1.5 有理数的乘法和除法
结果为负
= -2
动脑筋
试问：10÷(-5) 还可以怎样计算 ？ 我们已经知道 又 所以
5
10÷（-5）= -2 ，
1 2 10 5
1 10 (5) 10 5
⑤
由于 (5) 1 1 ，因此，我们把 1 叫做-5的倒数， 5
(-12.5)和(-8)为 同号相乘
= 100×(-10)
= -1000
(-2.5)和4为异号相乘
(-10)和100相乘为异号
说一说
下列各式的积是正数还是负数？积的符号与负因数 （因数为负数）的个数之间有什么关系？
（1）（-2）×（-3）×（-4）；
（2）（-2）×（-3）×（-4）×（-5）.
几个不等于0的数相 乘，当负因数有奇数个 时，积为负；当负因数 有偶数个时，积为正.
它们的绝对值相乘
根据乘法法则
（3） 解 = 3 1
= 1
1 (3) 3
结果为正
1 3 和 为同号， 3
3
根据乘法法则
任何数与0相乘，结果为0
（4）（-0.57）× 0 解 =0
练习
1. 填表:
因数 因数 积的符号 绝对值的积 + 14
3 20 1 20 4 20 5 10 4 6 516 17
（2）（-4）×（-3）×（- 5）×（-2.5）
= 4×.2 有理数的除法
我们知道
2 × 3 = 6，
结论
一般地，有理数的除法运算可以转化为乘法运算，即
除以一个不等于零的数等于乘上这个数的倒数.
也可以表示成
aba1 (b0) b
例5 计算：
（1） 12 1 ； 3
3 （2） 15 7
2 2 （3） 15 3
由④式看出，(-5)×(-3)得正数，并且把绝对值5 与3相乘.
结论
5×3 = 15 ② (-5)×(-3)=15=5×3 ③
从①、④式受到启发，于是规定：
同号两数相乘得正数，并且把绝对值相乘.
（+）×（+）→（+） （-）×（-）→（+）
例1 计算：
（1）3.5 ×（-2）；
3 2； （ 2） 8 9 （3）(3) 1 ； 3 （4）（-0.57）× 0.
（-）×（+）→（-） （+）×（-）→（-）
结论
任何数与0相乘，都得0.
类似地，我们有
(-5)×(-3)+(-5)×3 =(-5)×[(-3)+3] =(-5)×0 =0 这表明(-5)×(-3)与(-5)×3互为相反数. 因为(-5)×3= -15，而-15的相反数是15， 所以(-5)×(-3)=15 . 即 (-5)×(-3)= 15 = 5×3 . ④
结论
乘法结合律：( a × b )× c = a ×( b
×c
).
即，对于三个有理数相乘，可以先把前两个数相 乘，再把结果与第三个数相乘；或者先把后两个数相 乘，再把第一个数与所得结果相乘，积不变．
和加法类似，根据乘法交换律和乘法结合律可以推 出：三个或三个以上有理数相乘，可以写成这些数的连 乘式．对于连乘式，可以任意交换因数的位置，也可先 把其中的几个数相乘．
；
.
根据除法法则
（1） 解 = （-12）×3
= -36
3 （2） 15 7
12 1 3
1 的倒数是3 3
异号相乘，结果为负
根据除法法则
3的倒数是 7 7 3
解
7 = 15 3
异号相乘，结果为负
动脑筋 填空：
（1）(-2)×4= -8 ， （2）[(-2)×(-3)] ×(-4)= 4×(-2)=
-8
；
6
×(-4)= -24 ，
(-2)×[(-3) ×(-4)]=(-2)×
12
=
-24
.
从上面的填空题中，你发现了什么？
结论
乘法交换律： a × b = b × a .
即，两个有理数相乘，交换因数的位置，积不变.
1 4
积 -14
1 4
-2
1 4
7 -1
0.3
-10
-
3
-3
2. 计算：
（ 1）
2 15 3 4
；
5 2
2 9
8 5 （2） 15 12
.
在小学我们已经学过乘法的交换律、结 合律，那么这两个运算律在有理数范围内是 否也适用呢？
本课内容 本节内容 1.5
有理数的乘法和除法
1.5.1 有理数的乘法
我们已经熟悉了非负数的乘法运算， 例如
5 × 3 = 15 ， ①
那么如何计算 （-5）×3， 3×（-5）， （-5）×（-3）呢？
动脑筋
我们把向东走的路程记为正数.如果小丽从点O 出发，以5km/h的速度向西行走3h后，小丽从O点向 哪个方向行走了多少千米？
根据除法法则
（1） （-24）÷ 4 解 = - (24 ÷ 4)
= -6
(-24)和4为异号相除
结果为负 根据除法法则
（-18）和(-9)为同号
（2）（-18）÷ （-9） 解 = +(18 ÷ 9)
=2
结果为正
根据除法法则
（3） 解
10÷（-5）
= -(10 ÷ 5)
10和(-5)为异号相除
2
1
1
1
1
将分数逐个与60相乘
3
4
5
= 30-20-15+12
=7
计算结果
相乘为整数的先结合起来 (-12.5)和(-8)相乘为整数
(-2.5)和4相乘为整数
（2） (-12.5)×(-2.5)×(-8)×4 解 = (-12.5) ×(-8)×(-2.5)×4
把-5叫做
1 . 的倒数 5
一般地，如果两个数的乘积等于1，那么把其 中一个数叫做另一个数的倒数，也称它们互为倒 数. 0没有倒数.
1 (5) 1 5
因此，⑤式表明10除以-5等于10乘-5的倒数.
10 (5) 10 1 ⑤ 5
例3 计算：
（1）（-8）× 4 ×（-1）×（-3） ；
（2）
1 (10) (3.2) (5) . 5
先确定积的符号
将负号提出来
（1） (-8)× 4 × (-1)×(-3) 解 = -(8×4×1×3) 绝对值进行相乘
= -96
先确定积的符号
4
（5）(-5)×(-4)×(-3)；
1 1 6 ； （7）
2
3
1.解 （1）(-2)×17×(-5)=2×5×17=170
（2）(-15)×3×(-4)=15×4×3=180
1 1 -7 （3） - 4 74 - 447
动脑筋
（1）填空：
(-6)×[4+(-9)] =(-6)×
(-6)×4+(-6)×(-9)=
-5
+
=
30
=
，
-24
54
30
.
（2）换几个有理数试一试，你发现了什么？
结论
乘法对加法的分配律（简称为分配律）：
a×( b + c ) = a ×b + a × c .
即，一个有理数与两个有理数的和相乘，等于把 这个数分别与这两个数相乘，再把积相加. 利用分配律，可以得出 （-1）a = -a
2 3
（8）(-10)× 28 × 0 = 0
2.计算:
（1）
3 1 4 ； 20 10 4 5
（2）（-4）×（-3）×（- 5）×（-2.5）.
3 1 4 20 2.解 （1） 4 5 10
= -35
根据除法法则
- 2的倒数是 - 3 3 2
（3） 解
2 2 3 15
3 2 = 15 2
同号相乘，结果为正
= 1 5
练习
1.计算：
（1）14÷(-7)； （3）0÷ (-0.618)； （2）(-36)÷(-3)； （4）(-48)÷12.
（4）0.125×9×(-8)=-(8×0.125)×9=-9
（5）(-5)×(-4)×(-3)=-(5×4×3)=-60
（6）(-1.5)×6×(-4)=1.5×4×6=36
1 1 6 1 1 6 1 （7）
2
3
因此
6 ÷ 3 = 2.
①
那么如何计算（-6）÷3， 6÷（-3）， （-6）÷（-3）呢？
探究
（-6）÷3=?， 6÷（-3）=?， （-6）÷（-3）=?
