2012年陕西高考数学考前讲座
2012高考数学精英备考专题讲座 第九讲数学高考的创新试题解题指导 第一节需要抽象概括的创新试题 文
第一节 需要抽象概括的创新试题高考数学归纳抽象创新题的命题特点：加强创新意识的考查，有利于实现选拔功能；深化课改，促进能力立意命题的实践和发展. 其中新定义信息型创新题是近年高考出现频率最高的创新题之一，因其背景新颖，构思巧妙，能有效甄别考生的思维品质，因而倍受高考命题专家垂青.题型一 定义新概念【例1】设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b P ∈，都有a b +、a b -， ab 、a bP ∈（除数0b ≠），则称P 是一个数域.例如有理数集Q 是数域；数集{}F a b Q =+∈，也是数域.有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集Q M ⊆，则数集M 必为数域； ③数域必为无限集；④存在无穷多个数域. 其中正确的命题的序号是 （把你认为正确的命题的序号填填上）点拨：本题定义了新的概念：数域，审题非常关键，解题时可采用排除法，代入特殊的数值对选项进行排除筛选. 此题是以高等数学中“群、环、域”的知识考查高中数学中有关知识的问题，体现了高考数学与中学数学的和谐接轨，以高考数学知识为背景的问题，对已有的知识改造、重组创造“新知识”的问题，也成为高考试题的一大亮点.定义一个新概念，要求学生面对陌生情境，迅速提取有用信息，要善于挖掘概念的内涵与本质，并合理迁移运用已学的知识加以解决.这类问题较好地考查学生的转化能力、知识迁移能力以及学生探究性学习的潜能.解析：对于整数集Z ，当1a =，2b =时，12b Z a =∉,故①错；对于满足Q M ⊆的集合{}2M Q =，1M 不是数域，②错；若P 是数域，则存在a P ∈且0a ≠，依定义，2a ，3a ，4a ，,均是P 中元素，故P 中有无数元素，③正确；类似数集{}F a b Q =+∈，也是数域，④正确，故选③④.易错点：审题不清，未能理解数域的定义所应满足的条件.变式与引申1.定义若平面点集A 中的任一个点00(,)x y ，总存在正实数r ，使得集合{}(,)|x y r A <⊆，称A 为一个开集．给出下列集合：①{}22(,)|1x y x y +=；② {}(,)|20x y x y ++>；③{}(,)6x y x y +≤；④ {}22(,)|0(1x y x y <+<．其中是开集的是 ．（请写出所有符合条件的序号）题型二 定义新数表根据以上排列规律，数阵中第n （3≥n ）行的从左向右的第3个数是点拨：由数阵找到1n -（3n ≥）行的最后一个数.数表其实是数列的一种分拆，不同的分拆方式就会产生不同的数表，本题中的数阵是对正整数数列的一种重排，只要找出其排列规律便不难求得答案，本题以三角形数表为载体，考查了学生观察、归纳、猜想的思维能力.源于杨辉三角的数表蕴含着丰富的性质，数表型试题在各地高考试卷中屡见不鲜.解析：该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第n 行有n 个数，则第1n -（3n ≥）行的最后一个数为2(1)(11)222n n n n -+-=-，则第n 行的第3个数为23(3)22n n n -+≥. 易错点：未能找到新的数阵的规律，解题无从入手.变式与引申2.将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：1a2a 3a4a 5a 6a7a 8a 9a 10a……记表中的第一列数1247a a a a ，，，，构成的数列为{}n b ，111b a ==．n S 为数列{}n b 的前n 项和，且满足221(2)n n n nb n b S S =-≥． （Ⅰ）证明数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列，并求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当81491a =-时，求上表中第(3)k k ≥行所有项的和． 题型三 定义新数列【例3】若数列{}n a 满足212n na p a +=（p 为正常数，n *∈N ），则称{}n a 为“等方比数列”．甲：数列{}n a 是等方比数列；乙：数列{}n a 是等比数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 点拨： 本题主要考察等比数列的定义和创新定义的理解、转换.等比数列，则公比应唯一确定.数列是高考重点考查的内容，围绕数列问题创设情境，设计出一些新颖的题目是近几年高考的一大亮点，如2010年上海卷的“对称数列”、2009年湖北卷的“等方比数列”、2008年江苏卷的“绝对差数列”、2007的北京卷的“等和数列”等，各种新数列精彩纷呈，此类试题形式新颖、内容深远、能力要求广泛、解法多样，能够较好地考查考生的学习能力、逻辑思维能力、应用能力和创新能力等.解析：由等比数列的定义数列，若乙：{}n a 是等比数列，公比为q ，即221121n n n n a a q q a a +++=⇒=则甲命题成立；反之，若甲：数列{}n a 是等方比数列，即221121n n n na a q q a a +++=⇒=±即公比不一定为q ， 则命题乙不成立，故选B. 易错点：是由2112n n n na a p a a ++=⇒=，得到的是两个等比数列，而命题乙是指一个等比数列，忽略等比数列的确定性，容易错选C.变式与引申3.对于每项均是正整数的数列12n A a a a ：，，，，定义变换1T ，1T 将数列A 变换成数列1()T A ：12111n n a a a ---，，，，． 对于每项均是非负整数的数列12m B b b b ：，，，，定义变换2T ，2T 将数列B 各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列2()T B ；又定义2221212()2(2)m mS B b b mb b b b =+++++++． 