2019年中考数学真题汇编 锐角三角函数
中考数学真题汇编:锐角三角函数
一、选择题
1.的值等于（）
A. B.
C.
1 D.
【答案】B
2.如图，过点，，，点是轴下方上的一点，连接，，
则的度数是（）
A. B.
C.
D.
【答案】B
3.如图，一把直尺，的直角三角板和光盘如图摆放，为角与直尺交点，,则光盘的
直径是( )
A.3
B.
C.
D.
【答案】D
4.如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角，升旗台底部到教学楼底部的距离米，升旗台坡面CD的坡度
，坡长米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离米，则旗杆AB的高度约为
（）
（参考数据：，，）
A. 12.6米
B. 13.1
米 C. 14.7
米 D. 16.3米
【答案】B
5.一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（结果保留小数点后
两位）（参考数据：）（）
A. 4.64海里
B. 5.49海
里 C. 6.12海
里 D. 6.21海里
【答案】B
6.如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为（）
A. B.
C.
D.
【答案】B
7. 如图，已知在中，，，，则的值是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
8. 如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=α，则拉线BC的长度为（A、D、B 在同一条直线上）（）
A. B.
C.
D. h•cosα
【答案】B
二、填空题
9.如图．一-艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在处测得岛礁在东北方向上，继续航
行1．5小时后到达处此时测得岛礁在北偏东方向,同时测得岛礁正东方向上的避风港在
北偏东方向为了在台风到来之前用最短时间到达处,渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航
行________小时即可到达 (结果保留根号)
【答案】
10.如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子长BC=16m，则tanC=________。
【答案】
11.如图，把三角形纸片折叠，使点、点都与点重合，折痕分别为，，得到
，若厘米，则的边的长为________厘米.
【答案】
12.如图，在菱形中，，分别在边上，将四边形沿翻折，
使的对应线段经过顶点，当时，的值为________.
【答案】
13.如图，将含有30°角的直角三角板ABC放入平面直角坐标系，顶点AB分别落在x、y轴的正半轴上，∠OAB＝60°,点A的坐标为（1,0），将三角板ABC沿x轴右作无滑动的滚动（先绕点A按顺时针方向旋转60°，再绕点C按顺时针方向旋转90°，…）当点B第一次落在x轴上时，则点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积是________.
【答案】+ π
14.如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为________米（结果保留根号）．
【答案】
15.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结MD，ME．若∠EMD=90°，则cosB的值为________。
16.如图，中，，，，将绕点顺时针旋转
得到，为线段上的动点，以点为圆心，长为半径作，当与
的边相切时，的半径为________.
【答案】或
17.在△ABC中，∠C=90°，若tanA= ，则sinB=________．
【答案】
18.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD=________.
【答案】2
19.如图，菱形ABOC的AB，AC分别与⊙O相切于点D、E，若点D是AB的中点，则∠DOE________.
【答案】60°
20.如图。
在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点. 的顶点都在格点上,则
的正弦值是________．
三、解答题
21.计算：＋－4sin45°＋．
【答案】原式=
22.随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起.高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式.如图，，两地被大山阻隔，由地到地需要绕行地，若打通穿山隧道，
建成，两地的直达高铁，可以缩短从地到地的路程.已知：，，
公里，求隧道打通后与打通前相比，从地到地的路程将约缩短多少公里？（参考数据：
，）
【答案】解：如图，过点C作CD⊥AB, 垂足为D,
在Rt△ADC和Rt△BCD中，
∵∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=640．
∴ CD=320，AD= ，
∴ BD=CD=320，BC= ,
∴ AC+BC= ，
∴ AB=AD+BD= ，
∴ 1088-864=224（公里）．
答：隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短224公里．
23.如图，甲、乙两座建筑物的水平距离为，从甲的顶部处测得乙的顶部处的俯角为，
测得底部处的俯角为，求甲、乙建筑物的高度和（结果取整数）.参考数据：
，.
【答案】解：如图，过点作，垂足为.
则.
由题意可知，，，，，.
可得四边形为矩形.
∴，.
在中，，
∴.
在中，，
∴.
∴.
∴.
答：甲建筑物的高度约为，乙建筑物的高度约为.
24.如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱的高为11米，灯杆与灯柱的夹角
，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域长为18米，从、两处测得路灯的
仰角分别为和，且，.求灯杆的长度.
【答案】解：过点B作BF⊥CE于点F，过点作AG⊥BF于点G
∴AG=CF，AC=FG=11
∵∠BAC=120°，∠GAC=90°
∴∠BAG=120°-90°=30°
设BF=x
在Rt△BDF中，
在Rt△BEF中，
∵DE=DF+EF
∴
解之：x=12
∴BG=BF-GF=12-11=1
在Rt△ABG中，∠BAG=30°
∴AB=2BG=2
25.如图，点是的边上一点，与边相切于点，与边，分别相交于点
，，且.
（1）求证：；
（2）当，时，求的长.
【答案】（1）证明：连接OE,BE．
∵ DE=EF，
∴= ,
∴
∵
∴
∴
∴OE∥BC.
∵⊙O与边AC相切于点E，
∴ OE⊥AC．
∴BC⊥AC,
∴∠C=90°.
（2）解：在△ABC中，∠C=90°，BC=3，，
∴AB=5．
设⊙O的半径为r，则
在Rt △AOE中，,
∴．
∴．
26.日照间距系数反映了房屋日照情况，如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数，
其中为楼间水平距离，为南侧楼房高度，为北侧楼房底层窗台至地面高度.如图②，山坡朝
北，长为，坡度为，山坡顶部平地上有一高为的楼房，底部到
点的距离为.
（1）求山坡的水平宽度；
（2）欲在楼正北侧山脚的平地上建一楼房，已知该楼底层窗台处至地面处的高度为
，要使该楼的日照间距系数不低于，底部距处至少多远？
【答案】（1）解：∵EF的坡度i=1:0.75=4：3∴EH:FH=4：3
在Rt△EFH中，EF2=EH2+FH2
即16x2+9x2=25x2=152
解之：x=3
∴FH=9，EH=12
答：山坡的水平宽度的长为9m。
（2）解：延长BA、FH，两延长线交于点G,
∵EH=12，AB=22.5
∴AG=EH=12，AE=HG=4
∴L=CG=CF+FH+HG=CF+13
BG=AB+AG=22.5+12=34.5
∴（CF+13）:（BG-PC）≥1.25
即（CF+13）:（34.5-0.9）≥1.25解之：CF≥29
CF取最小整数
∴CF=29。
2019年浙江省中考数学分类汇编专题锐角三角函数(解析版)
2019年浙江省中考数学分类汇编专题锐角三角函数（解析版）一、单选题1.某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（）A. 米B. 米C. 米D. 米【答案】B【考点】解直角三角形的应用【解析】【解答】解：∵简易房为轴对称图像，故BC边上的高平分底边，∴有故答案为：B。
【分析】由轴对称关系，作高，解直角三角形即可。
2.如图1长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一楼进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（）A. B. C. D.【答案】A【考点】解直角三角形，棱柱及其特点【解析】【解答】解：如图，过点D作DC⊥EC于点C由题意可知：EF=BD=3，DE=BF=8两图形阴影部分的面积相等，设AF=x∴3×6= （x+8）×3解之：x=4∴AB=8-4=4在Rt△ABD中AD=∵∠ADB+∠ADE=∠EDC+∠ADE=90°∴∠ADB=∠EDC∴cos∠ADB=cos∠DEC解之：CD=故答案为：A【分析】过点D作DC⊥EC于点C，两图形阴影部分的面积相等，设AF=x，利用三角形的面积公式和梯形的面积公式，建立关于x的方程，解方程求出x的值，就可得到AB的长，利用勾股定理求出AD的长，再证明∠ADB=∠DEC，就可得到cos∠ADB=cos∠DEC，建立关于DC的方程，解方程求出DC的长即可。
3.如图，矩形ABCD的对角线交于点O，已知AB=m，∠BAC=∠α，则下列结论错误的是（）A. ∠BDC=∠αB. BC=m·tanαC. AO=D. BD=【答案】C【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：A.∵矩形ABCD，∴AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°，又∵BC=CB，∴△ABC≌△DCB（SAS）,∴∠BDC=∠BAC=α，故正确，A不符合题意；B.∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，在Rt△ABC中，∵∠BAC=α，AB=m，∴tanα= ，∴BC=AB·tanα=mtanα，故正确，B不符合题意；C.∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，在Rt△ABC中，∵∠BAC=α，AB=m，∴cosα= ，∴AC= = ，∴AO= AC=故错误，C符合题意；D.∵矩形ABCD，∴AC=BD，由C知AC= = ，∴BD=AC= ，故正确，D不符合题意；故答案为：C.【分析】A.由矩形性质和全等三角形判定SAS可得△ABC≌△DCB,根据全等三角形性质可得∠BDC=∠BAC=α，故A正确；B.由矩形性质得∠ABC=90°，在Rt△ABC中，根据正切函数定义可得BC=AB·tanα=mtanα，故正确；C.由矩形性质得∠ABC=90°，在Rt△ABC中，根据余弦函数定义可得AC= = ，再由AO= AC 即可求得AO长，故错误；D.由矩形性质得AC=BD，由C知AC= = ，从而可得BD长，故正确；4.如图，有两张矩形纸片ABCD和EFGH、AB=EF=2cm，BC=FG=8cm，把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合，当两张纸片交叉所成的角最小α时，tanα等于（）A. B. C. D.【答案】 D【考点】翻折变换（折叠问题），锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：由图形绕着点D选择可知，当点B与点E重合时，α角度最小且重叠部分为平行四边形，设BC与FD交于点M，如图，依题可得：EF=CD=2，∠F=∠C=90°，∠EMF=∠DMC=α，∴△EFM≌△DCM（AAS），∴FM=CM，EM=DM，设CM=FM=x，则DM=8-x，在Rt△ABC中，∵CM2+CD2=DM2，∴x2+22=（8-x）2，解得：x= ，tanα= .故答案为：D.【分析】由图形绕着点D选择可知，当点B与点E重合时，α角度最小且重叠部分为平行四边形，设BC 与FD交于点M，根据全等三角形的判定AAS可得△EFM≌△DCM，由全等三角形性质得FM=CM，EM=DM，设CM=FM=x，则DM=8-x，在Rt△ABC中，根据勾股定理列出方程，解之得CD长，再由锐角三角函数正切定义即可求得答案.5.如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内）.已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点A到OC的距离等于（）A. asinx+bsinxB. acosx+bcosxC. asinx+bcosx.D. acosx+bsinx 【答案】 D【考点】解直角三角形的应用【解析】【解答】解：作AG⊥OC交OC于点G，交BC于点H，如图，∵四边形ABCD为矩形，AD=b，∴∠ABH=90°，AD=BC=b，∵OB⊥OC，∴∠O=90°，又∵∠HCG+∠GHC=90°，∠AHB+∠BAH=90°，∠GHC=∠AHB，∠BC0=x，∴∠HCG=∠BAH=x，在Rt△ABH中，∵cos∠BAH=cosx= ，AB=a，∴AH= ，∵tan∠BAH=tanx= ，∴BH=a·tanx，∴CH=BC-BH=b-a·tanx，在Rt△CGH中，∵sin∠HCG=sinx= ，∴GH=（b-a·tanx）·sinx=bsinx-atanxsinx，∴AG=AH+HG= +bsinx-atanxsinx，= +bsinx- ，=bsinx+acosx.故答案为：D.【分析】作AG⊥OC交OC于点G，交BC于点H，由矩形性质得∠ABH=90°，AD=BC=b，根据等角的余角相等得∠HCG=∠BAH=x，在Rt△ABH中，根据锐角三角函数余弦定义cosx= 得AH= ，根据锐角三角函数正切定义tanx= 得BH=a·tanx，从而可得CH长，在Rt△CGH中，根据锐角三角函数正弦定义sinx= 得GH=bsinx-atanxsinx，由AG=AH+HG计算即可得出答案.二、填空题6.如图，在△ABC中，若∠A=45°，AC2-BC2= AB2，则tanC=________。
2019年数学中考真题知识点汇编33 锐角三角函数(含解析).docx
