三角形知识树
养学生有条理的思考和表达。
如利用尺规做出三角形后，教师应引导学生 思考作图的合理性，比如“大家画的三角形 是否全等，为什么”的问题供学生讨论。以 4、及时了解并尊重学生的个体差异，满足多样 培养他们的说理能力和逻辑思考能力。
化的学习需要。
说
评价建议
1、关注对学生探索三角形性质及三角 形全等条件等过程的评价
人教版八年级数学上册
第十一章三角形
实验学校 刘艳敏
一
说课标
掌握两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； 掌握两角及其夹边分别相等的两个三角形全等； 掌握三边分别相等的两个三角形全等； 掌握两角及一角的对边分别相等的两个三角形全等
理解全等三角形的概念； 能识别全等三角形中的对应边、 对应角。 全等三角形的对应边相等，对应角相等。
三角形的定义
三角形的表示方法
与三角形有关的线段
知识内容 概三 念角 形 的 有 关
七年级下册
全等三角形 任意三角形
对应边相等
对应角相等
HL
三角形全等的判定条件
全等三角形的性质
全等三角形的定义
知识内容
已知三角形的 三边，求这个 三角形 已知三角形的 作三角形 两角及夹边，求 这个三角形 已知三角形的两 边及夹角 ，求作 三角形
全等图形的定义
全 等 三 角 形
实际应用
一、说教学建 议
1、注重让学生经历探索三角形性质 及三角形全等条件等过程
如在探索三角形全等的条件时，教师不应直 接给出四种方法，让学生作图验证它的正确 2、注重创设具有现实性、趣味性和挑战性的情 性，而是提出“已知三角的哪些边或那些角 景，体现三角形的广泛应用。 的条件，就能保证两个三角形全等”“知道 的条件尽可能少吗”等问题，鼓励学生通过 画图、观察、比较、推理、交流，在条件由 3、注重直观操作与说理的结合，逐步培 少到多的过程中逐步探索出结论。
探索并掌握判断 直角三角形全等 的“斜边、直角 边”定理
三角形概念
理解三角形及其内角、中线、高、 角平分线等概念,了解三角形 的稳定性；
三角形三边及三角 之间的关系
内容标准 三 角 形
会证明三角形的任意两边之和 大于第三边。 探索并证明三角形的内角和 定理
二
说教材
三角形的内角 和定理
三角形知识 技能的理解和应用的能力。
3、恰当评价学生的说理过程和水平
三角形的全部知识点
三角形的全部知识点一、三角形的定义及分类三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形。
1.按角分类：-锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。
-直角三角形：有一个角是直角的三角形。
-钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。
2.按边分类：-不等边三角形：三条边都不相等的三角形。
-等腰三角形：有两条边相等的三角形。
其中，相等的两条边称为腰，另一边称为底。
等腰三角形的两腰所对的角相等。
-等边三角形：三条边都相等的三角形，也叫正三角形。
等边三角形的三个角都相等，都是60°。
二、三角形的三边关系三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
即设三角形三边为a、b、c，则 a + b > c，a + c > b，b + c > a；|a - b| < c，|a - c| < b，|b - c| < a。
三、三角形的内角和与外角性质1.内角和：三角形三个内角的和等于180°。
即∠A + ∠B + ∠C = 180°。
2.外角性质：-三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
如∠ACD = ∠A + ∠B。
-三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
四、三角形的重要线段1.三角形的中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
三角形的三条中线相交于一点，这点称为三角形的重心。
2.三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
三角形的三条角平分线相交于一点。
3.三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
三角形的三条高所在直线相交于一点。
五、全等三角形1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2.全等三角形的性质：-全等三角形的对应边相等、对应角相等。
-全等三角形的周长相等、面积相等。
四年级数学下册三角形知识点梳理与思维导图
直角：180° 钝角：180° 三角形的内角和180° 锐角：180°
长方形：360° 正方形：360°
四边形的内角和都是360°
其他四边形：360°
60°
定义：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）
三角形的特性
认识三角形