由于 因此， （-2）×3 = - 6 ， （-6）÷3 = -2 . ② ③ ④
类似地，由于（-2）×（-3）= 6 ， 因此， 6÷（- 3）= -2 ，
根据乘法法则
（1） 3.5 ×（-2） 解 = -(3.5×2)
= -7
3.5)和(-2)为异号， 结果为负
人教版七年级数学教案：1.5有理数的混合运算
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了有理数混合运算的基本概念、顺序法则和在实际中的应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对有理数混合运算的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
-运用运算律的灵活应用：学生难以在复杂运算中找到运用运算律简化的方法，导致计算过程繁琐。
例：讲解-1 + 2 × (-3) - 4 ÷ (-2)的计算过程，引导学生运用结合律和交换律简化计算。
-解决实际问题时，建立数学模型：学生在解决实际问题时，往往难以将问题转化为有理数混合运算的形式。
例：讲解温度变化、速度等实际问题，引导学生运用有理数混合运算进行建模和求解。
例：讲解3 + 4 × (-2) - 1 ÷ (-5)的计算过程，强调先乘除后加减的顺序，以及运用运算律简化计算。
2.教学难点
-有理数混合运算的符号处理：学生容易在运算过程中忽略正负号的处理，导致计算错误。
例：讲解(-3) × (-2) + 4 ÷ (-8)的计算过程，强调同号得正、异号得负的规律。
-合作学习中分工与协作：学生在小组合作学习时，如何合理分配任务、发挥各自优势，提高学习效率。
针对上述教学难点，教师应采取以下教学方法帮助学生突破：
-对于符号处理问题，设计符号判断练习，让学生多次练习，形成条件反射。
-对于运算律的灵活应用，通过典型例题和练习，引导学生发现运算规律，培养灵活运用能力。
-对于实际问题，引导学生通过画图、列表等方式，将问题转化为数学运算，提高建模能力。
《有理数的乘法》两课时教案
教学内容：§1.5 有理数的乘法（1）教学目标：1、知识与技能使学生理解有理数乘法的意义，掌握有理数的乘法法则，能熟练地进行有理数的乘法运算。
2、过程与方法经历探索有理数乘法法则的过程，理解有理数乘法法则，发展观察、探究、合情推理等能力，会进行有理数和乘法运算。
重点、难点: 1、重点：有理数乘法法则。
2、难点：有理数乘法意义的理解，确定有理数乘法积的符号。
教学过程：一、创设情景，导入新课1、由前面的学习我们知道，正数的加减法可以扩充到有理数的加减法，那么乘法是可也可以扩充呢？乘法是加法的特殊运算，例如5＋5＋5＝5×3，那么请思考：（－5）＋（－5）＋（－5）与（－5）×3是否有相同的结果呢？本节课我们就来探究这个问题。
3、在一条由西向东的笔直的马路上，取一点O，以向东的路程为正，则向西的路程为负，如果小玫从点O出发，以每小时5千米的向西行走，那么经过3小时，她走了多远？二、合作交流，解读探究1、小学学过的乘法的意义是什么？乘法的分配律：a×(b＋c)=a×b＋a×c如果两个数的和为0，那么这两个数 互为相反数 。
2、由前面的问题3，根据小学学过的乘法意义，小玫向西一共走了 （5×3）千米，即（－5）×3＝－（5×3）3、学生活动：计算3×（－5）＋3×5，注意运用简便运算通过计算表明3×（－5）与3×5互为相反数，从而有3×（－5）＝－（3×5），由此看出，3×（－5）得负数，并且把绝对值3与5相乘。
类似的，（－5）×（－3）＋（－5）×3＝（－5）×［（－3）＋3］＝0 由此看出（－5）×（－3）得正数，并且把绝对值5与3相乘。
4、提出：从以上的运算中，你能总结出有理数的乘法法则吗？鼓励学生自己归纳，并与同伴交流。
湘教版新版七年级上册数学1.5有理数的乘法和除法
因此
6 ÷ 3 = 2.
①
那么如何计算（-6）÷3， 6÷（-3）， （-6）÷（-3）呢？
探究
（-6）÷3=?， 6÷（-3）=?， （-6）÷（-3）=?
由于 因此， （-2）×3 = - 6 ， （-6）÷3 = -2 . ② ③ ④
类似地，由于（-2）×（-3）= 6 ， 因此， 6÷（- 3）= -2 ，
2
1
1
1
1
将分数逐个与60相乘
3
4
5
= 30-20-15+12
=7
计算结果
相乘为整数的先结合起来 (-12.5)和(-8)相乘为整数
(-2.5)和4相乘为整数
（2） (-12.5)×(-2.5)×(-8)×4 解 = (-12.5) ×(-8)×(-2.5)×4
（4）0.125×9×(-8)=-(8×0.125)×9=-9
（5）(-5)×(-4)×(-3)=-(5×4×3)=-60
（6）(-1.5)×6×(-4)=1.5×4×6=36
1 1 6 1 1 6 1 （7）
2
3
4
（5）(-5)×(-4)×(-3)；
1 1 6 ； （7）
2
3
1.解 （1）(-2)×17×(-5)=2×5×17=170
（2）(-15)×3×(-4)=15×4×3=180
1 1 -7 （3） - 4 74 - 447
有理数的除法是通过乘法来规定的，因此由①至④式可以得出：
同号两数相除得正数，异号两数相除 得负数，并且把它们的绝对值相除. 0 除以任何一个不等于0的数都得0.
有理数的乘除
有理数的乘除有理数是数学中的一类数，包括整数、分数和整数倍的乘法和除法运算。
在数学中，有理数的乘除运算是非常重要的基础知识。
本文将介绍有理数的乘法和除法，并且探讨一些与有理数乘除相关的性质。
一、有理数的乘法有理数的乘法是指两个有理数相乘的运算。
两个有理数相乘的结果仍然是一个有理数。
1.1 有理数的乘法规则有理数的乘法遵循以下规则：- 两个正数相乘，结果为正数；- 两个负数相乘，结果为正数；- 一个正数和一个负数相乘，结果为负数。
例如，2乘以3等于6，负3乘以负2等于6，负4乘以5等于负20。
1.2 有理数的乘法性质有理数的乘法具有以下性质：- 乘法交换律：a乘以b等于b乘以a，即ab=ba。
- 乘法结合律：a乘以(b乘以c)等于(a乘以b)乘以c，即a(bc)=(ab)c。
- 乘法分配律：a乘以(b加上c)等于ab加上ac，即a(b+c)=ab+ac。
这些性质使得有理数的乘法运算更加简单和灵活。
二、有理数的除法有理数的除法是指一个有理数除以另一个有理数的运算。
两个有理数的除法结果也是一个有理数，除非除数为0，此时除法运算无意义。
2.1 有理数的除法规则有理数的除法遵循以下规则：- 两个正数相除，结果为正数；- 两个负数相除，结果为正数；- 一个正数除以一个负数，结果为负数。
例如，8除以4等于2，负12除以负3等于4，6除以负2等于负3。
2.2 有理数的除法性质有理数的除法具有以下性质：- 除法结合律：a除以(b除以c)等于(a乘以c)除以b，即a/(b/c)=(a*c)/b。
- 除法分配律：a除以(b加上c)等于a除以b加上a除以c，即a/(b+c)=a/b+a/c。
这些性质使得有理数的除法运算更加简便和灵活。
三、有理数乘除的习题为了更好地理解有理数的乘除运算，接下来我们解决一些习题。
3.1 习题一计算下列乘法：- 2乘以(-3)等于多少？- 4乘以(-2/3)等于多少？- (-5/6)乘以(-2/3)等于多少？3.2 习题二计算下列除法：- 8除以(-4)等于多少？- (-15)除以(-3)等于多少？- (-9/10)除以(3/5)等于多少？解答这些习题有助于加深理解有理数的乘除运算规则和性质。
有理数的乘法与除法教案
有理数的乘法与除法教案一、教学目标：1. 让学生掌握有理数的乘法法则，能够正确进行有理数的乘法运算。
2. 让学生理解有理数的除法概念，掌握有理数的除法法则，能够正确进行有理数的除法运算。
3. 培养学生的数学思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 有理数的乘法法则2. 有理数的除法概念3. 有理数的除法法则4. 乘法和除法运算的混合5. 实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 教学重点：有理数的乘法法则，有理数的除法法则。
