一元二次方程求根公式及讲解
一元二次方程及求根公式
一元二次方程及求根公式二次方程是指含有二次项的方程，其一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，且a ≠ 0。
对于这类方程，我们可以利用求根公式来求解方程的根。
一、求根公式的推导对于二次方程ax^2 + bx + c = 0，可以通过完成平方的方法将其转化为(x + p)^2 = q的形式，其中p和q是待求常数。
具体推导过程如下：1. 将二次项系数前的a提出来得到 a(x^2 + (b/a)x) = -c；2. 完成平方的方式是，将(x^2 + (b/a)x)的一半系数（即b/2a）提出来得到 [(x + (b/2a))^2 - (b/2a)^2] = -c；3. 将上式右边展开，变为 (x + (b/2a))^2 - (b^2/4a^2) = -c；4. 通过移项，可以将式子转化为 (x + (b/2a))^2 = (b^2 - 4ac)/4a^2；5. 由此可得(x + (b/2a)) = ±√ [(b^2 - 4ac)/4a^2]；6. 化简后得到 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/2a。
上述推导过程就是一元二次方程求根公式的推导过程，通过这个公式我们可以计算二次方程的根。
二、求解实根和虚根根据一元二次方程的求根公式，我们可以得知方程的根取决于判别式Δ = b^2 - 4ac 的值。
1. 当Δ > 0 时，方程有两个不相等的实根。
即 x1 = (-b + √Δ)/2a 和x2 = (-b - √Δ)/2a。
2. 当Δ = 0 时，方程有两个相等的实根。
即 x1 = x2 = -b/2a。
3. 当Δ < 0 时，方程无实根，但有两个互为共轭的虚根。
此时令Δ = -D，则方程的根为 x1 = (-b + i√D)/2a 和 x2 = (-b - i√D)/2a，其中i为虚数单位。
三、实例演示下面通过一个实际的例子，来演示如何利用求根公式求解一元二次方程。
用公式法求解一元二次方程
用公式法求解一元二次方程 一、公式法公式法：求根公式：一般地，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，当b 2－4ac ≥0时，它的根是：2b x a-±=．上面这个式子称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.【知识拓展】(1)求根公式专指一元二次方程的求根公式，只有确定方程是一元二次方程时，才可以使用．(2)应用公式法解一元二次方程时，要先把方程化成一般形式，确定二次项系数、一次项系数、常数项，且要注意它们的符号．(3)b 2－4ac ≥0是公式使用的前提条件，是公式的重要组成部分．一元二次方程的求根公式的推导：一元二次方程的求根公式的推导过程就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的过程． ∵a ≠0，∴方程的两边同除以a 得20b cxx a a++=． 配方得22222b b c b x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∵a ≠0，∴a 2＞0，∴4a 2＞0．∴当b 2－4ac ≥时，2244b ac a-是一个非负数．此时两边开平方得22b x a a+=，∴2b x a-±=【知识拓展】(1)被开方数b2－－4ac有意义．(2)由求根公式可知一元二次方程的根是由其系数a ，b ，c 决定的，只要确定了a ，b ，c 的值，就可以代入公式求一元二次方程的根．【新课导读·点拨】因为a ＝1，b ＝－1，c ＝－90，所以()()2114190119212x ±--⨯⨯-±==⨯．故x 1＝10，x 2＝－9(不符合实际，舍去)．所以全校有10个队参赛．【例1】解下列方程．(1)x 2－2x ＝0； (2)3x 2＋4x ＝－1； (3)2x 2－4x ＋5＝0． 分析：解：(1)x 2－2x －2＝0，∵a ＝1，b ＝－2，c ＝－2，∴b 2－4ac ＝(－2)2－4X1×(－2)－12＞0，∴21222322x ±±==，∴113x =+，113x =- (2)原方程可化为3x 2＋4x ＋1＝0，∵a ＝3，b ＝4，c ＝1，∴b 2－4ac ＝42－4×3×1＝4＞0， (3)2x 2－4x ＋5＝0，∵a ＝2，b ＝－4，c ＝5，∴b 2－4ac ＝(－4)2－4×2×5＝－24＜0， ∴该方程没有实数根．