2012年陕西省高考压轴卷数学理
实用文档2012年陕西省高考压轴卷数学理一、选择题1、已知函数()(1)(21)(31)(1)f x x x x nx =++++，则'(0)f =( )A.2n CB.21n C +C.2n AD.21n A +2、将)0)(4tan(>+=ωπωx y 的图像向右平移6π个单位长度后，与)6tan(πω+=x y 的图像重合，则ω的最小值为（ ） A.61 B.41 C.31 D.213、已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是（ ）A ．（13，23） B.［13，23） C.（12，23） D.［12，23）4、将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（ ）A.18B.24C.30D.365、已知等差数列{}n a 中，26a =，515a =，若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于（ ）A ．30B ．45C ．180D ．906、从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（ ）实用文档 A.3B ．85C ．3D ．2107、分别在区间]6,1[,]4,1[内各任取一个实数依次为n m ,,则n m 的概率是（）A ．0.3B ．0.667C ．0.7D ．0.7148、一个棱锥的三视图如右图所示，则它的体积为 ( )A ．12B ．32C ．1D ．13分数 5 4 3 2 1人数 20 10 30 30 10实用文档9、若双曲线22221(0)x y ab a b-=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，线段1F 2F 被抛物线22y bx =的焦点分成7：5的两段，则此双曲线的离心率为( )A ．98 B ．637 C ．32 D ．31010、复数1(1)z z i +=-,则z =（ ）A ．iB ．-iC ．1+iD ．1-i二、填空题11、一个总体分为,A B 两层，其个体数之比为4:1，用分层抽样法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B 层中甲、乙都被抽到的概率为128，则总体中的个体数是 .12、某算法流程图如图所示，则输出的结果是 .13、由曲线y x=和3y x=围成的封闭图形的面积为 .14、选做题（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）A．（选修4—4坐标系与参数方程）已知点A是曲线2sinρθ=上任意一点，则点A到直线sin()43πρθ+=的距离的最小值是 .B．（选修4—5不等式选讲）不等式22|log||log|x x x x-<+的解集是 .C．（选修4—1几何证明选讲）如右图所示,AC和AB分别是圆O的切线，且3OC=，4AB=,延长AO到D点，则ABD∆的面积是 .15、二项式(2nxx的展开式中所有项的二项式系数之和是64，则展开式中含3x项的系数是 .三、解答题实用文档实用文档16、已知函数32()(3)x f x x x ax b e -=+++.（1）当3a b ==-时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在(,),(2,)αβ-∞单调增加，在(,2),(,)αβ+∞单调减少，证明：βα-＜6.17、 已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，设向量(,)m a b =，(sin ,sin )n B A =，(2,2)p b a =--.（1） 若m //n ，求证：ABC ∆为等腰三角形；（2） 若m ⊥p ，边长2c =，3C π∠=，求ABC ∆的面积 .18、在数列{}n a 中，1244n n a a n ++=-（*n N ∈），123a =-．（1）求3a ，5a 的值，（2）设2()n n n c a a n N ++=-∈，21()n n b a n N +-=∈，n S 为数列{}n b 前n 项和，求{}n c 的通项，并求n S 取最小时的n 值．19、为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类。
这三类工程所含项目的个数分别为6，4，2.现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.实用文档（1）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；（2）记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列及数学期望.20、如图，已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AA 1＝AB ＝AC ＝1，AB ⊥AC ，M 、N 分别是CC 1、BC 的中点，点P 在直线A 1B 1上，且满足()111A P A B R λλ=∈．（1）证明：PN ⊥AM ；（2）若平面PMN 与平面ABC 所成的角为45°，试确定点P 的位置．21、已知抛物线24y x =，过点(0,2)M 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，且直线l 与x 轴交于点C .(1)求证:||MA ，||MC ，||MB 成等比数列；(2)设MA AC α=，MB BC β=，试问αβ+是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．以下是答案一、选择题2、 D3、 A4、 C5、 D6、 D7、 C8、 A9、 C10、A二、填空题实用文档实用文档12、1613、1214、A. 52B. (1,)+∞C.48515、154三、解答题16、解：（1）当3a b ==-时，32()(333)x f x x x x e -=+--，故322'()(333)(363)x x f x x x x e x x e --=-+--++-3(9)x e x x -=--(3)(3)x x x x e -=--+当3x <-或03'()0;x f x <<>时， 当303'()0.x x f x -<<><或时，从而()(,3),(0,3)303f x -∞--+∞在单调增加，在（，），（，）单调减少(2)3223'()(3)(36)[(6)].x x x f x x x ax b e x x a e e x a x b a ---=-++++++=-+-+-由条件得：3'(2)0,22(6)0,4,f a b a b a =+-+-==-即故实用文档从而3'()[(6)42].x f x e x a x a -=-+-+-因为'()'()0,f f αβ==所以3(6)42(2)()()x a x a x x x αβ+-+-=---2(2)(()).x x x αβαβ=--++将右边展开，与左边比较系数得，2, 2.a αβαβ+=-=-故βα-==又(2)(2)0,2()40.βααβαβ--<-++<即由此可得 6.a <-于是 6.βα->17、证明：（1）//,sin sin ,m n a A b B ∴= 即22a b a b R R⋅=⋅，其中R 是ABC ∆外接圆半径，a b = ABC ∴∆为等腰三角形解（2）由题意可知m ⊥p 0,(2)(2)0m p a b b a =-+-=即，a b ab ∴+= 由余弦定理可知， 2224()3a b ab a b ab =+-=+-2()340ab ab --=即 4(1)ab ab ∴==-舍去11sin 4sin 223S ab C π∴==⋅⋅= 18、（1）由1244(1)n n a a n n ++=-≥，212(1)44n n a a n +++=+-22n n a a +⇒-=又21224419a a a +=-⇒=-,同理得：34521,17,19a a a =-=-=-．（2）由（1）得22n n a a +-=，故2n c =，又21()n n b a n N +-=∈，由2n c =得{}n b 是首项为-23，公差为2实用文档 的等差数列．从而225n b n =-令10,0,n n b b +≤>得n=12时n S 取最小值．19、解: 记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件,,,i i i A B C 1,2,3i =.由题意知123,,A A A 相互独立，123,,B B B 相互独立，123,,C C C 相互独立，,,i j k A B C （,,1,2,3i j k =,且,,i j k 互不相同）相互独立， 且111(),(),().236i i i P A P B P C === （1） 他们选择的项目所属类别互不相同的概（2） P =1233!()P A B C 1236()()()P A P B P C =11116.2366=⨯⨯⨯=（2）记第i 名工人选择的项目属于基础工程或产业建设工程分别为事件i D ,1,2,3i =.123,,D D D 相互独立，且()i P D =P (i i A C +)= P (i A )+P (i C )=12+16=23，所以2~(3,)3B ξ,即3321()()()33k k k P k C ξ-==，0,1,2,3.k = 故ξ的分布列是2E ξ=20、解：（1）证明：如图，以AB ，AC ，AA 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A －xyz ．则P （λ，0,1），N （12，12，0），M （0,1，12），实用文档 从而PN ＝（12－λ，12，－1），AM ＝（0,1，12），PN AM ⋅＝（12－λ）×0＋12×1－1×12＝0，所以PN ⊥AM ．（2）平面ABC 的一个法向量为n ＝1AA ＝（0,0,1）．设平面PMN 的一个法向量为m ＝（x ，y ，z ），由（1）得MP ＝（λ，－1，12）．由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+--⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.021,021)21(,0,0z y x z y x MP m NP m λλ得 解得))1(2,12,3(,3.3)1(2,312λλλλ-+==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=m x x z x y 得令． ∵平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为45°，∴|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n |m |·|n ||＝|2(1－λ)|9＋(2λ＋1)2＋4(1－λ)2＝22， 解得λ＝－12．实用文档 故点P 在B 1A 1的延长线上，且|A 1P |＝12．21、解：(理)(1)设直线l 的方程为：2y kx =+(0)k ≠，联立方程可得224y kx y x =+⎧⎨=⎩得:22(44)40k x k x +-+= ① 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，2(,0)C k -，则12244k x x k -+=-，1224x x k ⋅= ②21224(1)||||0|0|k MA MB x x k +⋅=--=，而222224(1)||0|)k MC k k +=--=，∴2||||||0MC MA MB =⋅≠，即||MA ，||MC 、||MB 成等比数列(2)由MA AC α=，MB BC β=得，11112(,2)(,)x y x y k α-=---，22222(,2)(,)x y x y k β-=--- 即得：112kx kx α-=+，222kx kx β-=+，则212122121222()2()4k x x k x x k x x k x x αβ--++=+++由(1)中②代入得1αβ+=-，故αβ+为定值且定值为1-。
2012年新课标高考压轴卷理科数学试题
绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2320A x x x =-+=，{}log 42x B x ==，则AB =（ ）A ．{}2,1,2-B ．{}1,2C ．{}2,2-D ．{}22．若复数i a a a z )3()32(2++-+=为纯虚数（i 为虚数单位），则实数a 的值是（ ） A ．3- B ．3-或1 C ．或1- D ．1 3．下面的茎叶图表示的是某城市一台自动售货机的销售额情况（单位：元），图中的数字7表示的意义是这台自动售货机的销售额为（ ）A ．7元B ．37元C ．27元D ．2337元1 23 4028 02337 12448 2384．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2a 、4a 是方程022=--x x 的两个实数根，则5S 的值是（ ） A ．25B ．5C ． 25-D ．5- 5．函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象如图所示，其中0>A ,0>ω，2πϕ<． 则下列关于函数()f x 的说法中正确的是（ ）A ．对称轴方程是2()3x k k ππ=+∈ZB ．6πϕ-=C ．最小正周期是πD ．在区间35,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减 6．设,a b 是平面α内两条不同的直线，l 是平面α外的一条直线，则“l a ⊥，l b ⊥”是“l α⊥”的（ ）A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件7．若函数321(02)3x y x x =-+<<的图象上任意点处切线的倾斜角为α，则α的最小值是（ ）A ．4π B ．6πC ．56π D ．34π8．已知1F 、2F 分别为椭圆C ：22143x y +=的左、右焦点，点P 为椭圆C 上的动点，则12PF F △ 的重心G 的轨迹方程为（ ）A ．221(0)3627x y y +=≠ B ．2241(0)9x y y +=≠ C ．22931(0)4x y y +=≠ D ．2241(0)3y x y +=≠9．已知某程序框图如图所示，则该程序运行后，输出的结果为（ ） A ．0．6 B ．0．8 C ．0．5 D ．0．210．设集合{}2),(≤+=y x y x A ，{}2(,)B x y A y x =∈≤，从集合A 中随机地取出一个元素(,)P x y ，则(,)P x y B ∈的 概率是（ ）A ．121B ．2417 C ．32 D ．65 11．过双曲线)0(152222>=--a a y a x 右焦点F 作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点， 则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ． )5,2(B ．C ．)2,1(D ．12．在平行四边形ABCD 中，O=∠60BAD ，AD =2AB ，若P 是平面ABCD 内一点，且满足=++y x （,x y ∈R ），则当点P 在以A 为半径的圆上时，实数y x ,应满足关系式为（ ） A ．12422=++xy y x B ．12422=-+xy y xC ．12422=-+xy y xD ．12422=++xy y x第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．若nxa x )(2-展开式中二项式系数之和是1024，常数项为45，则实数a 的值是 ． 14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知数列{}n S 是首项和公比都是3的等比数列， 则{}n a 的通项公式n a =______________．一个口袋内有n （3n >）个大小相同的球，其中有3个红球和(3)n -个白球．