2. 教学难点：有理数的乘除混合运算，以及实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解有理数的乘法和除法法则。
2. 采用案例分析法，分析实际问题中的应用。
3. 采用练习法，让学生通过练习巩固所学知识。
五、教学步骤：1. 导入新课：回顾有理数的基本概念，引出有理数的乘法和除法。
2. 讲解有理数的乘法法则，并通过例题演示。
3. 讲解有理数的除法概念，介绍除法法则，并通过例题演示。
4. 进行乘除混合运算的讲解，并通过例题演示。
5. 结合实际问题，讲解有理数乘除法在实际问题中的应用。
6. 布置课堂练习，让学生巩固所学知识。
8. 课后作业布置：布置相关习题，巩固乘除法知识。
9. 课堂反馈：收集学生练习情况，及时了解学生掌握程度。
10. 教学反思：针对学生掌握情况，调整教学策略，提高教学效果。
六、教学评价：1. 通过课堂练习和课后作业，评价学生对有理数乘除法的掌握程度。
2. 结合课堂讨论和提问，评价学生对乘除法在实际问题中应用的理解。
3. 定期进行单元测试，全面评估学生对有理数乘除法的熟练程度。
七、教学资源：1. 教材：提供正式的教材，包括有理数乘除法的理论知识、例题及练习题。
2. 课件：制作多媒体课件，以图文并茂的形式展示乘除法的概念和运算过程。
3. 练习题库：准备一定量的练习题，包括不同难度的题目，以适应不同学生的学习需求。
4. 实际问题案例：收集一些实际问题，用于引导学生将乘除法应用到现实生活中。
1.5 有理数的乘除(二)-有理数的除法-
1.5有理数的乘除（二）-有理数的除法有理数除法法则（一）题型一：有理数除法法则（一）【例题1】计算：−2÷12＝______．【答案】-4【分析】根据有理数除法的法则计算，即可得到答案．【详解】−2÷12＝224-⨯=-故答案为：-4．．【解题方法】有理数除法的一般步骤:(1)确定商的符号;(2)把除数化为它的倒数;(3)利用乘法计算结果.变式训练【变式1-1】（2019浙江）列式计算：一个数与3的积是﹣0.25，求这个数．【答案】﹣112．【分析】根据题意列出代数式解答即可．1【详解】﹣0.25÷3=﹣112，【点睛】此题考查有理数的除法，关键是根据题意列出代数式解答．【变式1-2】（2021·全国七年级）11224æöæö-÷-=ç÷ç÷èøèø______．【答案】29【分析】根据有理数除法法则计算即可．【详解】解：11224æöæö-÷-ç÷ç÷èøèø4912æöæö-⨯-ç÷ç÷èøèø=29=．故答案为29．【点睛】本题考查有理数的除法法则，化除为乘是关键．【变式1-3】（安徽省合肥市第四十八中学（本部）2020-2021学年七年级上学期第一次月考数学试题）在0.5，2，—3，—4，—5这五个数中任取两个数相除，得到的商最小是___．【答案】－10【分析】首先根据有理数大小比较的方法，把所给的五个数从小到大排列；然后根据有理数除法的运算方法，要使任取两个相除，所得的商最小，用绝对值最大的负数除以最小的正数即可．【详解】∵−5＜−4＜－3＜0.5＜2，∴所给的五个数中，绝对值最大的负数是5，最小的正数是0.5，∴任取两个相除，其中商最小的是：－5÷0.5＝−10．故答案为：−10．【点睛】（1）此题主要考查了有理数除法的运算方法，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．（2）此题还考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．有理数的除法法则（二）题型二：有理数的除法法则（二）【例题2】（2021·天津九年级一模）计算27(3)÷-的结果等于（ ）A ．6-B ．9-C ．6D ．9【答案】B【分析】两个有理数相除，异号得负，据此解题．【详解】解：27(3)9÷-=-，故选：B ．【点睛】本题考查有理数的除法，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．变式训练【变式2-1】（2020·雷州市职业高级中学七年级期中）化简：284-=_________．【答案】-7【分析】由题意将分数与除法相结合进行有理数的除法运算，即可求得答案．【详解】解：28(28)474-=-÷=-．故答案为：-7．【点睛】本题主要考查有理数的除法，解题的关键是掌握有理数的除法法则以及将分数与除法相结合．【变式2-2】（2020·山东省临沭县石门镇中心中学）若两个有理数的商是正数，和为负数，则这两个数( )A ．一正一负B ．都是正数C ．都是负数D ．不能确定【答案】C【分析】从商为正数得出两个数同号，从和为负数得出两个数都为负数，若两个数都为正数，和只能为正数．【详解】解：两个有理数的商是正数，和为负数，则这两个数都是负数．2故选：C ．【点睛】本题属于基础题，考查了对有理数的除法及加法运算法则掌握的程度．【变式2-3】（2018·宜昌市第十六中学七年级期中）一道计算题不慎被墨水覆盖了一部分，则覆盖的数字为（ ）A ．3-B ．3C ．6-D ．6【答案】B【分析】用-9除以-3即可.【详解】-9÷（-3）=3故答案选：B.有理数除法的符合问题题型三：有理数除法的符合问题【例题3】（2019·贵州遵义市·遵义十一中七年级月考）若0a b>，0bc <，则ac _______0（填“>”、“<”或“=”）【答案】<【分析】根据乘除法法则判断即可【详解】解：∵0ab>，∴a 、b 同号；∵0bc<，∴b 、c 异号；∴a 、c 异号；∴ac 0<故答案为：<【点睛】本题考查了有理数的乘除法，熟练掌握乘除法法则是解题的关键3变式训练【变式3-1】（2018·全国七年级课时练习）如果410,0a b >>,那么ab_____0.【答案】>【详解】根据有理数的除法法则，则a ＞0，b ＞0，所以0ab>.故答案为＞.【点睛】除法运算的符号规则与乘法运算的符号规则相同，都是同号为正，异号为负，或者是把除法运算转化为乘法运算后，再用乘法运算的符号规律得到这两个数的运算结果的符号.【变式3-2】（2020·东莞市厚街海月学校七年级月考）若0ab >，则ab的值( )A ．是正数B ．是负数C ．是非正数D ．是非负数【答案】A【分析】由ab ＞0可得a 与b 同号，再根据有理数的乘除法法则判断即可．【详解】解：∵ab ＞0，∴a ＞0且b ＞0或a ＜0且b ＜0，∴ab ＞0，∴即ab的值是正数．故选：A ．【点睛】本题主要考查了有理数的乘除法，判断出a 与b 同号是解答本题的关键．【变式3-3】（2017·全国七年级课时练习）已知a a+||b b +cc=-1,试求||ab ab +bc bc +ca ca +abc abc 的值.【答案】0.【分析】已知a a +b b+c c=-1,说明a 、b 、c 三数中有两负一正.所以因为a a+b b+c c=-1，所以a ，b ，c 中有两个负数、一个正数.因此可以分情况讨论a 、b 、c 的取值，求出ab ab +bc bc +ca ca +abcabc的值均为0.①若a <0，b <0，c >0，则ab >0，bc <0，ca <0，abc >0，所以原式=1-1-1+1=0；②若a<0，b>0，c<0，则ab<0，bc<0，ca>0，abc>0，所以原式=（-1）-1+1+1=0.其他几种情况同理可推得ab，bc，ca，abc中有两个正数、两个负数.所以abab+bcbc+caca+abcabc=0.题型四：有理数除法的实际应用【例题4】（2021·上海九年级二模）某品牌汽车公司大力推进技术革新，新款汽车油耗从每百公里8升下降到每百公里6.8升，那么该汽车油耗的下降率为_____．【答案】15%【分析】先求出新款汽油车每百公里下降的油耗，然后再用下降的油耗除以原来的每百公里油耗即为所求．【详解】解：根据题意得，8﹣6.8＝1.2（升），1.2÷8＝15%，∴该汽车油耗下降率为15%．故答案为：15%．【点睛】本题主要考察了有理数的相关计算，弄清楚下降率是什么是解题关键．变式训练【变式4-1】（2019·全国七年级课时练习）王老师将甲、乙两种股票同时卖出，其中甲种股票卖价1 200元，盈利20%；乙种股票卖价也是1 200元，但亏损20%.