高：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂 足之间的线段叫做三角形的高。这条对边叫做三角形的底
数数：三条边 三个顶点 三个角 三条高 三个底
三角形的特性 具有稳定性
两点间所有的连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间
的距离
按角分
直角三角形：一个直角，两个锐角。 钝角三角形：一个钝角，两个锐角。
三角形的分类
锐角三角形：三个角都是锐角。
三
按边分
等腰三角形：两条边相等（两底角相等）。
角
等边三角形（正三角形）：三条边相等（三个内角相等，
形
都是60°）。
任意两边的和大于第三边
三角形的三边关系
任意两边的差小于第三边
三角形的内角和 四边形的内角和 多边形的内角和
三角形章节知识点总结
命题与证明知识点梳理（1）定义、命题、定理、公理的有关概念三角形知识点梳理⒈三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角;相邻两边的公共端点是三角形的顶点，三角形ABC用符号表示为ABC，三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c 表示，AC可用b表示，BC可用a表示._A注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）ABC是三角形ABC 的符号标记，单独的没有意义。
_C_B21DCBAD CB AD CB A⒉ 三角形的分类： (1)按边分类： (2)按角分类： ⒊ 三角形的主要线段的定义： （1）三角形的中线三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段． 表示法：1.AD 是ABC 的BC 上的中线.2.BD=DC=12BC. 注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点； ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．（2）三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段 表示法：1.AD 是ABC 的∠BAC 的平分线.2.∠1=∠2=12∠BAC. 注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部； ③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；④用量角器画三角形的角平分线． （3）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 表示法：1.AD 是ABC 的BC 上的高线.2.AD ⊥BC 于D.3.∠ADB=∠ADC=90°. 注意：①三角形的高是线段；②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；③三角形三条高所在直线交于一点．三角形 等腰三角形不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形 三角形 直角三象形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形⒋ 三角形的主要线段的表示法： （1）三角形的角平分线的表示法：如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示：① AD 是∆ABC 的角平分线； ② AD 平分∠BAC ，交BC 于D ；③ 如果AD 是ABC 的角平分线，那么∠BAD =∠DAC =21∠BAC .(2)三角形的中线表示法：如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示： ①AE 是∆ABC 的中线；②AE 是∆ABC 中BC 边上的中线；③如果AE 是∆ABC 的中线，那么BE=EC =21BC . (3)三角线的高的表示法：如图2，根据具体情况，使用以下任意一种方式表示：① AM 是∆ABC 的高；② AM 是∆ABC 中BC 边上的高；③ 如果AM 是∆ABC 中BC 边上高，那么AM ⊥BC ，垂足是E ； ④ 如果AM 是∆ABC 中BC 边上的高，那么∠AMB =∠AMC =90︒. ⒌ 在画三角形的三条角平分线，三条中线，三条高时应注意：(1)如图3，三角形三条角平分线交于一点，交点都在三角形内部. (2)如图4，三角形的三条中线交点一点，交点都在三角形内部.如图5,6,7，三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形的直角顶点上.⒍三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边. 注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短；（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．图3 图4图5图6图7ABC D E 图1图221BACMD⒎ 三角形的角与角之间的关系： (1)三角形三个内角的和等于180︒;(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； (3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. (4)直角三角形的两个锐角互余. 三角形的内角和定理定理：三角形的内角和等于180°． 推论：直角三角形的两个锐角互余。
