集合相关的知识点

一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称集)．
1.集合中元素具的有几个特征
⑴确定性－因集合是由一些元素组成的总体，当然，我们所说的“一些元素”是确定的．
⑵互异性－即集合中的元素是互不相同的，如果出现了两个(或几个)相同的元素就只能算一个，即集合中的元素是不重复出现的．
⑶无序性－即集合中的元素没有次序之分．
2.常用的数集及其记法
我们通常用大写拉丁字母Ａ，Ｂ，Ｃ，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．
常用数集及其记法
非负整数集（或自然数集），记作N
正整数集，记作N*或N+；
整数集，记作Z
有理数集，记作Q
实数集，记作R
3．元素与集合之间的关系
4.反馈演练
1.填空题
2．选择题
⑴以下说法正确的( )
(A) “实数集”可记为{R}或{实数集}
(B){a,b,c,d}与{c,d,b,a}是两个不同的集合
(C)“我校高一年级全体数学学得好的同学”不能组成一个集合,因为其元素不确定
⑵已知2是集合M={ }中的元素，则实数为( )
(A) 2 (B)0或3 (C) 3 (D)0,2,3均可
二、集合的几种表示方法
1、列举法－将所给集合中的元素一一列举出来，写在大括号里，元素与元素之间用逗号分开．
*有限集与无限集*
⑴有限集-------含有有限个元素的集合叫有限集
例如: A={1~20以内所有质数}
⑵无限集--------含有无限个元素的集合叫无限集
例如: B={不大于3的所有实数}
2、描述法－用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.
具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及以取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
3、图示法 -- 画一条封闭曲线,用它的内部来表示一个集合.常用于表示不需给具体元素的抽象集合.对已给出了具体元素的集合也当然可以用图示法来表示
如: 集合{1,2,3,4,5}用图示法表示为:
三、集合间的基本关系
观察下面几组集合，集合A与集合B具有什么关系？
(1) A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}.
(2) A={x|x>3},B={x|3x-6>0}.
(3) A={正方形}，B={四边形}.
(4) A=∅，B={0}.
1.子集
定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合
B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作A⊆B（或B⊇A）,即若任意x∈A,有x∈B，则A⊆B(或A⊂B)。

这时我们也说集合A是集合
B的子集（subset）。

如果集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A,就记作A⊈B（或B⊉A），即:若存在x∈A,有x∉B，则A⊈B(或B⊉A)
说明：A⊆B与B⊇A是同义的，而A⊆B与B⊆A是互逆的。

规定:空集∅是任何集合的子集，即对于任意一个集合A都有∅⊆A。

例1．判断下列集合的关系.
(1) N_____Z; (2) N_____Q; (3) R_____Z; (4) R_____Q;
(5) A={x| (x-1)2=0}， B={y|y2-3y+2=0};
(6) A={1,3}， B={x|x2-3x+2=0};
(7) A={-1,1}， B={x|x2-1=0};
（8）A={x|x是两条边相等的三角形} B={x|x是等腰三角形}。

问题：观察（7）和（8），集合A与集合B的元素，有何关系？
⇒集合A与集合B的元素完全相同，从而有：
2.集合相等
定义：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素
（即A⊆B），同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素（即B⊆A），则称集
合A等于集合B，记作A=B。

如：A={x|x=2m+1，m∈Z}，B={x|x=2n-1，n∈Z}，此时有A=B。

问题：（1）集合A是否是其本身的子集？（由定义可知，是）
（2）除去∅与A本身外，集合A的其它子集与集合A的关系如何？（包含于A，但不等于A）
3.真子集：
由“包含”与“相等”的关系，可有如下结论：
(1)A⊆A (任何集合都是其自身的子集)；
(2)若A⊆B，而且A≠B（即B中至少有一个元素不在A中），则称集合A是集
合B的真子集（proper subset），记作A⊂≠B。

（空集是任何非空集合的真子集）
(3)对于集合A，B，C，若A⊆B，B⊆C，即可得出A⊆C；对A⊂
≠B，B⊂
≠
C，同样
有A⊂
≠
C, 即：包含关系具有“传递性”。