二、一元二次方程根的判别式定义：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的情况可由b 2－4ac 来判定.我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“△”来表示，读作：“delta(德尔塔)”．对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，当b 2－4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当b 2－4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根； 当b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根． 反之亦成立．【知识拓展】(1)根的判别式是△＝b 2－4ac ，而不是24b ac =-(2)根的判别式是在一元二次方程的一般形式下得出的，因此，必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况，要注意方程中各项系数的符号．(3)如果一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时b 2－4ac ≥0．探究交流已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋m＝0有实数根，当m取最大值时，求该一元二次方程的根．分析：根据根的判别式的意义可得△＝4－4m≥0，解得m≤1，所以m的最大值为1，此时方程为x2＋2x＋1＝0，然后运用公式法解方程．解：∵关于x的一元二次方程x2＋2x＋m＝0有实数根，∴△＝4－4m≥0，∴m≤1，∴m的最大值为1，当m＝1时，一元二次方程变形为x2＋2x＋1＝0，解得x1＝x2＝1．【例2】一元二次方程x2＋x＋3＝0的根的情况是( )A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定分析：判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b2－4ac的值的符号就可以了．∵a＝1，b＝1，c＝3，∴△＝b2－4ac＝12－4×1×3＝－11＜0，∴此方程没有实数根．故选C．##整理归纳##$$练习$$##题型##单选##题干##(2013·珠海中考)已知一元二次方程：①x2＋2x＋3＝0，x2－2x－－3＝0．下列说法正确的是( )A．99帮有实数解B．①无实数解，②有实数解C．①有实数解，②无实数解D．①②都无实数解##答案##B##解析##方程①的判别式△=4-12=－8，则①没有实数解；②的判别式△=4+12=16，则②有实数解.故选B.$$更多练习$$##题型##主观填空题##题干##(2011·上海中考)如果关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋c ＝0(c 是常数)没有实数根，那么c 的取值范围是______． ##答案## c ＞9##解析##∵关于xx 2－6x ＋c ＝0(c 是常数)没有实数根，∴△＝(－6)2－4c ＜0，即36－4c ＜0，c ＞9##题型## 主观题 ##题干##(2012·珠海中考)已知关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋m ＝0． (1)当m ＝3时，判断方程的根的情况； (2)当m ＝3时，求方程的根． ##答案##解：(1)当m ＝3时，△＝b 2－4ac ＝22－4×3＝－8＜0，∴原方程无实数根. (2)当m ＝－3时，原方程变形为x 2＋2x －3＝0.∵b 2－4ac ＝4＋12＝16，216122x -±==-±，∴x 1＝1，x 2＝－3.##题型## 主观题 ##题干##(2013·乐山中考)已知关于x 的一元二次方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋k ＝0． (1)求证方程有两个不相等的实数根；(2)若△ABC 的两边AB ，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值．##答案##(1)证明：∵△＝(2k ＋1)2－4(k 2+k)＝1＞0，∴方程有两个不相等的实根.(2)解：一元二次方程x 2－(2k+1)x ＋k 2＋k ＝0的解为2112k x +±=，即x 1＝k ，x 2＝k＋1，不妨设AB ＝k ，AC ＝k ＋1，当AB ＝BC 时，△ABC 是等腰三角形，则k ＝5；当AC ＝BC 时，△ABC 是等腰三角形，则k ＋1＝5，解的k ＝4.