高中数学A版二 《九章算术》优秀课件
高中数学《第三讲中国古代数学瑰宝二《九章算术》》41PPT课件 一等奖名师
（1）证明：PB⊥平面DEF．试判断四面 体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个 面的直角（只需写出结论）；若不是， 说明理由；
（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大
小为 ，求 DC的值．
3
BC
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《九章算术》
《九章算术》大约成书于公元1世纪，是我国 古代最著名的传世数学著作，又是中国古代最重要 的数学书籍。它从成书直到西方数学传入之前，一 直是中国古代数学学习者的首选教材。对古代数学 的发展起了巨大的推动作用。
m m'
y
x
所出率中，大数减小数 所出率差除“实” 所出率差除“法”
这是个“一盈一不足”问题，还有“两盈”“两不
足”“一盈一适足”“一不足一适足”等四类问题。
课堂习题
“两鼠穿墙”问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿。 大鼠日一尺，小鼠也日一尺。大鼠日自倍增，小鼠日自 半。问何日相逢，各穿几何？
解：假如设 x 天后两鼠相遇，则由于大老鼠每天打
在正负数的概念的引入以及正负数运算法则的确 定方面，我国是遥遥领先的。
2.《九章算术》的深远影响
《九章算术》总结了自周代以来的中国 古代数学，包含了以前已经解决了的数学问 题，又有汉朝时新取得的数学成就。
标志着中国古代数学体系的形成。
《九章算术》及其注文中蕴涵的数学思 想不仅对我国古代数学产生了巨大影响，也 极大地促进了世界数学的发展。
《九章算术》
公元263年撰《九章 算术注》 阐述了中国传 统数学的理论体系与数 学原理； 中国传统数学 最具代表性的人物 。
刘徽(魏晋, 公元3世纪) （中国，2002）
内容介绍
《九章算术》 （东汉，公元100年）
《九章算术》秉承了先秦以 来数学的发展源流，流传近2000 年。后世的数学家多是从《九章 算术》开始学习和研究数学。唐 宋两代成为国家明令规定的教科 书，并在北宋时由政府进行过刊 刻（1084），成为世界上最早 的印刷版教学书。
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• 第三章“衰分”：处理各种正、反比例分配问题 • • 主要论述分配比例算法，其中问题多与商业、手工业及
社会制度有关。
• • 例：“今有大夫、不更、簪褭（zān niǎo）、上造、公
士五人，共借得五鹿，欲以爵次分之，问个几何？”
• 第四章 “少广”：
• 已知面积、体积、求其一边长和径长等
ห้องสมุดไป่ตู้
•
•
主要成就包括开平方、开立方的算法。用来求已知面积、 体积，反求其一边和径长等。
•
• 而“开方术”开创了后来开更高次方和求更高次方程数 值解之先河，并且指出了存在有开不尽的情形，并给这 种不尽根数起了一个专门的名字——“面”。
• 第五章“商功”：土石工程、体积计算
中国古代数学瑰宝
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(2015·高考全国卷Ⅰ，5 分)《九章算术》 是我国古代内容极为丰富的数学名著， 书中有如下问题：“今有委米依垣内 角，下周八尺，高五尺．问：积及为米 几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆 放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？” 已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出 堆放的米约有( )
根据随机抽样事件的概率得
x ＝ 28 ，得 x≈169. 1 534 254 事实上,1 534 约是 254 的 6 倍,则 x 约是 28 的 6 倍，故选 B.
3．《九章算术》是我国古代数学名著，它 在几何学中的研究比西方早 1 千多年．例 如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直 于底面的三棱柱，阳马指底面为矩形，一 侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑指四个面均为直角三角形的 四面体． 如图，在堑堵 ABC-A 1B 1C1 中，AC⊥BC.