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】一、选择题9. （2019·杭州）如图，一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边(OC ⊥OB ，点A ，B ，C ，D ，O 在同一平面内)，已知AB=a ，AD=b ，∠BCO=x ，则点A 到OC 的距离等于（ ）A ．asinx+bsinxB ．acosx+bcosxC ．asinx+bcosxD ．acosx+bsinx【答案】D 【解析】作AE ⊥OC 于点E ，作AF ⊥OB 于点F ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=90°，∵∠ABC=∠AEC ，∠BCO=x ，∴∠EAB=x ，∴∠FBA=x ，∵AB=a ，AD=b ，∴FO=FB+BO=a •cosx+b •sinx ，故选D ．3． （2019·威海）如图，一个人从山脚下的A 点出发，沿山坡小路AB 走到山顶B 点.已知坡角为20°，山高BC ＝2）A.B.C. D.【答案】A1.（2019·怀化）已知∠α为锐角，且sin α=12，则∠α=（） A.30° B.45° C.60° D.90°【答案】A.【解析】∵∠α为锐角，且sinα=12， ∴∠α=30°．故选A.2.（2019·滨州）满足下列条件时，△ABC 不是．．直角三角形的为（ ） A ．AB ，BC ＝4，AC ＝5B ．AB ：BC ：AC ＝3：4：520°2C ．∠A ：∠B ：∠C ＝3：4：5D ．213cos A tan B 23－－＝0 【答案】C【解析】A 中，∵4＜5，AC 2+BC 2=52+42=41，AB 2=）2=41，∴AC 2+BC 2=AB 2，∴△ABC 是直角三角形；B 中，∵AB ：BC ：AC=3：4：5，设AB=3k ，BC=4k ，AC=5k ，∵AB 2+BC2=（3k ）2+（4k ）2=25k 2，AC 2=（5k ）2=25k 2，∴AB 2+BC 2=AC 2，∴△ABC 是直角三角形；C 中，∠A ：∠B ：∠C=3：4：5，∴∠A =180°×312=45°，∠B=180°×412=60°，∠C=180°×512=75°，∴△ABC 不是直角三角形；D 中，∵213cos A tan B 23－－=0，又∵1cos A 2－≥0，23tan B 3－≥0，∴cosA=12，tanB=3，∴∠A=60°，∠B=30°，∴△ABC 是直角三角形．故选C ．3.（2019·达州）矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B （32，2），点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，P 是对角线OB 上一动点（不与原点重合），连接PC ，过点P 作PD ⊥PC 交x 轴于点D ，下列结论：①OA=BC=32；②当点D 运动到OA 的中点处时，PC 2+PD 2=7；③在运动过程中，∠CDP 是一个定值；④当△ODP 为等腰三角形时，点D 的坐标为(332,0)，其中正确结论的个数是（） A. 1个 B. 2个 C.3个 D. 4个【答案】D【解析】已知B （32，2），所以OA=BC=32，故①正确；当点D 运动到OA 的中点处时，OD=3，而OC=2，所以OC 2=7，在直角三角形CPD 中，PC 2+PD 2=7，故②正确；过点P 作PD ⊥PC 交x 轴于点D ，所以在运动过程中，∠CDP 是一个定值，故③正确；当△ODP 为等腰三角形时，OC ⊥BD ，∠CDO=60°所以3 ODOC ，即OD=332，所以点D 的坐标为(332,0).4. （2019· 凉山） 如图，在△A B C 中，CA = CB = 4，cos B 的值为（▲）A．2B．3C．4D．4【答案】D【解析】过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∵cos C =14，AC =4，∴CD =1，∴BD =3，AD，在Rt △ABD 中，AB，∴sin B=AD AB =，故选D .5. （2019·天津）2sin60°的值等于(A) 1 (B) 2(C)3(D)2【答案】C【解析】常用特殊角三角函数值sin60°=321，再乘以2，可得答案C.6.（2019·金华）如图，矩形ABCD 的对角线交于点O ，已知AB =m ，∠BAC =∠α，下列结论错误的是（） A. ∠BDC =∠α B.BC = m ·tan α C.AO =2sin m α D.BD =cos mα【答案】C ．【解析】由锐角三角函数的定义，得sin α= 2BC OA，∴AO =2sin BC α，故选C ．二、填空题15．（2019·德州）如图，一架长为6米的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，这时测得∠ABO ＝70°，如果梯子的底端B 外移到D ，则梯子顶端A 下移到C ，这时又测得∠CDO ＝50°，那么AC 的长度约为 米．（sin70°Bm DB≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）【答案】1.02【解析】∵∠ABO＝70°，AB＝6m，∴sin70°＝＝≈0.94，解得：AO＝5.64（m），∵∠CDO＝50°，DC＝6m，∴sin50°＝≈0.77，解得：CO＝4.62（m），则AC＝5.64﹣4.62＝1.02（m），答：AC的长度约为1.02米．故答案为：1.02．14.（2019·杭州）在直角三角形ABC中，若2AB=AC则cosC=___________.【答案】或【解析】若∠B=90°，设AB=x，则AC=2x，所以BC==x，所以cosC===；若∠A=90°，设AB=x，则AC=2x，所以BC==x，所以cosC===；综上所述，cosC的值为或．故答案为或．1. (2019·聊城)如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠B＝60°,DE为△ABC的中位线,延长BC至F,使CF＝12 BC,连接FE并延长交AB于点M,若BC＝a,则△FMB的周长为________.【答案】9 2 a【解析】∵BC＝a,∴CF＝12BC＝12a,∴BF＝32a∵DE为△ABC的中位线,∴DE∥BF,DE＝12a,∴△MED∽△MFB,∴MD EDMB FB,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠B＝60°,∴∠A＝30°,AB＝2a,BD＝a,∴MD＝12a,MB＝32a,∵MB＝FB,∠B＝60°,△BMF是等边三角形,周长＝92 a.2.（2019·淄博）如图，以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是EF.如图1，当CD ＝12AC 时，13tan ;4α= 如图2，当CD ＝13AC 时，25tan ;12α= 如图3，当CD ＝14AC 时，37tan ;24α= ……依次类推，当CD ＝11AC n +（n 为正整数）时，tan n α= ……【答案】21.2(1)n n n ++【解析】当n ＝1时，133tan ;414α==⨯ 当n ＝2时，255tan ;1226α==⨯ 当n ＝3时，377tan ;2438α==⨯ …… ∴2121tan .(22)2(1)n n n n n n n α++==++3.（2019·乐山）如图，在△ABC 中，︒=∠30B ，2=AC ，53cos =C .则AB 边的长为▲.30°【答案】165【解析】过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°在Rt △ADC 中，∵∠ADC ＝90°，53cos =C ，AC ＝2，∴DC=35×2=65，85AD ==，在Rt △ADB 中，∠ADB ＝90°，∠B ＝30°．∵sin B=12AD AB =，AB =2AD=165．4.（2019·眉山）如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，AB =5，BC =12，将△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△ADE ，使得点D 落在AC 上，则tan ∠ECD 的值为_________．【答案】32【解析】在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=5，BC=12，∴，∵△ABC 绕点A 旋转到△ADE ，∴ED=BC=12，AD=AB=12，∠ADE=90°，∴CD=AC-AD=13-5=8，∴tan ∠ECD=ED DC =128=32，故答案为：32.5. （2019·自贡）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网络图中，∠α、∠β如图所示，则cos(α+β)=.【答案】【解析】连接BC ，∵网络图是由10个完全相同的正三角形构成， ∴AD =DE =CE =BE ，∠ADE =∠BEC =1200， ∴△ADE ≌△BEC ， ∴∠EBC =α.∵∠BEC =1200，BE =CE ，∴∠BCE =(1800-1200)÷2=300，∴∠ACB =∠ACE +∠BCE =600+300=900， 设小正三角形的边长为a ， 则AC =2a ，BC =√3a ，在Rt △ACB 中，AB =√AC 2+BC 2=√7a . ∴cos ∠ABC =BCAB =√3a √7a=√217. 又∵∠ABC =∠ABE +∠CBE =α+β， ∴cos (α+β)=√217.三、解答题 19．（2019山东省青岛市，19，6分）如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB ，栈道AB 与景区道路CD 平行.在C 处测得栈道一端A 位于北偏西42°方向，在D 处测得栈道另一端B 位于北偏西32°方向.已知CD =120m ，BD =80m ，求木栈道AB 的长度（结果保留整数）. （参考数据：sin 32°≈1732，cos 32°≈1720，tan 32°≈58，sin 42°≈2740，cos 42°≈34，tan 42°≈910）【解题过程】解：过C 作CE AB ⊥于E ，DF AB ⊥交AB 的延长线于F ，则//CE DF ， //AB CD ，∴四边形CDFE 是矩形，120EF CD ∴==，DF CE =，在Rt BDF ∆中，32BDF ∠=︒，80BD =， 17cos32806820DF BD ∴=︒=⨯≈，1785sin3280322BF BD =︒=⨯≈，1552BE EF BF ∴=-=， 在Rt ACE ∆中，42ACE ∠=︒，68CE DF ==，9306tan 4268105AE CE ∴=︒=⨯=， 155********AB AE BE m ∴=+=+≈， 答：木栈道AB 的长度约为134m ．24．（2019·常德） 图9是一种淋浴喷头，图10是图9的示意图，若用支架把喷头固定在A 点处，手柄长AB＝25cm ，AB 与墙壁D D '的夹角∠D 'AB ＝37°，喷出的水流BC 与AB 行程的夹角∠ABC ＝72°，现在住户要求：当人站在E 处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C 处，且使DE ＝50cm ，CE ＝130cm ．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）．【解题过程】过B 点作MN ∥DE ，分别交直线AD 和直线EC 于点M 、N ，由题意可知AD ∥CE ，∠ADE ＝90°∴四边形DMNE 为矩形，∴∠AMB ＝∠BNC ＝9 0°，MN ＝DE ，MD ＝NE ．在Rt △ABM 中，∠D 'AB ＝37°，sin ∠MAB ＝MB AB ，∴MB ＝AB ·sin37°＝25×0.6＝15，cos ∠MAB ＝AMAB，∴AM ＝AB ·cos37°＝25×0.8＝20，∵MN ＝DE ＝50，∴NB ＝50－15＝35，∵∠ABM ＝90°－37°＝53°，∠ABC ＝72°，∴∠NBC ＝180°－53°－72°＝55°，∴∠BCN ＝90°－55°＝35°．在Rt △BNC 中，tan ∠BCN ＝BN CN ，∴CN ＝350.75＝50，∴EN ＝CN +CE ＝50+130＝180＝MD ，∴AD ＝MD －AM ＝180－20＝160（cm ）．D'图10ECBA答：安装师傅应将支架固定在离地面160cm 高的位置．1.（2019·淄博）如图1，正方形ABDE 和BCFG 的边AB ，BC 在同一条直线上，且AB ＝2BC ，取EF 的中点M ．连接MD ，MG ，M B ． (1)试证明DM ⊥MG ，并求MBMG的值； (2)如图2，将图1中的正方形变为菱形，设∠EAB ＝2α(0°＜α＜90°)．其它条件不变，问(1)中MBMG的值有变化吗?若有变化，求出该值(用含α的式子表示)；若无变化，说明理由．解：(1)延长GM 交DE 于H ，∵EF 的中点M ，∴EM ＝FM ，∵正方形ABDE 、正方形BCFG ，∴AB ∥DE ∥GF ，∴∠HEM ＝∠GFM ，在△EHM 和△FGM 中，==AMH FMG EM FM HEM GMF ⎧⎪=⎨⎪⎩∠∠∠∠，∴△EHM ≌△FGM (ASA ),∴HM ＝MG ，GF ＝EH ，∵AB ＝2BC ，∴GF ＝EH ＝DH ＝DG ，∴DM 是△HDG 底边上的中线，∴DM ⊥MG ； 设AB ＝4，BC ＝2，易求MB ＝12EF=，MG＝2BC，∴MB MGD'NM 图10DCBA图2图1ABCDEF MGAB CDEFMG图2图1ABCDEF MGABCDEFMGQ T(2)MBMG比值会随着α的变化而变化，理由如下：连接AM、EB、EF、GC，DF，交点为T、Q由题知AD⊥EB、EF⊥GC，DF⊥BF，∠EAT＝∠BAT＝∠GBQ＝∠CBQ＝α∴四边形TBFD为矩形∴DF＝TB∵G为BD的中点∴MG＝11 22 DF TB=由题设AB＝2，BC＝1∴EB＝2BT＝4sinαFB＝2BQ＝2cosα∴DF＝TB＝2sinαMG＝1122DF TB=＝sinα在RT△EBF中由勾股定理得EF∴===∴MB＝2EF∴MBMG=中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
专题10 锐角三角函数(广东专版)-2019年中考真题数学试题分项汇编(解析版)