设0A 是每项均为正整数的有穷数列，令121(())(012)k k A T T A k +==，，，．（Ⅰ）如果数列0A 为5，3，2，写出数列12A A ，；（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A ，证明1(())()S T A S A =；本节主要考查：数学归纳抽象创新题的求解要求认真理解题意，透过“现象”把握问题的本质，并将它抽象成数学如函数、数列问题，运用相应的数学知识求解．新定义问题的求解通常分三大步骤进行:(1)对新定义进行信息提取，确定化归方向;(2)对新定义所提取的信息进行加工，探究解决方法;(3)对定义中提取知识进行转换，有效地输出.其中对定义信息的提取和化归转化是求解的关键，也是一个难点.点评：抽象是指舍弃事物非本质的属性，揭示其本质的属性；概括是指把仅仅属于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程.抽象和概括是相互联系的，没有抽象就不可能有概括，而概括必须在抽象的基础上得出某一观点或作出某项结论.抽象概括能力就是从具体的、生动的实例，在抽象概括的过程中，发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中，概括出一些结论，并能应用于解决问题或作出新的判断.平时的数学学习中要切实加强自主探究能力和创新意识的培养，从而不断提高自身的数学素养，增强分析问题和解决问题的综合能力.如可以多订阅报刊杂志，从杂志中涉猎新题.有了新题还得用好新题，通过新题归纳解题的思维方法，激发学生的思维风暴；关注题型的纵横发展，注重多元性，拓展发散思维.另外，还要注意强化数学建模，提高实践能力，发展个性特长.重点抓好运用高中数学知识解决生活中的实际问题的能力的培养与训练，注重数学知识和技能应用的灵活性、综合性、发散性和迁移性.以提高数学阅读能力为起点，建立数学模型为核心，寻找或自行编制一些贴近生活的实际应用题，特别是概率与统计应用题.习题9－11．(2011年高考江西卷·文)如图9-1-1，一个“凸轮”放置于直角坐标系X 轴上方，其“底端”落在源点O 处，一顶点及中心M 在Y 轴的正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成今使“凸轮”沿X 轴正向滚动有进，在滚动过程中，“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”，其中心也在不断移动位置，则在“凸轮”滚动一周的过程中，将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置，应大致为2．设函数)(x f 的定义域为R ,若存在常数0M >,使|()f x M x ≤对一切实数x 均成立,则称)(x f 为“倍约束函数”.现给出下列函数:①x x f 2)(=; ②1)(2+=x x f ;③x x x f cos sin )(+=; ④3)(2+-=x x x x f ; ⑤)(x f 是定义在实数集R 上的奇函数,且对一切21,x x ,均有1212|()()|2||f x f x x x -≤-.其中是“倍约束函数”的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3.如图9-1-2，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横纵坐标分别对应数列{}*()n a n N ∈的 前12项，如下表所示：按如此规律下去，则200920102011a a a ++=_______. 4．图9-1-3展示了一个由区间()0,1到实数集R 的映射过程：区间()0,1中的实数m 对应数轴上的点M ，如图9-2中的图①；将线段AB 围成一个圆，使两端点A 、B 恰好重合，如图②；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点A 的坐标为()0,1，如图③.图③中直线AM 与x 轴交于点(),0N n ，则m 的象就是n ，记作()f m n =.图9-1-2(Ⅰ)方程()0f x =的解是x = ;(Ⅱ)下列说法中正确命题的序号是 .(填出所有正确命题的序号) ①114f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；②()f x 是奇函数;③()f x 在定义域上单调递增; ④()f x 的图像关于点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称．【答案】变式与引申1. ②④提示：本题将大学拓扑学的基本概念引入，下面画图进行判断：对于①，如图9-1-1.图9-1-2显然存在面集⊆面集，该集合符合题目要求.对于③，如图9-1-32.解：（Ⅰ）证明：由已知，当2n ≥时，221nn n nb b S S =-，又12n n S b b b =+++，所以1212()1()n n n n n n S S S S S S ---=--，即112()1n n n nS S S S ---=-，所以11112n n S S --=，又1111S b a ===．所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列． 由上可知1111(1)22n n n S +=+-=，即21n S n =+． 所以当2n ≥时，12221(1)n n n b S S n n n n -=-=-=-++．因此1122(1)n n b n n n =⎧⎪=⎨-⎪+⎩， ，，．≥ （Ⅱ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q ，且0q >． 