已知从口袋中随机取出一个球是红球的概率是p ． （I ）当35p =时，不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数ξ的期望E ξ； （II ）若6p ∈N ，有放回地从口袋中连续地取四次球（每次只取一个球），在四次摸球中恰好取到两次红球的概率大于827，求p 和n ． 18．（本小题满分12分）已知A B C 、、是ABC △的三个内角，且满足2sin sin sin B A C =+，设B 的最大值为0B ．（Ⅰ）求0B 的大小； （Ⅱ）当034B B =时，求cos cos A C -的值．19．（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，点O 、E 分别是11C A 、1AA 的中点，⊥AO 平面111C B A ．已知 90=∠BCA ，21===BC AC AA ．（Ⅰ）证明：//OE 平面11C AB ； （Ⅱ）求异面直线1AB 与C A 1所成的角；（Ⅲ）求11C A 与平面11B AA 所成角的正弦值．20．（本小题满分12分）如图，已知抛物线C ：px y 22=和⊙M ：1)4(22=+-y x ，过抛物线C 上一点)1)(,(000≥y y x H 作两条直线与⊙M 相切于A 、B 两点，分别交抛物线为E 、F 两点，圆心点M 到抛物线准线的距离为417． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时， 求直线EF 的斜率；（Ⅲ）若直线AB 在y 轴上的截距为t ，求t 的最小值．21．（本小题满分12分）已知函数x ax x f ln 1)(--=()a ∈R ．（Ⅰ）讨论函数)(x f 在定义域内的极值点的个数；（Ⅱ）若函数)(x f 在1=x 处取得极值，对x ∀∈),0(+∞,2)(-≥bx x f 恒成立， 求实数b 的取值范围；（Ⅲ）当20e y x <<<且e x ≠时，试比较xyx y ln 1ln 1--与的大小． ABO1A 1C 1B E请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 已知AB 为半圆O 的直径，4AB =，C 为半圆上一点，过点C 作半圆的切线CD ，过点A 作AD CD ⊥于D 交圆于点E ，1DE =． （Ⅰ）求证：AC 平分BAD ∠； （Ⅱ）求BC 的长．23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线l 的极坐标方程为：)4sin(210πθρ-=,点(2cos ,2sin 2)P αα+，参数[]0,2απ∈．（Ⅰ）求点P 轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）求点P 到直线l 距离的最大值．24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数a a x x f +-=2)(．（Ⅰ）若不等式6)(≤x f 的解集为{}32≤≤-x x ，求实数a 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若存在实数n 使)()(n f m n f --≤成立，求实数m 的取值范围．参考答案说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题1．B ； 2．D ；3．C ；4．A ；5．D ；6．C ；7．D ；8．C ；9．A ；10．B ；11．B ； 12．D ． 二、填空题13． 1±；14．13,(1)23.(2)n n n -=⎧⎨∙≥⎩；15．29π ；16．(0,)e ． 三、解答题17．解：（I ）法一：333555p n n =⇒=⇒=，所以5个球中有2个白球 白球的个数ξ可取0，1，2． ····························································································· 1分3211233232333555133(0),(1),(2)10510C C C C C p p p C C C ξξξ=========． ························ 4分 1336012105105E ξ=⨯+⨯+⨯=． ····················································································· 6分 法二：白球个数ξ服从参数为5,2,3N M n ===的超几何分布，则236()55nM E N ξ⨯=== ……………………6分（II ）由题设知，22248(1)27C p p ->， ··············································································· 8分 因为(1)0p p ->所以不等式可化为2(1)9p p ->， 解不等式得，1233p <<，即264p <<． ·································································· 10分又因为6p N ∈，所以63p =，即12p =， 所以12p =，所以312n =，所以6n =． ······································································· 12分 18．解：（Ⅰ）由题设及正弦定理知，2b a c =+，即2a cb +=． 由余弦定理知，2222222cos 22a c a c a c b B ac ac+⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭== ·········································· 2分223()23(2)21882a c ac ac ac ac ac +--=≥=． ······································································ 4分因为cos y x =在(0,)π上单调递减，所以B 的最大值为03B π=． ······························ 6分 （Ⅱ）解：设cos cos A C x -=， ··························································································· ① ··················································································································································· 8分由（Ⅰ）及题设知sin sin A C + ················································································· ② 由①2+②2得，222cos()2A C x -+=+． ······································································· 10分 又因为4A CB πππ+=-=-，所以x =cos cos A C -= ······································································· 12分 19．解法一：（Ⅰ）证明：∵点O 、E 分别是11C A 、1AA 的中点， ∴1//AC OE ，又∵⊄EO 平面11C AB ，⊂1AC 平面11C AB ，∴//OE 平面11C AB ． ············································································································ 4分 （Ⅱ）∵⊥AO 平面111C B A ，∴11C B AO ⊥，又∵1111C B C A ⊥，且O AO C A = 11，∴⊥11C B 平面11AC CA ,∴111C B C A ⊥． ······································································· 6分 又∵AC AA =1， ∴四边形11AC CA 为菱形， ∴11AC C A ⊥，且1111B C AC C =∴⊥C A 1平面11C AB ,∴C A AB 11⊥，即异面直线1AB 与C A1所成的角为90． ········································· 8分(Ⅲ) 设点1C 到平面11B AA 的距离为d ，∵111111B AA C C B A A V V --=， 即⋅=⋅⋅⋅⋅3121311111AO C B C A S △11B AA d ⋅． ································································ 10分 又∵在△11B AA 中，22111==AB B A ,∴S △11BAA 7=．∴7212=d ，∴11C A 与平面11B AA 所成角的正弦值721． ···································· 12分解法二：如图建系xyz O -，A ，11(0,1,0),(0,,22A E --，1(0,1,0)C ， 1(2,1,0)B ，(0,3)C ．………………2分 （Ⅰ）∵=)23,21,0(-，)3,1,0(1-=AC ，∴，即1//AC OE ，又∵⊄EO 平面11C AB ，⊂1AC 平面11C AB ，∴//OE 平面11C AB ． ······················· 6分 （Ⅱ）∵)3,1,2(1-=AB ，)3,3,0(1=C A ，∴⋅1AB 01=C A ，即∴C A AB 11⊥， ∴异面直线1AB 与C A 1所成的角为90． ········································································ 8分 (Ⅲ)设11C A 与平面11B AA 所成角为θ，∵)0,2,0(11=C A ，设平面11B AA 的一个法向量是(,,)x y z =n不妨令1x =，可得(1,=-n ， ············································································· 10分A 1∴11sin cos,7ACθ=<>==n∴11CA与平面11BAA所成角的正弦值721． ······························································12分20．解：（Ⅰ）∵点M到抛物线准线的距离为=+24p417，∴21=p，即抛物线C的方程为xy=2． ···································································2分（Ⅱ）法一：∵当AHB∠的角平分线垂直x轴时，点)2,4(H，∴HE HFk k=-，设11(,)E x y，22(,)F x y，∴1212H HH Hy y y yx x x x--=---，∴12222212H HH Hy y y yy y y y--=---，∴1224Hy y y+=-=-. ·······························································································5分212122212121114EFy y y ykx x y y y y--====---+． ····································································7分法二：∵当AHB∠的角平分线垂直x轴时，点)2,4(H，∴60=∠AHB，可得3=H Ak，3-=H Bk，∴直线HA的方程为2343+-=xy，联立方程组⎩⎨⎧=+-=xyxy22343，得023432=+--yy，∵23Ey+=∴363-=Ey，33413-=Ex． ·············································································5分同理可得363--=Fy，33413+=Fx，∴41-=EFk． ···································7分（Ⅲ）法一：设),(),,(2211y x B y x A ，∵411-=x y k MA ，∴114y x k HA -=， 可得，直线HA 的方程为0154)4(111=-+--x y y x x ，同理，直线HB 的方程为0154)4(222=-+--x y y x x ，∴0154)4(101201=-+--x y y y x ，0154)4(202202=-+--x y y y x ， ·········································································· 9分 ∴直线AB 的方程为02200(4)4150y x y y y --+-=， 令0=x ，可得)1(154000≥-=y y y t ， ∵t 关于0y 的函数在[1,)+∞单调递增，∴11min -=t ． ·············································································································· 12分 法二：设点2(,)(1)H m m m ≥，242716HM m m =-+，242715HA m m =-+． 以H 为圆心，HA 为半径的圆方程为22242()()715x m y m m m -+-=-+， ········· ① ⊙M 方程：1)4(22=+-y x ． ······················································································· ② ①-②得：直线AB 的方程为2242(24)(4)(2)714x m m y m m m m -----=-+．················· 9分 当0x =时，直线AB 在y 轴上的截距154t m m =-(1)m ≥， ∵t 关于m 的函数在[1,)+∞单调递增，∴11min -=t ······················································································································ 12分21．解：（Ⅰ）xax x a x f 11)(-=-='，当0≤a 时，()0f x '<在),0(+∞上恒成立，函数)(x f 在),0(+∞单调递减，∴)(x f 在),0(+∞上没有极值点；当0>a 时，()0f x '<得10x a <<，()0f x '>得1x a>， ∴)(x f 在(10,)a 上递减，在(1),a+∞上递增，即)(x f 在a x 1=处有极小值．