专题10 锐角三角函数1．（2019•广州）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30 m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC25=，则此斜坡的水平距离AC为A．75 m B．50 m C．30 m D．12 m 【答案】A【解析】∵∠BCA=90°，tan∠BAC25=，BC=30 m，∴tan∠BAC2305BCAC AC===，解得，AC=75 m，故选A．【名师点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．2．（广东省惠州市博罗县2019届九年级中考一模数学试卷）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan A的值为A．35B．45C．13D．43【答案】D【解析】根据网格得：Rt△ABC中，BC=4，AB=3，则tan A=43BCAB=，故选D．【名师点睛】此题属于解直角三角形题型，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．3．（2019年广东省深圳市罗湖区中考数学二模试卷）如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tanα=34，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，则小山岗的高AB是（结果取整数，参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）A ．300米B ．250米C ．400米D ．100米【答案】A【解析】设AB =3x 米， ∵斜坡AC 的坡度是tan α=34， ∴BC =4x ，在Rt △ADB 中，tan ∠ADB =AB BD， ∴BD =tan ABADB∠≈6x ，由题意得，6x -4x =200， 解得，x =100， 则AB =3x =300米， 故选A ．【名师点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．4．（2019年广东省深圳市二十三校联考中考数学4月份模拟试卷）定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角A 的正对记作sad A ，即sad A =底边∶腰．如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =4∠B ．则cos B ·sad A =A ．1B ．32C ．2D ．4【答案】B【解析】∵在△ABC 中，AB =AC ，∠A =4∠B ， ∴∠B =∠C ，∵∠A +∠B +∠C =180°， ∴6∠B =180°， 解得，∠B =30°，如图，作AD ⊥BC 于点D ，设AD =a ，则AB =2a ，BD ， ∵BC =2BD ，∴BC ，∴sad A =BC AB ==cos B =BD AB ==∴cos B ·sad A 32=， 故选B ．【名师点睛】本题考查新定义、解直角三角形、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找到sad A 的计算，利用数形结合的思想解答．5．（广东省深圳市罗湖区2019届九年级第二学期一模质量检测数学试卷）如图，某中学九年级数学兴趣小组测量校内旗杆AB 的高度，在C 点测得旗杆顶端A 的仰角∠BCA =30°，沿旗杆方向向前走了20米到达D 点，在D 点测得旗杆顶端A 的仰角∠BDA =60°，则旗杆AB 的高度是A ．10米B ．C ．3米D ．【答案】B【解析】由题意得，∠ADB =60°，∠C =30°，CD =20， ∴∠DAC =∠ADB −∠C =30°，∴∠DAC =∠C ， ∴AD =CD =20，∴AB =AD ·sin ∠ADB 故选B ．【名师点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．6．（广东省广州市增城区2019届九年级综合测试一模数学试题）如图，是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成，点A 为60°角与直尺交点，点B 为光盘与直尺唯一交点，若3AB =，则光盘的直径是A ．B ．C ．6D ．3【答案】A【解析】设三角板与圆的切点为C ，连接OA 、OB ，如下图所示：由切线长定理知3AB AC ==，OA 平分BAC ∠， ∴60OAB ∠︒＝，在Rt ABO V 中，tan OBOAB AB∠=，∴tan 3OB AB OAB =⋅∠==∴光盘的直径为 故选A ．【名师点睛】本题主要考查切线的性质，掌握切线长定理和解直角三角形的应用是解题关键．7．（2019•广东）如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是________米（结果保留根号）．【答案】【解析】过点B作BE⊥AB于点E，在Rt△BEC中，∠CBE=45°，BE；可得CE=BE×tan45°在Rt△ABE中，∠ABE=30°，BE，可得AE=BE×tan30°=15米．故教学楼AC的高度是AC15米．故答案为：15．【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确构建直角三角形是解题的关键．8．（2019年广东省汕头市潮南区胪岗镇中考数学三模试卷）已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则tan∠B=__________．【答案】3 4【解析】tan∠B=ACBC=34．故答案为：34．【名师点睛】此题考查了锐角三角函数的定义，掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边是解题的关键．9．（广东省佛山市禅城区2019届九年级下学期中考科研测试二模数学试题）如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，斜边AC与l3所夹的锐角为α，则tanα的值等于__________．【答案】1 3【解析】如图1所示，过点A作l1的垂线，垂足为D，过点C作l1、l3的垂线，垂足为E、F，设l1、l2之间的距离为a，则l2与l3之间的距离也为a，∵∠ABC=90°，∴∠DBA+∠EBC=90°，∵∠DBA+∠DAB=90°，∴∠EBC=∠DAB，∵∠ADB=∠BEC，AB=BC，∴△ADB≌△BEC，∴AD=BE=2a，DB=EC=a，∴AF=DE=3a，∵CF=a，∴tanα=13．故答案为：13．【名师点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，锐角三角函数的定义，构造“K”字形转换线段长度之间的关系为解题关键．10．（2019•深圳）如图所示，某施工队要测量隧道长度BC，AD=600米，AD⊥BC，施工队站在点D处看向B ，测得仰角为45°，再由D 走到E 处测量，DE ∥AC ，ED =500米，测得仰角为53°，求隧道BC 长．（sin53°45≈，cos53°35≈，tan53°43≈）．【解析】在Rt △ABD 中，AB =AD =600， 作EM ⊥AC 于M ， 则AM -DE =500， ∴BM =100，在Rt △CEM 中，tan53°46003CM CM EM ===， ∴CM =800，∴BC =CM -BM =800-100=700（米）． 答：隧道BC 长为700米．【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．11．（2019年广东省惠州市惠阳区中考数学二模试卷）如图，在△ABC 中，∠C =90°，AB =10，sin B =35，点D 为边BC 的中点． （1）求BC 的长． （2）求∠BAD 的正切值．【解析】（1）∵3sin 5B =， ∴35AC AB =， 设5AB k =，3AC k =，则4BC k =，∵ABC △的周长为24， ∴34524k k k ++=， ∴1224k =， ∴2k =，∴10AB =，6AC =，8BC =．（2）如图，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，∵AD 为中线， ∴1242ABD ABC S S ==△△， ∴110122DE ⨯=， ∴125DE =，在Rt ACD △中，222AD CD AC =+，∴AD =，∴345AE ==， ∴6tan 17DE BAD AE ∠==． 【名师点睛】本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理以及三角函数的定义是解题的关键． 12．（2019年广东省中考数学一模试卷）如图，九年级学生在一次社会实践活动中参观了具有深厚文化底蕴的观音山后感概万千，这座观音多高呢？为了测量这座观音像的高度AB ，数学兴趣小组在C 处用高为1.5米的测角仪CE ，测得塔顶A 角为42°，再向观音像方向前进12米，又测得观音像的顶端A 的仰角为61°，求这座观音像的高度AB ．（参考数据：sin42°≈0.67，tan42°≈0.90，sin61°≈0.87，tan 61°≈1.80，结果保留整数）【解析】如图，记EF 的延长线交CD 于H ，根据题意得：BH =CE =DF =1.5 m ，EF =CD =12 m ， 设AH =x ，在Rt △AEH 中，∠AEH =42°，AH =x ， ∴EH =tan42AH ︒=tan42x︒，在Rt △AFH 中，∠AFH =61°，AH =x ，∴FH =tan61AH ︒=tan61x︒，∵EF =EH -FH =0.9 1.8x x-=12， ∴x =21.6，∴AB =1.5+21.6≈23 m ，答：这座观音像的高度AB 是23 m ．【名师点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题的突破点是证明AB =BM =40，属于中考常考题型．13．（广东省汕头市潮阳区金灶镇2019届九年级中考数学一模试卷）如图，小明站在河岸上的G 点，利用测角仪器DG 测量小船C 到岸边的距离，此时，测得小船C 的俯角是∠FDC =30°，若测角仪器DG 的高度是2米，BG =1米，BG 平行于AC 所在的直线，迎水坡AB 的坡度i =4∶3，坡高BE =8米，求小船C 到岸边的距离CA 的长？（结果保留根号）【解析】∵坡AB 的坡度i =4∶3，坡高BE =8，∴AE =6， 由题意得，四边形BEHG 为矩形， ∴GH =BE =8，EH =BG =2， ∴DH =DGDG +GH =9，在Rt △DCH 中，tan C =DHCH，则CH =tan DH C ，∴AC =CH -AE -EH 8，答：小船C 到岸边的距离CA 的长为（-8）米．【名师点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．14．（广东省广州市番禺区2019届九年级中考一模数学试题）如图，某同学要测量海河某处的宽度AB ，该同学使用无人机在C 处测得A ，B 两点的俯角分别为45°和30°，若无人机此时离地面的高度CH 为1000米，且点A ，B ，H 在同一水平直线上，求这处海河的宽度AB （结果取整数）．参考数据：1.732≈≈．【解析】∵CD HB ∥，∴45CAH ∠=︒，30CBH ∠=︒． 在Rt ACH △中，tan 1CHCAH AH∠==，CH =1000米， ∴1000AH CH ==（米）．在Rt BCH △中，tan CH CBH BH ∠==，∴BH ==（米）．∴1)732AB BH AH =-=≈（米）．答：这处海河的宽度AB 约为732米．【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题．题目难度不大，解决本题的关键是用含CH 的式子表示出AH 和BH ．15．（广东省广州市从化区2019届九年级初中毕业班综合测试一模数学试题）如图，某货船以24海里/时的速度将一批货物从A 处运往正东方向的M 处，在点A 处测得某岛C 在北偏东60°的方向上．该货船航行30分钟后到达B 处，此时再测得该岛在北偏东30°的方向上，（1）求ACB ∠的度数；（2）已知在C 岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明1.414≈ 1.732≈）【解析】（1）∵30CAB ∠=︒，120ABC ∠=︒，∴18030ACB CAB ABC ∠=-∠-=︒∠︒．（2）如图，过点C 作CD AB ⊥于D ，由题意30CAB ∠=︒，30BCD ∠=︒，30ACB ∠=︒，∴ACB CAB ∠=∠，∴BC AB =， ∴124122BC AB ==⨯=（海里）， 在Rt BCD △中，cos CD BCD BC ∠=，∴cos301210.392CD BC =⋅==≈︒， ∵10.3929>．所以货船继续向正东方向行驶无触礁危险．【名师点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．16．（2019年广东省深圳市二十三校联考中考数学4月份模拟试卷）如图所示，要在某东西走向的A 、B两地之间修一条笔直的公路，在公路起点A 处测得某农户C 在A 的北偏东68°方向上．在公路终点B 处测得该农户c 在点B 的北偏西45°方向上．已知A 、B 两地相距2400米．（1）求农户c 到公路B 的距离；（参考数据：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈25） （2）现在由于任务紧急，要使该修路工程比原计划提前4天完成，需将该工程原定的工作效率提高20%，求原计划该工程队毎天修路多少米？【解析】（1）如图，过C 作CH ⊥AB 于H ．设CH =x ，由已知有∠EAC =68°，∠FBC =45°，则∠CAH =22°，∠CBA =45°．在Rt △BCH 中，BH =CH =x ，在Rt △HAC 中，tan ∠HAC =CH HA ， ∴HA =5tan 222CH x =︒， ∵AH +HB =AB ，∴x+52x=2400，解得x=48007，∴农户C到公路的距离48007米．（2）设原计划完成这项工程需要y天，则实际完成工程需要（y-4）天．根据题意得：14y=（1+20%）×1y，解得：y=24．经检验知：y=24是原方程的根，2400÷24=100（米）．答：原计划该工程队毎天修路100米．【名师点睛】考查了构造直角三角形通过解直角三角形的方法解决问题，通过找到等量关系利用分式方程解决问题．。
2019中考数学真题分类汇编解析版36 锐角三角函数