三角形知识点总结梳理
三角形知识点总结梳理三角形知识点总结梳理三角形知识点总结梳理知识点2、三角形的三边关系1、两边之和大于第三边2、两边之差小于第三边题型1 判断下列各组线段是否能组成三角形⑴5cm,6cm,3cm ⑵7cm,12cm,20cm分析：能组成三角形的三条线段只需满足较小两边之和大于最大边，或最大边与任意较小边之差小于第三边即可。
解：∵3+5>6 或∵6-3∴5cm,6cm,3cm 能组成三角形。
∴5cm,6cm,3cm 能组成三角形。
∵7+127∴7cm,12cm,20cm 不能组成三角形∴7cm,12cm,20cm 不能组成三角形。
题型2、求第三边的取值（取值范围）已知三角形的两边长分别为3cm,8cm, 若第三边长度为偶数，则第三边的长为分析：由第三边的长两边之差，可得第三边的取值范围，再根据第三边为偶数确认第三边的取值。
解：设第三边长为x cm,根据题意得：x>8-3, x>5知识点3、三角形的高线定义：过一个三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高。
（即三角形的高的两个端点一个为三角形的顶点，一个为顶点所对边上的垂足）（过顶点作对边的垂线）（锐角三角形高线图）（直角三角形高线图）（钝角三角形高线图）性质：1、三角形的高线垂直于三角形一边。
2、三角形高线与所在边所成角为9003、三角形面积=½底1×高1= ½底2×高2另外：锐角三角形三条高线在三角形内，直角三角形斜边上的高线在三角形内，直角边互为高线。
钝角三角形钝角边上的高线在三角形外，钝角所对边上的高线在三角形内。
三角形的高所在直线交于一点。
题型1、如图：已知AE 、CD 是△ABC 的高，其中AE=6，CD=8，BC=12，求AB 分析：三角形中已知两组底与高中的三条线段，可用面积求法得第四条线段解：∵AE 、CD 是△ABC 的高∴BC •AE=AB•CD又∵AE=6，CD=8，BC=12∴12×6=8AB知识点4、三角形的中线定义：三角形中，连接一个顶点和它的对边中点线段叫做三角形的中线。
三角形知识点总结
第一章图形的初步认识考点一、线段垂直平分线，角的平分线，垂线1、线段垂直平分线的性质定理及逆定理垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
2、角的平分线及其性质一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
角的平分线有下面的性质定理：（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
3垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
简称：垂线段最短。
考点二、平行线1、平行线的概念在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。
4、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等；（2）两直线平行，内错角相等；（3）两直线平行，同旁内角互补。
考点三、投影与视图1、投影投影的定义：用光线照射物体，在地面上或墙壁上得到的影子，叫做物体的投影。
平行投影：由平行光线（如太阳光线）形成的投影称为平行投影。
中心投影：由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影。
2、视图当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图像叫做物体的一个视图。
物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图。
主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图。
俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图。
左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图，有时也叫做侧视图。
第二章三角形1、三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
2、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
初中数学三角形知识树
初中数学三角形知识树一、课标要求分为知识与技能、数学思考、解决问题、情感态度四个方面。