所以k 的值为5或4.$$典型$$ ##典例精析##类型一 用公式法解一元二次方程 【例1】用公式法解下列方程． （1）x 2＋2x －2＝0；(2) 23x+=；（3）21028n n -+=分析：方程(1)(3)可直接确定a ，b ，c 的值，方程(2)需先化为一般形式，再确定a ，b ，c 的值．解：(1)∵a ＝1，b ＝2，c ＝－2，∴b 2－4ac ＝22－4×1×(－2)＝12＞0，∴212x -±==-±11x =-+，11x =--(2)将方程化为一般形式，得230x -+=．∵a ＝1，b =-，c ＝3，∴(22441340b ac -=--⨯⨯=-<∴原方程没有实数根．（3）∵a ＝1，b =-，18c =，∴221441028b ac ⎛⎫-=--⨯⨯= ⎪⎝⎭，∴224n ±==，∴124n n ==.规律方法小结：(1)用公式法解一元二次方程时，一定要先将方程化为一般形式，再确定a ，b ，c 的值．(2)b 2－4ac ≥0是公式中的一个重要组成部分，b 2－4ac ＜0时，原方程没有实数根．(3)当b2－4ac ＝0时，应把方程的根写成122bx x a==-，的形式，用以说明一元二次方程有两个相等的根，而不是一个根．类型二 不解方程判定根的情况【例2】不解方程，判断下列方程的根的情况．(1)x 2－x －1＝0； (2)2x 2＋3x ＝－2； (3)－2x 2－3x ＋4＝0． 解：(1)∵a ＝1，b ＝－1，c ＝－1，∴△＝b 2－4ac ＝1＋4＝5＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根． (2)原方程可变形为2x 2＋3x ＋2＝0， ∵a ＝2，b ＝3，c ＝2，∴△＝b 2－4ac ＝9－16＝－7＜0， ∴原方程没有实数根．(3)原方程可变形为2x 2＋3x －4＝0，∵a ＝2，b ＝3，c ＝－4，∴b 2－4ac ＝32－4×2×(－4)＝41＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．类型三 几何图形中的方案设计问题【例3】(2012·湘潭中考)如图2所示，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN 最长可利用25 m)，现在已备足可以砌50 m 长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300 m 2．(所备材料全部用完)分析：设未知数，将矩形的长和宽表示出来，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可．解：设AB ＝x m ，则BC ＝(50－2x)m ．根据题意可得x(50－2x)＝300，解得x 1＝10，x 2＝15．当x ＝10时，BC ＝50－2×10＝30＞25，不符合题意，舍去， 当x ＝15时，BC ＝50－2×15＝20＜25，符合题意， 故AB ＝15 m ，BC ＝20 m.答：可以围成AB 的长为15 m ，BC 的长为20 m 的矩形．【解题策略】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列方程求解，注意围墙MN 最长可利用25 m ，舍掉不符合题意的数据．类型四 用公式法解含字母系数的一元二次方程【例4】解关于x 的方程x 2－2mx ＋m 2－2＝0． 解：∵a ＝1，b ＝－2m ，c ＝m 2－2， ∴()228422222212m b b ac m x m a --±-±-±====±⨯∴1x m =+2x m =- 【解题策略】要熟练运用公式法求一元二次方程的解，准确确定a ，b ，c 的值是解题的关键．类型五 根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围．【例5】k 取何值时，关于x 的一元二次方程kx 2－12x ＋9＝0． (1)有两个不相等的实数根? (2)有两个相等的实数根? (3)没有实数根?分析：(1)当△＝b 2－4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；(2)当△＝b 2－4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根；(3)当△＝b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根．