问：王老师两种股票合计是盈利还是亏损？盈利或亏损多少？【答案】亏损了100元【解析】【分析】分别把甲乙两种股票的成本价看成单位“1”，甲种股票的（1+20%）对应的数量是1200元，乙种股票的（1-20%）对应的数量是1200元，都用除法求出成本价，进而求出赚或者赔的钱数．【详解】甲：1200÷（1+20%）=1200÷120%=1000（元）赚了：1200-1000=200（元）乙：1200÷（1-20%）=1200÷80%=1500（元）亏损了：1500-1200=300（元）；一共亏损了：300-200=100（元）；答：王老师此次交易的结果是亏损100元．【点睛】得到股票的成本是解决本题的突破点．用到的知识点为：有理数的除法．【变式4-2】（2020·广西桂林市·七年级期中）某煤矿井下点A的海拔为-174.8米，已知从点A向上到点B 的垂直距离为120米，每垂直升高10米，海拔就上升0.4米．（1）求点B的海拔；（2）若点C的海拔为-68.8米，每垂直升高10米用30秒，求从点A到点C所用的时间．【答案】（1）点B的海拔为-170米；（2）从点A到点C所用的时间为318秒．【分析】已知从点A向上到点B的垂直距离为120米，每垂直升高10米，海拔就上升0.4米，则120米中包含几个10米，B点的海拔就上升几个0.4米，再加上A点的海拔就是B点的海拔.由题可知C点在A点上方，先求出A、C两点的距离，每升高10米用30秒，则可求出从点A到点C所用的时间.【详解】（1）根据题意，得-174.8+120÷10×0.4=-174.8+4.8=-170（米）.则点B的海拔为-170米.（2）根据题意,得（-68.8+174.8）÷10×30=318（秒）.则从点A到点C所用的时间为318秒．【变式4-3】（2017·全国七年级课时练习）已知海拔每升高1 000m，气温下降6℃，某人乘热气球旅行，在地面时测得温度是8℃，当热气球升空后，测得高空温度是﹣1℃．求热气球的高度．【答案】1500m【详解】试题分析：利用温度差，计算热气球高度.试题解析：根据题意得：[8﹣（﹣1）]÷6⨯1000=910006⨯=1500（m）.则热气球的高度为1500m．有理数乘除法混合运算题型五：有理数乘除法混合运算【例题5】（2020·成都市建华中学七年级月考）计算：﹣100÷10110⨯=__________．5【答案】1-【分析】原式从左到右依次计算即可求解．【详解】﹣100÷101 10⨯=﹣101 10⨯1=-，故答案为：﹣1．【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算．变式训练【变式5-1】（2020·长春市第十三中学校七年级期中）计算：34(54)(32)43-÷⨯÷-．【答案】3【分析】根据有理数的除法法则，除以一个不为零的数，等于乘以这个数的倒数，先将除法统一成乘法，再根据有理数乘法法则解题，注意偶数个负数相乘，结果为正．【详解】34 (54)(32)43-÷⨯÷-441=(54)()3332-⨯⨯⨯-=3【点睛】本题考查有理数的乘除混合运算，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．【变式5-2】（2020·合肥寿春中学七年级期中）计算：94(81)(8)49-÷⨯÷-．【答案】2【分析】把除法转化为乘法，运用乘法法则求积即可．【详解】解：94 (81)(8)49-÷⨯÷-44181998=⨯⨯⨯2=．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解决本题的关键．【变式5-3】（2019·吉林长春市·）我们学过了乘法分配律，但是在做除法运算时就不能使用分配律．对于下面这道计算题：112234267314æö-÷-+-ç÷èø，小明有了自己的想法，小明的做法是：先求原式的倒数：1223112231223(42)42424267314426731467314æöæö-+-÷-=-+-⨯-=-⨯+⨯-⨯+ç÷ç÷èøèø×42＝﹣7+12﹣28+9＝﹣14，所以原式＝﹣114请你仿照以上小明的做法计算：113711242812æöæö-÷--+ç÷ç÷èøèø【答案】17【分析】仿照小明的做法，计算即可求出所求．【详解】解：先求原式的倒数=137111281224æöæö--+÷-ç÷ç÷èøèø＝（1﹣112﹣38+712）×（﹣24）＝﹣24+36+9﹣14＝7，则原式＝17．题型六：整除与带余除法【例题6】（2021·浙江杭州市·九年级一模）a 是不为2的有理数，我们把22a-称为a 的“哈利数”．如：3的“哈利数”是223-＝﹣2，﹣2的“哈利数”是212(2)2=--，已知a 1＝3，a 2是a 1的“哈利数”，a 3是a 2的“哈利数”，a 4是a 3的“哈利数”，…，依此类推，则a 2019＝（ ）A ．3B ．﹣2C ．12D ．43【答案】C【分析】分别求出数列的前5个数得出该数列每4个数为一周期循环，据此可得答案．【详解】∵a 1＝3，∴a 2＝223-＝﹣2，a 3＝212(2)2=--，a 4＝213224=-，a 5＝23243=-，∴该数列每4个数为1周期循环，∵2019÷4＝504…3，∴a 2019＝a 3＝12．故选：C ．【点睛】本题考查了数字的规律变化，通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．变式训练【变式6-1】（【全国区级联考】2017-2018学年湖北省咸宁市咸安区七年级（上）期末数学试卷）如图，连接在一起的两个正方形的边长都为1cm ，现有一个微型机器人由点A 开始按从A→B→C→D→E→F→C→G→A…的顺序沿正方形的边循环移动．当微型机器人移动了2018cm 时，它停在_____点．【答案】C【分析】由于沿正方形的边循环移动一圈要走8cm ，而2018=8×252+2即微型机器人移动了2018cm 时，共走了252圈加2cm ，然后得到从A 走2cm 到C 点．【详解】∵2018=8×252+2,∴当微型机器人移动了2018cm 时，它停在C 点．故答案为C【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．【变式6-2】（2015·山东德州市·）214 分钟=____小时____分【答案】3，34【详解】试题分析：根据时间的换算进率1时＝60分钟，可以直接计算214÷60=3小时……34分，因此答案为3，34.考点：时间的换算【变式6-3】（2017·全国七年级课时练习）筐中放着2002只球，甲、乙两同学轮流取球，每次只能取1只、2只或3只球，不可多取，谁能最后一次恰好取完球，谁就获胜，甲想获胜，他应该怎样去玩这场游戏？【答案】、甲先拿两只，然后让乙拿，甲两次拿球时与乙所拿球之和为4，重复上面的过程，甲便可获胜.【详解】考点：推理与论证．分析：最多取3个，那么应设计4的倍数的球让对方取，那么应先取2个，剩下4的倍数个，对方无论取几个，自己都能取4个里面剩余的个数．解答：甲同学先取2个球，将2000（是4的倍数）个球留给乙同学取，不记乙同学取多少个球，设为x个，甲同学总跟着取（4-x）个，这样总保证将4的倍数个球留给乙同学取，如此下去，最后一次是将4个球留给取乙同学，乙同学取后，甲同学一次取完余下的球．点评：考查推理与论证；得到能获胜的球总数量是解决本题的突破点；得到每次取的球数与对方取的球数的关系是解决本题的关键．【真题1】（2020·山西中考真题）计算1(6)3æö-÷-ç÷èø的结果是（）A．18-B．2C．18D．2-【答案】C【分析】根据有理数的除法法则计算即可，除以应该数，等于乘以这个数的倒数．【详解】解：（-6）÷（-13）=（-6）×（-3）=18．故选：C．【点睛】本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．【真题2】（2016·浙江杭州市·中考真题）计算6÷（﹣1123+），方方同学的计算过程如下，原式=6÷(-12)+6÷13=﹣12+18=6．