∴当0≤a 时)(x f 在),0(+∞上没有极值点，当0>a 时，)(x f 在),0(+∞上有一个极值点． ································································· 3分 （Ⅱ）∵函数)(x f 在1=x 处取得极值，∴1=a ， ∴b x x x bx x f ≥-+⇔-≥ln 112)(， ·················································································· 5分 令x x x x g ln 11)(-+=，可得)(x g 在(]2,0e 上递减，在[)+∞,2e 上递增， ∴22min 11)()(e e g x g -==，即211b e≤-． ······································································ 7分 （Ⅲ）证明：)1ln()1ln()1ln()1ln(+>+⇔++>-y e x e y x e yx y x ， ············································· 8分 令)1ln()(+=x e x g x，则只要证明)(x g 在),1(+∞-e 上单调递增， 又∵)1(ln 11)1ln()(2+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+='x x x e x g x ， 显然函数11)1ln()(+-+=x x x h 在),1(+∞-e 上单调递增． ···································· 10分 ∴011)(>->ex h ，即0)(>'x g ， ∴)(x g 在),1(+∞-e 上单调递增，即)1ln()1ln(+>+y e x e yx ， ∴当1->>e y x 时，有)1ln()1ln(++>-y x e y x ． ································································ 12分 22．解：（Ⅰ）连结AC ，因为OA OC =，所以OAC OCA ∠=∠， 2分 因为CD 为半圆的切线，所以OC CD ⊥，又因为AD CD ⊥，所以OC ∥AD ，所以OCA CAD ∠=∠，OAC CAD ∠=∠，所以AC 平分BAD ∠． ····················· 4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知BC CE =， ························································································· 6分 连结CE ，因为ABCE 四点共圆，B CED ∠=∠，所以cos cos B CED =∠， ····· 8分 所以DE CB CE AB=，所以2BC =． ················································································· 10分 23．解：(Ⅰ)2cos ,2sin 2.x y αα=⎧⎨=+⎩且参数[]0,2απ∈，所以点P 的轨迹方程为22(2)4x y +-=． ······························································· 3分 (Ⅱ)因为)4sin(210πθρ-=，所以)104πθ-=，所以sin cos 10ρθρθ-=，所以直线l 的直角坐标方程为100x y -+=．········· 6分 法一：由(Ⅰ) 点P 的轨迹方程为22(2)4x y +-=，圆心为(0,2)，半径为2. d ==P 到直线l距离的最大值2. ·············· 10分 法二：)44d πα==++，当74πα=，max 2d =，即点P 到直线l距离的最大值2. ····································· 10分 24．解：（Ⅰ）由26x a a -+≤得26x a a -≤-，∴626a x a a -≤-≤-，即33a x -≤≤，∴32a -=-，∴1a =．···································································· 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知()211f x x =-+,令()()()n f n f n ϕ=+-， 则()124, 211212124, 22124, n 2n n n n n n n ϕ⎧-≤-⎪⎪⎪=-+++=-<≤⎨⎪⎪+>⎪⎩∴()n ϕ的最小值为4，故实数m 的取值范围是[)4,+∞． ········································· 10分。
2012年高考数学理科陕西卷(含答案解析)
绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学注意事项：1.本试卷分为两部分,第一部分为选择题,第二部分为非选择题.2.考生领到试卷后,须按规定在试卷上填写姓名、准考证号,并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.3.所有解答必须填写在答题卡上指定区域内.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求（本大题共10小题,每小题5分,共50分）.1.集合{|lg 0}M x x =>,2{|4}N x x =≤,则M N =I( )A .(1,2)B .[1,2)C .(1,2]D .[1,2] 2.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( )A .1y x =+B .3y x =-C .1y x =D .||y x x = 3.设,a b ∈R ,i 是虚数单位,则“0ab =”是“复数iba +为纯虚数”的 ( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件4.已知圆C ：22+4=0x y x -,l 是过点(3,0)P 的直线,则( )A .l 与C 相交B .l 与C 相切C .l 与C 相离D .以上三个选项均有可能 5.如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -,12CA CC CB ==,则直线1BC 与 直线1AB 夹角的余弦值为( )A .5 B .5 C .25D .356.从甲乙两个城市分别随机抽取16 台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎 叶图表示（如图所示）.设甲乙两组数据的平均数分别为x 甲,x 乙,中位数分别为m 甲, m 乙,则( )A .x x <甲乙,m m >乙甲B .x x <甲乙,m m <乙甲C .x x >甲乙,m m >乙甲D .x x >甲乙,m m <乙甲 7.设函数()e x f x x =,则( ) A .1x =为()f x 的极大值点B .1x =为()f x 的极小值点C .1x =-为()f x 的极大值点D .1x =-为()f x 的极小值点8.两人进行乒乓球比赛,先赢3 局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有( ) A .10 种 B .15 种 C .20 种 D .30 种9.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对边的长分别为a ,b ,c ,若2222a +b =c ,则cos C 的最 小值为 ( ) A .3B .2 C .12D .12-10.右图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图,P 表示估计结果,则图中空白框内应填入( )A .1000NP =B .41000NP =C .1000MP =D .41000MP =姓名________________ 准考证号_____________------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效---------------第二部分（共100分）二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题,每小题5分,共25分）. 11.观察下列不等式213122+< 221151233++< 222111712344+++< ……照此规律,第五个．．．不等式为 . 12.5()a x +展开式中2x 的系数为10,则实数a 的值为 . 13.右图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2 米,水面宽4 米.水位下降1 米后,水面宽 米.14.设函数ln , 0,()21, 0,x x f x x x >⎧=⎨--⎩≤D 是由x 轴和曲线=()y f x 及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域,则2z x y =-在D 上的最大值为 .15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分）A .（不等式选做题）若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立,则实数a 的取值范围是 .B .（几何证明选做题）如图,在圆O 中,直径AB 与弦CD 垂直, 垂足为E ,EF DB ⊥,垂足为F ,若6AB =,1AE =,则DF DB =g .C .（坐标系与参数方程选做题）直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题,共75分）.16.（本小题满分12分）函数π()sin()1(0,0)6f x A x A ωω=-+>>的最大值为3,其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设(0,)2πα∈,()22f α=,求α的值.17.（本小题满分12分）设{}n a 是公比不为1的等比数列,其前n 项和为n S ,且534,,a a a 成等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的公比；（Ⅱ）证明：对任意k ∈+N ,21,,k k k S S S ++成等差数列.18.（本小题满分12分）（Ⅰ）如图,证明命题“a 是平面π内的一条直线,b 是π外的一条直线（b 不垂直于π）,c 是直线 b 在π上的投影,若a b ⊥,则a c ⊥”为真；（Ⅱ）写出上述命题的逆命题,并判断其真假（不 需证明）.19.（本小题满分12分）已知椭圆221:14x C y +=,椭圆2C 以1C 的长轴为短轴,且与1C 有相同的离心率.（Ⅰ）求椭圆2C 的方程；（Ⅱ）设O 为坐标原点,点A ,B 分别在椭圆1C 和2C 上,2OB OA =u u u r u u u r,求直线AB的方程.20.（本小题满分13分）某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间相互独立,且都是整 数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：从第一个顾客办理业务时计时.（Ⅰ）估计第三个顾客恰好等待4 分钟开始办理业务的概率；（Ⅱ）X 表示至第2 分钟末已办理完业务的顾客人数,求X 的分布列及数学期望.21.（本小题满分14分）设函数()=++(,,)n n f x x bx c n b c ∈∈+N R .（Ⅰ）设2,=1,=1n b c -≥,证明：()n f x 在区间1(,1)2内存在唯一零点；（Ⅱ）设=2n ,若对任意12,[1,1]x x ∈-,有2122|()()|4f x f x -≤,求b 的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下,设n x 是()n f x 在（12,1）内的零点,判断数列23,,,n x x x L L 的增减性.办理业务所需的时间（分）12345频率0.1 0.4 0.3 0.1 0.1理科数学答案解析又由相交弦定理得=155DE AE EB =⨯=g ，5DF BD ∴=g．a c ∴⊥；ac ∴⊥；。
2012年高考真题理科数学精解精析系列：陕西
2012年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）数学（理科）一、选择题1. 集合{|lg 0}M x x =>，2{|4}N x x =≤，则M N =（ ）A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[1,2]【解析】{}1>=x x M ，{}22≤≤-=x x N ，则{}21≤<=⋂x x N M ，故选C 2. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）A ．1y x =+B ．3x y -= C ．1y x=D ．||y x x = 【解析】选项中是奇函数的有B 、C 、D ，增函数有D ，故选D 3. 设,a b R ∈，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数ba i+为纯虚数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】“0ab =”则0=a 或0=b ，“复数ba i+为纯虚数”则0=a 且0≠b ，则 “0ab =”是“复数ba i+为纯虚数”的必要不充分条件，故选B 4. 已知圆22:40C x y x +-=，l 过点(3,0)P 的直线，则（ ） A ．l 与C 相交 B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能【解析】点(3,0)P 在圆内，则l 必与C 相交，故选A5. 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -，12CA CC CB ==，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（ ）ABC．5D ．35【解析】设1=CB ，则()1,2,21-=AB ，()1,2,01-=BC ，则55,cos 11=>=<BC AB ，故选A6. 从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为x 甲，x 乙，中位数分别为m 甲，m 乙，则（ ）A ．x x <甲乙，m 甲>m 乙B ．x x <甲乙，m 甲<m 乙C ．x x >甲乙，m 甲>m 乙D ．x x >甲乙，m 甲<m 乙【解析】经计算得：x 甲=21.5625，x 乙=28.5625，m 甲=20，m 乙=29，故选B 7. 设函数()xf x xe =，则（ ） A ．1x =为()f x 的极大值点 B ．1x =为()f x 的极小值点C ．1x =-为()f x 的极大值点D ．1x =-为()f x 的极小值点【解析】()x f x xe =，()1'+=x e f x x ，0>x e 恒成立，令0'=x f ，则1-=x当1-<x 时，0'<x f ，函数单调减，当1->x 时，0'>x f ，函数单调增，则1x =-为()f x 的极小值点，故选D8. 两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（ ） A ．10种 B ．15种 C ．20种 D ．30种 【解析】甲赢和乙赢的可能情况是一样的，所以假设甲赢的情况如下： 若两人进行3场比赛，则情况只有是甲全赢1种情况；若两人进行4场比赛，第4场比赛必为甲赢前3场任选一场乙赢为313=C 种情况；若两人进行5场比赛，第5场比赛必为甲赢前4场任选一场乙赢为624=C 种情况； 综上，甲赢有10种情况，同理，乙赢有10种情况， 则所有可能出现的情况共20种，故选C9. 在ABC ∆中角A 、B 、C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ ）A ．2B ．2C ．12D ．12-【解析】2122cos 2222222=+-≥-+=b ac c ab c b a C ，故选C 10. 右图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入（ ）A ．1000NP =B ．41000NP =C ．1000MP =D ．41000MP =【解析】M 表示落入扇形的点的个数，1000表示落入正方形的点的个数， 则点落入扇形的概率为1000M， 由几何概型知，点落入扇形的概率为4π， 则10004MP ==π，故选D 二． 填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 观察下列不等式213122+< 231151233++<，474131211222<+++，……照此规律，第五个．．．不等式为 ． 【答案】6116151413121122222<+++++【解析】观察不等式的左边发现，第n 个不等式的左边=()2221131211+++++n L ， 右边=()1112+-+n n ，所以第五个不等式为6116151413121122222<+++++.12. 5()a x +展开式中2x 的系数为10， 则实数a 的值为 ．【答案】1【解析】∵r r r r x a C T -+=551，令2=r ，则23253x a C T =， 又∵2x 的系数为10，则10325=a C ，∴1=a13. 右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米．【答案】62【解析】建立如图所示的直角坐标系，使拱桥的顶点O 的坐标为（0,0）， 设l 与抛物线的交点为A 、B ，根据题意知A （-2，-2），B （2，-2） 设抛物线的解析式为2ax y =，则有()222-⨯=-a ，∴21-=a ∴抛物线的解析式为221x y -= 水位下降1米，则y=-3，此时有6=x 或6-=x∴此时水面宽为62米。