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• 第四章 “少广”：
• 已知面积、体积、求其一边长和径长等
•
•
主要成就包括开平方、开立方的算法。用来求已知面积、 体积，反求其一边和径长等。
•
• 而“开方术”开创了后来开更高次方和求更高次方程数 值解之先河，并且指出了存在有开不尽的情形，并给这 种不尽根数起了一个专门的名字——“面”。
• 第五章“商功”：土石工程、体积计算
• 例：上等禾谷三捆，中等禾谷二捆，下等禾谷一捆，，共出 粮三十九斗；上等禾谷二捆，中等禾谷三捆，下等禾谷一捆，， 共出粮三十四斗；上等禾谷一捆，中等禾谷二捆，下等禾谷三 捆，，共出粮二十六斗。问上中下等禾谷每捆出粮各多少？
解：设上中下禾各一秉打出的粮食分别为x，y，z斗
则解方程组
3x 2y z 39 2x 3y z 34 x 2y 3z 26
《九章算术》所创立的机械算法体系显示出比欧几 里得几何学更高的水准．并将其扩展到其他领域，其算 法体系至今仍推动着计算机的发展与应用．
《九章算术》
六艺：礼、乐、射、御、书、数
《九章算术》
（东汉，公元1世纪初）
《周礼》
《九章算术》的主要内容
• 《九章算术》的内容十分丰富，全书主要采用问题集 的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题 。
根据随机抽样事件的概率得
x ＝ 28 ，得 x≈169. 1 534 254 事实上,1 534 约是 254 的 6 倍,则 x 约是 28 的 6 倍，故选 B.
3．《九章算术》是我国古代数学名著，它 在几何学中的研究比西方早 1 千多年．例 如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直 于底面的三棱柱，阳马指底面为矩形，一 侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑指四个面均为直角三角形的 四面体． 如图，在堑堵 ABC-A 1B 1C1 中，AC⊥BC.
《九章算术》(课件)六年级上册数学
对负数的认识是人类数系扩充的重大步骤.7世纪时的印度数学家 也开始使用负数，对负数的认识在欧洲却进展缓慢，甚至到16世纪韦 达的著作还在回避使用负数。
《九章算术》中收集了二百四六个应用问题和各个问题的解法，分成九章， 依次为：方田，粟米，衰分，少广，商功，均输，盈不足，方程，勾股。其中 所包含的数学成就是丰富和多方面的。
十六世纪以前的中国数学书大多都是应用问题解法的集成，原则上遵守 《九章算术》的体例。后世的数学家们结合当时社会的实际需要，引入新的数 学概念和数学方法，超出了《九章算术》的范围，但也是在《九章算术》数学 知识的基础上，通过“再实践，再认识”的过程发展的。
数学文化——
认识《九章算术》
目 录
01 《九章算术》介绍
02 《九章算术》——算术部分 03 《九章算术》——代数部分 04 《九章算术》——几何部分
第一部分 《九章算术》介绍
《九章算术》是中国古典数学最重要的著作.这部著作的成书年代， 根据现在的考证，至迟在公元前1世纪，但其中的数学内容，有些也可以 追溯到周代《周礼》记载西周贵族子弟必学的六门课程(“六艺”)中有一 门是“九数”，刘徽《九章算术注》“序”中就称《九章算术》是由“九 数”发展而来，并经过西汉张苍(？一公元前152)、耿寿昌等人删补.近 年发现的湖北张家山汉初古墓竹简《算数书》(1984年出土)，有些内容 与《九章算术》类似.因此可以认为，《九章算术》是从先秦至西汉中叶 的长时期里经众多学者编纂、修改而成的一部数学著作。
第二部分 《九章算术》——算术部分
1.分数四则运算法则
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[解析] 由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而 成．由题意得： (5.4－x)×3×1＋π·(12)2x＝12.6， 解得 x＝1.6.