分别求出是的取值范围即可．解题时注意二次项系数k ≠0． 解：方程是一元二次方程，则k ≠0． (1)若方程有两个不相等的实数根，则△＝ b 2－4ac ＝144－36k ＞0，解得k ＜4．所以k ＜4且k ≠0． (2)若方程有两个相等的实数根，则△＝b 2－4ac ＝144—36k ＝0，解得k ＝4． (3)若方程没有实数根，则△＝b 2－4ac ＝144－36k ＜0，解得k ＞4．类型六 设计方案解决几何图形面积问题【例6】(2013·连云港中考)小林准备进行如下操作实验：把一根长为40 cm 的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小林该怎么剪? (2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2．”他的说法对吗?请说明理由．分析：(1)设剪成的较短的一段长x cm ，则较长的一段长(40－x)cm ，这样就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58 cm 2建立方程求出其解即可；(2)设剪成的较短的一段长优咖，则较长的一段长(40－m)cm ，这样就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48 cm 2建立方程，如果方程有解就说明小峰的说法错误，否则正确． 解：(1)设剪成的较短的一段长x cm ，则较长的一段长(40－x)cm ， 由题意，得22405844x x -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得x 1＝12，x 2＝28．当x ＝12时，40－x ＝40－12＝28，当x ＝28时，40－x ＝40－28＝12＜28(舍去)． ∴较短的一段长12 cm ，较长的一段长28 cm.(2)设剪成的较短的一段长m cm ，则较长的一段长(40－m)cm ，由题意，得22404844m m -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理，得m 2－40m ＋416＝0，∵△＝(－40)2－4×416＝－64＜0，∴原方程无解．∴小峰的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2．类型七 分类讨论求方程的根【例7】解关于x 的方程(k －1)x 2＋(k －2)x －2k ＝0．(23k >)分析：解含有字母系数的方程，往往要按字母的取值分类讨论．此题有两种情况，k ＝1和k ≠1，当且仅当k ≠1时，二次项系数不为零，才能用一元二次方程的求根公式来解．解：当k ＝1时，原方程为－x －2＝0，∴x ＝－2． 当k ≠1时，∵a ＝k －1，b ＝k －2，c ＝－2k ，∴b 2－4ac ＝(k －2)2－4(k －1)(－2k)＝9k 2－12k ＋4＝(3k －2)2≥0， ∴x=11kx k =-，22x =-【解题策略】当二次项系数中含有参数时，要讨论；次项系数是否为零．类型八 应用根的判别式判断三角形的形状【例8】已知a ，b ，c 分别是伽c 的三边长，当m ＞0时，关于x 的一元二次方程()()220cx m b x m ++--=有两个相等的实数根，则△ABC 是什么形状的三角形?分析：由方程有两个相等的实数根可得根的判别式为0，得到与m 有关的等式，由m ＞0得a ，b ，c之间的关系，从而判定三角形的形状． 解：将方程化为一般形式()()20b c x c b m +-+-=．因为原方程有两个相等的实数根， 所以()()()240b c c b m ∆=--+-=，即4m(a 2＋b 2－c 2)＝0，又因为m ＞0，所以a 2＋b 2－c 2＝0，即a 2＋b 2＝c 2．根据勾股定理的逆定理知△ABC 是直角三角形．类型九 探索含字母系数的一元二次方程的根的情况【例9】已知关于z 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝o(a ≠0)．(1)当a ，c 异号时，试说明该方程必有两个不相等的实数根；(2)当a ，c 同号时，该方程要有实数根，还需要满足什么条件?请你写出一个a ，c 同号，且有实数根的一元二次方程，并解这个方程．分析：(1)只需说明b 2－4ac ＞0即可．(2)是一个开放性问题，写出的方程满足a ，c 同号，且b 2－4ac ≥0即可．解：(1)因为a ，c 异号，所以ac ＜O ，所以－4ac ＞0，所以b 2－4ac ＞0， 所以，当a ，c 异号时，该方程必有两个不相等的实数根．(2)当a ，c 同号时，该方程要有实数根，还需满足条件b 2－4ac ≥0． 例如方程x 2－4x ＋3＝0，解得x 1＝3，x 2＝1．【解题策略】(2)中并不是任意的方程都可以，它满足的条件是a ，c 同号且b 2－4ac ≥0，而这样的方程有无数个，我们可以选取一些解答较方便的方程。
