八下第一章 1.3二次根式的运算(1)
八下数学二次根式过程
八下数学二次根式过程二次根式也被戏称为万恶根号，因为它们的计算和应用都相当复杂。
但是理解二次根式背后的原理和公式可以使学生在数学学习中更加自信和成功。
概述在初中的数学中，我们学习了根式以及如何化简第一型根号式。
第一型根号式指的是只有平方数的根式。
但在更高级别的数学中，我们需要处理“爱因斯坦根号式”，其中不仅包含平方数的，还有其他类型的根式。
二次根式由形如$√a±√a$这种形式组成，其中$a$和$a$都是正数。
二次根式也可以表示为分数的形式$a+√a$/$a$，其中$a$是不包括根式的分母。
化简方法许多学生困惑于如何简化二次根式，下面介绍两种基本的化简方法。
方法一：合并同类项像“ $√2+√3$” 这样的二次根式无法使用常规数学技巧进行简化。
相反，需要使用代数技巧，比如合并同类项。
对于二次根式$√a±√a$，它可以被写成$√a±√a$ 的形式，其中 $a$ 和$a$ 是整数，且 $\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{c} + \sqrt{d}$。
可以通过平方两倍根的两种情况（$a+b=c+d±2√aa$或$a+b±2√aa=c+d$）来证明这个结论。
例如，已知$√2+√3$，我们可以使用这个公式来合并同类项：$(√2+√3)(√2-√3)=2-3=-1$注意$√2+√3$和$√2-√3$是合并同类项后得到的$-1$，需要乘起来。
将此公式中本来存在的$√2+√3$和$√2-√3$带入化简公式：$√2+√3 = \frac{-1}{√2-√3}$这样就成功地转换成了分数形式。
方法二：有理化分母如果二次根式的形式是$a+√b$/$c$，其中$a$，$b$和$c$是整数，且$c$不包含根式，则我们可以采用有理化分母的方法来简化它。
例如，假设需要简化$√2+√3$/$2$，可以将分子和分母同时乘以$2$减去分子中的二次根式，然后使用$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$公式进行化简：$\frac{√2+√3}{2}\cdot\frac{2-√2}{2-√2}$$=\frac{2√2-2+2√3-3}{4-2√2}$$=\frac{√2+√3-2}{2}$这个有理化分母的过程不仅可以简化二次根式，还可以用于简化其他类型的分式。
数学八下二次根式
数学八下二次根式
1.定义：一般地，形如√a（a≥0）的代数式叫做二次根式，其中，a叫做被开方数。
当a≥0时，√a表示a的算术平方根；当a小于0时，在实数范围内，这样的二次根式是没有意义的。
2.最简二次根式：在二次根式的化简过程中，无论是计算还是得出最后的结果，二次
根式必须化为最简形式，即被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
3.二次根式的加减法：
•同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就是同类二次根式。
•合并同类二次根式：将几个同类二次根式合并为一个二次根式。
•加减法则：在进行二次根式的加减运算时，首先需要将每个二次根式化为最简形式，然后找出被开方数相同的项进行合并。
4.二次根式的乘除法：
•乘法：当两个二次根式相乘时，将被开方数相乘，而根指数保持不变。
然后，将结果化为最简二次根式。
•除法：与乘法类似，当两个二次根式相除时，将被开方数相除，根指数保持不变，并将结果化为最简二次根式。
浙教版八下数学各章节知识点及重难点整理
浙教版八下数学各章节知识点及重难点第一章二次根式知识点一：二次根式的概念二次根式的定义：形如（a≥0）的代数式叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
知识点二：取值范围1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。
知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。
但与都是非负数，即，。
因而它的运算的结果是有差别的，，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.知识点七: 最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。
(完整版)八年级下册数学--二次根式知识点整理
二次根式1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。
如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。
不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。
如｛3、分式有意义的条件：分母≠04、绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0）一、二次根式的概念一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“”。
如25 可以写作 5 。
（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。