1．知识与技能：经历探索三角形基本性质的过程；掌握三角形的基本性质；掌握基本的识图、作图等技能；体会证明的必要性，能证明三角形的基本性质；掌握基本的推理技能。
2．数学思考：在探索图形的性质中，初步建立空间观念，发展几何直觉。
3．解决问题：尝试从不同角度寻求解决问题的方法并能有效地解决问题；体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性。
4．情感态度：认识通过观察、实验、归纳、类比、推断可以获得数学猜想；体验数学活动充满着探索性和创造性；感受证明过程的严谨性以及结论的确定性。
二、编写意图1．增加了丰富的问题情境通过让学生观察实际生活中的图形，加强对图形的直观认识和感受，从中“发现”几何图形，归纳出几何图形的基本特征，从而更好地“把握图形”。
2．加大了探索交流的空间教材设置了思考、探究、讨论等栏目引导学生自主探索，激发学生进行思考，促进合作交流。
3．循序渐进地进行推理训练老教材偏重于逻辑推理，纯理论题占大多数；新教材对于推理能力的培养，按照“说点儿理”“说理”“简单推理”“符号表示推理”等不同层次分阶段地安排，逐步达到《课标》要求。
在七年级主要采取渗透说理的方式，从八年级上学期的“全等三角形”开始正式出现“证明”。
三、知识内容1．从总体来说：三角形----特殊三角形----三角形之间的关系----三角形与其它图形的关系特殊三角形中包括：直角三角形、等腰三角形、等边三角形三角形之间的关系：两个三角形的全等与相似。
三角形与其它图形的关系：与四边形、与多边形、与圆的关系。
2．比细节来说：三角形—特殊的三角形①.等腰三角形以及腰和底相等的等腰三角形就成了等边三角形；②.直角三角形的性质30度角所对直角边等于斜边的一半,勾股定理;③.对于任意的锐角三角形,关于三角函数的问题,解出直角三角形中的有关的元素;④.将一个三角形进行平移、翻折或是旋转,得到一个新的三角形,新三角形与原三角形全等;全等的两个三角形,将其中的一个放大或者是缩小,就会与原来的三角形相似.⑤.锐角三角函数,也是应用了相似的原理;⑥.另外,在函数中,也会经常出现三角形有关的问题,例如,平面直角坐标系中的三角形的周长、面积、点的坐标等等问题。
数学第七章三角形知识树
全等三角形
定义
两个三角形能够完全重合，则这两个三角形全等。
性质
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
应用
利用全等三角形的性质解决实际问题，如几何证明、计算等。
证明方法
角边角（ASA）
两个角及一边分别相等，则两三角形全等。
边边边（SSS）
三边分别相等，则两三角形全等。
边角边（SAS）
两边及夹角分别相等，则两三角形全等。
面积公式
三角形面积公式
面积 = (底 × 高) ÷ 2
特殊三角形面积公式
直角三角形面积 = (底 × 高) ÷ 2，等边三角形面积 = (√3/4 × 底 ^2) ÷ 2
任意三角形面积公式
通过底和高计算，也可以通过底和对应的高计算。
面积的推导
1 2
通过相似三角形推导
利用相似三角形的性质，将任意三角形转化为等 腰三角形或直角三角形，再利用已知的面积公式 计算。
勾股定理
总结词
证明方法
勾股定理描述了直角三角形三边之间 的关系。
勾股定理有多种证明方法，其中最常 用的是利用相似三角形的性质进行证 明。
详细描述
勾股定理指出，在一个直角三角形中， 直角边的平方和等于斜边的平方。即， 如果直角边为a和b，斜边为c，则 a^2 + b^2 = c^2。
04
三角形的面积计算
通过底和高的关系推导
利用三角形的底和高之间的关系，推导出面积公 式。
3
通过割补法推导
通过将三角形割补成其他图形，利用其他图形的 面积公式推导出三角形的面积公式。
面积的应用
解决实际问题
01
利用三角形面积公式解决实际问题，如土地测量、建筑规划等。
七年级数学下册三角形知识树
七年级数学下册三角形知识树尊敬的各位老师：大家好！今天我说教材的内容是北师大版初中数学七年级下册第五章《全等三角形》。
，我将从说课标，说教材，说建议三个方面加以说明。
一说课标说课标分为课程标准、内容标准、课标要求知识与技能经历探索三角形全等的过程；掌握判定三角形全等的基本方法；掌握用综合法证明的格式及基本的推理技能；体会证明的必要性；数学思考在探索图形全等的过程中，初步建立空间观念，发展几何直觉；解决问题尝试从不同角度寻求解决问题的方法并能有效地解决问题；体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性；情感与态度认识通过观察、实验、归纳、类比、推断可以获得数学猜想；体验数学活动充满着探索性和创造性；感受证明过程的严谨性以及结论的确定性。
内容标准分为：了解掌握探索应用了解全等三角形的概念，熟练说出全等三角形的对应边、对应角；探索两个三角形全等的条件，掌握判定两个三角形全等的方法，利用三角形全等的判定方法进行证明并解决实际问题；了解尺规作图，掌握用尺规做一个角等于已知角及做已知角的角平分线；了解并掌握角平分线的性质及判定二说教材教材的编写意图和体例安排内容结构与立体整合编写意图本单元根据新课程的要求和理念,创设了“现实的、有意义的、富有挑战性”的问题情境，让学生通过观察生活中的图形，认识形状、大小相同的图形，从中发现几何图形的基本特征，引入新课教学。