4.证明集合相等的方法：
（1）证明集合A，B中的元素完全相同；（具体数据）
（2） 分别证明A ⊆B 和B ⊆A 即可。

（抽象情况）
对于集合A ，B ，若A ⊆B 而且B ⊆A ，则A=B 。

例1．判断下列两组集合是否相等？
（1）A={x|y=x+1}与B={y|y=x+1}; (2)A={自然数}与B={正整数} 例2．解不等式x-3>2，并把结果用集合表示。

结论：一般地，一个集合元素若为n 个，则其子集数为2n 个，其真子集数为2n -1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。

5.课堂练习
1.设A={0，1}，B={x|x ⊆A}，问A 与B 什么关系？
2.判断下列说法是否正确？
（1）N ⊆Z ⊆Q ⊆R ； （2）∅⊂A ⊂A ；
（3）{圆内接梯形}⊇{等腰梯形}； （4）N ∈Z ；
（5）∅∈{∅}； （6）∅⊆{∅}
4.有三个元素的集合A ，B ，已知A={2，x ，y}，B={2x ，2，2y}，且A=B ，求x ，y 的值。

6.本节小结
1. 能判断存在子集关系的两个集合，谁是谁的子集，进一步确定其是否为真子集；
注意：子集并不是由原来集合中的部分元素组成的集合。

（因为：“空集是任何集合的子集”，但空集中不含任何元素；“A 是A 的子集”，但A 中含有A 的全部元素，而不是部分元素）。

2. 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；
3．注意区别“包含于”，“包含”，“真包含”，“不包含”；
4. 注意区别“∈”与“⊆”的不同涵义。

课堂练习：
集合的含义与表示
1.用符号∈或∉填空：
（1）}11|{<x x ；
（2）3 },1|{2+∈+=N n n x x ；
（3）)1,1(- }|{2x y y =，)1,1(- }.|),{(2x y y x =
2.用列举法表示下列集合：
（1）},,3|),{(N y N n y x y x ∈∈=+； （2）}.,2||,1|),{(2Z x x x y y x ∈≤-=
3.可以表示方程组⎩
⎨⎧-=-=+1,3y x y x 的解集是 。

（写出所有正确答案的序号）
（1）}2,1{==y x ； （2）}2,1{；（3）)}2,1{(；（4）}2,1|),{(==y x y x 或；
（5）}2,1|),{(==y x y x 且；（6）{⎭
⎬⎫⎩⎨⎧==2,1),(y x y x ；（7）}.0)2()1(|),{(22=-+-y x y x
4.设集合},,{},,,1{2ab a a B b a A ==，且B A =，求实数.,b a
5.已知集合}4,433,2{22-+-+-=x x x x M ，若,2M ∈求.x
集合间的基本关系
1.下列各组中的两个集合相等的有（ ）
①}),1(2|{},,2|{Z n n x x Q Z n n x x P ∈-==∈==；
②},12|{},,12|{++∈+==∈-==N n n x x Q N n n x x P ；
③}0|{2
=-=x x x P ，}.,2)1(1|{Z n x x Q n ∈-+== A ．①②③ B ．①③ C ．②③ D ．①②
2.设集合}43,2{},,8,2{2+-==a a B a A ，且A ≠⊃B ，求a 的值。

3.（1）已知集合},03|{},3,1{=-==mx x B A 且A B ⊆，则m 的值是 。

（2）已知集合}121|{},52|{-≤≤+=≤≤-=m x m x B x x A ，若A B ⊆，求实数m 的取值范围。

4.（1）以下各组中两个对象是什么关系，用适当的符号表示出来。

①0与}0{；②0与∅；③∅与}0{；④}1,0{与)}1,0{(；⑤)},{(a b 与)}.,{(b a
（2）已知}|{},1,0{A x x B A ⊆==，则A 与B 的关系正确的是（ ）
A ．
B A ⊆
B ．A ≠⊂B
C ．B ≠⊂A
D ．B A ∈ 5.（1）同时满足：①}5,4,3,2,1{⊆M ；②M a ∈，则M a ∈-6的非空集合M 有（ ）
A ．16个
B ．15个
C ．7个
D ．6个 6.（1）已知集合X 满足}5,4,3,2,1{}2,1{⊆⊆X ，求所有满足条件的X 。

（2）设集合},01)1(2|{},04|{222R a a x a x x B x x x A ∈=-+++==+=。

若A B ⊆，求实数a 的值。