请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程．【答案】-36【分析】根据有理数的混合运算顺序，先算括号里面的，再根据除法法则进行计算即可．【详解】解：方方的计算过程不正确，正确的计算过程是：原式=6÷（﹣12+26）=6÷（﹣16）=6×（﹣6）=﹣36．【点睛】本题考查有理数的除法．【真题3】（2017·湖北宜昌市·中考真题）今年5月21日是全国第27个助残日，某地开展“心手相连，共浴阳光”为主题的手工制品义卖销售活动.长江特殊教育学校将同学们手工制作的手串、中国结、手提包、木雕笔筒的相关销售信息汇总如下表，其中销售率最高的是（ ）手工制品手串中国结手提包木雕笔筒总数量（个）2001008070销售数量（个）1901007668A ．手串B ．中国结C ．手提包D ．木雕笔筒【答案】B 【详解】解：根据图表可知：手串的销售率=1901920020=＜1；中国结的销售率=100100=1；手提包的销售率=76198020=＜1；木雕笔筒的销售率=68347035=＜1，比较可知销售率最高的是中国结．故选：B【点睛】本题考查有理数大小比较；有理数的除法，正确计算是本题的解题关键．【拓展1】（2021·北京西城区·九年级二模）从1，2，3，4，5中选择四个数字组成四位数abcd ，其中a ，b ，c ，d 分别代表千位、百位、十位、个位数字．若要求这个四位数同时满足以下条件：①abcd 是偶数；②a b c >>；③a c b d +=+，请写出一个符合要求的数___．【答案】4312【分析】根据数字的要求进行推导即可得出答案．【详解】∵abcd 是偶数，∴d =2或4．∵a b c >>，∴a =4，b =3．∴d=2．∴c=1．abcd ．∴4312故答案为：4312．【点睛】本题考查了数字问题，找出满足的条件，进行推导，是解题的关键．【拓展2】（2019·北京人大附中朝阳学校九年级一模）古代有这样一个数学问题：韩信点一队士兵人数，三人一组余两人，五人一组余三人，七人一组余四人．问这队士兵至少多少人？我国古代学者早就研究过这个问题．例如明朝数学家程大位在他著的《算法统宗》中就用四句口诀暗示了此题的解法：三人同行七十稀，五树梅花甘一枝，七子团圆正半，除百零五便得知．这四句口诀暗示的意思是：当除数分别是3，5，7时，用70乘以用3除的余数（例如：韩信点兵问题中用70乘以2），用21乘以用5除的余数，用15乘以用7除的余数，然后把三个乘积相加．加得的结果如果比105大就除以105，所得的余数就是满足题目要求的最小正整数解．按这四句口诀暗示的方法计算韩信点的这队士兵的人数为__．【答案】53．【解析】【分析】我们先求5与7的倍数而用3除余1的数，3与7的倍数而用5除余1的数，3与5的倍数而用7除余1的数，再利用所求得的数和3、5、7的最小公倍数3×5×7＝105求出符合题目的解．【详解】3×5×7＝105，70是5与7的倍数，而用3除余1，21是3与7的倍数，而用5除余1，15是3与5的倍数，而用7除余1，因而70×2是5与7的倍数，用3除余2，21×3是3与7的倍数，用5除余3，15×4是3与5的倍数，用7除余4，所以70×2+21×3+15×4＝263＝2×105+53，则得53除以3余2，53除以5余3，53除以7余4，所以这队士兵至少有53人．故答案为53．【点睛】此题考查的知识点是带余数的除法，求得是5与7的倍数而用3除余1的数，3与7的倍数而用5除余1的数，3与5的倍数而用7除余1的数是关键．【拓展3】（2018·重庆中考模拟）有一个n 位自然数...abcd gh 能被x 0整除，依次轮换个位数字得到的新数...bcd gha 能被x 0+1整除，再依次轮换个位数字得到的新数...cd ghab 能被x 0+2整除，按此规律轮换后，...d ghabc 能被x 0+3整除，…，...habc g 能被x 0+n ﹣1整除，则称这个n 位数...abcd gh 是x 0的一个“轮换数”．例如：60能被5整除，06能被6整除，则称两位数60是5的一个“轮换数”；再如：324能被2整除，243能被3整除，432能被4整除，则称三位数324是2的一个“轮换数”．（1）若一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍，求证这个两位自然数一定是“轮换数”．（2）若三位自然数abc 是3的一个“轮换数”，其中a=2，求这个三位自然数abc ．【答案】（1）见解析；（2）三位自然数为201，207，255.【解析】试题分析：（1）先设出两位自然数的十位数字，表示出这个两位自然数，和轮换两位自然数即可；（2）先表示出三位自然数和轮换三位自然数，再根据能被5整除，得出b 的可能值，进而用4整除，得出c 的可能值，最后用能被3整除即可．解：（1）设两位自然数的十位数字为x ，则个位数字为2x ，∴这个两位自然数是10x+2x=12x ，∴这个两位自然数是12x 能被6整除，∵依次轮换个位数字得到的两位自然数为10×2x+x=21x∴轮换个位数字得到的两位自然数为21x 能被7整除，∴一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍，这个两位自然数一定是“轮换数”；（2）∵三位自然数是3的一个“轮换数”，且a=2，∴100a+10b+c 能被3整除，即：10b+c+200能被3整除，第一次轮换得到的三位自然数是100b+10c+a 能被4整除，即100b+10c+2能被4整除，第二次轮换得到的三位自然数是100c+10a+b 能被5整除，即100c+b+20能被5整除，∵100c+b+20能被5整除，∴b+20的个位数字不是0，便是5，∴b=0或b=5，当b=0时，∵100b+10c+2能被4整除，∴10c+2能被4整除，∴c只能是1，3，5，7，9；∴这个三位自然数可能是为201，203，205，207，209，而203，205，209不能被3整除，∴这个三位自然数为201，207，当b=5时，∵100b+10c+2能被4整除，∴10c+502能被4整除，∴c只能是1，5，7，9；∴这个三位自然数可能是为251，255，257，259，而251，257，259不能被3整除，∴这个三位自然数为255，即这个三位自然数为201，207，255．【点睛】此题是数的整除性，主要考查了3的倍数，4的倍数，5的倍数的特点，解本题的关键是用5的倍数求出b的值．。
1.5有理数的乘除例题与讲解(2013-2014年沪科版七年级上)
1.5 有理数的乘除1．有理数的乘法(1)有理数的乘法法则①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．如：－3×(－2)＝＋(3×2)＝6，(－2)×3＝－(2×3)＝－6.②任何数与零相乘仍得零．如：(－5)×0＝0.(2)有理数乘法的步骤第一步：确定积的符号；第二步：计算各因数的绝对值；第三步：计算绝对值的积．由于绝对值总是正数或0，因此绝对值相乘就是小学中的算术乘法．由此可见，有理数乘法实质上就是通过符号法则，归结为算术的乘法完成的．解技巧 有理数的乘法运算技巧(1)两个有理数相乘时，先确定积的符号，再把绝对值相乘，带分数相乘时，要先把带分数化为假分数，分数与小数相乘时，一般统一写成分数．(2)一个数同零相乘，仍得零，同1相乘，仍得原数，同－1相乘得原数的相反数．(3)两数相乘，若把一个因数换成它的相反数，则所得的积是原来积的相反数．【例1】 计算：(1)45×0.2； (2)13×(－4)；(3)(－1.3)×(－5)； (4)221133⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (5)1106⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭. 分析：利用乘法法则进行计算．这里(1)中是正数和正数相乘，因而得正；(2)中是正数和负数相乘，因而得负；(3)中是负数与负数相乘，因而得正；(4)中是负数和负数相乘，因而得正；(5)中是负数和零相乘，因而得零．小数和带分数一般化为分数或假分数．