一、选择题1.（2019湖南怀化，8，4分）已知∠α为锐角，且sinα=12，则∠α=（ ） A.30° B.45° C.60° D.90° 【答案】A.【思路分析】根据特殊角三角函数值即可得出答案. 【解答过程】解：∵∠α为锐角，且sinα=12， ∴∠α=30°．故选A.【知识点】特殊角的三角函数值2.（2019山东滨州，10，3分）满足下列条件时，△ABC 不是．．直角三角形的为（ ）A ．AB BC ＝4，AC ＝5B ．AB ：BC ：AC ＝3：4：5C ．∠A ：∠B ：∠C ＝3：4：5D ．21cos A tan B 23－－骣ç+çç÷ç桫＝0 【答案】C【思路分析】选项A 和B 用勾股定理进行判断；选项C 利用三角形内角和定理求出各角的度数再进行判断；选项D 中，利用非负数的性质，特殊角的锐角三角函数值求出∠A 和∠B 的度数，再利用内角和进行判断．【解题过程】A 中，∵4＜5，AC 2+BC 2=52+42=41，AB 2=）2=41，∴AC 2+BC 2=AB 2，∴△ABC 是直角三角形；B 中，∵AB ：BC ：AC=3：4：5，设AB=3k ，BC=4k ，AC=5k ，∵AB 2+BC2=（3k ）2+（4k ）2=25k 2，AC 2=（5k ）2=25k 2，∴AB 2+BC 2=AC 2，∴△ABC 是直角三角形；C 中，∠A ：∠B ：∠C=3：4：5，∴∠A =180°×312=45°，∠B=180°×412=60°，∠C=180°×512=75°，∴△ABC 不是直角三角形；D 中，∵21cos A tan B 23－－骣ç+çç÷ç桫=0，又∵1cos A 2－≥0，2tan B 3骣ççç÷ç桫≥0，∴cosA=12，tanB=3，∴∠A=60°，∠B=30°，∴△ABC 是直角三角形．故选C ．【知识点】勾股定理；三角形内角和定理；特殊角的锐角三角函数值；非负数的性质3.（2019四川达州，题号10，3分）矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B （32，2），点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，P 是对角线OB 上一动点（不与原点重合），连接PC ，过点P 作PD ⊥PC 交x 轴于点D ，下列结论：①OA=BC=32；②当点D 运动到OA 的中点处时，PC 2+PD 2=7；③在运动过程中，∠CDP是一个定值；④当△ODP 为等腰三角形时，点D 的坐标为(332,0)，其中正确结论的个数是（） A. 1个 B. 2个 C.3个 D. 4个【答案】D【思路分析】可以结合图形根据题意，逐个判断.【解题过程】已知B （32，2），所以OA=BC=32，故①正确；当点D 运动到OA 的中点处时，OD=3，而OC=2，所以OC 2=7，在直角三角形CPD 中，PC 2+PD 2=7，故②正确；过点P 作PD ⊥PC 交x 轴于点D ，所以在运动过程中，∠CDP 是一个定值，故③正确；当△ODP 为等腰三角形时，OC ⊥BD ，∠CDO=60°所以3=ODOC ，即OD=332，所以点D 的坐标为(332,0)【知识点】勾股定理、锐角三角函数、等腰三角形的性质.4. （2019四川省凉山市，9，4分） 如图，在△A B C 中，CA = CB = 4，cos B 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．第9题图【答案】D【思路分析】过点A 作AD ⊥BC 于点D ，先利用cos C 求CD ，再借助勾股定理求AD 、AB ，最后求sin B ．【解题过程】过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∵cos C =14，AC =4，∴CD =1，∴BD =3，AD =，在Rt △ABD中，AB =sin B =AD AB =，故选D .B第9题答图【知识点】锐角三角函数；勾股定理5. （2019天津市，2，3分）2sin60°的值等于(A) 1 (B) 2(C)3(D)2【答案】C【解析】常用特殊角三角函数值sin60°=321，再乘以2，可得答案C 【知识点】有理数的乘法运算及特殊三角函数值计算.6.（2019浙江省金华市，8，3分）如图，矩形ABCD 的对角线交于点O ，已知AB =m ，∠BAC =∠α，下列结论错误的是（）A. ∠BDC =∠αB.BC = m ·tan αC.AO =2sin m α D.BD =cos mαm D【答案】C ．【解析】由锐角三角函数的定义，得sin α=2BC OA，∴AO =2sin BC α，故选C ．【知识点】锐角三角函数二、填空题1. (2019山东聊城,16,3分)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB ＝90°,∠B ＝60°,DE 为△ABC 的中位线,延长BC 至F,使CF＝12BC,连接FE 并延长交AB 于点M,若BC ＝a,则△FMB 的周长为________.第16题图【答案】92a 【解析】∵BC ＝a,∴CF ＝12BC ＝12a,∴BF ＝32a ∵DE 为△ABC 的中位线,∴DE ∥BF,DE ＝12a,∴△MED ∽△MFB,∴MD ED MB FB =,在Rt △ABC 中,∠ACB ＝90°,∠B ＝60°,∴∠A ＝30°,AB ＝2a,BD ＝a,∴MD ＝12a,MB ＝32a,∵MB ＝FB,∠B ＝60°,△BMF 是等边三角形,周长＝92a.【知识点】三角函数2.（2019山东淄博，17，4分）如图，以A 为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC 中，将B 角折起，使点B 落在AC 边上的点D （不与点A ，C 重合）处，折痕是EF .如图1，当CD ＝12AC 时，13tan ;4α= 如图2，当CD ＝13AC 时，25tan ;12α= 如图3，当CD ＝14AC 时，37tan ;24α= ……依次类推，当CD ＝11AC n +（n 为正整数）时，tan n α=……【答案】21.2(1)n n n ++【解析】当n ＝1时，133tan ;414α==⨯ 当n ＝2时，255tan ;1226α==⨯ 当n ＝3时，377tan ;2438α==⨯ …… ∴2121tan .(22)2(1)n n n n n n n α++==++【知识点】几何变换，规律探究题3.（2019四川乐山，14，3分）如图，在△ABC 中，︒=∠30B ，2=AC ，53cos =C .则AB 边的长为 .第14题图【答案】165第14题答图【解析】解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°在Rt △ADC 中，∵∠ADC ＝90°，53cos =C ，AC ＝2，∴DC=35×2=65，85AD =，在Rt △ADB 中，∠ADB ＝90°，∠B ＝30°．∵sin B=12AD AB =，AB =2AD=165．【知识点】解直角三角形；勾股定理4.（2019四川眉山，16，3分）如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，AB =5，BC =12，将△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△ADE ，使得点D 落在AC 上，则tan ∠ECD 的值为．【答案】32【解题过程】解：在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=5，BC=12，∴，∵△ABC 绕点A 旋转到△ADE，∴ED=BC=12，AD=AB=12，∠ADE=90°，∴CD=AC-AD=13-5=8，∴tan∠ECD=EDDC=128=32，故答案为：3 2 .【知识点】勾股定理，旋转的性质，锐角三角形函数5.（2019四川自贡，18，4分）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网络图中，∠α、∠β如图所示，则cos(α+β)= .【答案】.【解题过程】解：连接BC，∵网络图是由10个完全相同的正三角形构成，∴AD=DE=CE=BE，∠ADE=∠BEC=1200，∴△ADE≌△BEC，∴∠EBC=α.∵∠BEC=1200，BE=CE，∴∠BCE=(1800-1200)÷2=300，∴∠ACB=∠ACE+∠BCE=600+300=900，设小正三角形的边长为a，则AC=2a，BC=a，在Rt△ACB中，AB=.∴cos∠ABC=又∵∠ABC=∠ABE+∠CBE=α+β，∴cos(α+β)=.【知识点】特殊角三角函数，正三角形性质，全等三角形，勾股定理.6.（2019甘肃省，14，3分）在ABC ∆中90C ∠=︒，tan A ，则cos B = ． 【答案】12【解析】解：在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，tan A =，设a =，3b x =，则c =， 1cos 2a B c ∴==． 故答案为12． 【知识点】特殊角的三角函数值 三、解答题1.（2019山东淄博，23，10分）如图1，正方形ABDE 和BCFG 的边AB ，BC 在同一条直线上，且AB ＝2BC ，取EF 的中点M ．连接MD ，MG ，M B ． (1)试证明DM ⊥MG ，并求MBMG的值； (2)如图2，将图1中的正方形变为菱形，设∠EAB ＝2α(0°＜α＜90°)．其它条件不变，问(1)中MBMG的值有变化吗?若有变化，求出该值(用含α的式子表示)；若无变化，说明理由．图2图1ABCDEF MGAB CDEFMG【思路分析】(1)由M 是EF 的中点，构造全等三角形，(2)根据菱形＋∠EAB ＝2α可以设连接特殊线段，根据特殊垂直证明四边形TBFD 为矩形，再设边长为2和1 在直角三角形用α和边长2和1表示出MB 和MG 最后求出比值MBMG=【解题过程】(1)延长GM 交DE 于H ，∵EF 的中点M ，∴EM ＝FM ，∵正方形ABDE 、正方形BCFG ，∴AB ∥DE ∥GF ，∴∠HEM ＝∠GFM ，在△EHM 和△FGM 中，==AMH FMG EM FM HEM GMF ⎧⎪=⎨⎪⎩∠∠∠∠，∴△EHM ≌△FGM (ASA ),∴HM ＝MG ，GF ＝EH ，∵AB ＝2BC ，∴GF ＝EH ＝DH ＝DG ，∴DM 是△HDG 底边上的中线，∴DM ⊥MG ； 设AB ＝4，BC ＝2，易求MB ＝12EF=，MG＝2BC，∴MB MG图2图1ABCDEF MG ABCDEFMGQ T(2)MBMG比值会随着α的变化而变化，理由如下： 连接AM 、EB 、EF 、GC ，DF ，交点为T 、Q由题知AD ⊥EB 、EF ⊥GC ，DF ⊥BF ，∠EAT ＝∠BAT ＝∠GBQ ＝∠CBQ ＝α ∴四边形TBFD 为矩形 ∴DF ＝TB ∵G 为BD 的中点 ∴MG ＝1122DF TB = 由题设AB ＝2，BC ＝1∴EB ＝2BT ＝4sin αFB ＝2BQ ＝2cos α ∴DF ＝TB ＝2sin αMG ＝1122DF TB =＝sin α在RT △EBF 中由勾股定理得EF ∴===∴MB＝2EF∴MBMG＝sin α=【知识点】全等三角形判定，等腰三角形三线合一,倍长中线构造全等图2图1ABCDEF MGAB C DEFMGQ T。
2019全国各地中考数学试题分类汇编-锐角三角函数与特殊角
2019全国各地中考数学试题分类汇编-锐角三角函数与特殊角注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！一.选择题1、〔2018无锡〕sin45°的值等于〔 〕 A 、B 、C 、D 、1考点：特殊角的三角函数值。
分析：根据特殊角度的三角函数值解答即可、 解答：解：sin45°=、应选B 、 2、〔2018兰州〕sin60°的相反数是( ) A 、B 、C 、D 、考点： 特殊角的三角函数值。
分析： 根据特殊角的三角函数值和相反数的定义解答即可、 解答： 解：∵sin60°＝， ∴sin60°的相反数是－，应选C 、 点评： 此题考查特殊角的三角函数值和相反数的定义，要求学生牢记并熟练运用、 3.〔2018·哈尔滨〕如图，在Rt △ABC 中，∠C=900，AC=4，AB=5，那么sinB 的值是( )、(A)23(B)35(C)34(D)45【解析】此题考查了锐角三角函数的意义、解题思路：在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比邻边，故sinB=54,选D.【答案】D【点评】解直角三角形是历年中考中的重要内容，考题灵活多变，考查方法多种多样, 此题要求同学们掌握锐角三角函数的定义，并能熟练地根据它们与直角三角形的三边关系求直角三角形的锐角三角函数值4、〔2018•乐山〕如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，那么sinB的值为〔〕A、B、C、D、1考点：特殊角的三角函数值。
分析：根据AB=2BC直接求sinB的值即可、解答：解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，∴sinA===；∴∠A=30°∴∠B=60°∴sinB=应选B、点评：此题考查了锐角三角函数的定义，解决此题时，直接利用正弦的定义求解即可、5.〔2018山东省〕把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，那么锐角A的正弦函数值〔〕C、扩大为原来的3倍D、不能确定A、不变B、缩小为原来的13【解析】因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的正弦函数值也不变、【答案】选A、【点评】此题考查锐角三角函数的定义，三角函数值只与角的大小有关，与角的边没有关系、6. 〔2018•宁波〕如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosB=，那么BC的长为〔〕A、4B、2C、D、考点：锐角三角函数的定义。
2019年全国各地中考数学试题分类汇编(第二期) 专题27 锐角三角函数与特殊角(含解析)
锐角三角函数与特殊角一.选择题1. （2019•天津•3分）︒60sin 2的值等于A. 1B. 2C. 3D. 2【答案】B【解析】锐角三角函数计算，︒60sin 2=2×23=3，故选A .2.（2019•四川自贡•4分）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则cos （α+β）＝．【分析】给图中各点标上字母，连接DE ，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠α＝30°，同理，可得出：∠CDE ＝∠CED ＝30°＝∠α，由∠AEC ＝60°结合∠AED ＝∠AEC +∠CED 可得出∠AED ＝90°，设等边三角形的边长为a ，则AE ＝2a ，DE ＝a ，利用勾股定理可得出AD 的长，再结合余弦的定义即可求出cos （α+β）的值． 【解答】解：给图中各点标上字母，连接DE ，如图所示． 在△ABC 中，∠ABC ＝120°，BA ＝BC ， ∴∠α＝30°．同理，可得出：∠CDE ＝∠CED ＝30°＝∠α． 又∵∠AEC ＝60°，∴∠AED ＝∠AEC +∠CED ＝90°．设等边三角形的边长为a ，则AE ＝2a ，DE ＝2×sin 60°•a ＝a ，∴AD ＝＝a ， ∴cos （α+β）＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质以及规律型：图形的变化类，构造出含一个锐角等于∠α+∠β的直角三角形是解题的关键．3.（2019•浙江杭州•3分）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（）A．asinx+bsinx B．acosx+bcosxC．asinx+bcosx D．acosx+bsinx【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出点A到OC 的距离，本题得以解决．【解答】解：作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∵∠ABC＝∠AEC，∠BCO＝x，∴∠EAB＝x，∴∠FBA＝x，∵AB＝a，AD＝b，∴FO＝FB+BO＝a•cosx+b•sinx，故选：D．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．4.二.填空题1. （2019•江苏宿迁•3分）如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是＜BC ＜．【分析】当点C在射线AN上运动，△ABC的形状由钝角三角形到直角三角形再到钝角三角形，画出相应的图形，根据运动三角形的变化，构造特殊情况下，即直角三角形时的BC的值．【解答】解：如图，过点B作BC1⊥AN，垂足为C1，BC2⊥AM，交AN于点C2在Rt△ABC1中，AB＝2，∠A＝60°∴∠ABC1＝30°∴AC1＝AB＝1，由勾股定理得：BC1＝，在Rt△ABC2中，AB＝2，∠A＝60°∴∠AC2B＝30°∴AC2＝4，由勾股定理得：BC2＝2，当△ABC是锐角三角形时，点C在C1C2上移动，此时＜BC＜2．