因为12131212782⨯+++==，所以表中第1行至第12行共含有数列{}n a 的前78项， 故81a 在表中第31行第三列，因此28113491a b q ==-．又1321314b =-⨯，所以2q =． 记表中第(3)k k ≥行所有项的和为S ，则(1)2(12)2(12)(3)1(1)12(1)k k k k b q S k q k k k k --==-=--+-+≥ 3.解：（Ⅰ） 0532A ：，，，10()3421T A ：，，，，1210(())4321A T T A =：，，，； 11()43210T A ：，，，，，2211(())4321A T T A =：，，，． （Ⅱ）设每项均是正整数的有穷数列A 为12n a a a ，，，，则1()T A 为n ，11a -，21a -，，1n a -，从而112(())2[2(1)3(1)(1)(1)]n S T A n a a n a =+-+-+++-222212(1)(1)(1)n n a a a ++-+-++-． 又2221212()2(2)n n S A a a na a a a =+++++++， 所以1((S T -122[23(1)]2()n n n a a a =----+++++2122()n n a a a n +-++++2(1)0n n n n =-+++=，故1(())()S T A S A =．习题9-11．A2. C提示：①显然存在M 符合题目要求,所以它是“倍约束函数”;,所以1)(2+=x x f 不是“倍约x x cos sin +=不是“倍约束函数” 9-1-5:又曲线上的任意两点连线的斜率小于2,故存在M 符合题目要求.所以①④⑤均符合题目要求,选择C3.1005提示：依题得4321424124n k n k k n k a kn k kn k=-⎧⎪-=-⎪=⎨-=-⎪⎪=⎩，则20092010201150310055031005.a a a ++=+-= 4. (Ⅰ)21； (Ⅱ) ③④。
2012陕西高考理科状元谈成功经验学数学有方
于立新：大家好!学生：大家好!主持人：咱们西工大附中今年又摘得了理科的状元，除了理科的状元之外，今年总体的高考情况怎么样呢?于立新：我介绍一下吧，今年高考成绩刚刚出来，可以说喜报频传，我们学校今年在高考之前，已经有17名同学保送到北大、清华，已经保送到国内两所著名的大学，参加高考的学生中，咱们的这位同学以712分获得了今年的高考状元，下面把情况做一个简单的介绍，理科是大丰收，全省前10名理科，我们有3名占30%，前20名里面我们有7人，占35%，全50名，我学校有21名，全100人，我们有39人，理科前200名中，我学校有66人，占全省的33%，前300名中我们学校有99人。
文科，我们一个同学以680分获得了陕西省文科的第二名，其他学生也取得了很好的成绩，前10名有6人，占全省60%，前7名里面我们有6人。
全省文科前20名，我们占了一半10个人，全省前30名，我们学校有12人，占40%，前50名，我们学校有15人，占30%，97%的学生都达到了重点线。
主持人：西工大附中的教学水平口碑，在咱们西安，包括在陕西省，在全国都是大家熟知的，最近大家非常关注的一个问题，就是理科状元的问题，这位学生看起来是很害羞的女孩子，您能不能跟我们简单的聊一下，您取得这么好的成绩，是在你的意料当中吗?2012陕西高考理科状元毛宇帆畅谈成功经验学生：这么好的成绩从来没有想过。
主持人：有一些学生，尤其是学弟、学妹们，想了解你学习方面的心得。
学生：我觉得学习方面嘛，首先就是我们学校整个的管理、教学，我觉得我是比较适合这种方式的，所以，我平时一般情况下，都是跟着老师的进度走。
主持人：课堂跟着老师的指导。
学生：然后考试的时候，还是心态比较好，我觉得这两点是比较重要的。
主持人：可以看出来你也是一个淡定的小姑娘，取得了这么好的成绩，还这么谦虚，于老师，咱们学校是有自己独特的办学模式的，包括教育理念，您能不能给考生和家长介绍一下呢?于立新：在跟朋友探讨的时候也说过，现在学习成绩非常优秀的学生，他们在知识的掌握和能力上，没有特别大的区分了，可能这位学生就赢在她的心态上，我跟这位学生不是很熟，通过短短的接触，我感觉她平稳的心态，包括你说的淡定的心态，给我留下了深刻的印象，我觉得她这种平淡的心情，可能对以后参加高考的学生，也是有借鉴作用的。
2012高考陕西数学任毅从高考复课实践谈高考复习
我们认为重点多了就不称为是重点了，时间安 我们认为重点多了就不称为是重点了， 排在 3～ 4 月份相关内容基本复习结束时在年级分 ～ 类推进的时间进行，并不针对全体学生， 类推进的时间进行，并不针对全体学生，我们认为 太难的问题对于大部分同学基本没有效果， 太难的问题对于大部分同学基本没有效果，像西工 大附中这么优秀的学校也存在许多“学困生” 大附中这么优秀的学校也存在许多“学困生”。
2012年陕西省高考备考研讨会
从高考复课实践谈高考复习
任
毅
西工大附中
一、各校的复课现状分析
了解到各地各校的高考复习安排大体有以下三种： 了解到各地各校的高考复习安排大体有以下三种：
（1）仍沿用过去的“三轮复习法”： 仍沿用过去的“三轮复习法”
第一轮：单元复习 第一轮： 即一个单元一个单元的进行复习， 即一个单元一个单元的进行复习，特别注重巩固 基本概念、注重基础知识、基本方法的讲解， 基本概念、注重基础知识、基本方法的讲解，多为查 漏补缺式的讲解，时间大约17～18周 漏补缺式的讲解，时间大约17～18周； 17
“一轮复习”的具体操作是： 一轮复习”的具体操作是： 一轮复习 在每一单元复习的同时，每两周要进行一次综合练习， 在每一单元复习的同时，每两周要进行一次综合练习， 我们称之为“大练习” 我们的“大练习”具有以下特点： 我们称之为“大练习”，我们的“大练习”具有以下特点： 第一、不出选做题；第二、难度把握上严格由易到难， 第一、不出选做题；第二、难度把握上严格由易到难，第一 次大练习一般都比较简单；第三、试题对正在复习的单元有 次大练习一般都比较简单；第三、 所侧重，但是这种侧重仅仅体现在几个小题上，例如在复习 所侧重，但是这种侧重仅仅体现在几个小题上， 函数单元时，高考充其量出两个小题， 函数单元时，高考充其量出两个小题，而我们在复习这一单 元时可以在其对应的“大练习”中出 ～ 个 甚至更多， 元时可以在其对应的“大练习”中出4～6个，甚至更多，其 他各大块保持不变（如立体几何、解析几何、数列、 他各大块保持不变（如立体几何、解析几何、数列、导数等 为必考内容），所以我们的“大练习” 为必考内容），所以我们的“大练习”像高考模拟试题而又 ），所以我们的 不等同于模拟考试。 不等同于模拟考试。