2012年高考数学(理)试卷(陕西自主命题)(空白卷)
一、选择题1. 集合{|lg 0}M x x =>，2{|4}N x x =≤，则MN =（ ）A 。
(1,2)B 。
[1,2)C 。
(1,2]D 。
[1,2] 2. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）A 。
1y x =+B 。
2y x =- C 。
1y x=D 。
||y x x =4. 已知圆22:40C x y x +-=，l 过点(3,0)P 的直线，则（ ）A 。
l 与C 相交B 。
l 与C 相切 C 。
l 与C 相离 D. 以上三个选项均有可能7. 设函数()xf x xe =，则（ ）A 。
1x =为()f x 的极大值点B 。
1x =为()f x 的极小值点C 。
1x =-为()f x 的极大值点D 。
1x =-为()f x 的极小值点8. 两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（ ）A 。
10种B 。
15种C 。
20种D 。
30种9. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ ） A 。
32 B 。
22 C 。
12 D 。
12-二。
填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）12. 5()a x +展开式中2x 的系数为10， 则实数a 的值为 。
13. 右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米。
C 。
（坐标系与参数方程）直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 。
三、解答题16.（本小题满分12分）函数()sin()16f x A x πω=-+（0,0A ω>>）的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π， （1）求函数()f x 的解析式； （2）设(0,)2πα∈，则()22f α=，求α的值。
2012年普通高等学校招生全国统一考试陕西卷(理数)Word版无答案
2012年陕西省高考理科数学试题一、选择题1. 集合{|lg 0}M x x =>，2{|4}N x x =≤，则M N =（ ）A · (1,2)B · [1,2)C · (1,2]D · [1,2] 2. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）A · 1y x =+B · 2y x =-C ·1y x =D · ||y x x =3. 设,a b R ∈，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数ba i +为纯虚数”的（ ）A ·充分不必要条件B · 必要不充分条件C · 充分必要条件D · 既不充分也不必要条件4. 已知圆22:40C x y x +-=，l 过点(3,0)P 的直线，则（ ） A ·l 与C 相交 B · l 与C 相切 C ·l 与C 相离 D. 以上三个选项均有可能 5. 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -，12CA CC CB ==，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（ ）A ·B· C ·D · 356. 从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为x 甲，x 乙，中位数分别为m 甲，m 乙，则（ ）A · x x <甲乙，m 甲>m 乙B · x x <甲乙，m 甲<m 乙C · x x >甲乙，m 甲>m 乙D · x x >甲乙，m 甲<m 乙7. 设函数()xf x xe =，则（ ）A · 1x =为()f x 的极大值点B ·1x =为()f x 的极小值点C · 1x =-为()f x 的极大值点D · 1x =-为()f x 的极小值点8. 两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（ ）A · 10种B ·15种C · 20种D · 30种9. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ ）A ·B ·2 C · 12 D · 12-10. 右图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入（ ）A ·1000N P =B ·41000N P =C ·1000M P =D · 41000M P =二· 填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11. 观察下列不等式213122+< 231151233++<， 222111512343+++<……照此规律，第五个不等式为 ·12. 5()a x +展开式中2x 的系数为10， 则实数a 的值为 ·13. 右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米·14. 设函数ln ,0()21,0x x f x x x >⎧=⎨--≤⎩，D 是由x 轴和曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则2z x y =-在D 上的最大值为 ·15. （考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A ·（不等式选做题）若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立，则实数a 的取值范围是 ·B ·（几何证明选做题）如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF DB ⊥，垂足为F ，若6AB =，1AE =，则DF DB ⋅= ·C ·（坐标系与参数方程）直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 · 三、解答题16.（本小题满分12分）函数()sin()16f x A x πω=-+（0,0A ω>>）的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π，（1）求函数()f x 的解析式；（2）设(0,)2πα∈，则()22f α=，求α的值·17.（本小题满分12分） 设{}n a 的公比不为1的等比数列，其前n 项和为n S ，且534,,a a a 成等差数列·（1）求数列{}n a 的公比；（2）证明：对任意k N +∈，21,,k k k S S S ++成等差数列·18. （本小题满分12分）（1）如图，证明命题“a 是平面π内的一条直线，b 是π外的一条直线（b 不垂直于π），c 是直线b 在π上的投影，若a b ⊥，则a c ⊥”为真·（2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）19. （本小题满分12分）已知椭圆221:14x C y +=，椭圆2C 以1C 的长轴为短轴，且与1C 有相同的离心率·（1）求椭圆2C 的方程；（2）设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆1C 和2C 上，2OB OA =，求直线AB 的方程·20.（本小题满分13分）某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：从第一个顾客开始办理业务时计时·（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；（2）X 表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X 的分布列及数学期望·21· （本小题满分14分）设函数()(,,)nn f x x bx c n N b c R +=++∈∈ （1）设2n ≥，1,1b c ==-，证明：()n f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一的零点；（2）设2n =，若对任意12,x x [1,1]∈-，有2122|()()|4f x f x -≤，求b 的取值范围；（3）在（1）的条件下，设n x 是()n f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内的零点，判断数列23,,,nx x x 的增减性·。
2012年高考数学理科陕西卷
数学试卷 第1页（共6页） 数学试卷 第2页（共6页）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学注意事项：1.本试卷分为两部分,第一部分为选择题,第二部分为非选择题.2.考生领到试卷后,须按规定在试卷上填写姓名、准考证号,并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.3.所有解答必须填写在答题卡上指定区域内.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求（本大题共10小题,每小题5分,共50分）.1.集合{|lg 0}M x x =>,2{|4}N x x =≤,则M N =I ( )A .(1,2)B .[1,2)C .(1,2]D .[1,2] 2.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( )A .1y x =+B .3y x =-C .1y x =D .||y x x = 3.设,a b ∈R ,i 是虚数单位,则“0ab =”是“复数iba +为纯虚数”的 ( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件4.已知圆C ：22+4=0x y x -,l 是过点(3,0)P 的直线,则( )A .l 与C 相交B .l 与C 相切C .l 与C 相离D .以上三个选项均有可能 5.如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -,12CA CC CB ==,则直线1BC 与 直线1AB 夹角的余弦值为( )A .5 B .5 C .25D .356.从甲乙两个城市分别随机抽取16 台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎 叶图表示（如图所示）.设甲乙两组数据的平均数分别为x 甲,x 乙,中位数分别为m 甲,m 乙,则( )A .x x <甲乙,m m >乙甲B .x x <甲乙,m m <乙甲C .x x >甲乙,m m >乙甲D .x x >甲乙,m m <乙甲 7.设函数()e x f x x =,则( ) A .1x =为()f x 的极大值点B .1x =为()f x 的极小值点C .1x =-为()f x 的极大值点D .1x =-为()f x 的极小值点8.两人进行乒乓球比赛,先赢3 局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有( ) A .10 种 B .15 种 C .20 种 D .30 种9.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对边的长分别为a ,b ,c ,若2222a +b =c ,则cos C 的最 小值为 ( ) A .3B .2 C .12D .12-10.右图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图,P 表示估计结果,则图中空白框内应填入( )A .1000NP =B .41000NP =C .1000MP =D .41000MP =姓名________________ 准考证号_____________------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效---------------数学试卷 第3页（共6页） 数学试卷 第4页（共6页）第二部分（共100分）二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题,每小题5分,共25分）. 11.观察下列不等式213122+< 221151233++<222111712344+++< ……照此规律,第五个．．．不等式为 . 12.5()a x +展开式中2x 的系数为10,则实数a 的值为 . 13.右图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2 米,水面宽4 米.水位下降1 米后,水面宽 米.14.设函数ln , 0,()21, 0,x x f x x x >⎧=⎨--⎩≤D 是由x 轴和曲线=()y f x 及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域,则2z x y =-在D 上的最大值为 .15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分）A .（不等式选做题）若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立,则实数a 的取值范围是 .B .（几何证明选做题）如图,在圆O 中,直径AB 与弦CD 垂直, 垂足为E ,EF DB ⊥,垂足为F ,若6AB =,1AE =,则DF DB =g .C .（坐标系与参数方程选做题）直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题,共75分）.16.（本小题满分12分）函数π()sin()1(0,0)6f x A x A ωω=-+>>的最大值为3,其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设(0,)2πα∈,()22f α=,求α的值.17.（本小题满分12分）设{}n a 是公比不为1的等比数列,其前n 项和为n S ,且534,,a a a 成等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的公比；（Ⅱ）证明：对任意k ∈+N ,21,,k k k S S S ++成等差数列.18.（本小题满分12分）（Ⅰ）如图,证明命题“a 是平面π内的一条直线,b 是π外的一条直线（b 不垂直于π）,c 是直线 b 在π上的投影,若a b ⊥,则a c ⊥”为真；（Ⅱ）写出上述命题的逆命题,并判断其真假（不 需证明）.19.（本小题满分12分）已知椭圆221:14x C y +=,椭圆2C 以1C 的长轴为短轴,且与1C 有相同的离心率.（Ⅰ）求椭圆2C 的方程；（Ⅱ）设O 为坐标原点,点A ,B 分别在椭圆1C 和2C 上,2OB OA =u u u r u u u r,求直线AB的方程.20.（本小题满分13分）某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间相互独立,且都是整 数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：从第一个顾客办理业务时计时.（Ⅰ）估计第三个顾客恰好等待4 分钟开始办理业务的概率；（Ⅱ）X 表示至第2 分钟末已办理完业务的顾客人数,求X 的分布列及数学期望.21.（本小题满分14分）设函数()=++(,,)n n f x x bx c n b c ∈∈+N R .（Ⅰ）设2,=1,=1n b c -≥,证明：()n f x 在区间1(,1)2内存在唯一零点；（Ⅱ）设=2n ,若对任意12,[1,1]x x ∈-,有2122|()()|4f x f x -≤,求b 的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下,设n x 是()n f x 在（12,1）内的零点,判断数列23,,,n x x x L L 办理业务所需的时间（分）12345频率0.1 0.4 0.3 0.1 0.1的增减性.数学试卷第5页（共6页）数学试卷第6页（共6页）。