故答案为：＜BC＜2．【点评】本题考查解直角三角形，构造直角三角形，利用特殊直角三角形的边角关系或利用勾股定理求解．考察直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识点．2. （2019•浙江杭州•4分）在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cosC＝或．【分析】讨论：若∠B＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，利用勾股定理计算出BC＝x，然后根据余弦的定义求cosC的值；若∠A＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，利用勾股定理计算出BC＝x，然后根据余弦的定义求cosC的值．【解答】解：若∠B＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC＝＝x，所以cosC＝＝＝；若∠A＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC＝＝x，所以cosC＝＝＝；综上所述，cosC的值为或．故答案为或．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握锐角三角函数的定义，灵活运用它们进行几何计算．3. （2019•浙江湖州•12分）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，连结AC，OA＝3，tan∠OAC＝，D是BC的中点．（1）求OC的长和点D的坐标；（2）如图2，M是线段OC上的点，OM＝OC，点P是线段OM上的一个动点，经过P，D，B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连结DE交AB于点F．①将△DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BF的长和点E的坐标；②以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，请直接写出点G运动路径的长．【分析】（1）由OA＝3，tan∠OAC＝＝，得OC＝，由四边形OABC是矩形，得BC＝OA＝3，所以CD＝BC＝，求得D（，）；（2）①由易知得ACB＝∠OAC＝30°，设将△DBF沿DE所在的直线翻折后，点B恰好落在AC上的B'处，则DB'＝DB＝DC，∠BDF＝∠B'DF，所以∠BDB'＝60°，∠BDF＝∠B'DF＝30°，所以BF＝BD•tan30°＝，AF＝BF＝，因为∠BFD＝∠AEF，所以∠B＝∠F AE＝90°，因此△BFD≌△AFE，AE＝BD＝，点E的坐标（，0）；②动点P在点O时，求得此时抛物线解析式为y＝﹣x2+x，因此E（，0），直线DE：y＝﹣x+，F1（3，）；当动点P从点O运动到点M时，求得此时抛物线解析式为y＝﹣x2+x+，所以E（6，0），直线DE：y＝﹣x+，所以F2（3，）；所以点F运动路径的长为F1F2＝＝，即G运动路径的长为．【解答】解：（1）∵OA＝3，tan∠OAC＝＝，∴OC＝，∵四边形OABC是矩形，∴BC＝OA＝3，∵D是BC的中点，∴CD＝BC＝，∴D（，）；（2）①∵tan∠OAC＝，∴∠OAC＝30°，∴∠ACB＝∠OAC＝30°，设将△DBF沿DE所在的直线翻折后，点B恰好落在AC上的B'处，则DB'＝DB＝DC，∠BDF＝∠B'DF，∴∠DB'C＝∠ACB＝30°∴∠BDB'＝60°，∴∠BDF＝∠B'DF＝30°，∵∠B＝90°，∴BF＝BD•tan30°＝，∵AB＝，∴AF＝BF＝，∵∠BFD＝∠AEF，∴∠B＝∠F AE＝90°，∴△BFD≌△AFE（ASA），∴AE＝BD＝，∴OE＝OA+AE＝，∴点E的坐标（，0）；②动点P在点O时，∵抛物线过点P（0，0）、D（，）、B（3，）求得此时抛物线解析式为y＝﹣x2+x，∴E（，0），∴直线DE：y＝﹣x+，∴F1（3，）；当动点P从点O运动到点M时，∵抛物线过点P（0，）、D（，）、B（3，）求得此时抛物线解析式为y＝﹣x2+x+，∴E（6，0），∴直线DE：y＝﹣x+，∴F2（3，）；∴点F运动路径的长为F1F2＝＝，∵△DFG为等边三角形，∴G运动路径的长为．【点评】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质、特殊三角函数以及三角形全等的判定与性质是解题的关键．三.解答题1. （2019•贵阳•8分）如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原理图，图中OP为下水管道口直径，OB为可绕转轴O自由转动的阀门．平时阀门被管道中排出的水冲开，可排出城市污水；当河水上涨时，阀门会因河水压迫而关闭，以防河水倒灌入城中．若阀门的直径OB＝OP＝100cm，OA为检修时阀门开启的位置，且OA＝OB．（1）直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB的取值范围；（2）为了观测水位，当下水道的水冲开阀门到达OB位置时，在点A处测得俯角∠CAB ＝67.5°，若此时点B恰好与下水道的水平面齐平，求此时下水道内水的深度．（结果保留小数点后一位）（＝1.41，sin67.5°＝0.92，cos67.5°＝0.38，tan67.5°＝2.41，sin22.5°＝0.38，cos22.5°＝0.92，tan22.5°＝0.41）【分析】（1）根据题意即可得到结论；（2）根据余角的定义得到∠BAO＝22.5°，根据等腰三角形的性质得到∠BAO＝∠ABO＝22.5°，由三角形的外角的性质得到∠BOP＝45°，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB的取值范围为：90°≤∠POB≤0°；（2）如图，∵∠CAB＝67.5°，∴∠BAO＝22.5°，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO＝22.5°，∴∠BOP＝45°，∵OB＝100，∴OE＝OB＝50，∴PE＝OP﹣OE＝100﹣50≈29.5cm，答：此时下水道内水的深度约为29.5cm．【点评】此题考查了考查俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想与数形结合思想的应用．2. （2019•铜仁•10分）如图，A、B两个小岛相距10km，一架直升飞机由B岛飞往A岛，其飞行高度一直保持在海平面以上的hkm，当直升机飞到P处时，由P处测得B岛和A 岛的俯角分别是45°和60°，已知A、B、P和海平面上一点M都在同一个平面上，且M 位于P的正下方，求h（结果取整数，≈1.732）【解答】解：由题意得，∠A＝30°，∠B＝45°，AB＝10km，在Rt△APM和Rt△BPM中，tanA＝＝，tanB＝＝1，∴AM＝＝h，BM＝h，∵AM+BM＝AB＝10，∴h+h＝10，解得：h＝15﹣5≈6；答：h约为6km．3. （2019•海南•10分）如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C 的距离AC为10海里．（1）填空：∠BAC＝30度，∠C＝45度；（2）求观测站B到AC的距离BP（结果保留根号）．【分析】（1）由题意得：∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠ABC＝90°+15°＝105°，由三角形内角和定理即可得出∠C的度数；（2）证出△BCP是等腰直角三角形，得出BP＝PC，求出P A＝BP，由题意得出BP+BP＝10，解得BP＝5﹣5即可．【解答】解：（1）由题意得：∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠ABC＝90°+15°＝105°，∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝45°；故答案为：30，45；（2）∵BP⊥AC，∴∠BP A＝∠BPC＝90°，∵∠C＝45°，∴△BCP是等腰直角三角形，∴BP＝PC，∵∠BAC＝30°，∴P A＝BP，∵P A+PC＝AC，∴BP+BP＝10，解得：BP＝5﹣5，答：观测站B到AC的距离BP为（5﹣5）海里．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，通过解直角三角形得出方程是解题的关键．4. （2019•江苏扬州•8分）计算或化简：（1）错误！不能通过编辑域代码创建对象。
2019年中考数学试题汇编 锐角三角函数填空题(解析版)
1.（2019年四川省眉山市）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，使得点D落在AC上，则tan∠ECD的值为．【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝13．根据旋转性质可得AE＝13，AD＝5，DE＝12，所以CD＝8．在Rt△CED中根据tan∠ECD＝计算结果．【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝13．根据旋转性质可得AE＝13，AD＝5，DE＝12，∴CD＝8．在Rt△CED中，tan∠ECD＝＝．故答案为．【点评】本题主要考查了旋转的性质以及解直角三角形，难度较小，求出所求三角函数值的直角三角形的对应边长度，根据线段比就可解决问题．2.（2019年湖北省孝感市）如图，在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为60°，点C的仰角为45°，点P到建筑物的距离为PD＝20米，则BC＝（20﹣20）米．【分析】根据正切的定义求出BD，根据等腰直角三角形的性质求出CD，结合图形计算，得到答案．【解答】解：在Rt△PBD中，tan∠BPD＝，则BD＝PD•tan∠BPD＝20，在Rt△PBD中，∠CPD＝45°，∴CD＝PD＝20，∴BC＝BD﹣CD＝20﹣20，故答案为：（20﹣20）．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．3.（2019年湖北省江汉油田）如图，为测量旗杆AB的高度，在教学楼一楼点C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在四楼点D处测得旗杆顶部的仰角为30°，点C与点B在同一水平线上．已知CD＝9.6m，则旗杆AB的高度为14.4m．【分析】作DE⊥AB于E，则∠AED＝90°，四边形BCDE是矩形，得出BE＝CD＝9.6m，∠CDE＝∠DEA＝90°，求出∠ADC＝120°，证出∠CAD＝30°＝∠ACD，得出AD＝CD＝9.6m，在Rt△ADE中，由直角三角形的性质得出AE＝AD＝4.8m，即可得出答案．【解答】解：作DE⊥AB于E，如图所示：则∠AED＝90°，四边形BCDE是矩形，∴BE＝CD＝9.6m，∠CDE＝∠DEA＝90°，∴∠ADC＝90°+30°＝120°，∵∠ACB＝60°，∴∠ACD＝30°，∴∠CAD＝30°＝∠ACD，∴AD＝CD＝9.6m，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴AE＝AD＝4.8m，∴AB＝AE+BE＝4.8m+9.6m＝14.4m；故答案为：14.4．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定；正确作出辅助线是解题的关键．4.（2019年贵州省毕节市）三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是15﹣5．【分析】过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝45°，进而可得出答案．【解答】解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝10 ，∵AB∥CF，∴BM＝BC×sin30°＝＝5，CM＝BC×cos30°＝15，在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，∴∠EDF＝45°，∴MD＝BM＝5 ，∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5 ．故答案是：15﹣5．【点评】本题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．5.（2019年广东省）如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC 的高度是（15+15）米（结果保留根号）．【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角三角形△BEC、△ABE，进而可解即可求出答案．【解答】解：过点B作BE⊥AB于点E，在Rt△BEC中，∠CBE＝45°，BE＝15；可得CE＝BE×tan45°＝15米．在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，BE＝15，可得AE＝BE×tan30°＝15米．故教学楼AC的高度是AC＝15米．答：教学楼AC的高度是（15）米．【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．6.（2019年湖南省株洲市）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，在直线x＝1处放置反光镜Ⅰ，在y轴处放置一个有缺口的挡板Ⅱ，缺口为线段AB，其中点A（0，1），点B在点A上方，且AB＝1，在直线x＝﹣1处放置一个挡板Ⅲ，从点O发出的光线经反光镜Ⅰ反射后，通过缺口AB照射在挡板Ⅲ上，则落在挡板Ⅲ上的光线的长度为 1.5．【分析】当光线沿O、G、B、C传输时，由tan∠OGH＝tan∠CGE，即：，即：，解得：a＝1，求出y C＝1+2＝3，同理可得：y D＝1.5，即可求解．【解答】解：当光线沿O、G、B、C传输时，过点B作BF⊥GH于点F，过点C作CE⊥GH于点E，则∠OGH＝∠CGE＝α，设GH＝a，则GF＝2﹣a，则tan∠OGH＝tan∠CGE，即：，即：，解得：a＝1，则α＝45°，∴GE＝CE＝2，y C＝1+2＝3，当光线反射过点A时，同理可得：y D＝1.5，落在挡板Ⅲ上的光线的长度＝CD＝3﹣1.5＝1.5，故答案为1.5．【点评】本题考查的是坐标与图形的变化，涉及到一次函数、解直角三角形等知识，本题关键是弄懂题意，正确画图．7.（2019年浙江省杭州市）在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cos C＝或．【分析】讨论：若∠B＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，利用勾股定理计算出BC＝x，然后根据余弦的定义求cos C的值；若∠A＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，利用勾股定理计算出BC＝x，然后根据余弦的定义求cos C的值．