2012届高考数学 专题十一第1讲 考前给你提个醒复习课件 理
p 31．函数 y＝x＋x(p>0)的图象及单调区间掌握了吗？如何利用它 求函数的最值？与利用不等式求函数的最值的联系是什么？ 32．导数的定义还记得吗？它的几何意义和物理意义分别是什 么？利用导数可解决哪些问题，具体步骤是什么？ 33．常见函数的求导公式及和、差、积、商的求导法则及复合 函数的求导法则你都熟记了吗？ 34．“函数在极值点处的导数为 0”是否会灵活运用？ 35．定积分的几何意义是什么？能熟练地进行定积分的计算吗？ 36．等差数列中的重要性质：若 m＋n＝p＋q， am＋an＝ap＋aq； 则 等比数列中的重要性质：若 m＋n＝p＋q，则 aman＝apaq. 37．用等比数列求和公式求和时，易忽略公比 q＝1 的情况．
52．已知三角函数值求角时，要注意角的范围的挖掘． 53．在解决三角形问题时，要及时应用正、余弦定理进行边角 转化． 54．在△ABC 中，A>B⇔sin A>sin B. 55．使用正弦定理时易忘比值等于 2R. 56．0 与实数 0 有区别，0 的模为数 0，它不是没有方向，而是 方向不定，0 可以看成与任意向量平行． 57．a＝0，则 a· b＝0，但是由 a· b＝0，不能得到 a＝0 或 b＝0. 因为 a⊥b 时，a· b＝0. 58．由 a· b＝c· b，不能得到 a＝c，即消去律不成立． 59．a 在 b 方向上的投影怎么求？ 60． 两向量平行与垂直的充要条件是什么？坐标表示也应记熟．
78．如何求两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及 二面角？如果所求的角为 90° ，那么就不要忘了还有一种求 角的方法即证明它们垂直． 79．两条异面直线所成的角的范围：0° <α≤90° ；直线与平面所 成的角的范围：0° ≤α≤90° ；二面角的平面角的取值范围： 0° ≤α≤180° . 80．作二面角的平面角的方法主要有：直接利用定义或作二面 角的棱的垂面等方法”，这些方法你掌握了吗？ 81．立体几何的求解问题分为“作”、“证”、“算”三个部 分，你是否只注重了“作”、“算”，而忽视了“证”这一 重要环节？
2012年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解陕西文
2012年陕西文一、选择题（共10小题；共50分）1. 集合M=x lg x>0，N=x x2≤4，则M∩N= A. 1,2B. 1,2C. 1,2D. 1,22. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为 A. y=x+1B. y=−x3C. y=1D. y=x xx3. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是 A. 46，45，56B. 46，45，53C. 47，45，56D. 45，47，53为纯虚数"的 4. 设a,b∈R，i是虚数单位，则" ab=0 "是"复数a+biA. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 如图所示是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q的程序框图，则图中空白框内应填入 A. q=NM B. q=MNC. q=NM+ND. q=MM+N6. 已知圆C:x2+y2−4x=0，l是过点P3,0的直线，则 A. l与C相交B. l与C相切C. l与C相离D. 以上三个选项均有可能7. 设向量a=1,cosθ与b=−1,2cosθ垂直，则cos2θ等于 A. 22B. 12C. 0D. −18. 将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为 A. B.C. D.9. 设函数f x=2x+ln x，则 A. x=12为f x的极大值点 B. x=12为f x的极小值点C. x=2为f x的极大值点D. x=2为f x的极小值点10. 小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和b a<b，其全程的平均时速为v，则 A. a<v<abB. v=abC. ab<v<a+b2D. v=a+b2二、填空题（共7小题；共35分）11. 设函数f x=x,x≥0,12x,x<0,则f f−4=．12. 观察下列不等式：1+122<32，1+122+132<53，1+122+132+142<74，⋯⋯照此规律，第五个不等式为．13. 在△ABC中，角A,B,C所对应的边长分别为a,b,c，若a=2,B=π6,c=23，则b=．14. 如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽米．15. 若存在实数x使x−a+x−1 ≤3成立，则实数a的取值范围是．16. 如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB=6，AE=1，则DF⋅DB=．17. 直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为．三、解答题（共6小题；共78分）18. 已知等比数列a n的公比为q=−12．（1）若a3=14，求数列a n的前n项和；（2）证明：对任意k∈N+，a k，a k+2，a k+1成等差数列．