（3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。
其中a≥0是 a 有意义的前提条件。
（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。
（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。
要注意当b是分数时不能写成带分数，例如832 可写成8 23，但不能写成 2232 。
练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ；（2）-18 ；（3）x2+1 ；（4）3-8 ；（5）x2+2x+1 ；（6）3｜x｜；（7）1+2x （x＜-12）X≥-2X＜5的解集为-2≤x＜5。
二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？（1）2-5x ；（2）4x 2+4x+1二、二次根式的性质：二次根式的性质符号语言文字语言应用与拓展注意a （a ≥0）的性质a ≥0 （a ≥0）一个非负数的算术平方根是非负数。
（1）二次根式的非负性（a ≥0，a ≥0）应用较多，如：a+1 +b-3 =0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如x-a +a-x ，则x 的取值范围是x-a ≥0，a-x ≥0，解得x=a 。
八下数学重难点整理
浙教版八下数学各章节知识点及重难点第一章二次根式知识点一：二次根式的概念二次根式的定义：形如（a≥0）的代数式叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。
知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。
但与都是非负数，即，。
因而它的运算的结果是有差别的，，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.知识点七:最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。
浙教版数学八年级下册1.3《二次根式的运算》说课稿1
浙教版数学八年级下册1.3《二次根式的运算》说课稿1一. 教材分析《二次根式的运算》是浙教版数学八年级下册第1章第3节的内容。
本节课的主要内容有：二次根式的加减运算、乘除运算和乘方运算。
这部分内容是整个初中数学中比较重要的一个部分，也是学生学习数学过程中难以理解的部分。
二次根式的运算不仅涉及到数学知识的运用，还涉及到数学思维的转化，对于学生来说是一个较大的挑战。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了实数、有理数和无理数的相关知识，对数学的基本概念和运算规则有一定的了解。
但是，对于二次根式的概念和运算规则，学生可能还比较陌生，需要通过本节课的学习来掌握。
另外，学生可能对于数学思维的转化还不是很熟练，需要通过老师的引导和练习来提高。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握二次根式的加减运算、乘除运算和乘方运算的规则和方法。
2.过程与方法：培养学生对于数学思维的转化和运用，提高学生的数学运算能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力和团队合作精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次根式的加减运算、乘除运算和乘方运算的规则和方法。
2.教学难点：二次根式的乘除运算和乘方运算，以及数学思维的转化。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等，引导学生自主学习，培养学生的数学思维能力。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等，进行直观的教学展示，帮助学生理解和掌握二次根式的运算规则。
六. 说教学过程1.导入：通过复习实数、有理数和无理数的相关知识，引导学生进入二次根式的学习。
2.讲解：讲解二次根式的加减运算、乘除运算和乘方运算的规则和方法，通过具体的例子来进行讲解，让学生理解和掌握。
3.练习：进行一些相关的练习题，让学生巩固所学的知识，并及时发现和解决问题。
4.总结：对本节课的内容进行总结，让学生明确学习的重点和难点。
5.作业：布置一些相关的作业，让学生进行巩固和提高。
浙教版八年级下册 1.3 二次根式的运算 课件(共26张PPT)
术作品的面积为多少平方厘米？
解：
（2）三张长方形连接在一起的总长度为:
10 2
20 2
A
B
？
C
30 2
10 2 20 2+30 2=60 2cm
AB=5 2cm
AC=60 2 4=15 2cm
正方形的边长BC AC AB
= (m)
.
C
∴BE=AE÷0.8=
AEΒιβλιοθήκη FD
(m)
∴AB = +
= (m)
，
∵CF= BE=
=
.
∴DF=1.6CF= (m)
∴CD = +
=
(m)
答：这个小男孩经过的总路程约为7.71米.
