离轴高斯涡旋光束的轨道角动量研究

光束是指相位中心与光束中心对准的光束 , 而离轴 涡旋光束则是指相位中心和光束中心存在对准偏差 的情况(对准偏差称作离轴参数或离轴距离), 此类光 束的光强分布不具有中心对称性 [12–14], 对离轴高斯 光束的探讨具有非常实际的研究意义. 另一方面, 在涡旋光束的轨道角动量研究中, 文 献 [15] 在理论上对光束的动量以及轨道角动量的公 式进行了较为系统地推导和分析; 文献 [16]研究了光 束轨道角动量与光强二阶矩的关系; 文献 [17]对光束 轨道角动量的本征方程进行了探讨; 文献 [18]则研究 了涡旋光束光强分布与轨道角动量之间的关系 ; 文 献 [19] 分析了高阶椭圆厄米 - 高斯光束及其单光子平
( x d ) i( y pd ) .
m
(3)
其中,
C0 (i) m 1 k m 1 exp(ikz ) E0 2z 1 ip , p 2 , 2 . 2 m 1 m (2 z w ik ) w kw (1 p 2 ) w2
由(3)式可以看出, 传输一段距离后观测平面上暗核的 位置在点 (d, pd), 随着传输距离增加, 暗核在逐渐移 动, 以下将对离轴涡旋光束的轨道角动量进行分析.
a pa m=1, x0 ( z ) 1 2t , y0 ( z ) 1 2t , 2a(1 t ) 2 pa (1 t ) , y0 ( z ) , m=2, x0 ( z ) 2 1 4t 2t 1 4t 2t 2 3a (3 6t 2t 2 ) 3 pa (3 6t 2t 2 ) , m=3. ( ) , ( ) x z y z 0 0 3 18t 18t 2 4t 3 3 18t 18t 2 4t 3