19. 函数f x=A sin ωx−π6+1A>0,ω>0的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2．（1）求函数f x的解析式；（2）设α∈0,π2，则fα2=2，求α的值．20. 直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1，∠CAB=π2．（1）证明：CB1⊥BA1；（2）已知AB=2，BC=5，求三棱锥C1−ABA1的体积．21. 假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：（1）估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；（2）这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．22. 已知椭圆C1:x24+y2=1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．（1）求椭圆C2的方程；（2）设O为坐标原点，点A,B分别在椭圆C1和C2上，OB=2OA，求直线AB的方程．23. 设函数f x=x n+bx+c n∈N+,b,c∈R．（1）设n≥2，b=1，c=−1，证明：f x在区间12,1内存在唯一的零点；（2）设n为偶数，f−1≤1，f1≤1，求b+3c的最小值和最大值；（3）设n=2，若对任意x1，x2∈−1,1，有f x1−f x2 ≤4，求b的取值范围．答案第一部分1. C2. D3. A 【解析】A 解析：样本中的数据共有30个，中位数为45+472=46．显然样本数据中出现次数最多的是45，故众数为45．极差为68−12=26．故选A．4. B 【解析】ab=0⇔a=0 或b=0，而复数a+bi=a−b i是纯虚数⇔a=0且b≠0．5. D6. A 【解析】依题意，圆C:x−22+y2=4的圆心坐标是C2,0，半径是2，且PC=1<2，即点P3,0位于圆C内，因此直线l与圆C必相交．7. C 【解析】因为a⊥b，所以a⋅b=0，所以−1+2cos2θ=0，所以cos2θ=2cos2θ−1=0．故选C．8. B 9. D 10. A【解析】设甲地到乙地的路程为s，则v=2s sa +sb=2aba+b，然后利用均值不等式及作差法可比较大小．第二部分11. 412. 1+122+132+142+152+162<11613. 2【解析】由余弦定理：b2=a2+c2−2ac⋅cos B=22+232−2⋅2⋅23⋅cosπ6=4．∴b=2．14. 2615. −2,4【解析】在数轴上，x−a表示x对应的点到a对应的点之间的距离，x−1表示x对应的点到1对应的点之间的距离，而这两个距离和的最小值是a−1．要使得不等式x−a+x−1 ≤3成立，只要a−1 ≤3即可．16. 5【解析】由相交弦定理，得DE⋅CE=AE⋅EB=1×5=5．又DE=CE，于是有DE2=5．在Rt△DEB中，有DE2=DF⋅DB=5，即DF⋅DB=5．17. 3第三部分18. （1）由a3=a1q2=14及q=−12，得a1=1，所以数列a n的前n项和S n=1×1− −12n1− −12=2+ −12n−1.（2）对任意k∈N+，2a k+2−a k+a k+1=2a1q k+1−a1q k−1+a1q k=a1q k−12q2−q−1,由q=−12，得2q2−q−1=0,故2a k+2−a k+a k+1=0.所以，对任意k∈N+，a k，a k+2，a k+1成等差数列．19. （1）∵函数f x的最大值为3，∴A+1=3，即A=2．∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T=π，∴ω=2，故函数f x的解析式为y=2sin2x−π+1.（2）∵fα2=2sin α−π6+1=2，∴sin α−π6=12．∵0<α<π2，∴−π6<α−π6<π3，∴α−π6=π6，故α=π3．20. （1）如图，连接AB1，∵ABC−A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥AC，∵∠CAB=π2，∴AC⊥AB，又∵AB∩AA1=A，∴AC⊥平面ABB1A1，故AC⊥BA1．又∵AB=AA1，∴四边形ABB1A1是正方形，∴BA1⊥AB1．又CA∩AB1=A，∴BA1⊥平面CAB1，故CB1⊥BA1．（2）∵AB=AA1=2，BC=5，∴AC=A1C1=1．由（1）知，A1C1⊥平面ABA1，所以V C1−ABA1=1S△ABA1⋅A1C1 =1×2×1=2.21. （1）甲品牌产品寿命小于200小时的频率为5+20 100= 1 4,用频率估计概率，得甲品牌产品寿命小于200小时的概率为14．（2）根据抽样结果，寿命大于200小时的产品有75+70=145个，其中甲品牌产品是75个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是75=15 ,用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为1529．22. （1）由已知可设椭圆C2的方程为y2 2+x2=1a>2,其离心率为32，故a2−4=3 ,则a=4，故椭圆C2的方程为y2 16+x24=1.（2）解法一：A,B两点的坐标分别记为x A,y A,x B,y B．由OB=2OA及（1）知，O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y=kx．将y=kx代入x 24+y2=1中，得1+4k2x2=4,所以x A2=41+4k2;将y=kx代入y 216+x24=1中，得4+k2x2=16,所以x B2=16 4+k2.又由OB=2OA得x B2=4x A2，即16 4+k2=161+4k2.解得k=±1，故直线AB的方程为y=x 或 y=−x.