【解答】解：若∠B＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC＝＝x，所以cos C＝＝＝；若∠A＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC＝＝x，所以cos C＝＝＝；综上所述，cos C的值为或．故答案为或．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握锐角三角函数的定义，灵活运用它们进行几何计算．8.（2019年浙江省湖州市）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图2是支撑杆的平面示意图，AB和CD分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD＝α．若AO＝85cm，BO＝DO＝65cm．问：当α＝74°时，较长支撑杆的端点A离地面的高度h约为120cm．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．）【分析】过O作OE⊥BD，过A作AF⊥BD，可得OE∥AF，利用等腰三角形的三线合一得到OE为角平分线，进而求出同位角的度数，在直角三角形AFB中，利用锐角三角函数定义求出h即可．【解答】解：过O作OE⊥BD，过A作AF⊥BD，可得OE∥AF，∵BO＝DO，∴OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠BOD＝×74°＝37°，∴∠F AB＝∠BOE＝37°，在Rt△ABF中，AB＝85+65＝150cm，∴h＝AF＝AB•cos∠F AB＝150×0.8＝120cm，故答案为：120【点评】此题考查了解直角三角形的应用，弄清题中的数据是解本题的关键．9.（2019年四川省乐山市）如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝2，cos C＝．则AB边的长为．【分析】如图，作AH⊥BC于H．解直角三角形求出AH，再根据AB＝2AH即可解决问题．【解答】解：如图，作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，AC＝2，COSC＝，∴＝，∴CH＝，∴AH＝＝＝，在Rt△ABH中，∵∠AHB＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AH＝，故答案为．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．10.（2019年甘肃省天水市）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么sin∠EFC的值为．【分析】先根据矩形的性质得AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，再根据折叠的性质得AF＝AD ＝5，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF＝4，则CF＝BC﹣BF＝1，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2+12＝（3﹣x）2，解方程即可得到x，进一步得到EF的长，再根据正弦函数的定义即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，∴AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt△ABF中，∵BF＝＝4，∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x在Rt△ECF中，∵CE2+FC2＝EF2，∴x2+12＝（3﹣x）2，解得x＝，∴EF＝3﹣x＝，∴sin∠EFC＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．11.（2019年浙江省丽水市）图2，图3是某公共汽车双开门的俯视示意图，ME、EF、FN是门轴的滑动轨道，∠E＝∠F＝90°，两门AB、CD的门轴A、B、C、D都在滑动轨道上，两门关闭时（图2），A、D分别在E、F处，门缝忽略不计（即B、C重合）；两门同时开启，A、D分别沿E→M，F→N的方向匀速滑动，带动B、C滑动：B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启，已知AB＝50cm，CD＝40cm．（1）如图3，当∠ABE＝30°时，BC＝90﹣45cm．（2）在（1）的基础上，当A向M方向继续滑动15cm时，四边形ABCD的面积为2256 cm2．【分析】（1）先由已知可得B、C两点的路程之比为5：4，再结合B运动的路程即可求出C运动的路程，相加即可求出BC的长；（2）当A向M方向继续滑动15cm时，AA'＝15cm，由勾股定理和题目条件得出△A'EB'、△D'FC'和梯形A'EFD'边长，即可利用割补法求出四边形四边形ABCD的面积．【解答】解：∵A、D分别在E、F处，门缝忽略不计（即B、C重合）且AB＝50cm，CD＝40cm．∴EF＝50+40＝90cm∵B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启，∴B、C两点的路程之比为5：4（1）当∠ABE＝30°时，在Rt△ABE中，BE＝AB＝25cm，∴B运动的路程为（50﹣25）cm∵B、C两点的路程之比为5：4∴此时点C运动的路程为（50﹣25）×＝（40﹣20）cm∴BC＝（50﹣25）+（40﹣20）＝（90﹣45）cm故答案为：90﹣45；（2）当A向M方向继续滑动15cm时，设此时点A运动到了点A'处，点B、C、D分别运动到了点B'、C'、D'处，连接A'D'，如图：则此时AA'＝15cm∴A'E＝15+25＝40cm由勾股定理得：EB'＝30cm，∴B运动的路程为50﹣30＝20cm∴C运动的路程为16cm∴C'F＝40﹣16＝24cm由勾股定理得：D'F＝32cm，∴四边形A'B'C'D'的面积＝梯形A'EFD'的面积﹣△A'EB'的面积﹣△D'FC'的面积＝﹣30×40﹣24×32＝2256cm2．∴四边形ABCD的面积为2256cm2．故答案为：2256．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．12.（2019年浙江省丽水市）如图，在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪．量角器的0刻度线AB对准楼顶时，铅垂线对应的读数是50°，则此时观察楼顶的仰角度数是40°．【分析】过A点作AC⊥OC于C，根据直角三角形的性质可求∠OAC，再根据仰角的定义即可求解．【解答】解：过A点作AC⊥OC于C，∵∠AOC＝50°，∴∠OAC＝40°．故此时观察楼顶的仰角度数是40°．故答案为：40°．【点评】考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，仰角是向上看的视线与水平线的夹角，关键是作出辅助线构造直角三角形求出∠OAC的度数．13.（2019年浙江省宁波市）如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为456米．（精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）【分析】通过解直角△OAC求得OC的长度，然后通过解直角△OBC求得OB的长度即可．【解答】解：如图，设线段AB交y轴于C，在直角△OAC中，∠ACO＝∠CAO＝45°，则AC＝OC．∵OA＝400米，∴OC＝OA•cos45°＝400×＝200（米）．∵在直角△OBC中，∠COB＝60°，OC＝200米，∴OB＝＝＝400≈456（米）故答案是：456．【点评】考查了解直角三角形的应用﹣方向角的问题．此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．14.（2019年浙江省衢州市）如图，人字梯AB，AC的长都为2米，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是 1.5米（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）．【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【解答】解：∵sinα＝，∴AD＝AC•sinα≈2×0.77＝1.5，故答案为：1.5【点评】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．15.（2019年四川省绵阳市）在△ABC中，若∠B＝45°，AB＝10，AC＝5，则△ABC的面积是75或25．【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，通过解直角三角形及勾股定理可求出AD，BD，CD的长，进而可得出BC的长，再利用三角形的面积公式可求出△ABC的面积．【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．在Rt△ABD中，AD＝AB•sin B＝10，BD＝AB•cos B＝10；在Rt△ACD中，AD＝10，AC＝5，∴CD＝＝5，∴BC＝BD+CD＝15或BC＝BD﹣CD＝5，∴S△ABC＝BC•AD＝75或25．故答案为：75或25．【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面积，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD，BC的长度是解题的关键．16.（2019年甘肃省）在△ABC中∠C＝90°，tan A＝，则cos B＝．【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解．【解答】解：利用三角函数的定义及勾股定理求解．∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，设a＝x，b＝3x，则c＝2x，∴cos B＝＝．故答案为：．【点评】此题考查的知识点是特殊角的三角函数值，关键明确求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．17.（2019年江苏省盐城市）如图，在△ABC中，BC＝+，∠C＝45°，AB＝AC，则AC的长为2．【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为点D，设AC＝x，则AB＝x，在Rt△ACD中，通过解直角三角形可得出AD，CD的长，在Rt△ABD中，利用勾股定理可得出BD的长，由BC＝BD+CD结合BC＝+可求出x的值，此题得解．【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为点D，如图所示．设AC＝x，则AB＝x．在Rt△ACD中，AD＝AC•sin C＝x，CD＝AC•cos C＝x；在Rt△ABD中，AB＝x，AD＝x，∴BD＝＝．∴BC＝BD+CD＝x+x＝+，∴x＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理以及解一元一次方程，通过解直角三角形及勾股定理，找出BC与AC之间的关系是解题的关键．18.（2019年浙江省温州市）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝2019年浙江省温州市米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝2019年浙江省温州市米，晾衣臂支架HG＝FE＝2019年浙江省温州市米，且HO＝FO＝2019年浙江省温州市米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM 为（5+5）分米；当OB从水平状态旋转到OB'（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB'上的点E'处，则B'E'﹣BE为4分米．【分析】如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可．【解答】解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．∵AM⊥CD，∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°，∴四边形OQMP是矩形，∴QM＝OP，∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°，∴△COD是等边三角形，∵OP⊥CD，∴∠COP＝∠COD＝30°，∴QM＝OP＝OC•cos30°＝5（分米），∵∠AOC＝∠QOP＝90°，∴∠AOQ＝∠COP＝30°，∴AQ＝OA＝5（分米），∴AM＝AQ+MQ＝5+5．∵OB∥CD，∴∠BOD＝∠ODC＝60°在Rt△OFK中，KO＝OF•cos60°＝2（分米），FK＝OF•sin60°＝2（分米），在Rt△PKE中，EK＝＝2（分米）∴BE＝10﹣2﹣2＝（8﹣2）（分米），在Rt△OFJ中，OJ＝OF•cos60°＝2（分米），FJ＝2（分米），在Rt△FJE′中，E′J＝＝2，∴B′E′＝10﹣（2﹣2）＝12﹣2，∴B′E′﹣BE＝4．故答案为5+5，4．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．19.（2019年山东省德州市）如图，一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO＝70°，如果梯子的底端B外移到D，则梯子顶端A下移到C，这时又测得∠CDO＝50°，那么AC的长度约为 1.02米．（sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）【分析】直接利用锐角三角函数关系得出AO，CO的长，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：∵∠ABO＝70°，AB＝6m，∴sin70°＝＝≈0.94，解得：AO＝5.64（m），∵∠CDO＝50°，DC＝6m，∴sin50°＝≈0.77，解得：CO＝4.62（m），则AC＝5.64﹣4.62＝1.02（m），答：AC的长度约为1.02米．故答案为：1.02．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出AO，CO的长是解题关键．20.（2019年四川省自贡市）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则cos（α+β）＝．【分析】给图中各点标上字母，连接DE，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠α＝30°，同理，可得出：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α，由∠AEC＝60°结合∠AED＝∠AEC+∠CED可得出∠AED＝90°，设等边三角形的边长为a，则AE＝2a，DE＝a，利用勾股定理可得出AD的长，再结合余弦的定义即可求出cos（α+β）的值．【解答】解：给图中各点标上字母，连接DE，如图所示．在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝BC，∴∠α＝30°．同理，可得出：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α．又∵∠AEC＝60°，∴∠AED＝∠AEC+∠CED＝90°．设等边三角形的边长为a，则AE＝2a，DE＝2×sin60°•a＝a，∴AD＝＝a，∴cos（α+β）＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质以及规律型：图形的变化类，构造出含一个锐角等于∠α+∠β的直角三角形是解题的关键．21.（2019年山东省枣庄市）如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为9.5m．（精确到0.1m．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【分析】根据三角函数和直角三角形的性质解答即可．【解答】解：过D作DE⊥AB，∵在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，∴∠ADE＝53°，∵BC＝DE＝6m，∴AE＝DE•tan53°≈6×1.33≈7.98m，∴AB＝AE+BE＝AE+CD＝7.98+1.5＝9.48m≈9.5m，故答案为：9.5【点评】此题考查了考查仰角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想与数形结合思想的应用．。