一元二次方程的求根公式是啥
一元二次方程的求根公式是啥求根公式分为两个部分：计算判别式和计算根的表达式。
首先，计算判别式，判别式是Δ = b^2 - 4ac。
判别式Δ 可以帮助我们判断方程有多少个实根，根的类型以及相应的解。
如果Δ>0，方程有两个实根（不相等），公式为x=(-b±√Δ)/(2a)。
如果Δ=0，方程有一个实根（重根），公式为x=-b/(2a)。
如果Δ<0，方程没有实根，存在复数解，公式为x=(-b±i√，Δ，)/(2a)，其中i是虚数单位。
接下来，我们将详细解释三种情况的求根公式。
1.当Δ>0时，方程有两个实根（不相等），根的公式为x=(-b±√Δ)/(2a)。
在这种情况下，我们需要计算两个不同的实根。
例如，给定方程2x^2+5x-3=0，则有a=2，b=5，c=-3由判别式Δ = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(2)(-3) = 49，显然Δ > 0。
根据一元二次方程的求根公式，我们计算两个实根：x1=(-5+√49)/(2*2)=(-5+7)/4=2/4=0.5x2=(-5-√49)/(2*2)=(-5-7)/4=-12/4=-3因此，方程2x^2+5x-3=0的两个实根分别为0.5和-32.当Δ=0时，方程有一个实根（重根），根的公式为x=-b/(2a)。
在这种情况下，方程只有一个解，解是重根。
例如，给定方程x^2+6x+9=0，则有a=1，b=6，c=9根据判别式Δ = b^2 - 4ac = 6^2 - 4(1)(9) = 0，显然Δ = 0。
根据一元二次方程的求根公式，我们计算重根：x=-6/(2*1)=-6/2=-3因此，方程x^2+6x+9=0的一个实根是-33.当Δ<0时，方程没有实根，存在复数解，根的公式为x=(-b±i√，Δ，)/(2a)。
在这种情况下，方程没有实数解，但可以使用复数单位i表示解。
例如，给定方程x^2+2x+5=0，则有a=1，b=2，c=5根据判别式Δ = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(5) = -16，显然Δ < 0。
一元二次方程求根公式推导过程
一元二次方程求根公式推导过程
一元二次方程求根是数学中的一个常见问题，它的数学表达式为
ax²+bx+c=0，这里a、b、c是未知数，且a≠0。
要求解这个方程，就要根据a、b、c来求解二次方程的两个根。
解求方法增添一个变量Δ，Δ=b²-4ac，可以有三种不同的情况。
第一种是，Δ>0，此时二次方程有两个不相等的实数根，其求根
公式为x₁= [-b+√Δ]/2a、x₂= [-b-√Δ]/2a。
第二种情况下，Δ=0，此时二次方程有一个重根，求根公式为x= -b/2a 。
第三种情况，Δ<0，此时二次方程没有任何实数根，只有复根，
即无解。
因此，一元二次方程求根公式就是这样的，当Δ>0时，根为
x₁=[-b+√Δ]/2a、x₂=[-b-√Δ]/2a；当Δ=0时，根为x=-b/2a；
当Δ<0时，方程无实数根。
通过改变a、b、c的值，可以实际求解一
元二次方程的根。
一元二次方程求根公式和常见解法
一元二次方程求根公式和常见解
法
一、一元二次方程的概述
1、定义：等号两边都是等式，只含有一个未知数，未知数的最高次数是2且最高次项的系数不为0，这样的整式方程叫做一元二次方程.
2、求根公式：$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}(b^2-4ac \ge 0)$。
3、一元二次方程的一般形式：
一元二次方程的一般形式是$ax^2+bx+c=0(a\not=0)$.其中$ax^2$是二次项，$a$ 是二次项系数；$bx$ 是一次项，
$b$ 是一次项系数；$c$ 是常数项.
4、一元二次方程的根：
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
5、一元二次方程的常见解法：
（1）直接开平方法（2）配方法（3）公式法（4）因式分解法（5）利用根与系数的关系
二、一元二次方程的例题
例：如果方程$(m-\sqrt{2})x^{m^2}+3mx-1=0$ 是关于$x$ 的一元二次方程，那么 $m$ 的值是____.