解：(1)原式＝45×15＝425； (2)原式＝－(13×4)＝－52；(3)原式＝＋(1.3×5)＝6.5；(4)原式＝5735326⎛⎫+⨯=⎪⎝⎭； (5)原式＝0.2.倒数(1)倒数的概念 如果两个有理数的乘积为1，我们称这两个有理数互为倒数，如2与12，⎝⎛⎭⎫－32与⎝⎛⎭⎫－23分别互为倒数．用字母表示：若ab ＝1，则a ，b 互为倒数，反之，若a ，b 互为倒数，则ab ＝1.(2)倒数的求法若a ≠0，则a 的倒数是1a ，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0无倒数．为了方便，一般采用如下方法：①非零整数——直接写成这个数分之一．如：4的倒数是14，－6的倒数是－16. ②分数的倒数——把分子、分母颠倒写即可；带分数要化为假分数，小数要化为分数后再把分子、分母颠倒位置写．如：－34的倒数是－43；－0.25的倒数是－4，－123的倒数是－35. ③倒数等于本身的数是±1，零没有倒数．辨误区 倒数与相反数的区别 一定要注意倒数的概念和相反数的概念的区分，互为相反数的两数之和为零，互为倒数的两数之积为1，同时正数的倒数仍为正数，负数的倒数仍为负数．【例2】 求下列各数的倒数．(1)－3；(2)45；(3)－0.2；(4)323. 分析：求一个整数的倒数直接写成这个数分之一即可；求一个分数的倒数，就是把这个分数的分子、分母颠倒位置即可；求一个小数的倒数，先把这个小数化成分数，再求其倒数；求一个带分数的倒数，要先化为假分数再求．解：(1)－3的倒数为－13；(2)45的倒数为54；(3)由于－0.2＝－15，所以－0.2的倒数为－5；(4)由于323＝113，所以323的倒数为311. 3．有理数乘法法则的推广(1)几个数相乘，有一个因数为零，积为零．如：1×2×(－5)×0×6＝0.(2)几个不为零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．(3)由上面的法则可以知道：几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后，再把每个因数的绝对值相乘．这就是多个因数求积的常用方法．解技巧 多个有理数相乘的技巧多个有理数相乘时，先观察因数中有没有0.如果有0，积就是0；如果没有0，一般按从左向右的顺序计算绝对值的积作为积的绝对值．【例3】 计算：(1)1172137732222⎛⎫⎛⎫+⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (2)(＋5.9)×(－1 992)×(＋1 993)×(－2 000)×0；(3)(－5)×8×(－7)×(－0.25)．分析：(1)四个因数只有一个是负数，所以结果是负数，再把带分数化为假分数，约分之后得出结果；(2)因为乘式中含有一个因数0，故积为零；(3)式子中的负数有3个，所以结果是负数．多个有理数进行运算时，应一次确定结果的符号，再计算各因数绝对值的积，这样既简捷又不易出错．解：(1)1172137732222⎛⎫⎛⎫+⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ＝－227×223×722×2122＝－7.(2)(＋5.9)×(－1 992)×(＋1 993)×(－2 000)×0＝0.(3)(－5)×8×(－7)×(－0.25)＝－(5×8×7×0.25)＝－70.4.有理数的除法(1)有理数除法的意义在有理数运算中，除法的意义依然是乘法的逆运算，即已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算．除法可以转化为乘法来进行．(2)有理数的除法法则①有理数的除法法则一(直接相除的法则)：Ⅰ.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．Ⅱ.零除以一个不为零的数，仍得零．零不能作除数．用字母表示：Ⅰ.若a ＞0，b ＞0，则a b ＝|a ||b |；若a ＜0，b ＜0，则a b ＝|a ||b |； 若a ＜0，b ＞0，则a b ＝－|a ||b |；若a ＞0，b ＜0，则a b ＝－|a ||b |. Ⅱ.若a ≠0，则0a＝0. ②有理数的除法法则二(化除为乘的法则)：除以一个不为零的数，等于乘以这个数的倒数．用字母表示：a ÷b ＝a ×1b(b ≠0)． 析规律 两个除法法则的区别对于除法的两个法则，在计算时根据具体情况，灵活运用，一般在不能整除的情况下应用法则二，在能整除的情况下，应用法则一比较简便．【例4】 计算：(1)(－16)÷(－4)； (2)3324⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭； (3)57168⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (4)0÷(－20)．分析：在做除法时，选择哪一个除法法则，应从运算是否方便考虑，和乘法一样，做除法时，先要把带分数化为假分数．解：(1)(－16)÷(－4)＝16÷4＝4； (2)333422423⎛⎫-÷=-⨯=- ⎪⎝⎭； (3)57168⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝116×87＝4421； (4)0÷(－20)＝0.5．有理数的乘、除混合运算(1)有理数的乘、除混合运算①形式a ÷b ÷c ；a ×b ÷c ；a ÷b ×c ，这些都是有理数的乘、除混合运算．②方法有理数的乘、除混合运算，先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则确定积的符号，最后求出结果．如，计算：(－81)÷214×49÷(－15)． ③运算顺序对于连除或乘除混合运算问题，我们可以按从左到右的顺序依次进行计算，也可以直接把除法转化为乘法来计算．(2)有理数的四则混合运算对于含有加、减、乘、除的有理数的混合运算，运算顺序是：如没有括号，应先做乘除运算，后做加减运算；如有括号，应先做括号里的运算，再做其他运算．【例5－1】 计算：(1)(－35)×(－312)÷(－114)÷3； (2)－214÷1.125×(－8)． 分析：乘除混合运算要按从左到右顺序进行．对于有理数的乘除法混合运算，应将它们统一为有理数的乘法运算．先由负因数的个数确定结果的符号，再把带分数化为假分数，同时把小数也化为分数，最后考虑约分．解：(1)(－35)×(－312)÷(－114)÷3 ＝(－35)×(－72)×(－45)×13＝－35×72×45×13＝－1425； (2)－214÷1.125×(－8) ＝94÷98×8 ＝94×89×8＝16. 【例5－2】 计算：(15－13)×(14＋15)÷(－120)÷(－13). 分析：本题是有理数的加减乘除混合运算，可按四则混合运算的顺序进行计算，有括号的要先算括号里面的．解：(15－13)×(14＋15)÷(－120)÷(－13) ＝－215×920×(－20)×(－3) ＝－(215×920×20×3)＝－185. 6．有理数的乘法的运算律(1)乘法交换律 两个数相乘，交换因数的位置，积不变．即ab ＝ba .(2)乘法结合律三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变．即(ab )c ＝a (bc )．(3)分配律一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即a (b ＋c )＝ab ＋ac .分配律在有理数的运算以及今后的有关代数式运算及变形中运用非常广泛，它的正向运用(即从左到右)与逆向运用(即从右到左)对于不同形式的计算与变形都起着简化的作用，应注意灵活运用．如，计算：(134－78－712)×(－117)，考虑前一个括号里面的各个因数的分子都是7，而后面括号里面的因数的分母是7，可以直接利用乘法的分配律简化运算．【例6】 用简便方法计算：(1) (－12＋16－38＋512)×(－24)； (2)－13×23－0.34×27＋13×(－13)－57×0.34. 