2019年数学中考典型题赏析：锐角三角函数考题扫描(含解析)
设最小角为 α ,则 sin α = 6 设较大角为 α ,则 sin α = 42锐角三角函数考题扫描姚万里,男,数学高级教师,河南省首届骨干教师,河南省优秀辅导员,河南省优秀论文一 等奖获得者;洛阳市首届名师;洛阳市优秀教师,洛阳市优秀论文一等奖获得者,洛阳市优质 课一等奖获得者,洛阳市优秀班主任;伊川县名师;伊川县兼职教研员.锐角三角函数是非常重要的知识,它的应用十分广泛,与它联系的考题很多.下面把锐角 三角函数的考题简单归类,以供同学们学习锐角三角函数时予以参考,以起抛砖引玉.例 1.直角三角形的三边是连续偶数,求最小角的三角函数值.分析:设较长的直角边为 x ,则较短的直角边为 x - 2 ,斜边为 x + 2 .由勾股定理列方程 先求出三边的长,再利用锐角三角函数的定义求解.解:设较长的直角边为 x ,则较短的直角边为 x - 2 ,斜边为 x + 2 .由勾股定理,得 x 2 + (x - 2)2 = (x + 2)2 .解这个方程,得 x = 0, x = 8 . 1 2∵边长为正数,∴ x = 8 .∴ x - 2 = 8 - 2 = 6, x + 2 = 8 + 2 = 10 .3 84 6 3 = , cos α = = , tan α = = . 105 10 5 8 4点评:列方程求边长是解本题的着眼点.例 2.三角形的三边是连续整数 3,4,5,求较大角的三角函数值.分析:先判断三角形是直角三角形,再利用锐角三角函数的定义求解.解:∵ 32 + 4 2 = 5 2 ,∴三角形是直角三角形.3 4 , cos α = , tan α = . 5 5 3点评:判断三角形是直角三角形是解本题的切入口.例 3.在 ∆ABC 中, ∠C = 90 ,AB:BC=5:3,求锐角 A 的三角函数值.分析:先设 AB=5k,BC=3k,则 AC= (5k )2 - (3k )2 = 4k .再利用锐角三角函数的定义求 解.解:设 AB=5k,BC=3k,则 AC= (5k )2 - (3k )2 = 4k .∴ sin A = 3k 3 4k 4 3k 3 = , cos A = = , tan A = = . 5k 5 5k 5 4k 4点评:设未知数是解本题的突破口. 例 4.在 ∆ABC 中,若 ( 2 sin A - 1) + cos A - 2 2= 0 ,则 ∆ABC 是____________. 分析:先利用非负数的性质求出三角形各内角的度数,再判断三角形的形状.)2 sin A - 1 2 + cos A - = 0 ,∴ ⎨ 2 ⎪cos A - = 0. ⎧⎪∠A = 45 , ⎪cos A = 2 . ⎩ ⎩c解:∵ ( ⎧ 2 sin A - 1 = 0,2 ⎪ 2 ⎩ 2 ⎧ 2 ⎪sin A = , ⎪ 2 ∴ ⎨ ∴ ⎨ ⎪∠B = 45 . ⎪ 2∴ a = b , ∠C = 90 .∴ ∆ABC 是等腰直角三角形.点评:利用非负数的性质使问题迎刃而解.例 5. a 、b 、c 是 ∆ABC 的三边 ,若关于 x 的方程 (c + b )x 2 - 2ax + c - b = 0 有两个相等的实数根,且 sin B ⋅ cos A = cos B ⋅ sin A ,则 ∆ABC 是____________.分析:先利用方程 (c + b )x 2 - 2ax + c - b = 0 有两个相等的实数根求出 a 2 + b 2 = c 2 .于是 ∆ABC 是直角三角形.由 sin B ⋅ cos A = cos B ⋅ sin A 得 ∆ABC 是等腰直角三角形.解:∵方程 (c + b )x 2 - 2ax + c - b = 0 有两个相等的实数根,∴ (- 2a )2 - 4(c + b )( - b ) = 4a 2 - 4c 2 + 4b 2 = 0 .∴ a 2 - c 2 + b 2 = 0 .∴ a 2 + b 2 = c 2 .∴ ∆ABC 是直角三角形.∴ sin B = b b a a , cos A = , cos B = , sin A = c c c c∵ sin B ⋅ cos A = cos B ⋅ sin A ,b b a a ∴ ⋅ = ⋅ .c c c c∴ b 2 = a 2 .∴ b = a .∴ ∆ABC 是等腰直角三角形.点评:利用根的判别式使问题巧妙解决.例 6.在 ∆ABC 中, ∠C = 90 ,若 25sin A ⋅ a = 9c ,且 a + b = 4 + c ,求 ∆ABC 的三边的长.分 析 : 由 25sin A ⋅ a = 9c 得 25a 2 = 9c 2 . 所 以 a 2 9 a 3 = . 因此 = . 设 c 2 25 c 5解:作AD⊥BC于点D,则cosB=BDa=3k,c=5k,则b=(5k)2-(3k)2=4k.再代入a+b=4+c问题可以获解.解:∵∆ABC是直角三角形,∴sinA=∵25sin A⋅a=9c,∴25⋅a⋅a=9c. ca29a3=.∴=.∴c225c5a c.设a=3k,c=5k,则b=(5k)2-(3k)2=4k.∵a+b=4+c,∴3k+4k=4+5k.∴k=2.∴a=6,b=8,c=10.点评:巧设未知数使问题化繁为简.例7.如图1,在∆ABC中,若c⋅cos B=b⋅cos C,则∆ABC是____________.分析:作AD⊥BC于点D,则BD=c⋅cos B,CD=b⋅cos C.因此可以证明AD是线段BC的垂直平分线.所以∆ABC是等腰三角形.CD,cosC=.c b∴BD=c⋅cos B,CD=b⋅cos C.∵c⋅cos B=b⋅cos C,图1∴BD=CD.∴AD是线段BC的垂直平分线.∴b=c.∴∆ABC是等腰三角形.点评:作垂线转化为直角三角形使问题柳暗花明.例8.如图2,在∆ABC中,∠C=90 ,∠CBA=30 ,求tan15 的值.分析:延长CB到点D,使BD=BA,连结AD,则∠D=∠DAB=15 .然后可以求出tan15 的值.解:延长CB到点D,使BD=BA,连结AD,则∠D=∠DAB=15 .设AC=1,则AB=DB=2.∴BC=∴tan15 =22-12=3.12+3=2-3.( 点评:延长线段构造等腰三角形使问题捷足先登.ACB图 2图 3 例 9.若 sin α =5 , α 为锐角,求 cos α 的值.13 分析:如图 3,作 ∆ABC ,使 ∠C = 90 , ∠B = α ,则 cos α 的值可以求出.解:作 ∆ABC ,使 ∠C = 90 , ∠B = α ,则 sin B = sin α = 513 .∴ b 5 = .设 b = 5k , c = 13k ,则 a = c 13 13k )2 - (5k )2 = 12k .∴cos α = 12k 12 = . 13k 13点评:构造直角三角形使问题出奇制胜. 例 10.若 sin α + cos α = 5 3, α 为锐角,求 sin α ⋅ cos α 的值. 5 25 分析 : 将 sin α + cos α = 的两边平方 , 得 sin 2 α + 2 sin α ⋅ cos α + cos 2 α = . 由 3 9sin 2 α + cos 2 α = 1 可以求出 sin α ⋅ cos α 的值.解:∵ sin α + cos α = 5 25 ,∴ sin 2 α + 2 sin α ⋅ cos α + cos 2 α = . 3 925 ∵sin 2 α + cos 2 α = 1 ,∴1 + 2 sin α ⋅ cos α = . 9 16 8 ∴ 2 sin α ⋅ cos α = .∴ sin α ⋅ cos α = . 9 9点评:利用两边平方转化使问题巧夺天工.。
2019届数学中考真题汇编 锐角三角函数
中考数学真题汇编:锐角三角函数一、选择题1.的值等于（）A. B.C.1 D.【答案】B2.如图，过点，，，点是轴下方上的一点，连接，，则的度数是（）A. B.C.D.【答案】B3.如图，一把直尺，的直角三角板和光盘如图摆放，为角与直尺交点，,则光盘的直径是( )A.3B.C.D.【答案】D4.如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角，升旗台底部到教学楼底部的距离米，升旗台坡面CD的坡度，坡长米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离米，则旗杆AB的高度约为（）（参考数据：，，）A. 12.6米B. 13.1米 C. 14.7米 D. 16.3米【答案】B5.一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（结果保留小数点后两位）（参考数据：）（）A. 4.64海里B. 5.49海里 C. 6.12海里 D. 6.21海里【答案】B6.如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为（）A. B.C.D.【答案】B7. 如图，已知在中，，，，则的值是（ ）A.B.C.D.【答案】A8. 如图，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线AC 与BC 相互垂直，∠CAB=α，则拉线BC 的长度为（A 、D 、B 在同一条直线上）（ ）A. B.C.D. h•cos α 【答案】B 二、填空题9.如图．一-艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在 处测得岛礁 在东北方向上，继续航行1．5小时后到达 处此时测得岛礁 在北偏东 方向,同时测得岛礁 正东方向上的避风港在北偏东方向为了在台风到来之前用最短时间到达处,渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行________小时即可到达 (结果保留根号)【答案】10.如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子长BC=16m，则tanC=________。
2018-2019学年湖南省各市中考复习数学真题汇编解答题综合练：《锐角三角函数》(含解析)
2018-2019年湖南省各市中考复习数学真题汇编解答题综合练：《锐角三角函数》1．（2019•资阳）如图，南海某海域有两艘外国渔船A、B在小岛C的正南方向同一处捕鱼．一段时间后，渔船B沿北偏东30°的方向航行至小岛C的正东方向20海里处．（1）求渔船B航行的距离；（2）此时，在D处巡逻的中国渔政船同时发现了这两艘渔船，其中B渔船在点D的南偏西60°方向，A渔船在点D的西南方向，我渔政船要求这两艘渔船迅速离开中国海域．请分别求出中国渔政船此时到这两艘外国渔船的距离．（注：结果保留根号）2．（2019•永州）为了测量某山（如图所示）的高度，甲在山顶A测得C处的俯角为45°，D处的俯角为30°，乙在山下测得C，D之间的距离为400米．已知B，C，D在同一水平面的同一直线上，求山高AB．（可能用到的数据：≈1.414，≈1.732）3．（2019•湘潭）我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点M处垂直海面发射，当火箭到达点A处时，海岸边N处的雷达站测得点N到点A的距离为8千米，仰角为30°．火箭继续直线上升到达点B处，此时海岸边N处的雷达测得B处的仰角增加15°，求此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离．（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）4．（2019•娄底）如图，某建筑物CD高96米，它的前面有一座小山，其斜坡AB的坡度为i＝1：1．为了测量山顶A的高度，在建筑物顶端D处测得山顶A和坡底B的俯角分别为α、β．已知tanα＝2，tanβ＝4，求山顶A的高度AE（C、B、E在同一水平面上）．5．（2019•邵阳）某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且OB＝OE；支架BC与水平线AD垂直．AC＝40cm，∠ADE＝30°，DE＝190cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD＝65°，求OB的长度（结果精确到1cm；温馨提示：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）6．（2019•张家界）天门山索道是世界最长的高山客运索道，位于张家界天门山景区．在一次检修维护中，检修人员从索道A处开始，沿A﹣B﹣C路线对索道进行检修维护．如图：已知AB＝500米，BC＝800米，AB与水平线AA1的夹角是30°，BC与水平线BB1的夹角是60°．求：本次检修中，检修人员上升的垂直高度CA1是多少米？（结果精确到1米，参考数据：≈1.732）7．（2019•常德）图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A 处，手柄长AB＝25cm，AB与墙壁DD′的夹角∠D′AB＝37°，喷出的水流BC与AB形成的夹角∠ABC＝72°，现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使DE＝50cm，CE＝130cm．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）．8．（2019•郴州）如图所示，巡逻船在A处测得灯塔C在北偏东45°方向上，距离A处30km．在灯塔C的正南方向B处有一渔船发出求救信号，巡逻船接到指示后立即前往施救．已知B处在A处的北偏东60°方向上，这时巡逻船与渔船的距离是多少？