(8)
( x x0 d ) i( y y0 pd ) .
m
将 (8) 式代入 (7) 式 , 可得离轴涡旋光束的轨道角 动量为
jz 2 0

C0
2
2 ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 exp 2 w2 1 p
ik ( x x) 2 ( y y ) 2 dx dy . exp (2) 2z (2)式中 k 为波矢, 为波长. 将(1)式代入(2)式, 经过 复变函数积分后可以得到观测平面上离轴涡旋光束 电场的解析表达式为
2 2 2 E x, y, z C0 exp ( x y )
引用格式: 丁攀峰, 蒲继雄. 离轴高斯涡旋光束的轨道角动量研究. 中国科学: 物理学 力学 天文学, 2014, 44: 449–456
Ding P F, Pu J X. Research on orbital angular momentum of off axial Gaussian vortex beam (in Chinese). Sci Sin-Phys Mech Astron, 2014, 44: 449–456, doi: 10.1360/SSPMA2013-00030
丁攀峰等: 离轴高斯涡旋光束的轨道角动量研究
均轨道角动量. 总体上而言, 大多数研究基本上都是 针对光束的拓扑荷数、平均单光子轨道角动量、螺旋 谱等整体性概念或参数 , 而且所研究涡旋光束大多 具有圆对称性. 实验中, 无论是采用螺旋相位板还是 空间光调制器产生涡旋光束, 如前所述, 输出光束实 际上都存在一定程度的离轴 , 因此研究离轴涡旋光 束的轨道角动量 , 尤其是研究其在观测平面上的密 度分布详情, 具有更加实际的意义, 因为离轴涡旋光 束赋予微粒的轨道角动量大小与微粒在光束中的位 置以及轨道角动量密度分布密切相关; 其次, 从轨道 角动量的定义来看, 中心位置的选择至关重要, 对于 通常的涡旋光束而言, 中心与质心重合, 位于坐标系 的传播轴(z 轴)保持不变, 而对于离轴涡旋光束而言, 由于非圆对称性, 其质心在传输中会逐渐移动, 这就 必然要求建立质心坐标系来处理轨道角动量 , 否则 , 所计算的轨道角动量将失去内禀特性 , 从而失去实 际的物理意义. 本文在质心坐标系的基础上, 研究离 轴涡旋光束在传输过程中轨道角动量密度分布详情 , 探讨其演变规律, 分析拓扑荷数、离轴距离等参数对 其演变产生的影响.
(4)
E x, y , z i exp(ikz ) E x, y , 0 z
将(3)式代入(4)式, 可得不同阶数的离轴涡旋光束 在观测平面上的质心位置坐标. 由于具体的分析过程 与拓扑荷数相关, 不能得到统一的通项表达式, 以下列 出拓扑荷数分别为 1, 2, 3 的结果
(7)
(7)式中的函数 u 表示电场, 如前所述, 轨道角动 量需要以质心为中心进行研究 , 对于电场的表达式 而言, 则需将坐标原点移到质心的位置, 建立新坐标 系, 设质心在原坐标系中的位置为(x0, y0), 于是由(3) 式可知, 新坐标系中电场的表达式需要改写为
2 2 u C0 exp 2 ( x x0 ) ( y y0 )
(6)
1 其中 t e x e y er eθ , 于是 x y r r
u * i u * u u jz 0 x u u* u* yu ez y y x x 2 0 u u Im u * x y ez . x y
上对离轴涡旋光束轨道角动量的分布及其传输进行了研究, 数值研究表明, 观测平面上离轴涡旋光束的 轨道角动量的分布不再具备圆对称的特点, 轨道角动量为 0 的等高线为封闭曲线, 其内部区域轨道角动 量数值为负, 外部为正. 随着传输距离的增加, 远场区观测平面上轨道角动量的分布逐渐演变为近似左 右对称的情形, 拓扑荷数越大, 演变的速度越快. 另一方面, 离轴距离也会影响到轨道角动量的分布, 在 确定的观测平面上, 离轴距离越大, 观测平面上轨道角动量极小值(负区域)的模值会越接近轨道角动量 的极大值(正区域). 该结论在研究离轴涡旋光束与微粒作用时能提供指导意见. 关键词 离轴涡旋光束, 轨道角动量, 拓扑荷数, 离轴距离
数如下: 波长为 632.8 nm, 拓扑荷数为 1, 束腰半径 为 0.25 mm, 离心参数为 0.05 mm(非离轴的情形对应 该参数为 0), 如图 1 所示. (a), (c)为二维图样(等高线 图), 白点标出了轨道角动量极大值和极小值的位置、 虚线为数值为 0 的位置; (b), (d)为三维透视图样. 在非离轴的情况下(图 1(c)和(d)), 源平面上光束 轨道角动量的分布呈现出圆对称的特点 , 中心的轨 道角动量密度值为 0, 轨道角动量密度的等高线为圆 形, 随着半径的增大 , 轨道角动量密度值先增大后减 小, 整体上来看, 源平面上所有点位置上的轨道角动 量密度的数值全部为正 (中心为 0); 在离轴的情况下 (图 1(a)和(b)), 源平面上轨道角动量不再具有中心对 称性 (但等高线近似为圆形 ), 在三维图样中 (图 1(b)) 可以观察到明显的倾斜, 在二维图样中(图 1(a))轨道 角动量为 0 的位置组成一封闭曲线(包含质心), 曲线 外部数值为正 , 曲线内部数值为负 , 最大值 (为正 )出 现在质心左侧 , 最小值 (为负 )出现在质心右上角 , 最 大值点的位置到质心的距离大于最小值点的位置到 质心的距离. 以上为一阶离轴涡旋光束轨道角动量在源平面 上的分布情况, 为了给出详细的结果, 我们分别在不 同传输距离、拓扑荷数以及离轴参数的情况下, 对离 轴涡旋光束在横截面上的轨道角动量进行了数值模 拟 ( 为了减少图片数量 , 以下给出二维图样的结果 ). 具体的情况如下: 图 2 为拓扑荷数为 1 的离轴涡旋光 束在传输不同传输距离处观测平面上的归一化轨道 角动量分布
( x d ) 2 y 2 x 2 y 2 exp . (1) w w2 其中, E0 为电场振幅, m 为拓扑荷数, w 为束腰半径, 源平面上点的坐标以上撇号表征 , 由近轴光束理论 , 传输一段距离 z 后电场为
PACS: 41.85.-p, 42.50.Fx, 42.25.-p, 42.25.Bs doi: 10.1360/SSPMA2013-00030
1
引言
涡旋光束作为光学相位工程的独特范例 , 因其 独特的螺旋型相位结构, 在光束控制、光束整形等领 域已经成为了研究的热点 [1–3], 国内外广大学者围绕 着涡旋光束的产生、 传输及其在通信和微利操控领域 的应用等方面, 展开了一系列的研究工作, 取得了突 出的成果 [4–10]. 众所周知, 光束在传输的过程中携带 动量, 能与光场中的微粒相互作用, 而涡旋光束不仅 携带动量, 同时携带轨道角动量[11], 在与微粒相互作 用时能将其轨道角动量进行传递 . 这种独特的轨道 角动量性质与光束的拓扑荷数相对应 . 高斯涡旋光 束是实验中常用的涡旋光束 , 通常所述的高斯涡旋
3.1
离轴涡旋光束的质心
x d iy E x, y , 0 E0 ( x d ) 2 y 2
m

m
光束的质心与物体的重心相似 , 其位置坐标与 光强的一阶矩相关[20]
2 x E x, y, z dxdy x ( z) , 2 0 E x , y , z d x d y 2 y E x, y, z dxdy y0 ( z ) . 2 E x , y , z d x d y
2 2
m
m x( x x0 d ) y ( y y0 pd )
450
(5)
中国科学: 物理学 力学 天文学
2014 年
第 44 卷
第5期
其中参数 t=d2/w2. 于是 , 由 (5) 式决定的质心位置和 由 (3) 式决定的电场函数可以对观测平面上离轴涡旋 光束的轨道角动量进行分析.