4、《九章算术》勾股章有一问题：今有立木，系索其末， 委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何?其意思 是：现有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索晶，它的出
现标志着中国古代数学体系的形成，是中国古代 数学体系的初期代表作。 后世的数学家，大都
是从《九章算术》开始学习和研究数学知识的。 唐宋两代都由国家明令规定为教科书。1084年 由当时的北宋朝廷进行刊刻，这是世界上最早的 印刷本数学书。可以说，《九章算术》是中国为 数学发展做出的又一杰出贡献。
2.《九章算术》是我国古代著名数学经 典．其中对勾股定理的论术比西方早一 千多年，其中有这样一个问题：“今有 圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之， 深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其 意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯 去锯该材料，锯口深 1 寸，锯道长 1 尺．问这块圆柱形木料 的直径是多少？长为 1 丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中， 截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)．
木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有 3 尺，牵着绳 索退行，在离木柱根部 8 尺处时绳索用尽，问绳子有多长？ 现从该绳索上任取一点，该点取自木柱上绳索的概率为
(
)
A．
B．
C． D．
根据题设条件，作示意图如图所示，设绳长为 x 尺，则木柱
高为(x-3)尺，由勾股定理得： (x 3)2 82 x2 ，
3．中国古代数学名著《九章算术》中的“引葭赴岸” 是一 道名题，其内容为：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一 尺，引葭赴岸，适与齐．问水深葭长各几何”意为：今有边 长为 1 丈的正方形水池的中央生长着芦苇，长出水面的部分 为 1 尺，将芦苇牵引向池岸，恰巧与水岸齐接，问水深芦苇 的长度各是多少？将该问题拓展如图，记正方形水池的剖面 图为 ABCD，芦苇根部 O 为 AB 的中点，顶端为 P(注芦苇与 水面垂直)．在牵引顶端 P 向水岸边中点 D 的过程中，当芦苇 经过 DF 的中点 E 时，芦苇的顶端离水面的距离约为_34_69_尺_____ 尺．(注：1 丈＝10 尺， 601≈24.5)
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1中国古代数学瑰宝——《九章算术》教学设计隆德县中学刘芳【教材分析】本节课教材是人教A版高中数学（选修3—1数学史选讲）第三讲中国古代数学瑰宝的第二节。
本节课是学生在学习了古希腊数学史之后，学习的关于我国主要数学成就的第二块内容。
《九章算术》是世界数学发展史上的宝贵遗产,是中国古代数学发展史上的重要里程碑,它对中国古代数学发展的影响之大是任何其他数学书籍不能相比的。
它几乎成了中国古代数学的代名词。
中国历代数学家从中汲取着丰富的营养,不断地将中国数学推向前进。
因此，学习本节课的内容十分重要。
【学情分析】学习本节课学生对于数学史的知识了解甚少。
“历史使人明智”。
学习一些数学史知识，可以使同学们了解数学的发展轨迹，更好地体会数学概念所反映的思想方法，感受数学家们刻苦钻研和勇于开拓的精神，这对开阔视野、启发思维以及学习和掌握数学知识都大有益处。
【教学目标】知识与技能：1．了解中国最早的经典数学著作之一的《九章算术》的深远影响；2.初步熟悉我国古代数学家刘徽的杰出贡献；3．学习《九章算术》介绍的各种实际问题解法。
过程与方法：《九章算术》总结了自周代以来的中国古代数学，学习其中代表性的“盈不足术”、“方程术”、“正负术”。