分析：第(1)题中有(－24)是括号中各分母的公倍数，所以应利用分配律变形；第(2)题把－0.34×27与13×(－13)交换位置，然后利用结合律将前两项结合、后两项结合，即分成两组，再分别在每组中逆用分配律即可．解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫－12×(－24)＋16×(－24)＋38×24＋512×(－24) ＝12－4＋9－10＝7.(2)原式＝－13×23＋13×(－13)－0.34×27－57×0.34＝⎣⎡⎦⎤(－13)×23＋13×(－13)＋⎣⎡⎦⎤0.34×⎝⎛⎭⎫－27－57×0.34 ＝2125(13)0.343377⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⨯++⨯-- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦＝(－13)×1＋0.34×(－1)＝－13－0.34＝－13.34.7．有理数混合运算的技巧进行有理数的乘除运算，除了注意运算顺序和运算法则之外，还要注意一些运算技巧，力求使运算简便．解答有理数除法运算有关的问题时，我们应注意利用有理数的除法法则，将有理数的除法运算转化为有理数的乘法运算．如果被除数或除数中有小数应先化为分数，有带分数应先化为假分数，便于约分，简化运算．辨误区 除法没有分配律除法没有分配律，如在有理数的除法运算中，如果按a ÷(b ＋c )＝a ÷b ＋a ÷c 进行分配就错了．除法是没有分配律的，从而不能运用分配律．像6÷3×13有时会习惯性地将3和分母中的3约分，这是错误的，应严格按运算顺序进行计算，并经过一定练习才能灵活进行有理数的混合运算．有理数的乘、除混合运算的性质有：①a ÷b ÷c ＝a ÷(b ×c )＝a ÷c ÷b .即一个数除以另一个数所得的商再除以第三个数，等于第一个数除以第二、三两数的积；也等于第一个数除以第三个数所得的商再除以第二个数．如：740÷(37×4)＝740÷37÷4＝20÷4＝5.②a ×b ÷c ＝a ×(b ÷c )＝(a ÷c )×b .即两个数的积除以第三个数，等于其中任意一个乘数除以第三个数，再与另一个乘数相乘．如：136×73÷68＝2×73＝146.③a ÷b ×c ＝a ÷(b ÷c )．即第一个数除以第二个数所得的商再乘以第三个数，等于先求出第二个数除以第三个数的商，再用第一个数除以这个商．如：480 000÷144×12＝480 000÷(144÷12)＝480 000÷12＝40 000.以上三个公式中，添括号或去括号都有规律．添括号时，如果一个数的前面是乘号，那么这个数前面添上括号后，括到括号里面的运算符号不变；如果一个数的前面是除号，那么在这个数前面添上括号后，括到括号里面的运算符号要改变，乘号变除号，除号变乘号．【例7－1】 计算：(1)⎝⎛⎭⎫14－15＋13÷160；(2)160÷111453⎛⎫-+ ⎪⎝⎭. 分析：(1)先将除法转化为乘法，运用了分配律后使运算简便；第(2)题属于易错题，因为除法没有分配律，只有乘法才有分配律，而一些学生往往因不看清题目而错误地运用运算律．解：(1)方法一：⎝⎛⎭⎫14－15＋13÷160＝⎝⎛⎭⎫1560－1260＋2060×60＝2360×60＝23. 方法二：⎝⎛⎭⎫14－15＋13÷160＝(14－15＋13)×60 ＝14×60－15×60＋13×60＝23. (2)方法一：160÷(14－15＋13) ＝160÷(1560－1260＋2060)＝160÷2360＝123. 方法二：∵⎝⎛⎭⎫14－15＋13÷160＝(14－15＋13)×60＝14×60－15×60＋13×60＝23， ∴根据倒数的定义有160÷(14－15＋13)＝123. 【例7－2】 计算：(－48)×⎝⎛⎭⎫－23＋34＋112. 分析：在有理数的计算中，如果能够准确地确定运算结果的符号，则可省去一些不必要的括号，运算步骤的简明与流畅可以提高运算的正确率．解：(－48)×⎝⎛⎭⎫－23＋34＋112 ＝48×23－48×34－48×112＝32－36－4＝－8.【例7－3】 计算：－3.5×35.2＋(－7)×32.4.分析：仔细观察算式的特点，可以发现3.5和7存在倍数关系，不妨将7写成3.5×2，然后逆用分配律来简化计算．解：－3.5×35.2＋(－7)×32.4＝－3.5×35.2＋(－3.5)×2×32.4＝－3.5×(35.2＋2×32.4)＝－3.5×100＝－350.【例7－4】 计算：0.25÷168×(－1517). 分析：本题如果先计算0.25÷168的结果再乘以⎝⎛⎭⎫－1517，运算过程就很繁杂，而且容易出错．仔细观察每一个数的特点，考虑0.25×4＝1，可将68分解成4×17., 去括号时，如果括号的前面是乘号，那么去掉括号后，括号里面的运算符号不变；如果括号的前面是除号，那么去掉括号后，括号里面的运算符号要改变，乘号变除号，除号变乘号．解：0.25÷168×(－1517)＝0.25×68×(－1517) ＝0.25×4×17×(－1517)＝(0.25×4)×151717⎡⎤⎛⎫⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝1×(－15)＝－15. 8．计算器的使用计算器是一种方便实用的计算工具，计算速度快，计算准确，操作方便．使用时要特别注意以下几点：(1)按下数字键后，应看清显示器上的显示是否正确；(2)用计算器进行有理数的加减运算时，按式子的顺序从左向右按；(3)用计算器进行有理数的乘除运算时，特别是有负数出现时，先应按(－)，再输入其绝对值；(4)对于加减乘除混合运算，只要按算式的书写顺序输入，计算器会按要求求出结果．【例8】 用计算器计算：－15.13＋4.85＋(－7.69)－(－13.88)．分析：不同的计算器用法不一样，要注意，使用计算器能进行一些较为复杂的运算．解：用带符号键(－)的计算器计算．按键顺序： (－)15·13＋4·85＋(－)7·69－(－)13·88＝. 得到－4.09.9．有理数的混合运算在实际问题中的应用有理数的混合运算在现实生活中有着广泛的应用，是解决其他数学问题的基础，也是解应用题的基础，多以实际应用、规律探究型问题的形式出现．尤其是运算律在现实生活中的应用更加广泛．在现实生活中我们经常会遇到一些较大的或者较复杂的数的混合运算，这时就要利用运算律进行转化，使运算简化．解决实际问题的关键是根据问题情境找出数量关系，将实际问题转化为所学的数学问题．有理数的混合运算可以解决一些实际应用题，如：银行利息计算、话费计算等．解决这类问题的关键是将实际问题抽象成数学问题，用运算符号正确表达出关系式，注意单位和解题格式．【例9－1】 某校体育器材室共有60个篮球．一天课外活动，有3个班级分别计划借篮球总数的12、13和14.请你算一算，这60个篮球够借吗？如果够了，还多几个篮球？如果不够，还缺几个？分析：本题可以转化为：求一个数的几分之几是多少的数学模型，所以用乘法来解答． 解：60×1111234⎛⎫--- ⎪⎝⎭＝60×1－60×12－60×13－60×14＝60－30－20－15＝－5(个)．答：不够借，还缺5个篮球．【例9－2】 根据实验测定，高度每增加1 km ，气温大约下降6 ℃，小王是一位登山运动员，他在攀登山峰的途中发回信息，报告他所在的位置的气温是－15 ℃，如果当时地面的气温是3 ℃，则小王所在的位置离地面的高度是多少？分析：地面的温度是3 ℃，小王所在的位置是－15 ℃，我们可以根据温度差与高度每增加1 km 气温大约下降6 ℃之间的关系，通过计算得到小王所在位置的高度．解：[3－(－15)]÷6×1＝3(km)．所以小王所在的位置离地面的高度为3 km.。
湘教版数学七年级上册1.5有理数的乘法和除法(含答案)