2012年陕西省高考数学试卷(理科)答案与解析精选全文
可编辑修改精选全文完整版2012年陕西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）（2012•陕西）集合M={x|lgx＞0}，N={x|x2≤4}，则M∩N=（）A．（1，2）B．[1，2）C．（1，2]D．[1，2]考点：对数函数的单调性与特殊点；交集及其运算．专题：计算题．分析：先求出集合M、N，再利用两个集合的交集的定义求出M∩N．解答：解：∵M={x|lgx＞0}={x|x＞1}，N={x|x2≤4}={x|﹣2≤x≤2}，∴M∩N={x|1＜x≤2}，故选C．点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．2．（5分）（2012•陕西）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=x+1 B．y=﹣x2C．D．y=x|x|考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：探究型．分析：对于A，非奇非偶；对于B，是偶函数；对于C，是奇函数，但不是增函数；对于D，令f（x）=x|x|=，可判断函数既是奇函数又是增函数，故可得结论．解答：解：对于A，非奇非偶，是R上的增函数，不符合题意；对于B，是偶函数，不符合题意；对于C，是奇函数，但不是增函数；对于D，令f（x）=x|x|，∴f（﹣x）=﹣x|﹣x|=﹣f（x）；∵f（x）=x|x|=，∴函数是增函数故选D．点评：本题考查函数的性质，考查函数的奇偶性与单调性的判断，属于基础题．3．（5分）（2012•陕西）设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：复数的基本概念；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：利用“ab=0”与“复数为纯虚数”互为前提与结论，经过推导判断充要条件．解答：解：因为“ab=0”得a=0或b=0，只有a=0，并且b≠0，复数为纯虚数，否则不成立；复数=a﹣bi为纯虚数，所以a=0并且b≠0，所以ab=0，因此a，b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件．故选B．点评：本题考查复数的基本概念，充要条件的判断，考查基本知识的灵活运用．4．（5分）（2012•陕西）已知圆C：x2+y2﹣4x=0，l为过点P（3，0）的直线，则（）A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：将圆C的方程化为标准方程，找出圆心C坐标和半径r，利用两点间的距离公式求出P与圆心C间的长，记作d，判断得到d小于r，可得出P在圆C内，再由直线l过P 点，可得出直线l与圆C相交．解答：解：将圆的方程化为标准方程得：（x﹣2）2+y2=4，∴圆心C（2，0），半径r=2，又P（3，0）与圆心的距离d==1＜2=r，∴点P在圆C内，又直线l过P点，则直线l与圆C相交．故选A．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，两点间的距离公式，以及点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系由d与r的关系来确定：当d＜r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d＞r时，直线与圆相离（d表示圆心到直线的距离，r为圆的半径）．5．（5分）（2012•陕西）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（）A．B．C．D．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题．分析：根据题意可设CB=1，CA=CC1=2，分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系，得到A、B、B1、C1四个点的坐标，从而得到向量与的坐标，根据异面直线所成的角的定义，结合空间两个向量数量积的坐标公式，可以算出直线BC1与直线AB1夹角的余弦值．解答：解：分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系，∵CA=CC1=2CB，∴可设CB=1，CA=CC1=2∴A（2，0，0），B（0，0，1），B1（0，2，1），C1（0，2，0）∴=（0，2，﹣1），=（﹣2，2，1）可得•=0×（﹣2）+2×2+（﹣1）×1=3，且=，=3，向量与所成的角（或其补角）就是直线BC1与直线AB1夹角，设直线BC1与直线AB1夹角为θ，则cosθ==故选A点评：本题给出一个特殊的直三棱柱，求位于两个侧面的面对角线所成角的余弦之值，着重考查了空间向量的坐标运算和异面直线及其所成的角的概论，属于基础题．6．（5分）（2012•陕西）从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为，，中位数分别为m甲，m乙，则（）A．，m甲＞m乙B．，m甲＜m乙C．，m甲＞m乙D．，m甲＜m乙考点：茎叶图；众数、中位数、平均数．专题：计算题．分析：直接求出甲与乙的平均数，以及甲与乙的中位数，即可得到选项．解答：解：甲的平均数甲==，乙的平均数乙==，所以甲＜乙．甲的中位数为20，乙的中位数为29，所以m甲＜m乙故选：B．点评：本题考查茎叶图，众数、中位数、平均数的应用，考查计算能力．7．（5分）（2012•陕西）设函数f（x）=xe x，则（）A．x=1为f（x）的极大值点B．x=1为f（x）的极小值点C．x=﹣1为f（x）的极大值点D．x=﹣1为f（x）的极小值点考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题．分析：由题意，可先求出f′（x）=（x+1）e x，利用导数研究出函数的单调性，即可得出x=﹣1为f（x）的极小值点解答：解：由于f（x）=xe x，可得f′（x）=（x+1）e x，令f′（x）=（x+1）e x=0可得x=﹣1令f′（x）=（x+1）e x＞0可得x＞﹣1，即函数在（﹣1，+∞）上是增函数令f′（x）=（x+1）e x＜0可得x＜﹣1，即函数在（﹣∞，﹣1）上是减函数所以x=﹣1为f（x）的极小值点故选D点评：本题考查利用导数研究函数的极值，解题的关键是正确求出导数及掌握求极值的步骤，本题是基础题，8．（5分）（2012•陕西）两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（）A．10种B．15种C．20种D．30种考点：排列、组合及简单计数问题；计数原理的应用．专题：计算题．分析：根据分类计数原理，所有可能情形可分为三类，在每一类中可利用组合数公式计数，最后三类求和即可得结果解答：解：第一类：三局为止，共有2种情形；第二类：四局为止，共有2×=6种情形；第三类：五局为止，共有2×=12种情形；故所有可能出现的情形共有2+6+12=20种情形故选C点评：本题主要考查了分类和分步计数原理的运用，组合数公式的运用，分类讨论的思想方法，属基础题9．（5分）（2012•陕西）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则cosC的最小值为（）A．B．C．D．考点：余弦定理．专题：计算题；压轴题．分析：通过余弦定理求出cosC的表达式，利用基本不等式求出cosC的最小值．解答：解：因为a2+b2=2c2，所以由余弦定理可知，c2=2abcosC，cosC==．故选C．点评：本题考查三角形中余弦定理的应用，考查基本不等式的应用，考查计算能力．10．（5分）（2012•陕西）如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．B．C．D．考点：循环结构．专题：计算题；压轴题．分析：由题意以及框图的作用，直接推断空白框内应填入的表达式．解答：解：法一：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于1000时，圆周内的点的次数为4M，总试验次数为1000，所以要求的概率，所以空白框内应填入的表达式是．故选D．法二：随机输入xi∈（0，1），yi∈（0，1）那么点P（xi，yi）构成的区域为以O（0，0），A（1，0），B（1，1），C（0，1）为顶点的正方形．判断框内x2i+y2i≤1，若是，说说明点P（x i，y i）在单位圆内部（圆）内，并累计记录点的个数M若否，则说明点P（x i，y i）在单位圆内部（圆）外，并累计记录点的个数N第2个判断框i＞1000，是进入计算此时落在单位圆内的点的个数为M，一共判断了1000个点那么圆的面积/正方形的面积=，即π12÷1=∴π=（π的估计值）即执行框内计算的是．故选D．点评：本题考查程序框图的作用，考查模拟方法估计圆周率π的方法，考查计算能力．二、填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（2012•陕西）观察下列不等式：，，…照此规律，第五个不等式为1+++++＜．考点：归纳推理．专题：探究型．分析：由题设中所给的三个不等式归纳出它们的共性：左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方，右边分式中的分子与不等式序号n 的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，得出第n个不等式，即可得到通式，再令n=5，即可得出第五个不等式解答：解：由已知中的不等式1+，1++，…得出左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，故可以归纳出第n个不等式是1+…+＜，（n≥2），所以第五个不等式为1+++++＜故答案为：1+++++＜点评：本题考查归纳推理，解题的关键是根据所给的三个不等式得出它们的共性，由此得出通式，本题考查了归纳推理考察的典型题，具有一般性12．（5分）（2012•陕西）（a+x）5展开式中x2的系数为10，则实数a的值为1．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：直接利用二项式定理的展开式的通项公式，求出x2的系数是10，得到方程，求出a 的值．解答：解：（a+x）5展开式中x2的系数为，因为（a+x）5展开式中x2的系数为10，所以=10，解得a=1，故答案为：1．点评：本题考查二项式定理系数的性质，考查计算能力．13．（5分）（2012•陕西）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为2米．考点：抛物线的应用．专题：计算题；压轴题．分析：先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=﹣3代入抛物线方程求得x0进而得到答案．解答：解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A（2，﹣2）代入x2=my，得m=﹣2∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣3）得x0=，故水面宽为2m．故答案为：2．点评：本题主要考查抛物线的应用．考查了学生利用抛物线解决实际问题的能力．14．（5分）（2012•陕西）设函数，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域，则z=x﹣2y在D上的最大值为2．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；简单线性规划．专题：计算题；压轴题．分析：先求出曲线在点（1，0）处的切线，然后画出区域D，利用线性规划的方法求出目标函数z的最大值即可．解答：解：当x＞0时，f′（x）=，则f′（1）=1，所以曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线为y=x﹣1，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域如下图阴影部分．z=x﹣2y可变形成y=x﹣，当直线y=x﹣过点A（0，﹣1）时，截距最小，此时z最大．最大值为2．故答案为：2．点评：本题主要考查了线性规划，以及利用导数研究函数的切线，同时考查了作图的能力和分析求解的能力，属于中档题．15．（5分）（2012•陕西）（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A．（不等式选做题）若存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，则实数a的取值范围是﹣2≤a≤4．B．（几何证明选做题）如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB=6，AE=1，则DF•DB=5．C．（坐标系与参数方程）直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为．考点：绝对值不等式的解法；直线与圆相交的性质；与圆有关的比例线段；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；作图题；压轴题．分析：A；利用表示数轴上的x到a的距离加上它到1的距离，它的最大值等于3，作图可得实数a的取值范围．B；利用相交弦定理AE•EB=CE•ED，AB⊥CD可得DE=；在Rt△EDB中，由射影定理得：DE2=DF•DB=5，即得答案；C；将直线与圆的极坐标方程化为普通方程分别为：x=，（x﹣1）2+y2=1，从而可得相交弦长．解答：解：A．∵存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，而|x﹣a|+|x﹣1|表示数轴上的x到a的距离加上它到1的距离，又最大值等于3，由图可得：当表示a的点位于AB之间时满足|x﹣a|+|x﹣1|≤3，∴﹣2≤a≤4，故答案为：﹣2≤a≤4．B；∵AB=6，AE=1，由题意可得△AEC∽△DEB，DE=CE，∴DE•CE=AE•EB=1×5=5，即DE=．在Rt△EDB中，由射影定理得：DE2=DF•DB=5．故答案为：5．C；∵2ρcosθ=1，∴2x=1，即x=；又圆ρ=2cosθ的普通方程由ρ2=2ρcosθ得：x2+y2=2x，∴（x﹣1）2+y2=1，∴圆心（1，0）到直线x=的距离为，∴相交弦长的一半为=，∴相交弦长为．故答案为：．点评：本题A考查绝对值不等式的解法，绝对值的意义，求出|x﹣a|+|x﹣1|的最大值是3是解题的关键，考查作图与理解能力，属于中档题．本题B考查与圆有关的比例线段，掌握相交弦定理与射影定理是解决问题的关键，而C着重简单曲线的极坐标方程，化普通方程是关键，属于中档题．三、解答题16．（12分）（2012•陕西）函数（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，（1）求函数f（x）的解析式；（2）设，则，求α的值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的恒等变换及化简求值．