2情感态度与价值观：《九章算术》是中国古代最著名的传世数学著作，又是中国古代最重要的数学典籍，对中国古代数学的发展起到了巨大的推动作用。
【教学重点】《九章算术》的主要内容以及其深远影响。
【教学难点】《九章算术》中介绍的各种实际问题的解法以及其现实意义。
【教法、学法】启发引导，分析讲解。
【教具】粉笔、ppt、视频。
【教学过程】一、创设情景，引入新课（复习导入）示例一：（2015年全国Ⅱ卷）如图，程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。
执行该程序框图，3若输入的a,b分别为14,18，则输出的a（）.A．0B．2C．4D．14设计意图：展示普通高中课程标准实验教科书（人教A版）数学必修3中第一章第三节算法案例中与《九章算术》有关的“更相减损术”的内容，以及2015年全国Ⅱ卷的程序框图真题的实例，引入新课，激发学生的学习热情。
《九章算术》教案 高中数学人教A版课标版 数学史选讲教案 (2)
二《九章算术》教案教学目标：1.学生通过九章算术的学习，了解九章算术是人类数学的重要起源之一，认识数学发生发展的必然规律。
学情分析：数学发展的历史是一部内容丰富、思想深刻的历史。
数学文化是人类文化的重要组成部分。
在教育部颁布的《普通高中数学课程标准》中，有四个地方用较大的篇幅谈到数学文化，对学生学习数学文化也提出了具体的教学要求。
但同学们对此却没有引起足够的重视，更没有进行主动的学习和深入的研究。
因此，教者想精心选取以数学文化为背景的高考题作为切入点，通过从文化的视野来解读一道数学高考问题，来唤起同学们对数学文化的重视，认识到学习数学文化的重要性和必要性，从而对数学文化进行主动学习和探究，提高数学文化素养。
重点难点：精心选取以数学文化为背景的高考题作为切入点，挖掘高考题背后的数学文化内容，并加以生动的阐述和提炼，通过生动、丰富的事例，讲解一些重要的代表人物及主要事迹，让学生深受教育和启发，进而转化成学生学习数学的激情和力量。
教学过程4.1 教学活动【导入】引入高考问题1.【引入高考问题】2011年湖北高考数学（理）试题第13题．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升。
【讲授】九章算术2.什么是《九章算术》?《九章算术》成书于西汉末到东汉初之间，约公元一世纪前后，《九章算术》的内容十分丰富，原作有插图，今传本已只剩下正文了。
《九章算术》的作者不详。
很可能是在成书前一段历史时期内通过多人之手逐次整理、修改、补充而成的集体创作结晶。
它是一本综合性的历史著作，承袭先秦数学发展的源流，进入汉朝后又经过许多学者的刪补最后成书。
它是当时世界上最先进的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系。
《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是算经书中最重要的一种。
3.《九章算术》有哪些内容?《九章算术》主要采用问题集的形式，全书246个问题。
高中数学《第三讲中国古代数学瑰宝二《九章算术》》44PPT课件 一等奖名师公开课比赛优质课评比试讲
.2《九章算术》教材分析《九章算术》是人教A版高中数学选修3-1数学史选讲第三章中国古代数学瑰宝中十分重要的内容。
中，它的许多几何性质在日常生活、生产和科学技术中都有着广泛的应用。
本节是第三章的第二课，主要介绍了《九章算术》的重要成就，包括盈不足术、方程术和正负术相关内容，阐述《九章算术》的深远影响。
这部分是中国古代数学的重要基础知识，原因如下：第一，在教材结构上，本节内容起到一个承上启下的重要作用。
前面第二章学生学习了古希腊的《几何原本》，在本节课中将《九章算术》与《原本》进行比较，进而认知东西方古代文明的差异及对世界发展的深远影响。
第二，对盈不足术研究，将盈不足问题与盈不足术对应起来，体现了算法的思想；对方程术研究，将方程组与遍乘直除法对应起来，体现了消元的思想。
这两种思想，将贯穿于整个高中阶段的数学学习。
第三，对正负术发展的学习过程，使学生经历了观察、猜测、推理、交流、反思等理性思维过程，培养了学生的探究性思维方式，加强了逻辑思维能力，提高了他们提出问题、分析问题、解决问题的能力，为后续知识的学习奠定了基础。
