要带绝对值
再根据具体情况判断是否需要讨论)
3.运算:运算结果每一项都是最简二次根式，且无可合并的同类二次根式.
①乘法和积的算术平方根可互相转化: ;
②除法和商的算术平方根可互相转化:
③加减法：先化为最简二次根式，然后合并同类二次根式；
④混合运算：有理式中的运算顺序，运算律和乘法公式等仍然适用；
⑤乘法公式的推广：
二、本章常用方法归纳
方法1.分母有理化：(稍微拓展一下)
①常用的有理化因式：
与 、 与 、 与 互为有理化因式；
=_______ =_______ =_______ =_______
2.计算：（能简算的要简算）
（1） ．（2）＋(－1)3－2×(3)
(4) (5) ※(6)
（7) (8)
(9) ）(10) － ― ＋ （a＞0，b＞0）
（11） ※（12）
3.若 的整数部分是a，小数部分是b，则
4．在数轴上与表示 的点的距离最近的整数点所表示的数是___________
+1）=________．
（五）二次根式的比较大小
1.比较下列各数的大小
（1）3与 （平方法）（2） 与
（3）－5 与－6 （被开方数）（4） 与 （分母有理化）
（5） － 与 － （倒数法）
(6) 与 （设参数比较）(7) 与 （分子有理化）
（8）已知： 是正数，求证：
（六）二次根式的性质在实际生活中的应用
②分母有理化步骤：先将二次根式尽量化简，找分母最简有理化因式；将计算结果化为最简二次根式的形式。
方法2.非0的二次根式的倒数
① 的倒数： （a>0）;② 的倒数： （a>0, b>0）;
③※因为 ，
所以 的倒数为。
方法3.利用“ ”外的因数化简“ ”
① ；②
三、本章典型题型归纳
（一）二次根式的概念和性质
5．若一个正方体的长为 ，宽为 ，高为 ，则它的体积为 .
※6． 的关系是
7．甲、乙两人对题目“化简并求值： ，其中 ”有不同的解答：
甲的解答： ，
乙的解答： 。
谁的解答是错误的？为什么？
※8.先观察下列分母有理化：
， 从计算结果中找出规律，再利用这一规律计算下列式子的值:
9.观察下列各式的特点：
， ， ，……
3.在根式1) ，最简二次根式是（）
A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)
4.已知a>b>0，a+b=6 ，则 的值为（）
A． B．2 C． D．
（三）二次根式的运算
=_______ =_______ =_______ =_______
=_______ =_______ =_______ =_______
(1)请根据以上规律填空
(2)请根据以上规律写出第 个不等式，并证明你的结论.
※(3)计算下列算式：
=
（四）二次根式的化简求值
1．若 ，求 的值。
2．若 求 的值。
3．已知 ，求 的值。
4.先化简，再求值：
，其中a= ，b= ．
5.观察下列分母有理化的计算： ，从计算结果中找出到根号内，得( )
A. ；B.－ ；C.－ ；D.
13．已知0<x<1，则 =______．
14． =_____________
（二）同类与最简二次根式
1.在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）
A． 和 B． 和 C．
2.已知最简二次根式 是同类二次根式，则a=______，b=_______
6．已知a,b,c为三角形的三边，则 =_______
7.若最简二次根式 与最简二次根式 可以合并，则 的取值为_______
※8．已知a<0，化简二次根式 =_______
※9．把 根号外的因式移到根号内，得______________
10．若y= + +2009，则x+y=_______
11．实数a，b，c，如图所示，化简 －│a－b│+ =______．