解法二：A,B两点的坐标分别记为x A,y A,x B,y B．由OB=2OA及（1）知，O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y=kx．将y=kx代入x 24+y2=1中，得1+4k2x2=4,所以x A2=42,由OB=2OA，得x B2=162,y B2=16k2 1+4k2,将x B2,y B2代入y216+x24=1中，得4+k21+4k2=1,即4+k2=1+4k2,解得k=±1，故直线AB的方程为y=x 或 y=−x.23. （1）当b=1，c=−1，n≥2时，f x=x n+x−1．∵f12f1=12n−12×1<0，∴f x在12,1内存在零点．又当x∈12,1时，fʹx=nx n−1+1>0，∴f x在12,1上是单调递增的，∴f x在12,1内存在唯一零点．（2）解法一：由题意知−1≤f−1≤1,−1≤f1≤1,即0≤b−c≤2,−2≤b+c≤0.由图象知，b+3c在点0,−2取到最小值−6，在点0,0取到最大值0，∴b+3c的最小值为−6，最大值为0．解法二：由题意知−1≤f1=1+b+c≤1,即−2≤b+c≤0. ⋯⋯①①×2+②得−6≤2b+c+−b+c=b+3c≤0,当b=0，c=−2时，b+3c=−6;当b=c=0时，b+3c=0.所以b+3c的最小值为−6，最大值为0．解法三：由题意知f−1=1−b+c,f1=1+b+c.解得b=f1−f−1,c=f1+f−1−2.故b+3c=2f1+f−1−3.又∵−1≤f−1≤1，−1≤f1≤1．因此−6≤b+3c≤0,当b=0，c=−2时，b+3c=−6；当b=c=0时，b+3c=0，所以b+3c的最小值为−6，最大值为0．（3）当n=2时，f x=x2+bx+c.对任意x1,x2∈−1,1都有f x1−f x2≤4等价于f x在−1,1上的最大值与最小值之差M≤4，据此分类讨论如下：①当b2>1，即 b >2时，M=f1−f−1=2 b >4,与题设矛盾．②当−1≤−b2<0，即0<b≤2时，M=f1−f −b=b+12≤4恒成立．③当0≤−b2≤1，即−2≤b≤0时，M=f−1−f −b=b−12≤4恒成立．综上可知，−2≤b≤2．。
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（陕西卷）
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（陕西卷）无
【期刊名称】《新高考：高二数学》
【年(卷),期】2012(000)007
【总页数】7页(P88-91,I0044-I0046)
【作者】无
【作者单位】不详
【正文语种】中文
【中图分类】G41
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高考数学复习专题讲座(2012年)
⑥ 应用意识
应用意识是将客观事物数学化的意识，是指从语 言叙述的现实问题出发，经过数学思考，提炼出相关 的数量关系，将现实问题转化为数学问题，并通过构 造数学模型，综合应用所学的中学数学知识、思想和 方法加以解决的意识。对应用意识的考查主要采用解 决应用问题的形式，要求考生能理解对问题陈述的材 料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类， 将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；应用相 关的数学方法解决问题，并加以验证；能用数学语言 正确地表述和说明。应用题的命制要坚持“贴近生活， 背景公平，控制难度”的原则，即设计的应用问题要 考虑考生的年龄特点、实践经验、地区差别，要符合 中学数学教学的实际情况，不宜太难。
（三）考查余弦定理的意义 余弦定理是高中数学的重要知识，也是解 决数学问题的重要工具。因此，从知识上讲， 考查余弦定理理所当然。 余弦定理的证明过程是推理论证的重要体 现，能充分地考查学生的推理论证能力。 平面向量是高中数学的重要知识，又是解 决数学问题的重要工具，并且解题时较之几何 法有很大的优势。用向量的方法来证明余弦定 理应该是命题人的初衷之一。 回归课本，关注数学概念的发生发展过程， 应该是考查余弦定理的最主要原因。
③ 推理论证能力
高考试题中，关于推理的考查内容无 处不在，但新课改后对合情推理能力的考 查有明显的强化，合情推理的关键是直觉 和顿悟；关于论证能力的考查，主要以证 明题为载体，如立体几何位置关系的证明， 不等式的证明，圆锥曲线中定点、定量问 题的证明等。通过一道证明题的解决与否， 最能看出学生的推理论证能力。
3.三角函数没有出现“题型”题是一个较 大的变化。用“叙述并证明余弦定理”这样的 课本定理证明题替代了模式化的三角函数题， 让很多考生不能适应。个人认为，这也是考查 学生能力的一种手段，应该给予肯定。 4.数列没有单独命题，而是与函数的切 线问题结合起来。就数列而言，突出了数列的 背景，揭示了数列的产生过程，但数列问题本 身并不难，一个等差问题，一个等比问题。既 考查了抽象概括能力，又符合新课标对数列内 容的要求，还突出考查了学生综合运用知识解 决问题的能力。个人认为，在主要知识交汇处 命题是对能力考查的重要手段之一。
2012年高考数学考前冲刺串讲(五)
2012年高考数学考前冲刺串讲（五）高考数学必考内容包括：集合(集合的含义与表示，集合间的基本关系，集合的基本运算)；函数概念与基本初等函数Ⅰ(指数函数、对数函数、幂函数)；立体几何初步(空间几何体，点、直线、平面之间的位置关系)；平面分析几何初步(直线与方程、圆与方程、空间直角坐标系)；算法初步(算法的含义、程序框图，基本算法语句)；统计；概率；基本初等函数II(三角函数)；平面向量；三角恒等变换；解三角形；数列；不等式；常用逻辑用语；圆锥曲线与方程；导数及其运用；统计案例；推理与证实；数系的扩充与复数的引入；框图。
全卷包括选择题、填空题、解答题三种题型，选择题是四选一型的单项选择题；试题分为必做题和选做题，必做题考查必考内容，选做题考查选考内容，选做题为填空题。