∵CD= m
( 3) 2 3
(1 2) 2 1 2
(1 2)
2 1
三. 性质复习
最简二次根式
1.根号内是一个不含平
方因数的整数
例1 计算
1
3
(2)
4
12 24 化成最简二次根式
2.分母中不含根号
8
2
1
2
2
2
解：原式=
6 -12 2
2 2
2
2
2
1
3
3 2
3
E
G
D
图2
F
B
例题分析
例7 如图，一张等腰直角三角形彩色纸，AC=BC=40cm，将斜边上
2022-2023学年浙教版八年级数学下册《1-3二次根式的运算》同步测试题(附答案)
2022-2023学年浙教版八年级数学下册《1.3二次根式的运算》同步测试题（附答案）一．选择题（共7小题，满分28分）1．下列各式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．2．下列计算正确的是（）A．B．C．D．3．计算：﹣＝（）A．﹣B．C．D．04．已知x＝﹣2，y＝+2，则+的值为（）A．2B．﹣4C．4D．﹣25．下列二次根式中，不能与合并的是（）A．B．C．D．6．计算式子（﹣2）2021（+2）2020的结果是（）A．﹣1B．﹣2C．2﹣D．17．如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）cm2．A．16﹣8B．﹣12+8C．8﹣4D．4﹣2二．填空题（共7小题，满分28分）8．化简，结果得．9．计算：（3+）÷＝．10．若最简二次根式与可以合并，则a+b＝．11．若x＝2﹣，则代数式x2﹣4x﹣3的值为．12．规定a⊗b＝•+，则（2⊗4）⊗＝．13．已知，则＝．14．三角形的三条边长分别为a，b，c，其面积S可用公式来求，其中p＝（a+b+c），若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则用上述公式可求得其面积为．三．解答题（共6小题，满分64分）15．计算：．16．计算：（﹣3）÷2．17．计算或化简：（1）；（2）．18．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是高，AB＝，AC＝，BC＝．（1）求△ABC的周长；（2）求BD的长度．19．在学习二次根式的过程中，小腾发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系例如：由（+1）（﹣1）＝1，可得+1与﹣1互为倒数，即＝﹣1，＝+1，类似地，＝﹣，＝+；…．根据小腾发现的规律，解决下列问题：（1）＝，＝；（n为正整数）（2）若＝2﹣m，求m的值；（3）计算：．20．小明在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的：∵a＝＝＝2﹣，∴a﹣2＝﹣，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简+++…+（2）若a＝，①求4a2﹣8a+1的值；②直接写出代数式的值a3﹣3a2+a+1＝；2a2﹣5a++2＝．参考答案一．选择题（共7小题，满分28分）1．解：A.＝＝2，因此选项A不符合题意；B.是最简二次根式，因此选项B符合题意；C.＝x，因此选项C不符合题意；D.＝，因此选项D不符合题意；故选：B．2．解：A．，故选项A计算错误，不符合题意；B．与不是同类项，不能合并，故选项B计算错误，不符合题意；C．，故选项C计算正确，符合题意；D．，故选项B计算错误，不符合题意．故选：C．3．解：﹣＝＝0，故选：D．4．解：+＝，当x＝﹣2，y＝+2时，x+y＝﹣2++2＝2，xy＝（﹣2）（+2）＝3﹣4＝﹣1，∴原式＝＝﹣2．故选：D．5．解：A、＝2，能与合并，故此选项不符合题意；B、＝2与不是同类二次根式，不能与合并，故此选项符合题意；C、＝4，能与合并，故此选项不符合题意；D、＝6，能与合并，故此选项不符合题意；故选：B．6．解：（﹣2）2021（+2）2020＝[（﹣2）×（+2）]2020×（﹣2）＝（﹣1）2020×（﹣2）＝1×（﹣2）＝﹣2，故选：B．