学情分析1.在学习本节内容以前，学生已经学习了《周髀算经》和赵爽弦图，初步了解了用中国古代数学文化，经历了勾股定理的证明、近似分数的计算，进一步为学习《九章算术》奠定了基础.2.经过两年的高中学习，学生的计算能力、分析解决问题的能力、归纳概括能力都有了明显提高，使得进一步探究学习本节内容成为可能。
但是，在本节课的学习过程中，学生对遍乘直除法的理解是一个考验，可能会有一部分学生探究学习受阻，教师要适时加以点拨指导.3.学生对方程组都有了一定的认识，并能用消元法解多元一次方程组，本节课学生通过遍乘直除法解三元一次方程组，方程术的发展、正负术的发展感知中国古代数学的伟大成就.◆知识与技能目标了解《九章算术》的内容概要及取得的重要成就，掌握盈不足术、遍乘直除法；理解方程术、正负术的发展，以及《九章算术》的深远影响.◆过程与方法目标在本节中学生经历阅读课本，观看视频，分析《九章算术》的内容概要，解析例题学习教学目标盈不足术、方程术、正负术的过程和思想.①阅读第25页，了解九章算术的内容概要，培养学生归纳总结的能力；②用盈不足术解盈不足问题，分析古代数学家将动态问题转化为静态的思想；③用遍乘直除法解多元一次方程组，加深对消元思想的理解.◆情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，激发学生科学理解中国古代数学历史文化的兴趣，与同时期的外国数学发展作比较，增强学生的名族自豪感。
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情感态度与价值观
《九章算术》是中国古代最著名的传世 数学著作，又是中国古代最重要的数学典籍， 对中国古代数学的发展起到了巨大的推动作 用.
教学重难点
重点
《九章算术》的主要内容以及其深远影 响.
难点
《九章算术》中介绍的各种实际问题的 解法以及其现实意义.
内容介绍
《九章算术》秉承了先秦以 来数学的发展源流，流传近2000 年.后世的数学家多是从《九章 算术》开始学习和研究数学.唐 宋两代成为官学采用的算学教 学书，并在北宋是成为世界上 最早的印刷版教学书.
按代数解法，可设人数为x，物价为y，则有 方程组：
y = 8x - 3 y = 7x + 4
文钱.
x=7 y = 53 人数为7，物价为53
盈不足术用表格表示： 所出率 盈不足 维乘 实 法 所出率差 8 3 32 53 7 1 7 4 把所有人的钱写出来
多余、不足的钱数 相加后的结果称为“实”
盈、不足相加称为法 所出率中，大数减小数 所出率差除“实” 所出率差除“法”
刘徽(魏晋, 公元3世 纪)（中国，2002）
教学 目标
知识与能力
了解中国最早的经典数学著作之一 的《九章算术》的深远影响；
初步熟悉我国古代数学家刘徽的杰 出贡献； 学习《九章算术》介绍的各种实际 问题解法.
过程与方法
《九章算术》总结了自周代以来的中国 古代数学，学习其中代表性的“盈不足 术”“方程术”“正负术”.
把方程组的系数从上至下 摆成三列，运算采用“遍乘直 除”的方法，
0 4 0 4 0 0
26 34 39
11 17 37
把某一列系数全部乘 一个适当的倍数，然后再 直接减去另一列的若干倍， 一直算到每一列上只剩下 分别与三个未知数对应的 系数.
《九章算术》中的一次方程组有两元、 三元、四元和五元的，全部用上述演算程 序. 多元方程组的解法在印度最早出现在7 世纪初婆罗摩芨多所著的书中.在欧洲，最 早提出三元一次方程组解法的人是16世纪 的法国数学家比特奥.而多元一次方程组的 一般解法直到18世纪才由法国数学家贝祖 建立.
有关正负数的乘除运算法则，直到元代， 朱世杰的《算学启蒙》中才明确给出.
我国对正负数四则运算所做的总结不晚 于13世纪.而国外首先认为负数的人是三个世 纪后的印度数学家婆罗摩芨多，欧洲对负数 的认识就更晚了.
2.《九章算术》的深远影响
《九章算术》总结了自周代以来的中国 古代数学，包含了以前已经解决了的数学问 题，又有汉朝时新取得的数学成就.
标志着中国古代数学体系的形成.
《九章算术》及其注文中蕴涵的数学思 想不仅对我国古代数学产生了巨大影响，也 极大地促进了世界数学的发展.