自主学习，合作交流本章安排了4个思考、8个探究和5个讨论，给学生提供了自主学习，合作交流的学习空间，激发学生进行思考,让学生经历三角形全等条件的探索过程，使结论呈现得更为自然；注重联系体现应用比如三角形全等条件的探索与三角形的画法相结合，通过确定集贸市场的位置的问题引出“到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”的结论，使学生看到理论来自实际的需要。
用三角形全等可以说明实际测量方法的道理，例如测量河两岸相对两点的距离，用卡钳测量工件的内槽宽，体会到数学来源于生活又服务于生活。
4年级数学第三章三角形知识树
A
D B C
3、（2009.黄冈中考）一个多边形的内角和是外角 和的二倍，则这个多边形的边数为（C) A.4 B.5 C.6 D.7
课标解析：本题考查的是多边形内、外和定理的应用。 课标解析：本题考查的是多边形内、外 Nhomakorabea定理的应用。
4、（2009.丽水中考）在下列图案中，是由正三 、（2009.丽水中考）在下列图案中， 2009.丽水中考 角形、正方形、正六边形、 角形、正方形、正六边形、正八边形中的三种镶 嵌而成的是（ 嵌而成的是（D）
课标剖析：几种正多边形进行镶嵌时要注重两点； 课标剖析：几种正多边形进行镶嵌时要注重两点；⑴要满足几种正 多边形的边长相等； 多边形的边长相等；⑵要满足每一个节点处的所有角能够成一个周 角。
a-(b-a)
a+(b-c)
四、教学实践与反思 1、要用好情境素材，为推导运算定律服务。 、要用好情境素材，为推导运算定律服务。 2、要尊重学生差异。 、要尊重学生差异。 3、要关注拓展、变化。 3、要关注拓展、变化。
关注运算定律以外的一些简便方法： 关注运算定律以外的一些简便方法：
补充：856－98 = 856 –100 +2 补充：856－ 100 438＋ 438＋99 = 438 +100 -1
1、了解与三 角形有关 的角（内 角，外角）。
2、会用平行线性质 与平角的定义 三角形的 内角 等 1 。 3、探索了解三角 形的一个外角等 与 的 个内角 。
② 与 三 角 形 有 关 的 角
1、了解多边 形的有关概念 内角、 （边、内角、 外角、对角线、 外角、对角线、 正多边形）。 正多边形）。
三角形全部知识点的总结
第一章图形的初步认识考点一、线段垂直平分线，角的平分线，垂线1、线段垂直平分线的性质定理及逆定理垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
2、角的平分线及其性质一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
角的平分线有下面的性质定理：(1)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
(2)到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
3 垂线的性质：性质 1 ：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质 2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
简称：垂线段最短。
考点二、平行线1、平行线的概念在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。
4、平行线的性质(1)两直线平行，同位角相等； (2)两直线平行，内错角相等； (3)两直线平行，同旁内角互补。
考点三、投影与视图1、投影投影的定义：用光线照射物体，在地面上或墙壁上得到的影子，叫做物体的投影。
平行投影：由平行光线(如太阳光线)形成的投影称为平行投影。
中心投影：由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影。
2、视图当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图像叫做物体的一个视图。
物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图。
主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图。
俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图。
左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图，有时也叫做侧视图。
第二章三角形考点一、三角形1、三角形的分类三角形按边的关系分类如下：不等边三角形底和腰不相等的等腰三角形三角形等腰三角形等边三角形三角形按角的关系分类如下：直角三角形(有一个角为直角的三角形)锐角三角形(三个角都是锐角的三角形)三角形斜三角形钝角三角形(有一个角为钝角的三角形)把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。