7．解：∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2，∴它们的边长分别为＝4cm，＝2cm，∴AB＝4cm，BC＝（2+4）cm，∴空白部分的面积＝（2+4）×4﹣12﹣16，＝8+16﹣12﹣16，＝（﹣12+8）cm2．故选：B．二．填空题（共7小题，满分28分）8．解：＝﹣（）＝2﹣．故答案为：2﹣．9．解：原式＝3÷+÷＝+1．故答案为：+1．10．解：∵最简二次根式与可以合并，∴a﹣11＝2﹣b，∴a+b＝13．故答案为13．11．解：x2﹣4x﹣3＝x2﹣4x+4﹣7＝（x﹣2）2﹣7，当x＝2﹣时，原式＝（2﹣﹣2）2﹣7＝5﹣7＝﹣2，故答案为：﹣2．12．解：由题意可得：（×+）⊗＝（2+）⊗＝⊗＝+＝+．故答案为：+．13．解：设＝a，＝b，则a2＝5+x2，b2＝1+x2，∴a2﹣b2＝（5+x2）﹣（1+x2）＝4，∴（a+b）（a﹣b）＝4，∵﹣＝1，∴a﹣b＝1，∴（a+b）×1＝4，∴a+b＝4，∴∵+＝4，故答案为：4．14．解：∵三角形的三边长分别为2，3，4，p＝（a+b+c），∴p＝×（2+3+4）＝，∵面积S可用公式来求，∴S＝＝＝，故答案为：．三．解答题（共6小题，满分64分）15．解：＝3﹣1﹣+＝3﹣1﹣+2＝4﹣．16．解：原式＝（3﹣）×﹣（4+4+5）＝2×2﹣4﹣4﹣5＝4﹣4﹣4﹣5＝﹣9．17．解：（1）＝＝；（2）＝＝＝﹣．18．解：（1）△ABC的周长为++＝3+2+5＝8+2；（2）∵△ABC是直角三角形，∴AB•BC＝AC•BD，∴BD＝＝＝．19．解：（1）＝﹣，＝﹣，故答案为：﹣，﹣；（2）∵＝2﹣m，∴（2+m）（2﹣m）＝1，∴8﹣m2＝1，∴m2＝7，∴m＝；（3）＝﹣1+﹣+﹣+•+﹣＝﹣1＝10﹣1＝9．20．解：（1）原式＝×（+++…+）＝×（﹣1）＝10＝5；（2）①∵a＝，∴4a2﹣8a+1＝4×﹣8×（1）+1＝5；②a3﹣3a2+a+1＝﹣3+（）+1＝7+5﹣（9）++1+1＝0；2a2﹣5a++2＝2×++2＝2；故答案为：0，2．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
八年级上学期数学第一章 二次根式
1.3二次根式的运算（1）
一、回顾知识 导入新课
1、计算： (1)
=
，=
∴
(2)
= , =
∴由此你能得出两个二次根式相乘或相除的法则吗？请你用字母表示.
例1 计算：
（1）322⨯ （2）
550 （3）61925÷ （4）2)0,0(324162≥≥⨯y x xy xy
跟踪练习：计算：
（1）61211÷ （2）6
72 （3）2)0,0(6632 b a a ab ⨯
例2 计算：
（1）-9215125.225⨯ （2）5
232232⨯÷
跟踪练习：计算：
（1）)7223()563(212-⨯÷； （2）-2)0,0(543362522 b x b b a b a x x
b a -÷+⨯-
2、最简二次根式的两个条件：
（1）
（2）
三、当堂检测 自我评价
1、下列等式中，成立的是（ ）
A. =
B. =
C. =
D. =
2的结果是（ ）
A.
3- B. C. D. 3-
3 ）
A. B. C. 2 D.
4、（2013年佛山市）化简)12(2-÷的结果是( )
A ．122-
B ．22-
C ．21-
D ．22+
5、计算：27
1331322÷⨯的结果是（ ） A 、33
1 B 、231 C 、26 D 、62
6、比较大小：，32 612
8、计算：(1
(2
(
3 （4）)104
3(53544-÷⨯
3、 将1按如图所示的方式排列.
A.1
B.2
C.
4、已知1a a +=1a a
-的值为（ ）
A ．±
B ．8
C ．
D ．6
8、探究过程：观察下列各式及其验证过程．
（1）
验证：=
=
（2）
验证：
=
同理可得：==，……
通过上述探究你能猜测出：（a>0）,并验证你的结论．。