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）通过函数的最大值求出A，通过对称轴求出周期，求出ω，得到函数的解析式．（2）通过，求出，通过α的范围，求出α的值．解答：解：（1）∵函数f（x）的最大值为3，∴A+1=3，即A=2，∵函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，=，T=π，所以ω=2．故函数的解析式为y=2sin（2x﹣）+1．（2）∵，所以，∴，∵∴，∴，∴．点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的恒等变换及化简求值，考查计算能力．17．（12分）（2012•陕西）设{a n}是公比不为1的等比数列，其前n项和为S n，且a5，a3，a4成等差数列．（1）求数列{a n}的公比；（2）证明：对任意k∈N+，S k+2，S k，S k+1成等差数列．考点：等比数列的通项公式；等差数列的性质．专题：综合题．分析：（1）设{a n}的公比为q（q≠0，q≠1），利用a5，a3，a4成等差数列结合通项公式，可得，由此即可求得数列{a n}的公比；（2）对任意k∈N+，S k+2+S k+1﹣2S k=（S k+2﹣S k）+（S k+1﹣S k）=a k+2+a k+1+a k+1=2a k+1+a k+1×（﹣2）=0，从而得证．解答：（1）解：设{a n}的公比为q（q≠0，q≠1）∵a5，a3，a4成等差数列，∴2a3=a5+a4，∴∵a1≠0，q≠0，∴q2+q﹣2=0，解得q=1或q=﹣2∵q≠1，∴q=﹣2（2）证明：对任意k∈N+，S k+2+S k+1﹣2S k=（S k+2﹣S k）+（S k+1﹣S k）=a k+2+a k+1+a k+1=2a k+1+a k+1×（﹣2）=0∴对任意k∈N+，S k+2，S k，S k+1成等差数列．点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，熟练运用等差数列的性质，等比数列的通项是解题的关键．18．（12分）（2012•陕西）（1）如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真．（2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）考点：向量语言表述线面的垂直、平行关系；四种命题；向量语言表述线线的垂直、平行关系．专题：证明题．分析：（1）证法一：做出辅助线，在直线上构造对应的方向向量，要证两条直线垂直，只要证明两条直线对应的向量的数量积等于0，根据向量的运算法则得到结果．证法二：做出辅助线，根据线面垂直的性质，得到线线垂直，根据线面垂直的判定定理，得到线面垂直，再根据性质得到结论．（2）把所给的命题的题设和结论交换位置，得到原命题的逆命题，判断出你命题的正确性．解答：证明：（1）证法一：如图，过直线b上任一点作平面α的垂线n，设直线a，b，c，n对应的方向向量分别是，则共面，根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得，则=因为a⊥b，所以，又因为a⊂α，n⊥α，所以，故，从而a⊥c证法二如图，记c∩b=A，P为直线b上异于点A的任意一点，过P做PO⊥π，垂足为O，则O∈c，∵PO⊥π，a⊂π，∴直线PO⊥a，又a⊥b，b⊂平面PAO，PO∩b=P，∴a⊥平面PAO，又c⊂平面PAO，∴a⊥c（2）逆命题为：a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于α），c 是直线b在π上的投影，若a⊥c，则a⊥b，逆命题为真命题点评：本题考查用向量的方法证明线线垂直，利用线面垂直的判定和性质证明线线垂直，考查命题的逆命题的写法，本题是一个综合题目，是一个中档题．19．（12分）（2012•陕西）已知椭圆C1：+y2=1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．（1）求椭圆C2的方程；（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，=2，求直线AB的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．专题：综合题；压轴题．分析：（1）求出椭圆的长轴长，离心率，根据椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率，即可确定椭圆C2的方程；（2）设A，B的坐标分别为（x A，y A），（x B，y B），根据，可设AB的方程为y=kx，分别与椭圆C1和C2联立，求出A，B的横坐标，利用，即可求得直线AB的方程．解答：解：（1）椭圆的长轴长为4，离心率为∵椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率∴椭圆C2的焦点在y轴上，2b=4，为∴b=2，a=4∴椭圆C2的方程为；（2）设A，B的坐标分别为（x A，y A），（x B，y B），∵∴O，A，B三点共线，且点A，B不在y轴上∴设AB的方程为y=kx将y=kx代入，消元可得（1+4k2）x2=4，∴将y=kx代入，消元可得（4+k2）x2=16，∴∵，∴=4，∴，解得k=±1，∴AB的方程为y=±x点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是掌握椭圆几何量关系，联立方程组求解．20．（13分）（2012•陕西）某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：办理业务所需的时间（分）1 2 3 4 5频率0.1 0.4 0.3 0.1 0.1从第一个顾客开始办理业务时计时．（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；（2）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：综合题；压轴题．分析：（1）设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，可得Y的分布列，A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则时间A对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟，由此可求概率；（2）确定X所有可能的取值，求出相应的概率，即可得到X的分布列及数学期望．解答：解：设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布如下：Y 1 2 3 4 5P 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1（1）A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则时间A对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟．所以P（A）=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22（2）X所有可能的取值为：0，1，2．X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P（X=0）=P（Y＞2）=0.5；X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P（X=1）=0.1×0.9+0.4=0.49；X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P（X=2）=0.1×0.1=0.01；所以X的分布列为X 0 1 2P 0.5 0.49 0.01EX=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51．点评：本题考查概率的求解，考查离散型随机变量的分布列与期望，解题的关键是明确变量的取值与含义．21．（14分）（2012•陕西）设函数f n（x）=x n+bx+c（n∈N+，b，c∈R）（1）设n≥2，b=1，c=﹣1，证明：f n（x）在区间内存在唯一的零点；（2）设n=2，若对任意x1，x2∈[﹣1，1]，有|f2（x1）﹣f2（x2）|≤4，求b的取值范围；（3）在（1）的条件下，设x n是f n（x）在内的零点，判断数列x2，x3，…，x n的增减性．考点：数列与函数的综合；根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据fn（）f n（1）=（﹣）×1＜0，以及f n（x）在区间内单调递增，可得f n（x）在区间内存在唯一的零点．（2）当n=2，由题意可得函数f2（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的差M≤4，分当＞1时、当﹣1≤﹣＜0时、当0≤﹣≤1 时三种情况，分别求得b的取值范围，再取并集，即得所求．（3）证法一：先求出f n（x n）和f n+1（x n+1）的解析式，再由当x n+1∈时，f n（x n）=0=f n+1（x n+1）=+x n+1﹣1＜+x n+1﹣1=f n（x n+1），且f n（x）在区间内单调递增，故有x n＜x n+1，从而得出结论．证法二：设x n是f n（x）=x n+x﹣1在内的唯一零点，由f n+1（x n）f n+1（1）＜0可得f n+1（x）的零点在（x n，1）内，从而有x n＜x n+1（n≥2），由此得出结论．解答：解：（1）由于n≥2，b=1，c=﹣1，fn（x）=x n+bx+c=x n+x﹣1，∴f n（）f n（1）=（﹣）×1＜0，∴f n（x）在区间内存在零点．再由f n（x）在区间内单调递增，可得f n（x）在区间内存在唯一的零点．（2）当n=2，函数f2（x）=x2+bx+c，对任意x1，x2∈[﹣1，1]，有|f2（x1）﹣f2（x2）|≤4，故函数f2（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的差M≤4．当＞1时，即b＞2或b＜﹣2时，M=|f2（﹣1）﹣f2（1）|=2|b|＞4，这与题设相矛盾．当﹣1≤﹣＜0时，即0＜b≤2时，M=f2（1）﹣=≤4 恒成立．当0≤﹣≤1 时，即﹣2≤b≤0时，M=f2（﹣1）﹣=≤4 恒成立．综上可得，﹣2≤b≤2．（3）证法一：在（1）的条件下，x n是f n（x）=x n+x﹣1在内的唯一零点，则有f n（x n）=+x n﹣1=0，f n+1（x n+1）=+x n+1﹣1=0．当x n+1∈时，f n（x n）=0=f n+1（x n+1）=+x n+1﹣1＜+x n+1﹣1=f n （x n+1）．由（1）知，f n（x）在区间内单调递增，故有x n＜x n+1，故数列x2，x3，…，x n单调递增数列．证法二：设x n是f n（x）=x n+x﹣1在内的唯一零点，f n+1（x n）f n+1（1）=（+x n﹣1）×1=+x n﹣1＜+x n﹣1=0，故f n+1（x）的零点在（x n，1）内，∴x n＜x n+1（n≥2），故数列x2，x3，…，x n单调递增数列．点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，树立与函数的综合，体现了分类讨论、化归与转化的数学思想，属于难题．。
2012年陕西省高考数学试卷(理科)答案与解析
2012年陕西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）（2012•陕西）集合M={x|lgx＞0}，N={x|x2≤4}，则M∩N=（）A．（1，2）B．[1，2）C．（1，2]D．[1，2]考点：对数函数的单调性与特殊点；交集及其运算．专题：计算题．分析：先求出集合M、N，再利用两个集合的交集的定义求出M∩N．解答：解：∵M={x|lgx＞0}={x|x＞1}，N={x|x2≤4}={x|﹣2≤x≤2}，∴M∩N={x|1＜x≤2}，故选C．点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．2．（5分）（2012•陕西）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=x+1 B．y=﹣x2C．D．y=x|x|考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：探究型．分析：对于A，非奇非偶；对于B，是偶函数；对于C，是奇函数，但不是增函数；对于D，令f（x）=x|x|=，可判断函数既是奇函数又是增函数，故可得结论．解答：解：对于A，非奇非偶，是R上的增函数，不符合题意；对于B，是偶函数，不符合题意；对于C，是奇函数，但不是增函数；对于D，令f（x）=x|x|，∴f（﹣x）=﹣x|﹣x|=﹣f（x）；∵f（x）=x|x|=，∴函数是增函数故选D．点评：本题考查函数的性质，考查函数的奇偶性与单调性的判断，属于基础题．3．（5分）（2012•陕西）设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：复数的基本概念；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：利用“ab=0”与“复数为纯虚数”互为前提与结论，经过推导判断充要条件．解答：解：因为“ab=0”得a=0或b=0，只有a=0，并且b≠0，复数为纯虚数，否则不成立；复数=a﹣bi为纯虚数，所以a=0并且b≠0，所以ab=0，因此a，b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件．故选B．点评：本题考查复数的基本概念，充要条件的判断，考查基本知识的灵活运用．4．（5分）（2012•陕西）已知圆C：x2+y2﹣4x=0，l为过点P（3，0）的直线，则（）A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：将圆C的方程化为标准方程，找出圆心C坐标和半径r，利用两点间的距离公式求出P与圆心C间的长，记作d，判断得到d小于r，可得出P在圆C内，再由直线l过P 点，可得出直线l与圆C相交．解答：解：将圆的方程化为标准方程得：（x﹣2）2+y2=4，∴圆心C（2，0），半径r=2，又P（3，0）与圆心的距离d==1＜2=r，∴点P在圆C内，又直线l过P点，则直线l与圆C相交．故选A．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，两点间的距离公式，以及点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系由d与r的关系来确定：当d＜r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d＞r时，直线与圆相离（d表示圆心到直线的距离，r为圆的半径）．5．（5分）（2012•陕西）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（）A．B．C．D．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题．分析：根据题意可设CB=1，CA=CC1=2，分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系，得到A、B、B1、C1四个点的坐标，从而得到向量与的坐标，根据异面直线所成的角的定义，结合空间两个向量数量积的坐标公式，可以算出直线BC1与直线AB1夹角的余弦值．解答：解：分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系，∵CA=CC1=2CB，∴可设CB=1，CA=CC1=2∴A（2，0，0），B（0，0，1），B1（0，2，1），C1（0，2，0）∴=（0，2，﹣1），=（﹣2，2，1）可得•=0×（﹣2）+2×2+（﹣1）×1=3，且=，=3，向量与所成的角（或其补角）就是直线BC1与直线AB1夹角，设直线BC1与直线AB1夹角为θ，则cosθ==故选A点评：本题给出一个特殊的直三棱柱，求位于两个侧面的面对角线所成角的余弦之值，着重考查了空间向量的坐标运算和异面直线及其所成的角的概论，属于基础题．