答案：$-\sqrt{2}$解析：由一元二次方程的定义知
$m^2=2$，即 $m=\pm\sqrt{2}$，又 $\because m-
\sqrt{2}\not=0，\therefore m \not=\sqrt{2}，\therefore m=-\sqrt{2}$.。
一元二次方程的解法求根公式的使用技巧
一元二次方程的解法求根公式的使用技巧一元二次方程的解法是数学中的基础知识，在解决实际问题时起到了重要的作用。
其中，求根公式是一种常见的解法，它可以帮助我们快速求解一元二次方程的根。
本文将介绍一元二次方程的求根公式的使用技巧。
一、一元二次方程的形式一元二次方程通常具有以下形式：ax^2 + bx + c = 0其中，a、b、c为实数，并且a ≠ 0。
根据这个方程的形式，我们可以使用求根公式来求解方程的根。
二、一元二次方程的求根公式一元二次方程的求根公式如下：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，±表示两个根，√表示开方运算。
这个公式中的分子部分可以分为两个部分，分别是-b和√(b^2 - 4ac)。
根据这个公式，我们可以通过将方程中的系数代入公式中，快速求得方程的根。
三、使用技巧在使用一元二次方程的求根公式时，有一些技巧可以帮助我们更加高效地求解方程的根。
1. 化简方程在应用求根公式之前，我们可以先对方程进行化简。
例如，如果方程的系数存在公因子，我们可以将其提取出来，以简化计算过程。
2. 辨别方程的根的性质根据一元二次方程的判别式Δ=b^2-4ac的值，我们可以判断方程的根的性质。
- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；- 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；- 当Δ<0时，方程没有实数根，但存在两个共轭复数根。
通过辨别方程的根的性质，我们可以在求根过程中有所侧重，提高求解的效率。
3. 使用解根公式的步骤使用一元二次方程的求根公式时，可以按照以下步骤进行：Step 1: 计算判别式Δ的值。
Δ = b^2 - 4acStep 2: 根据Δ的值进行分类讨论。
- 当Δ>0时，应用求根公式计算两个不相等的实数根；- 当Δ=0时，应用求根公式计算两个相等的实数根；- 当Δ<0时，应用求根公式计算两个共轭复数根。
Step 3: 将方程系数代入求根公式，计算出根的近似值。
一元二次方程求根公式及讲解
主讲：黄冈中学高级教师一、一周知识概述1、一元二次方程的求根公式将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为．该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法．说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)；(2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的；(3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式.2、一元二次方程的根的判别式（1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．二、重难点知识总结1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。
(1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。
(2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。
(3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。
如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。
(4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。
2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点：（1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac；（2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c；（3）根的判别式是指b2－4ac，而不是三、典型例题讲解例1、解下列方程：(1)；(2)；(3).分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，解：(1)因为a=1，，c=10所以所以(2)原方程可化为因为a=1，，c=2所以所以.(3)原方程可化为因为a=1，，c=－1所以所以；所以．总结：(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根要化为最简形式；(2)用求根公式法解方程按步骤进行．例2、用适当方法解下列方程：① ②③ ④⑤ ⑥⑦分析：要合理地选用适当的方法解一元二次方程，就必须熟悉各种方法的优缺点，处理好特殊方法和一般方法的关系。
一元二次方程求根公式
一元二次方程求根公式一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，其一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知的常数，x为未知数。
解一元二次方程的方法有很多种，其中最常用的方法之一就是利用求根公式来求解。
本文将详细介绍一元二次方程求根公式的推导过程和应用方法。
一、求根公式的推导。
我们先来推导一元二次方程的求根公式。
设一元二次方程为ax^2 + bx + c = 0，我们要求出方程的根。
首先，我们假设方程有两个根x1和x2，那么根据因式分解的性质，我们可以将方程写成(x x1)(x x2) = 0的形式。
展开这个式子得到x^2 (x1 +x2)x + x1x2 = 0。
比较这个式子和原方程ax^2 + bx + c = 0的系数，我们可以得到以下关系：x1 + x2 = -b/a。
x1x2 = c/a。
接下来，我们要解出x1和x2的具体值。
我们可以利用上面的两个关系式来求解。
首先，我们可以将x1表示成-x2，然后代入第二个关系式中，得到x1 = (-b +√(b^2 4ac)) / (2a)，同理可得x2 = (-b √(b^2 4ac)) / (2a)。
这就是一元二次方程的求根公式，也称为根的公式。
二、求根公式的应用。
一元二次方程的求根公式在实际问题中有着广泛的应用。
比如在物理学中，当我们需要求解抛体运动的轨迹方程时，就会遇到一元二次方程。
又比如在工程学中，当我们需要求解某些结构的受力情况时，也会用到一元二次方程的求解。
下面我们通过一个例子来说明一元二次方程求根公式的应用。
例，已知一元二次方程x^2 3x + 2 = 0，求出方程的根。
根据一元二次方程的求根公式，我们可以直接代入a=1，b=-3，c=2，然后带入公式x1 = (-b + √(b^2 4ac)) / (2a)和x2 = (-b √(b^2 4ac)) / (2a)中进行计算。
计算的结果为x1=2，x2=1，所以方程的根为x1=2和x2=1。
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主讲：黄冈中学高级教师
一、一周知识概述
1、一元二次方程的求根公式
将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为
．
该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法．
说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)；
(2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的；
(3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式.