整个试题以中等难度题为主。
在每年的高考必考部分22个试题中，绝大多数试题是考查这15个核心考点的。
因此在高考冲刺阶段，重点加强这15个核心考点的训练，就可拿得高分，赢在高考。
五、基本初等函数（Ⅱ）【考点分析】三角函数的基础知识（三角函数的概念，三角函数的诱导公式，和、差、倍角公式），三角函数求值（知非特殊角求值，知值求值及知值求角）与比较大小，三角函数的性质（函数解析式、定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、对称性和周期性），三角函数的图象（五点法作图与图象变换），三角函数与其它知识的综合（函数、向量、平面几何、立体几何、解析几何等问题时的工具性作用）。
【解题技巧】三角函数是函数，象限符号坐标注。
函数图象单位圆，周期奇偶增减现。
同角关系很重要，化简证明都需要。
正六边形顶点处，从上到下弦切割；中心记上数字1，连结顶点三角形；向下三角平方和，倒数关系是对角，顶点任意一函数，等于后面两根除。
诱导公式就是好，负化正后大化小，变成税角好查表，化简证明少不了。
二的一半整数倍，奇数化余偶不变，将其后者视锐角，符号原来函数判。
两角和的余弦值，化为单角好求值，余弦积减正弦积，换角变形众公式。
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2012年陕西高考数学考前讲座周至一中李立哲我们现在的处境可以用三句话来概括：时间是个定值，试题做不完，问题总还存在。
如何有效地度过这半个月，在高考中能取得好的成绩?我从以下四个方面提一些建议，供参考。
一、希望你能有“瓦伦达心态”瓦伦达是美国一个著名的高空走钢索的表演者，他在一次重大的表演中，不幸失足身亡。
他的妻子事后说，我知道这一次一定要出事，因为他上场前总是不停地说，这次太重要了，不能失败；而以前每次成功的表演，他总想着走钢丝这件事本身，而不去管这件事可能带来的一切。
后来，人们对这种现象进行研究，把专注于事情本身、不患得患失，不为赛事以外杂念所动的心理现象称为“瓦伦达心态。
”瓦伦达心态是一种积极的情绪状态，面对高考，我们必须拥有瓦伦达心态，所能做的不是给自己加压，而是减压（做减法），既不要考虑高考成功后的鲜花和掌声，也不要过于关注考试的失败，使自己在复习、应考阶段，能够专心的做好每一个题，扎实的复习好每一个考点，不要关注太多功利的东西，不骄不躁，不气不馁，排除一切杂念，全身心投入学习，做最好的自己，在高考中稳定发挥，考出理想的成绩。
二、知己知彼、百战不殆。
首先必须把握陕西高考数学试题的特点，从总体来讲，有以下三个特色：（1）自主命题这六年以来，难题的比例不变占20%，约30分，易中题占120分.（2）从自主命题这六年以来，奇数年份易中题比例常常是3:5，容易题少，中档题多，整套试题难度系数均是0.56；偶数年份，易中题比例常常是5:3，整套试题难度系数均在0.6以上，2010年难度系数达到0.66.（3）高考试卷中，试题难度分布总体特点是由易到难，填空题第一题难度相当于选择题平均难度，解答题第一题的难度相当于填空题平均难度。
但整套试卷中就每个题难度的分布上，又呈现波浪式的变化，2011年变化最大。
(如11年试题，选择题中1,2,3易，4中，5,6易，7中，8易，9中，10难，第10题难度系数为0.21，比19题和21题还要难，是最难的题目，试题难题的分布变化较大，最难的题目排在中间偏前的位置，难题分散，对考生的能力与心理的要求较高，这一特点会对考生的答题心态产生一定的影响。
)对我们的启示：12年试题难度不会太大，以稳定为主，小步创新。
试题中120分的易中题使我们主要的拿分题，在后面这段时间，对于太偏、太难，自己总搞不清楚的，可适当放弃，对于能做的题要克服会儿不对，对而不全的现象。
在答题时，由于试题难度呈现波浪式的变化，对于某些太难的题，不妨先跳过去，先做其他的题，要先易后难，不要因为一两个小题没做好影响考试的心态。
陕西高考数学试题，从各知识点考察来看，有以下的特点：从各知识点考察来看，始终坚持重点知识重点考察，注重在知识网络的交汇点设计试题。
函数、数列、三角函数、立体几何、解析几何、概率统计均是考查的热点内容，总计120分左右。
另外就集合、向量、复数、排列组合二项式、框图、线性回归（线性规划）及不等式、几何证明、参数方程的三选一的主要内容各一道小题，均为5分总计30分左右，。
函数有三道小题与一道大题，其中三道小题中，常有图像信息题，分段函数求值题，函数性质等问题；一道大题常是压轴题，以导数为工具，研究函数的切线、单调性、极值最值、与不等式的结合等问题，分值为27-29分，多年来一直处于核心地位。
特别关注：①图像信息题注意图像上特殊点，分段函数要分段研究②定义域③求导数及求原函数④识辨能成立、恒成立、不成立等问题并进行准确转化⑤有关比较大小、不等式的证明等。
数列有两道小题与一道大题，分值为20-22分，分值较大，仍是考查的重点内容。
小题常是猜想规律题和简单的应用题，大题主要考察等差等比数列的有关计算，简单的递推数列，11年出了数列、函数、切线、解析几何等的综合，成为试题中的难题，这种模块之间知识的横向综合，是陕西试题的一个重要特色，在今年高考中我们还要特别关注。
特别关注：1. 等差等比数列的基本量的计算。
2、等比数列求和要注意q=1和q≠1两种情况等等。
3、a n与Sn的转化以及a n的递推公式求解中注意n的限制4、重视错位相减、倒序相加、及数学归纳法的应用。
4、函数、数列、解析几何小应用题是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用。
立体几何、三角函数、解析几何、概率统计均是一道小题与一道大题，分值17-19分仍属于考查的热点内容。
立体几何中一道小题常是三视图的有关问题，大题非常稳定，所研究的都是可以很容易建立坐标系的几何体，所以这类题得分率很高。
特别关注：①建立坐标系②点的坐标的确定③准确的计算④记清重要的公式及结论⑤以算代证、隔离法三角函数中，06-09年陕西高考三角函数的性质、图像及三角变换，10-11年高考重点考察三角形中的有关问题。