6．（5分）（2012•陕西）从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为，，中位数分别为m甲，m乙，则（）A．，m甲＞m乙B．，m甲＜m乙C．，m甲＞m乙D．，m甲＜m乙考点：茎叶图；众数、中位数、平均数．专题：计算题．分析：直接求出甲与乙的平均数，以及甲与乙的中位数，即可得到选项．解答：解：甲的平均数甲==，乙的平均数乙==，所以甲＜乙．甲的中位数为20，乙的中位数为29，所以m甲＜m乙故选：B．点评：本题考查茎叶图，众数、中位数、平均数的应用，考查计算能力．7．（5分）（2012•陕西）设函数f（x）=xe x，则（）A．x=1为f（x）的极大值点B．x=1为f（x）的极小值点C．x=﹣1为f（x）的极大值点D．x=﹣1为f（x）的极小值点考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题．分析：由题意，可先求出f′（x）=（x+1）e x，利用导数研究出函数的单调性，即可得出x=﹣1为f（x）的极小值点解答：解：由于f（x）=xe x，可得f′（x）=（x+1）e x，令f′（x）=（x+1）e x=0可得x=﹣1令f′（x）=（x+1）e x＞0可得x＞﹣1，即函数在（﹣1，+∞）上是增函数令f′（x）=（x+1）e x＜0可得x＜﹣1，即函数在（﹣∞，﹣1）上是减函数所以x=﹣1为f（x）的极小值点故选D点评：本题考查利用导数研究函数的极值，解题的关键是正确求出导数及掌握求极值的步骤，本题是基础题，8．（5分）（2012•陕西）两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（）A．10种B．15种C．20种D．30种考点：排列、组合及简单计数问题；计数原理的应用．专题：计算题．分析：根据分类计数原理，所有可能情形可分为三类，在每一类中可利用组合数公式计数，最后三类求和即可得结果解答：解：第一类：三局为止，共有2种情形；第二类：四局为止，共有2×=6种情形；第三类：五局为止，共有2×=12种情形；故所有可能出现的情形共有2+6+12=20种情形故选C点评：本题主要考查了分类和分步计数原理的运用，组合数公式的运用，分类讨论的思想方法，属基础题9．（5分）（2012•陕西）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则cosC的最小值为（）A．B．C．D．考点：余弦定理．专题：计算题；压轴题．分析：通过余弦定理求出cosC的表达式，利用基本不等式求出cosC的最小值．解答：解：因为a2+b2=2c2，所以由余弦定理可知，c2=2abcosC，cosC==．故选C．点评：本题考查三角形中余弦定理的应用，考查基本不等式的应用，考查计算能力．10．（5分）（2012•陕西）如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．B．C．D．考点：循环结构．专题：计算题；压轴题．分析：由题意以及框图的作用，直接推断空白框内应填入的表达式．解答：解：法一：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于1000时，圆周内的点的次数为4M，总试验次数为1000，所以要求的概率，所以空白框内应填入的表达式是．故选D．法二：随机输入xi∈（0，1），yi∈（0，1）那么点P（xi，yi）构成的区域为以O（0，0），A（1，0），B（1，1），C（0，1）为顶点的正方形．判断框内x2i+y2i≤1，若是，说说明点P（x i，y i）在单位圆内部（圆）内，并累计记录点的个数M若否，则说明点P（x i，y i）在单位圆内部（圆）外，并累计记录点的个数N第2个判断框i＞1000，是进入计算此时落在单位圆内的点的个数为M，一共判断了1000个点那么圆的面积/正方形的面积=，即π12÷1=∴π=（π的估计值）即执行框内计算的是．故选D．点评：本题考查程序框图的作用，考查模拟方法估计圆周率π的方法，考查计算能力．二、填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（2012•陕西）观察下列不等式：，，…照此规律，第五个不等式为1+++++＜．考点：归纳推理．专题：探究型．分析：由题设中所给的三个不等式归纳出它们的共性：左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方，右边分式中的分子与不等式序号n 的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，得出第n个不等式，即可得到通式，再令n=5，即可得出第五个不等式解答：解：由已知中的不等式1+，1++，…得出左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，故可以归纳出第n个不等式是1+…+＜，（n≥2），所以第五个不等式为1+++++＜故答案为：1+++++＜点评：本题考查归纳推理，解题的关键是根据所给的三个不等式得出它们的共性，由此得出通式，本题考查了归纳推理考察的典型题，具有一般性12．（5分）（2012•陕西）（a+x）5展开式中x2的系数为10，则实数a的值为1．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：直接利用二项式定理的展开式的通项公式，求出x2的系数是10，得到方程，求出a 的值．解答：解：（a+x）5展开式中x2的系数为，因为（a+x）5展开式中x2的系数为10，所以=10，解得a=1，故答案为：1．点评：本题考查二项式定理系数的性质，考查计算能力．13．（5分）（2012•陕西）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为2米．考点：抛物线的应用．专题：计算题；压轴题．分析：先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=﹣3代入抛物线方程求得x0进而得到答案．解答：解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A（2，﹣2）代入x2=my，得m=﹣2∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣3）得x0=，故水面宽为2m．故答案为：2．点评：本题主要考查抛物线的应用．考查了学生利用抛物线解决实际问题的能力．14．（5分）（2012•陕西）设函数，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域，则z=x﹣2y在D上的最大值为2．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；简单线性规划．专题：计算题；压轴题．分析：先求出曲线在点（1，0）处的切线，然后画出区域D，利用线性规划的方法求出目标函数z的最大值即可．解答：解：当x＞0时，f′（x）=，则f′（1）=1，所以曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线为y=x﹣1，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域如下图阴影部分．z=x﹣2y可变形成y=x﹣，当直线y=x﹣过点A（0，﹣1）时，截距最小，此时z最大．最大值为2．故答案为：2．点评：本题主要考查了线性规划，以及利用导数研究函数的切线，同时考查了作图的能力和分析求解的能力，属于中档题．15．（5分）（2012•陕西）（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A．（不等式选做题）若存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，则实数a的取值范围是﹣2≤a≤4．B．（几何证明选做题）如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB=6，AE=1，则DF•DB=5．C．（坐标系与参数方程）直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为．考点：绝对值不等式的解法；直线与圆相交的性质；与圆有关的比例线段；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；作图题；压轴题．分析：A；利用表示数轴上的x到a的距离加上它到1的距离，它的最大值等于3，作图可得实数a的取值范围．B；利用相交弦定理AE•EB=CE•ED，AB⊥CD可得DE=；在Rt△EDB中，由射影定理得：DE2=DF•DB=5，即得答案；C；将直线与圆的极坐标方程化为普通方程分别为：x=，（x﹣1）2+y2=1，从而可得相交弦长．解答：解：A．∵存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，而|x﹣a|+|x﹣1|表示数轴上的x到a的距离加上它到1的距离，又最大值等于3，由图可得：当表示a的点位于AB之间时满足|x﹣a|+|x﹣1|≤3，∴﹣2≤a≤4，故答案为：﹣2≤a≤4．B；∵AB=6，AE=1，由题意可得△AEC∽△DEB，DE=CE，∴DE•CE=AE•EB=1×5=5，即DE=．在Rt△EDB中，由射影定理得：DE2=DF•DB=5．故答案为：5．C；∵2ρcosθ=1，∴2x=1，即x=；又圆ρ=2cosθ的普通方程由ρ2=2ρcosθ得：x2+y2=2x，∴（x﹣1）2+y2=1，∴圆心（1，0）到直线x=的距离为，∴相交弦长的一半为=，∴相交弦长为．故答案为：．点评：本题A考查绝对值不等式的解法，绝对值的意义，求出|x﹣a|+|x﹣1|的最大值是3是解题的关键，考查作图与理解能力，属于中档题．本题B考查与圆有关的比例线段，掌握相交弦定理与射影定理是解决问题的关键，而C着重简单曲线的极坐标方程，化普通方程是关键，属于中档题．三、解答题16．（12分）（2012•陕西）函数（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，（1）求函数f（x）的解析式；（2）设，则，求α的值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的恒等变换及化简求值．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）通过函数的最大值求出A，通过对称轴求出周期，求出ω，得到函数的解析式．（2）通过，求出，通过α的范围，求出α的值．解答：解：（1）∵函数f（x）的最大值为3，∴A+1=3，即A=2，∵函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，=，T=π，所以ω=2．故函数的解析式为y=2sin（2x﹣）+1．（2）∵，所以，∴，∵∴，∴，∴．点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的恒等变换及化简求值，考查计算能力．17．（12分）（2012•陕西）设{a n}是公比不为1的等比数列，其前n项和为S n，且a5，a3，a4成等差数列．（1）求数列{a n}的公比；（2）证明：对任意k∈N+，S k+2，S k，S k+1成等差数列．考点：等比数列的通项公式；等差数列的性质．专题：综合题．分析：（1）设{a n}的公比为q（q≠0，q≠1），利用a5，a3，a4成等差数列结合通项公式，可得，由此即可求得数列{a n}的公比；（2）对任意k∈N+，S k+2+S k+1﹣2S k=（S k+2﹣S k）+（S k+1﹣S k）=a k+2+a k+1+a k+1=2a k+1+a k+1×（﹣2）=0，从而得证．解答：（1）解：设{a n}的公比为q（q≠0，q≠1）∵a5，a3，a4成等差数列，∴2a3=a5+a4，∴∵a1≠0，q≠0，∴q2+q﹣2=0，解得q=1或q=﹣2∵q≠1，∴q=﹣2（2）证明：对任意k∈N+，S k+2+S k+1﹣2S k=（S k+2﹣S k）+（S k+1﹣S k）=a k+2+a k+1+a k+1=2a k+1+a k+1×（﹣2）=0∴对任意k∈N+，S k+2，S k，S k+1成等差数列．点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，熟练运用等差数列的性质，等比数列的通项是解题的关键．18．（12分）（2012•陕西）（1）如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真．（2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）考点：向量语言表述线面的垂直、平行关系；四种命题；向量语言表述线线的垂直、平行关系．专题：证明题．分析：（1）证法一：做出辅助线，在直线上构造对应的方向向量，要证两条直线垂直，只要证明两条直线对应的向量的数量积等于0，根据向量的运算法则得到结果．证法二：做出辅助线，根据线面垂直的性质，得到线线垂直，根据线面垂直的判定定理，得到线面垂直，再根据性质得到结论．（2）把所给的命题的题设和结论交换位置，得到原命题的逆命题，判断出你命题的正确性．解答：证明：（1）证法一：如图，过直线b上任一点作平面α的垂线n，设直线a，b，c，n 对应的方向向量分别是，则共面，根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得，则=因为a⊥b，所以，又因为a⊂α，n⊥α，所以，故，从而a⊥c证法二如图，记c∩b=A，P为直线b上异于点A的任意一点，过P做PO⊥π，垂足为O，则O∈c，∵PO⊥π，a⊂π，∴直线PO⊥a，又a⊥b，b⊂平面PAO，PO∩b=P，∴a⊥平面PAO，又c⊂平面PAO，∴a⊥c（2）逆命题为：a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于α），c 是直线b在π上的投影，若a⊥c，则a⊥b，逆命题为真命题点评：本题考查用向量的方法证明线线垂直，利用线面垂直的判定和性质证明线线垂直，考查命题的逆命题的写法，本题是一个综合题目，是一个中档题．19．（12分）（2012•陕西）已知椭圆C1：+y2=1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．（1）求椭圆C2的方程；（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，=2，求直线AB的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．专题：综合题；压轴题．分析：（1）求出椭圆的长轴长，离心率，根据椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率，即可确定椭圆C2的方程；（2）设A，B的坐标分别为（x A，y A），（x B，y B），根据，可设AB的方程为y=kx，分别与椭圆C1和C2联立，求出A，B的横坐标，利用，即可求得直线AB的方程．解答：解：（1）椭圆的长轴长为4，离心率为∵椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率∴椭圆C2的焦点在y轴上，2b=4，为∴b=2，a=4∴椭圆C2的方程为；（2）设A，B的坐标分别为（x A，y A），（x B，y B），∵∴O，A，B三点共线，且点A，B不在y轴上∴设AB的方程为y=kx将y=kx代入，消元可得（1+4k2）x2=4，∴将y=kx代入，消元可得（4+k2）x2=16，∴∵，∴=4，∴，解得k=±1，∴AB的方程为y=±x点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是掌握椭圆几何量关系，联立方程组求解．20．（13分）（2012•陕西）某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：办理业务所需的时间（分）1 2 3 4 5频率0.1 0.4 0.3 0.1 0.1从第一个顾客开始办理业务时计时．