1．5 有理数的乘法和除法专题一 有关字母型的乘除法1. 四个整数a ，b ，c ，d 互不相等，且abcd =25，求a +b +c +d 的值．2．a ，b 为有理数，且|a +b |=a ﹣b ，试求ab ．3． 设a =-1÷2÷3÷4，b =-1÷(2÷3÷4)，c =-1÷(-2÷3)÷4，d =-1÷2÷(3÷4)，计算(b ÷a )÷(c ÷d )的值．专题二 有关数字型的乘除法4．计算：)311()433()1(-÷-÷-．5． 计算：)18()1816531(446.6496.8-⨯+-+⨯+⨯-．6． 阅读下面的材料：计算：)8(161589-⨯． 解：)8(161589-⨯=)8()16190(-⨯-=)8(161)8(90-⨯--⨯=-720+21=21719-． 根据你对材料的理解，计算：)9(272699-⨯．专题三 有关探究型的乘除法7． 将2013减去它的21，再减去余下的31，再减去余下的41，…，以此类推，直至减去余下的20131，试探究最后的结果是多少？8． 中央电视台每一期的“开心辞典”栏目，都有一个“二十四点”的趣味题，将四个数(四个数都用且只能用一次)进行“+”、“﹣”、“×”、“÷”运算，可加括号使其结果等于24．例如：对1、2、3、4可作运算(1+2+3)×4=24，也可写成4×(1+2+3)=24，但视作相同方法的运算．现有四个有理数3，﹣5，7，﹣13，请你写出一个符合条件的算式，使其结果等于24．9． 如图，是一个“有理数转换器”(箭头是指数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器)(1)当小明输入3；﹣4；95；﹣2013这四个数时，这四次输出的结果分别是？ (2)你认为当输入什么数时，其输出结果是0？(3)你认为这个“有理数转换器”不可能输出什么数？【知识要点】1．两数相乘，同号得正，异号得负，并且把绝对值相乘；任何数与0相乘，都得0．几个不等于0的数相乘，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．2．乘法交换律：a ×b =b ×a ．乘法结合律：(a ×b )×c = a ×(b ×c )．乘法对加法的分配律：a ×(b +c ) = a ×b +a ×c ．3．两数相除，同号得正，异号得负，并且把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数都得0．4．一般地，如果两个数的乘积等于1，我们把其中一个数叫做另一个数的倒数，0没有倒数．除以一个不等于零的数等于乘这个数的倒数．【温馨提示】1．有理数乘除法运算时，要注意与有理数加法运算确定符号的区别．2．几个有理数连除，不要弄错除数．【方法技巧】1．几个有理数相乘除，结果的符号由负数的个数决定，当负数有奇数个时，结果为负；当负数有偶数个时，结果为正．2．对于分数除法，一般先转化为乘法．3．正确运用乘法运算律能简化运算．参考答案1． 解：因为25=5×5，整数a ，b ，c ，d 互不相等，且abcd =25，所以a ，b ，c ，d 的值只能分别为5，﹣5，1，﹣1.所以a +b +c +d =0．2． 解：因为|a +b |=a +b 或﹣a ﹣b ，所以a +b =a ﹣b 或﹣a ﹣b =a ﹣b ，解得b =0或a =0. 所以ab =0．3． 解： 241413121-=⨯⨯-=a ， 6)4132(1-=⨯÷-=b ， 83412341)32(1=⨯=⨯-÷-=c ， 3234214321-=⨯-=÷÷-=d ， 则 (b ÷a )÷(c ÷d )=acbd c d a b =⨯， 所以bd =4)32(6=-⨯-，ac =64183241-=⨯-， 所以原式=2566414=-=ac bd ． 4． 解：原式=51)43()154()1(-=-⨯-⨯-． 5． 解：原式=)18(181)18(65)18(314)46.696.8(-⨯+-⨯--⨯+⨯+- =-10-6+15-1=-2．6． 解：)9(272699-⨯=)9()271100(-⨯- =)9(271)9(100-⨯--⨯ =-900+31=32899-． 7． 解：根据题意得：)201311()311()211(2013-⨯⨯-⨯-⨯ =2013201232212013⨯⨯⨯⨯ =1． 故结果为1． 8． 解：[(-5)×(-13)+7]÷3=24．9． 解：(1)因为3＞2，所以输入3时的程序为：(3﹣5)=﹣2＜0.所以﹣2的相反数是2＞0，2的倒数是21，所以当输入3时，输出21； 当输入﹣4时，因为﹣4＜2，所以﹣4的相反数是4＞0，4的倒数是41. 所以当输入﹣4时，输出41； 当输入95时，95＜2，所以其相反数是95 ，其绝对值是95， 所以当输入95时，输出95； 当输入﹣2013时，﹣2013＜2，所以其相反数是2013＞0，其倒数是20131， 所以当输入﹣2013时，输出20131. (2)因为输出数为0，0的相反数及绝对值均为0，所以应输入0；(3)由(1)中输出的各数均为非负数可知，输出的数应为非负数．。
有理数的乘除运算
有理数的乘除运算有理数是指整数和分数的统称，包括正整数、负整数、零以及能够表示为分子与分母都是整数的分数。
在数学中，有理数的乘除运算是非常重要的基础知识之一。
本文将从基本概念出发，详细介绍有理数的乘法和除法运算。
一、有理数的乘法运算在有理数的乘法运算中，我们首先需要了解有理数的正负规则。
正数乘以正数得正数，负数乘以负数也得正数。
而正数乘以负数或者负数乘以正数，则得负数。
在进行有理数的乘法运算时，一般采用以下步骤：1. 直接将分子与分母相乘，所得的结果即为新的有理数的分子和分母。
例如：计算 (-2/3) × (4/5)解：(-2/3) × (4/5) = (-2 × 4) / (3 × 5) = -8/152. 将所得分子和分母进行约分，即将分子和分母的最大公约数同时除去。
例如：计算 (10/12) × (18/20)解：(10/12) × (18/20) = (10 × 18) / (12 × 20) = 180/240= (6 × 30) / (8 × 30) = 6/8 = 3/4二、有理数的除法运算在有理数的除法运算中，我们需要注意零的特殊规则。
任何数除以零是没有意义的，因此除法运算要避免出现被零除的情况。
进行有理数的除法运算时，可以采用以下步骤：1. 先将除法转化为乘法，即将除数倒数后进行乘法运算。
例如：计算 (-3/4) ÷ (2/5)解：(-3/4) ÷ (2/5) = (-3/4) × (5/2) = (-3 × 5) / (4 × 2) = -15/82. 如果需要，对所得的结果进行约分。
例如：计算 (18/28) ÷ (3/7)解：(18/28) ÷ (3/7) = (18/28) × (7/3) = (18 × 7) / (28 × 3) = 3/23. 如果被除数和除数都是整数，可进行整数的除法计算。
2024年湘教版七年级数学上册 1.5 有理数的乘法和除法(课件)
乘法对加法
的分配律 (简称分配 律)
一个有理数与两个有理数的和相乘， 等于把这个数分别与这两个数相乘， 再把积相加
知2－讲
用字母表示 a×b=b×a
(a×b) ×c=a× (b×c)
a× (b+c) =a×b+a×c
感悟新知
知2－讲
特别解读 1. 有理数的乘法交换律和乘法结合律一般不
单独用，交换的目的是为了更好地结合 . 2. 运用乘法的运算律进行计算，是为了简化运
解：原式
=
2 3
×(－60)－
11 12
×(－60)－
14 15
×(－60)
=－40+55+56
=71.
感悟新知
知2－练
误区警示：用分配律展开算式，相乘时括号里的 每个数都要带上它前面的符号，且不 要漏乘括号中的任何一项 .
感悟新知
4-1.计算：(－24)×(－23
＋
3 4
＋
1 12
).
解：原式＝－4.
知1－练
解题秘方：先根据两个数的积的符号判断出两个 数是同号还是异号，再根据两个数和 (差)的符号，判断两个数的正负性 .
感悟新知
(1) a+b<0， ab>0； 解： 因为 ab>0，所以 a， b 同号 . 又因为 a+b<0，所以 a， b 同为负 .
(2) a － b<0， ab<0. 因为 ab<0，所以 a， b 异号 . 又因为 a－b<0，所以 a<b， 所以 a 为负， b 为正 .
知2－练
感悟新知
例5 计算：
知2－练
(－
47.65)×