既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质。
以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识。
特别关注：①内角和定理②二倍角公式③k∈Z④整体代换⑤图像变换⑥asinx+bcosx变形概率统计试题特点：贴近学生实际，文字叙述长，注重考察学生数据处理的全过程，注重考察学生在具体问题中对概率的理解意义，把统计和概率相结合。
试题主要考查基本概念和基本公式，对等可能性事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、事件在n次独立重复试验中恰发生k次的概率、离散型随机变量分布列和数学期望、方差、抽样方法等内容都进行了考查。
特别关注：1、频率分布直方图中纵坐标是频率/组距；频率之和为1；分层抽样比例不变。
2、分清概率类型（3类）。
3、区分互斥事件与独立事件。
4、弄清事件的概率及随机变量的意义解析几何一道小题常是较简单的关于圆锥曲线性质的问题，大题重点考察的①是求曲线方程，涉及待定系数法、直接法、多动点的坐标转移法等②在讨论直线和曲线位置关系基础上，研究弦长、范围、最值等问题。
③10-11年解几题都和向量有关，10年以向量为语言，叙述题中的条件，只需翻译即可，11年以向量为工具，转化题中的关键条件。
④解析几何试题难度有所降低，已不再是最难题之一。
降低运算量，彰显坐标思想、向量方法的考查，体现了学科知识的本质与课标的要求。
特别关注：①待定系数法②建立直线方程，注意斜率存在性讨论③Δ>0判定④向量的应用三、抓好细节，重视纠错。
后期复习，策略很重要，建议大家处理好以下几种关系：（1）处理好新题与旧题的关系你们要明确永远有新题，新题永远做不完，我个人认为当前尽量少做整套的新题。
重要的是从做过的题中吸取教训，而过去做过的题浩如烟海，全部看一遍等于没看，白白浪费时间。
考生要从近期的模拟训练(套训)中选择四、五套试卷重新审视，温故知新。
选择的标准，这三、四套试卷中要有2010、2011年陕西高考试卷，其余的二、三套试卷可以是几次大型模拟试卷或其他模拟试卷中你感觉“别扭”的试卷。
同时，后期每天坚持做一些平和的选择填空题，此法可巩固各知识点，因为选填题知识覆盖率较高，方法灵活，以此还能保持良好的竞技状态及稳定的心态。
（2）“改错，改错，再改错”对于选出的试卷，第一步是改错，改错决不是用眼看而是动手动笔重做，这才叫改错。
第一遍动笔把错误的改正过来。
第二遍背着改过的答案，再做一遍，你会发现还有你没注意到的，也有思路不通顺的地方。
第三遍审视错误，吸取教训，把教训用红笔记录在错题的旁边。
第三遍动笔写的过程实际上是思考的过程，只有动笔才能促进思考。
（3）串联与思考把三、四套试卷相同知识内容的题合并到一起，这时不要局限于题型。
如把某套题的有关函数的问题找出来。
这一步叫归类。
第二步明确各题的考查点，你知道这类问题易犯的错误在哪里？这是细节，细节决定一个题的成败。
当把三、四套同样是函数的问题并在一起时，你要比较这些题的异同点，即每个题考查的知识点，知识点的连接方式，解题思路与方法。
这就是串联与思考，经过这一过程，你掌握的不是几个题而是有关函数的基础知识与解题方法。
更高一步，在串联与思考后有关函数的性质还有没有遗漏？这步工作需要在老师的帮助下思考与选材。
（4）客观的估计要对自己的实力进行客观的估计，拿出三、四套模拟试卷，从自己的实力出发，哪些题是容易题，哪些题是中档题，哪些题是难题。
所谓难题，就是你现在的能力对这些题不摸门，够不着，暂时会了到考场不起作用，这些题干脆不做。
容易的题工夫下在纠错上，中档题工夫下在思路上，如何明确思路？明确一个题考查的知识点是什么，如直线与椭圆相交，直线的斜率存在吗，需要讨论Δ＞0吗？你问一下自己想到了吗？下一步思考是知识点的连接方式，是通过几何条件连接，还是给了角通过三角函数或向量数量积连接，所谓打通思路就是对连接方式是否清晰。
在最后的备战中要对做过的中档题进行反复思考，有所领悟。
领悟的思考成果是考场中最容易发挥的成果。
四、加强训练，提高应试技术每天做一点平和的选择填空题，巩固知识点，保持良好的竞技状态及稳定的心态。
考试时，注意以下几个问题：（1）在确信万无一失后方可交卷，宁可坚持到终考一分钟，也不做交卷第一人。
（2）“胆大心细，沉着应战”永远是成功的秘决！（3）努力做到“会做的题一题不错，该拿的分一分不丢”。
（4）对待数学考试，达到一种心态：我易人易我不大意，我难人难我不畏难！（5）减少高考数学的低级错误（6）先易后难，先熟后生，先同后异，先小后大，先高后低。
（“五先五后”，因人因卷制宜）良好的开端是成功的一半，从考试心理，角度来说，这确实是很有道理的，拿到试题后，不要急于求成、立即下手解题，而应通览一遍试题，摸透题情，然后稳操一两个易题熟题（选择填空为主）,让自己产生“旗开得胜”的快意，从而有一个良好的开端，以振奋精神,鼓舞信心,很快进入最佳思维状态,发挥心理学所谓的“门坎效应”,之后做一题得一题,不断产生正激励，（7）审题要慢，解答要快。
（一“慢”一“快”，相得益彰）（8）碰到难题时，怎么办？高考试题肯定有难度，所以要有充分的心理准备，不是每个题都能顺利解决。
遇到很难的题目不妨这样想：这题可能是专家有意设置的陷阱，考察你的心态，我不会做，那好多人也未必会做；我可能太紧张了，是否漏掉了一些关键的信息；连看三遍都没有好的思路，一定要稳定心态，可做几个深呼吸，可暂时放弃，先做完容易的再回头解决难题。
切忌死抠难题，钻牛角尖，否则会越来越紧张，导致大脑抑制，还会浪费宝贵的时间。
对于选择填空题，能否用特值、特例等方法猜出，对于解答题，我能根据条件画出相应的图形吗？我能转化题中的一些条件吗？和我之前所做的题目有相似的地方吗？我能把它转化为熟悉的问题吗？（9）要学会积极的暗示。
心理学家发现，人高兴、充满信心时就会抬头挺胸，走起路来格外有精神，步伐稍快而有力；而人在沮丧、缺乏信心时，就会无精打采，走路缓慢无力。