（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；（2）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：综合题；压轴题．分析：（1）设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，可得Y的分布列，A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则时间A对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟，由此可求概率；（2）确定X所有可能的取值，求出相应的概率，即可得到X的分布列及数学期望．解答：解：设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布如下：Y 1 2 3 4 5P 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1（1）A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则时间A对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟．所以P（A）=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22（2）X所有可能的取值为：0，1，2．X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P（X=0）=P（Y＞2）=0.5；X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P（X=1）=0.1×0.9+0.4=0.49；X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P（X=2）=0.1×0.1=0.01；所以X的分布列为X 0 1 2P 0.5 0.49 0.01EX=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51．点评：本题考查概率的求解，考查离散型随机变量的分布列与期望，解题的关键是明确变量的取值与含义．21．（14分）（2012•陕西）设函数f n（x）=x n+bx+c（n∈N+，b，c∈R）（1）设n≥2，b=1，c=﹣1，证明：f n（x）在区间内存在唯一的零点；（2）设n=2，若对任意x1，x2∈[﹣1，1]，有|f2（x1）﹣f2（x2）|≤4，求b的取值范围；（3）在（1）的条件下，设x n是f n（x）在内的零点，判断数列x2，x3，…，x n的增减性．考点：数列与函数的综合；根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据fn（）f n（1）=（﹣）×1＜0，以及f n（x）在区间内单调递增，可得f n（x）在区间内存在唯一的零点．（2）当n=2，由题意可得函数f2（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的差M≤4，分当＞1时、当﹣1≤﹣＜0时、当0≤﹣≤1 时三种情况，分别求得b的取值范围，再取并集，即得所求．（3）证法一：先求出f n（x n）和f n+1（x n+1）的解析式，再由当x n+1∈时，f n（x n）=0=f n+1（x n+1）=+x n+1﹣1＜+x n+1﹣1=f n（x n+1），且f n（x）在区间内单调递增，故有x n＜x n+1，从而得出结论．证法二：设x n是f n（x）=x n+x﹣1在内的唯一零点，由f n+1（x n）f n+1（1）＜0可得f n+1（x）的零点在（x n，1）内，从而有x n＜x n+1（n≥2），由此得出结论．解答：解：（1）由于n≥2，b=1，c=﹣1，fn（x）=x n+bx+c=x n+x﹣1，∴f n（）f n（1）=（﹣）×1＜0，∴f n（x）在区间内存在零点．再由f n（x）在区间内单调递增，可得f n（x）在区间内存在唯一的零点．（2）当n=2，函数f2（x）=x2+bx+c，对任意x1，x2∈[﹣1，1]，有|f2（x1）﹣f2（x2）|≤4，故函数f2（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的差M≤4．当＞1时，即b＞2或b＜﹣2时，M=|f2（﹣1）﹣f2（1）|=2|b|＞4，这与题设相矛盾．当﹣1≤﹣＜0时，即0＜b≤2时，M=f2（1）﹣=≤4 恒成立．当0≤﹣≤1 时，即﹣2≤b≤0时，M=f2（﹣1）﹣=≤4 恒成立．综上可得，﹣2≤b≤2．（3）证法一：在（1）的条件下，x n是f n（x）=x n+x﹣1在内的唯一零点，则有f n（x n）=+x n﹣1=0，f n+1（x n+1）=+x n+1﹣1=0．当x n+1∈时，f n（x n）=0=f n+1（x n+1）=+x n+1﹣1＜+x n+1﹣1=f n （x n+1）．由（1）知，f n（x）在区间内单调递增，故有x n＜x n+1，故数列x2，x3，…，x n单调递增数列．证法二：设x n是f n（x）=x n+x﹣1在内的唯一零点，f n+1（x n）f n+1（1）=（+x n﹣1）×1=+x n﹣1＜+x n﹣1=0，故f n+1（x）的零点在（x n，1）内，∴x n＜x n+1（n≥2），故数列x2，x3，…，x n单调递增数列．点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，树立与函数的综合，体现了分类讨论、化归与转化的数学思想，属于难题．。
2012年大纲版高考压轴卷 数学理试题.pdf
数学（理）试题 注意事项： 1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置上。
2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案实用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4.保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5.做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．，∈N}，B={}，则A∩B等于 ( ) A．{1，4} B．{1，6} C．{4，6} D．{1，4，6} 2．复数（ ） A．B． C．D． 3．若是等差数列，，则使前项和成立的最大正数是（ ）A. 48B.47C.46D.45 4．在区间[－，]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数 有零点的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 设表示，两者中的较小的一个，若函数，则满足的的集合为（ ） A. B. C. D. 6．的定义域为R，且满足：是偶函数，是奇函数，若=9，则等于 （ ） A．9B．9C．3 D．0 7. 已知x、y使方程x2+y2-2x -4y + 4=0，则的最小值是 （ ） A. B. C. 2 D.3 8. 若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为（ ） A．1 B． C． D．2 9. 过原点与曲线相切的切线方程为 （ ） A. B. C. D. 10. 已知 则是q的 （ ）A. 充分不必要条件B. 必要充分不条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件 11. 若实数满足不等式组，目标函数的最大值为2，则实数a的值是（ ）A.-2B.0C.1D.2 12. 设a，b为大于1的正数，并且，如果的最小值为m，则满足的整点的个数为（ ）A.5B.7C.9D.11 二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上． 13. 设l为平面上过点（0，l）的直线，l的斜率等可能地取、、、0、、、用ξ表示坐标原点到直线l的距离，则随机变量ξ的数学期望Eξ＝_________. 14. 已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，且⊥轴，则双曲线的离心率为 ． 15. 设a，b，c依次是的角A、B、C所对的边，若，且，则m=________________. 16． 在平面直角坐标系中，点集，，则（1）点集所表示的区域的面积为_________； （2）点集所表示的区域的面积为_________ . 三.解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 在中，分别为角所对的三边，已知． （Ⅰ）求角的值； （Ⅱ）若，，求的长． 18．（本小题满分12分） 如图，四棱锥的底面为正方形，侧棱底面，且，分别是线段的中点． （Ⅰ）求证：//平面； （Ⅱ）求证：平面； （Ⅲ）求二面角的大小． 19．（本小题满分12分） 为了参加广州亚运会，从四支较强的排球队中选出18人组成女子排球国家队，队员来源人数如下表： 队别北京上海天津八一人数4635 （Ⅰ）从这18名队员中随机选出两名，求两人来自同一支队的概率； （Ⅱ）中国女排奋力拼搏，战胜韩国队获得冠军．若要求选出两位队员代表发言，设其中来自北京队的人数为，求随机变量的分布列，及数学期望． 20．（本小题满分12分） 已知函数（，实数，为常数）． （Ⅰ）若，求在处的切线方程； （Ⅱ）若，讨论函数的单调性． 21．( 本小题满分12分) 已知点是离心率为的椭圆：上的一点．斜率为的直线交椭圆于、两点，且、、三点不重合． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？ （Ⅲ）求证：直线、的斜率之和为定值． 22. ( 本小题满分12分) 已知集合中的元素都是正整数，且，对任意的且，有． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：； （Ⅲ）对于，试给出一个满足条件的集合． 参考答案 一．选择题：每小题5分，满分60分． 题 号123456789101112答 案DCCBCBBAADA二．填空题：每小题5分，满分20分． 13. 4 提示：显然本程序框图反映的是统计产量大于950件的车间个数的一个算法流程图，故答案为4. 14. ∵直线l的方程分别为： y=x +1、y=x +1、y=x +1、y=1、y=x+1、y=x+1、y=x+1，∴原点到它们的距离分别为、、、1、、、所以随机变量ξ的分布列为： ξ1P 所以Eξ=×+×+×+×1=15．2011 提示：由已知 即，亦即 由正余弦定理有 即，将代入 得，于是 16．π；18+π 提示：已知点集A表示以原点为圆心，半径为1的圆的边界及其内部，点集B表示以点0（0，0），M（4，0），N（4，3）为顶点的三角形及其内部， （1）本题相当于把点集A中的圆向右平移3个单位，向上平移1个单位，因此其面积不变，为π. （2）相当于把点集A沿点集B扩大如图所示： 其面积为： 三．解答题： 17．本小题主要考查三角变换公式、正弦定理、余弦定理，考查三角基础知识和基本运算能力．满分10分． 〖解析〗（Ⅰ） ， ………………3分 ∴ …………………………………………………………5分 （Ⅱ）在中，， ， ∴ ………………………………………7分 由正弦定理知： ∴．…………………………………………9分 ∴ ……………………………………………………………………10分 18．本小题主要考查空间直线与平面的位置关系，线面平行与垂直的论证、二面角的计算等基础知识，考查空间想象能力、思维能力和运算能力．满分12分． 〖解析〗建立如图所示的空间直角坐标系， , ，，，．…………1分 （Ⅰ）证明： ∵，， ∴, ∵平面，且平面， ∴//平面．………………………………4分 （Ⅱ）证明： ，，， ， 又， ∴平面． ………………………………………………8分 （Ⅲ）设平面的法向量为, 因为，， 则取 又因为平面的法向量为 所以 所以二面角的大小为．…………………………………12分 19．本小题主要考查概率统计的概念，考查随机变量的分布列和数学期望的计算，以及利用概率统计的基础知识解决实际问题的能力．满分12分． 〖解析〗 （Ⅰ）“从这18名队员中随机选出两名，两人来自于同一队”记作事件A， 则. ………………………………………5分 （Ⅱ）的所有可能取值为0，1，2. …………………………………………………7分 ∵，，， ∴的分布列为： 012P ……………………10分 ∴. ……………………………12分 20．本小题主要考查导函数的求法、导数的几何意义、函数单调区间的求法，考查运用基本概念进行论证和计算的能力．满分12分． 〖解析〗 （Ⅰ）因为，所以函数， 又，………………………………………………2分 所以 即在处的切线方程为…………………………………5分 （Ⅱ）因为，所以，则 令，得，．……………………………………………7分 （1）当，即时，函数的单调递减区间为， 单调递增区间为；…………………………………………8分 （2）当，即时，，的变化情况如下表： 所以，函数的单调递增区间为，， 单调递减区间为；…………………………9分 （3）当，即时，函数的单调递增区间为；………10分 （4）当，即时，，的变化情况如下表： 所以函数的单调递增区间为，， 单调递减区间为；……………………………………11分 综上，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．…………………………12分 21．本小题主要考查椭圆的方程的求法，考察弦长公式的应用和利用均值不等式求最值的方法，考查思维能力、运算能力和综合解题的能力．满分12分． 〖解析〗（Ⅰ）， ， ∴，， ∴ ………………………………………………4分 （Ⅱ）设直线BD的方程为 ………………………① ………………………② ， 设为点到直线BD：的距离， ∴ ∴ ，当且仅当时取等号. 因为，所以当时，的面积最大，最大值为………9分 （Ⅲ）设，，直线、的斜率分别为： 、，则=…………………………（*） 将（Ⅱ）中①、②式代入（*）式整理得=0， 即0………………………………………………………………12分 22．本小题考察对数学概念的阅读理解能力，考查不等式、集合知识的综合应用，考查运用学过的数学知识解决问题的能力，考查思维能力、论证能力、运算能力和综合解题的能力．满分12分． 〖解析〗 (Ⅰ) 证明：依题意有，又， 因此． 可得． 所以． 即． …………………4分 （Ⅱ）证明：由(Ⅰ)可得． 又，可得，因此． 同理，可知． 又，可得， 所以均成立． 当时，取，则， 可知． 又当时，． 所以． ……………………………………………………8分 （Ⅲ）解：对于任意，， 由可知， ，即． 因此，只需对，成立即可． 因为；；；， 因此可设；；；；． 由，可得，取． 由，可得，取． 由，可得，取． 由，可得，取． 所以满足条件的一个集合．……………12分 其它解法，请酌情给分.。
2012年陕西高考数学试题(理数)
（2）证明：对任意 k ∈ N + ， S k +2 ,
S k , S k +1 成等差数列．
【答案】 2 6 【解析】建立如图所示的直角坐标系，使拱桥的顶点 O 的坐标为（0,0） ， 设 l 与抛物线的交点为 A、B，根据题意知 A（-2，-2） ，B（2，-2） 设抛物线的解析式为 y = ax 2 ，则有 − 2 = a × (− 2) ，∴ a = − ∴抛物线的解析式为 y = −
2a1 (1 − q k ) 1− q =
，
证法二：对任意 k ∈ N + ， 2S k =
Sk + 2 + Sk +1 =
a1 (1 − q k + 2 )
1− q
+
a1 (1 − q k +1 )
1− q
a1 ( 2 − q k + 2 − q k +1 )
1− q
，
2S k − ( S k + 2 + S k +1 ) =
【解析】观察不等式的左边发现，第 n 个不等式的左边= 1 +
右边=
2(n + 1) − 1 1 1 1 1 1 11 ，所以第五个不等式为 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 < . n +1 2 3 4 5 6 6
．
12. ( a + x) 5 展开式中 x 2 的系数为 10， 则实数 a 的值为 【答案】1