对比《原本》和《九章算术》
《原本》是以形式逻辑方法把所有内容组 织为有机整体，《九章算术》则按问题的性 质和解法分类编排； 《原本》注重演绎推理，较少实用，《九 章算术》则全是实用算法； 《原本》内容全部为几何或几何外衣下的 算术，《九章算术》则集中了算术、代数、 几何等我国当时的全部数学知识.
21 将第二行交错相乘
物价
人数
53
7
现在一般地，设x人共出y钱购物.若每人 出m钱则盈n钱；每人出m’钱则不足n’钱， 求x与y，按“盈不足术”得如下的解法公式：
n + n' mn' + m'n x= ,y = m - m' m - m'
这是个“一盈一不足”问题，还有“两 盈”“两不足”“一盈一适足”“一不足一 适足”等四类问题.
中国古代数学瑰宝
九 章 算 术
秦始皇陵兵马俑（中国, 1983）
知识回顾
《周髀算经》是中国 最早的天文学著作；赵 爽称为中算史上最早给 出勾股定理理论证明的 数学家；“赵爽弦图” 表现出的中国古代数学 的独具特色以及中国古 代的聪明才智和独具匠 心.
导入新课
《九章算术》大约成书于公元1世纪， 是我国古代最著名的传世数学著作，又是 中国古代最重要的数学书籍.它从成书直到 西方数学传入之前，一直是中国古代数学 学习者的首选教材.对古代数学的发展起了 巨大的推动作用.
第七章“盈不足”：即双设法问题；第八章 “方程”：一次方程组问题；第九章“勾 股”：利用勾股定理求解的各种问题.
《九章算术》主要有算术、代数和几何 三部分的内容，概括了我国古人创造的领先 于世界的数学成就.
盈不足术
盈不足问题是我国数学的古典名题： 今有共买物，人出八盈三，人出七不足四， 问人数、物价项未 知量和一个已知量所组成的等 式，其中可能有相反意义的数 量；再者，在通过“遍乘直除” 来求解多元一次方程组时，也 会出现大数减小数的情况，由 此产生正数与负数的对立概念.
负数记号
《九章算术》最早给出的正负数加减法 则的条文如下：正负术曰，同名相除，异名 相益.正无入负之，负无入正之.其异名相除， 同名相益.正无入正之，负无入负之. 刘徽在《九章算术注》中给出了正、负 数的定义：两算得失相反，要令“正”“负” 以名之.同时用红色算筹表示正数，用黑色的 表示负数；12世纪，李冶首创了在数字上加 斜划以表示负数.
方程术
《九章算术》中的“方程”专指多元一次 方程组.古人在求解多元一次方程时，把方程 组的系数和常数项用算筹摆成方阵（称这样 的方阵为“方程”），再做行之间的加法， 以减少系数，最后求得方程组的解.
3x + 2y + z = 39 2x + 3y + z = 34 x + 2y + 3z = 26 1 2 3 2 3 1 3 0 2 0 → 1 4
二、《九章算术》》
《九章算术》的作者 不详，现在传世的是三国 时代刘徽于263年完成的 注释本.内容是由周代的 “九数”发展而来的。刘 徽称：“周公制礼而有九 数，九数之流则 《九章》是矣”.
明代刊印的《九章算术注》
公元263年撰《九章 算术注》 阐述了中国传 统数学的理论体系与数学 原理； 中国传统数学最 具代表性的人物 .
《九章算术》 （东汉，公元100年）
1.《九章算术》的重要成就举例
《九章算术》以应用问题集的形式表述， 收有246个数学问题，分为九章．它们的主 要内容分别是：第一章“方田”：田亩面积 计算；第二章“粟米”：谷物粮食的按比例 折换；第三章“衰分”：比例分配问题；第 四章“少广”：已知面积、体积、求其一边 长和径长等；第五章“商功”：土石工程、 体积计算；第六章“均输”：合理摊派赋税；