（精确到0.01km．参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）9．（2019•岳阳）慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如图，小亮的目高CD为1.7米，他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°，小琴的目高EF为1.5米，她站在距离塔底中心B点a米远的F处，测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°．（点D、B、F在同一水平线上，参考数据：sin62.3°≈0.89，cos62.3°≈0.46，tan62.3°≈1.9）（1）求小亮与塔底中心的距离BD；（用含a的式子表示）（2）若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度AB．10．（2019•怀化）如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸B处测得对岸A处一棵柳树位于北偏东60°方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达C处，此时测得柳树位于北偏东30°方向，试计算此段河面的宽度．11．（2019•株洲）小强的爸爸准备驾车外出．启动汽车时，车载报警系统显示正前方有障碍物，此时在眼睛点A处测得汽车前端F的俯角为α，且tanα＝，若直线AF与地面l1相交于点B，点A到地面l1的垂线段AC的长度为1.6米，假设眼睛A处的水平线l2与地面l1平行．（1）求BC的长度；（2）假如障碍物上的点M正好位于线段BC的中点位置（障碍物的横截面为长方形，且线段MN为此长方形前端的边），MN⊥l1，若小强的爸爸将汽车沿直线l1后退0.6米，通过汽车的前端F1点恰好看见障碍物的顶部N点（点D为点A的对应点，点F1为点F 的对应点），求障碍物的高度．12．（2019•衡阳）如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D 处测得楼房顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°．已知坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1：（坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求楼房AB高度．（结果精确到0.1米）（参考数据：≈1.73，≈1.41）13．（2018•湘西州）如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C．经测量，C位于A的北偏东60°的方向上，C位于B的北偏东30°的方向上，且AB＝10km．（1）求景点B与C的距离；（2）为了方便游客到景点C游玩，景区管委会准备由景点C向公路l修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（结果保留根号）14．（2018•郴州）小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B，C的俯角分别为∠EAB＝60°，∠EAC＝30°，且D，B，C在同一水平线上．已知桥BC＝30米，求无人机飞行的高度AD．（精确到0.01米．参考数据：≈1.414，≈1.732）15．（2018•邵阳）某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，坡角∠ABD为30°；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度，（结果精确到0．lm，温馨提示：sin15°≈0.26，cos l5°≈0.97，tan15°≈0.27）16．（2018•湘潭）随着航母编队的成立，我国海军日益强大．2018年4月12日，中央军委在南海海域隆重举行海上阅兵，在阅兵之前我军加强了海上巡逻，如图，我军巡逻舰在某海域航行到A处时，该舰在观测点P的南偏东45°的方向上，且与观测点P的距离PA为400海里；巡逻舰继续沿正北方向航行一段时间后，到达位于观测点P的北偏东30°方向上的B处，问此时巡逻舰与观测点P的距离PB为多少海里？（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果精确到1海里）．17．（2018•常德）图1是一商场的推拉门，已知门的宽度AD＝2米，且两扇门的大小相同（即AB＝CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，≈1.4）18．（2018•长沙）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB 行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC＝80千米，∠A＝45°，∠B＝30°．（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）19．（2018•衡阳）一名徒步爱好者来衡阳旅行，他从宾馆C出发，沿北偏东30°的方向行走2000米到达石鼓书院A处，参观后又从A处沿正南方向行走一段距离，到达位于宾馆南偏东45°方向的雁峰公园B处，如图所示．（1）求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离；（2）若这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，那么他在15分钟内能否到达宾馆？参考答案1．解：（1）由题意得，∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，BC＝20，∴AB＝2BC＝40海里，答：渔船B航行的距离是40海里；（2）过B作BE⊥AE于E，过D作DH⊥AE于H，延长CB交DH于G，则四边形AEBC和四边形BEHG是矩形，∴BE＝GH＝AC＝20，AE＝BC＝20，设BG＝EH＝x海里，∴AH＝x+20，由题意得，∠BDG＝60°，∠ADH＝45°，∴x，DH＝AH，∴20+x＝x+20，解得：x＝20，∴BG＝20，AH＝20+20，∴BD＝＝40，AD＝AH＝20+20，答：中国渔政船此时到外国渔船B的距离是40海里，到外国渔船A的距离是（20+20）海里．2．解：设AB＝x，由题意可知：∠ACB＝45°，∠ADB＝30°，∴AB＝BC＝x，∴BD＝BC+CD＝x+400，在Rt△ADB中，∴tan30°＝，∴＝，解得：x＝≈546.4，经检验，x≈546.4是原分式方程的解，∴山高AB为546.4米．3．解：如图所示：连接MN，由题意可得：∠AMN＝90°，∠ANM＝30°，∠BNM＝45°，AN ＝8km，在直角△AMN中，MN＝AN•cos30°＝8×＝4（km）．在直角△BMN中，BM＝MN•tan45°＝4km≈6.9km．答：此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离约为6.9km．4．解：如图，作AF⊥CD于F．设AE＝x米．∵斜坡AB的坡度为i＝1：1，∴BE＝AE＝x米．在Rt△BDC中，∵∠C＝90°，CD＝96米，∠DBC＝∠β，∴BC＝＝＝24（米），∴EC＝EB+BC＝（x+24）米，∴AF＝EC＝（x+24）米．在Rt△ADF中，∵∠AFD＝90°，∠DAF＝∠α，∴DF＝AF•tanα＝2（x+24）米，∵DF＝DC﹣CF＝DC﹣AE＝（96﹣x）米，∴2（x+24）＝96﹣x，解得x＝16．故山顶A的高度AE为16米．5．解：设OE＝OB＝2xcm，∴OD＝DE+OE＝190+2x，∵∠ADE＝30°，∴OC＝OD＝95+x，∴BC＝OC﹣OB＝95+x﹣2x＝95﹣x，∵tan∠BAD＝，∴2.14＝，解得：x≈9.4cm，∴OB＝2x≈19cm．6．解：如图，过点B作BH⊥AA1于点H．在Rt△ABH中，AB＝500，∠BAH＝30°，∴BH＝AB＝（米），∴A1B1＝BH＝250（米），在Rt△BB1C中，BC＝800，∠CBB1＝60°，∴，∴B1C＝＝400（米），∴检修人员上升的垂直高度CA1＝CB1+A1B1＝400+250≈943（米）答：检修人员上升的垂直高度CA1为943米．7．解：过点B作BG⊥D′D于点G，延长EC、GB交于点F，∵AB＝25，DE＝50，∴sin37°＝，cos37°＝，∴GB≈25×0.60＝15，GA≈25×0.80＝20，∴BF＝50﹣15＝35，∵∠ABC＝72°，∠D′AB＝37°，∴∠GBA＝53°，∴∠CBF＝55°，∴∠BCF＝35°，∵tan35°＝，∴CF≈＝50，∴FE＝50+130＝180，∴GD＝FE＝180，∴AD＝180﹣20＝160，∴安装师傅应将支架固定在离地面160cm的位置．8．解：延长CB交过A点的正东方向于D，如图所示：则∠CDA＝90°，由题意得：AC＝30km，∠CAD＝90°﹣45°＝45°，∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∴AD＝CD＝AC＝15，AD＝BD，∴BD＝＝5，∴AB＝＝＝10≈10×2.449≈24.49（km）；答：巡逻船与渔船的距离约为24.49km．9．解：（1）由题意得，四边形CDBG、HBFE为矩形，∴GB＝CD＝1.7，HB＝EF＝1.5，∴GH＝0.2，在Rt△AHE中，tan∠AEH＝，则AH＝HE•tan∠AEH≈1.9a，∴AG＝AH﹣GH＝1.9a﹣0.2，在Rt△ACG中，∠ACG＝45°，∴CG＝AG＝1.9a﹣0.2，∴BD＝1.9a﹣0.2，答：小亮与塔底中心的距离BD为（1.9a﹣0.2）米；（2）由题意得，1.9a﹣0.2+a＝52，解得，a＝18，则AG＝1.9a﹣0.2＝34，∴AB＝AG+GB＝34+1.7＝35.7，答：慈氏塔的高度AB为35.7米．10．解：如图，作AD⊥BC于D．由题意可知：BC＝1.5×40＝60米，∠ABD＝30°，∠ACD＝60°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝30°，∴∠ABC＝∠BAC，∴BC＝AC＝60米．在Rt△ACD中，AD＝AC•sin60°＝60×＝30（米）．答：这条河的宽度为30米．11．解：（1）由题意得，∠ABC＝∠α，在Rt△ABC中，AC＝1.6，tan∠ABC＝tanα＝，∴BC＝＝＝4.8m，答：BC的长度为4.8m；（2）过D作DH⊥BC于H，则四边形ADHC是矩形，∴AD＝CH＝BE＝0.6，∵点M是线段BC的中点，∴BM＝CM＝2.4米，∴EM＝BM﹣BE＝1.8，∵MN⊥BC，∴MN∥DH，∴△EMN∽△EHD，∴＝，∴＝，∴MN＝0.6，答：障碍物的高度为0.6米．12．解：过D作DG⊥BC于G，DH⊥AB于H，交AE于F，作FP⊥BC于P，如图所示：则DG＝FP＝BH，DF＝GP，∵坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1：，∴∠DCG＝30°，∴FP＝DG＝CD＝5，∴CG＝DG＝5，∵∠FEP＝60°，∴FP＝EP＝5，∴EP＝，∴DF＝GP＝5+10+＝+10，∵∠AEB＝60°，∴∠EAB＝30°，∵∠ADH＝30°，∴∠DAH＝60°，∴∠DAF＝30°＝∠ADF，∴AF＝DF＝+10，∴FH＝AF＝+5，∴AH＝FH＝10+5，∴AB＝AH+BH＝10+5+5＝15+5≈15+5×1.73≈23.7（米），答：楼房AB高度约为23.7米．13．解：（1）如图，由题意得∠CAB＝30°，∠ABC＝90°+30°＝120°，∴∠C＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝30°，∴∠CAB＝∠C＝30°，∴BC＝AB＝10km，即景点B、C相距的路程为10km．（2）过点C作CE⊥AB于点E，∵BC＝10km，C位于B的北偏东30°的方向上，∴∠CBE＝60°，在Rt△CBE中，CE＝km．14．解：∵∠EAB＝60°，∠EAC＝30°，∴∠CAD＝60°，∠BAD＝30°，∴CD＝AD•tan∠CAD＝AD，BD＝AD•ta n∠BAD＝AD，∴BC＝CD﹣BD＝AD＝30，∴AD＝15≈25.98．15．解：在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，AB＝10m，∴AD＝AB sin∠ABD＝10×sin30°＝5，在Rt△ACD中，∠ACD＝15°，sin∠ACD＝，∴AC＝＝≈≈19.2m，即：改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度约为19.2米．16．解：在△APC中，∠ACP＝90°，∠APC＝45°，则AC＝PC．∵AP＝400海里，∴由勾股定理知，AP2＝AC2+PC2＝2PC2，即4002＝2PC2，故PC＝200海里．又∵在直角△BPC中，∠PCB＝90°，∠BPC＝60°，∴PB＝＝2PC＝400≈566（海里）．答：此时巡逻舰与观测点P的距离PB约为566海里．17．解：作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE＝CM，如图所示．∵AB＝CD，AB+CD＝AD＝2，∴AB＝CD＝1．在Rt△ABE中，AB＝1，∠A＝37°，∴BE＝AB•sin∠A≈0.6，AE＝AB•cos∠A≈0.8．在Rt△CDF中，CD＝1，∠D＝45°，∴CF＝CD•sin∠D≈0.7，DF＝CD•cos∠D≈0.7．∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴BE∥CM，又∵BE＝CM，∴四边形BEMC为平行四边形，∴BC＝EM，CM＝BE．在Rt△MEF中，EF＝AD﹣AE﹣DF＝0.5，FM＝CF+CM＝1.3，∴EM＝≈1.4，∴B与C之间的距离约为1.4米．18．解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，∵AB⊥CD，sin30°＝，BC＝80千米，∴CD＝BC•sin30°＝80×（千米），AC＝（千米），AC+BC＝80+40（千米），答：开通隧道前，汽车从A地到B地要走80+40千米；（2）∵cos30°＝，BC＝80（千米），∴BD＝BC•cos30°＝80×（千米），∵tan45°＝，CD＝40（千米），∴AD＝（千米），∴AB＝AD+BD＝40+40≈40+40×1.73＝109.2（千米），∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BC﹣AB＝136.4﹣109.2＝27.2（千米）．答：汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米．19．解：（1）作CP⊥AB于P，由题意可得出：∠A＝30°，AP＝2000米，则CP＝AC＝1000米；（2）∵在Rt△PBC中，PC＝1000，∠PBC＝∠BPC＝45°，∴BC＝PC＝1000米．∵这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，∴他到达宾馆需要的时间为＝10＜15，∴他在15分钟内能到达宾馆．。