2、一元二次方程的根的判别式
（1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
（3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．
二、重难点知识总结
1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。
(1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。
(2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。
(3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。
如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。
(4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方
程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。
2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点：
（1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac；
（2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c；
（3）根的判别式是指b2－4ac，而不是
三、典型例题讲解
例1、解下列方程：
(1)；
(2)；
(3).
分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，解：(1)因为a=1，，c=10
所以
所以
(2)原方程可化为
因为a=1，，c=2
所以
所以.
(3)原方程可化为
因为a=1，，c=－1
所以
所以；
所以．
总结：
(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根要化为最简形式；
(2)用求根公式法解方程按步骤进行．
例2、用适当方法解下列方程：
① ②
③ ④
⑤ ⑥
⑦
分析：
要合理地选用适当的方法解一元二次方程，就必须熟悉各种方法的优缺点，处理好特殊方法和一般方法的关系。
就直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法这四种方
法而言，配方法、公式法是一般方法，而开平方法、因式分解法是特殊方法。
⑴ 公式法是最一般的方法，只要明确了二次项系数、一次项系数和常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入一元二次方程的求根公式
求值，所以对某些方程，解法又显得复杂了。
如①，可以直接开平方，就能马上得出解；若此时还用求根公式就显得繁琐了。
⑵ 配方法是一种非常重要的方法，在解一元二次方程时，一般不使用，但并不是一定不用，若能合理地使用，也能起到简便的作用。
若方程中的一次项系数有因数是偶数，则可使用，计算量也不大。
如②，因为224比较大，分解时较繁，此题中一次项系数是-2。
可以利用用配方法来解，经过配方之后得到
，显得很简单。
⑶ 直接开平方法一般解符合型的方程，如第①小题。
⑷ 因式分解法是一种常用的方法，它的特点是解法简单，故它是解题中首先考虑的方法，若一元二次方程的一般式的左边不能分解为整数系数因式或系数较大难以分解时，应考虑变换方法。
解：①
两边开平方，得
所以
②
配方，得
所以
所以
③
配方，得
所以
所以
④
因为
所以 =4＋20=24 所以
所以
⑤
配方：
所以
所以
⑥
整理，得
所以
⑦
移项，提公因式，得
所以
小结：
以上各题请同学们用其他方法做一做，再比较各种方法的优缺点，体会如何选用合适的方法，下面给出常规思考方法，仅作参考。
例3、已知关于x的方程ax2－3x＋1=0有实根，求a的取值范围.
解：当a=0时，原方程有实根为
若a≠0时，当原方程有两个实根.
故，综上所述a的取值范围是.
小结：
此题要分方程ax2－3x＋1=0为一元一次方程和一元二次方程时讨论，即分当a=0与a≠0两种情况．
例4、已知一元二次方程x2－4x＋k=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围；
(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2－4x＋k=0与x2＋mx－1=0有一个相同的根，求此时m的值.
解：(1)因为方程x2－4x＋k=0有两个不相等的实数根，
所以b2－4ac=16－4k>0，得k<4.
(2)满足k<4的最大整数，即k=3.
此时方程为x2－4x＋3=0，解得x1=1，x2=3.
①当相同的根为x=1时，则1＋m－1=0，得m=0；
②当相同的根为x=3时，则9＋3m－1=0，得
所以m的值为0或
例5、设m为自然数，且3<m<40，方程有两个整数根求m的值及方程的根。
解：，
∵方程有整数根，
∴4（2m＋1）是完全平方数。
∵3<m<40∴7<2m＋1<81
∴2m＋1值可以为9，25，49
∴m的值可以为4，12，24。
当m=4时方程为解得x=2或x=8
当m=12时方程为解得x=26或x=16
当m=24时方程为解得x=52或x=38
总结：
本题先由整数根确定2m＋1是完全平方数，再由3<m<40中m为整数确定m的值，再分别试验求x，是本题特点。