几何变换思想

几何变换思想

变换是数学中一个带有普遍性的概念，代数中有数与式的恒等变换、几何中有图形的变换。在初等几何中，图形变换是一种重要的思想方法，它以运动变化的观点来处理孤立静止的几何问题，往往在解决问题的过程中能够收到意想不到的效果。

1. 初等几何变换的概念。

初等几何变换是关于平面图形在同一个平面内的变换，在中小学教材中出现的相似变换、合同变换等都属于初等几何变换。合同变换实际上就是相似比为1的相似变换，是特殊的相似变换。合同变换也叫保距变换，分为平移、旋转和反射(轴对称)变换等。

(1)平移变换。

将平面上任一点P变换到P′，使得：(1) 射线PP′的方向一定；

(2) 线段PP′的长度一定，则称这种变换为平移变换。也就是说一个图形与经过平移变换后的图形上的任意一对对应点的连线相互平行且相等。

平移变换有以下一些性质：

①把图形变为与之全等的图形，因而面积和周长不变。

②在平移变换下两点之间的方向保持不变。如任意两点A和B，变换后的对应点为Ａ′和Ｂ′，则有ＡＢ∥Ａ′Ｂ′。

③在平移变换下两点之间的距离保持不变。如任意两点A和B，变换后的对应点为Ａ′和Ｂ′，则有ＡＢ＝Ａ′Ｂ′。

在解初等几何问题时，常利用平移变换使分散的条件集中在一起，具有更紧凑的位置关系或变换成更简单的基本图形。

(2)旋转变换。

在同一平面内，使原点O变换到它自身，其他任何点X变换到X′，使得：(1)OX′=OX；(2)∠XOX′=θ(定角)；则称这样的变换为旋转变换。O称为旋转中心，定角θ为旋转角。当θ>0时，为逆时针方向旋转；当θ<0时，为顺时针方向旋转。当θ等于平角时，旋转变换就是中心对称。通俗地说就是一个图形围

绕一个定点在不变形的情况下转动一个角度的运动，就是旋转。在旋转变换下，图形的方位可能有变化。

旋转变换有以下一些性质：

①把图形变为与之全等的图形，因而面积和周长不变。

②在旋转变换下，任意两点A和B，变换后的对应点为Ａ′和Ｂ′，则有直线ＡＢ和直线Ａ′Ｂ′所成的角等于θ。

③在旋转变换下，任意两点A和B，变换后的对应点为Ａ′和Ｂ′，则有ＡＢ＝Ａ′Ｂ′。

在解决几何问题时，旋转的作用是使原有图形的性质得以保持，但通过改变其位置，组合成新的图形，便于计算和证明。

(3)反射变换。

在同一平面内，若存在一条定直线Ｌ，使对于平面上的任一点P及其对应点P′，其连线PP′的中垂线都是Ｌ，则称这种变换为反射变换，也就是常说的轴对称，定直线Ｌ称为对称轴，也叫反射轴。

轴对称有如下性质：

①把图形变为与之全等的图形，因而面积和周长不变。

②在反射变换下，任意两点A和B，变换后的对应点为Ａ′和Ｂ′，则有直线ＡＢ和直线Ａ′Ｂ′所成的角的平分线为Ｌ。

③两点之间的距离保持不变，任意两点A和B，变换后的对应点为Ａ′和Ｂ′，则有ＡＢ＝Ａ′Ｂ′。

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。

把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称。

轴对称变换和轴对称图形是两个不同的概念，前者是指图形之间的关系或折叠运动，后者是指一个图形。中小学数学中的很多图形都是轴对称图形，利用这些图形的轴对称性质，可以帮助我们解决一些计算和证明的几何问题。

(4)相似变换。

在同一平面内，图形中的任意两点A、B，变换后的对应点为A′、B′，也就是任一线段AB变换成A′B′，总有

A′B′＝K·AB(K>0，且为常数)，

则称为相似变换。通俗地说就是一个图形按照一定比例放大或缩小，图形的形状不变。其中的K称为相似比或相似系数，当K＝1时，即为合同变换。

相似变换有以下一些性质：

①两个图形的周长的比等于相似比。

②两个图形的面积的比等于相似比的平方。

③两条直线的夹角保持不变。

生活中的许多现象都渗透着相似变换的思想，如物体和图形在光线下的投影、照片和图片的放大或缩小、零件的图纸等等，因而利用相似变换可以解决生活中的一些几何问题。

2. 几何变换思想的重要意义。

课程改革以来，几何的教学已经由传统的注重图形的性质，周长、面积和体积等的计算、演绎推理能力转变为培养空间观念、计算能力、推理能力及观察、操作、实验能力并重的全面的、和谐的发展。其中推理不仅仅重视演绎推理，还特别强调合情推理。也就是说，新课程的理念在几何的育人功能方面注重空间观念、创新精神、探索能力、推理能力、计算能力、几何模型等全面、和谐的发展。而图形变换作为几何领域的重要内容和思想方法之一，在几何的育人功能方面发挥着非常重要的作用。图形变换来源于生活中物体的平移、旋转和轴对称的这些运动现象，因而了解图形的变换，有利于我们认识生活中丰富多彩的生活空间和形成初步的空间观念。利用图形变换设计美丽的图案，有利于感受、发现和创造生活的美，有利于认识图形之间的关系和发展空间观念。利用图形变换把静止的几何问题通过运动变换，找到更加简捷的解决问题的方法。

3. 几何变换思想的具体应用。

图形变换作为空间与图形领域的重要内容之一，在图形的性质的认识、面积公式的推导、面积的计算、图形的设计和欣赏、几何的推理证明等方面都有重要的应用。

小学数学中几何变换思想的应用如下表。

4．几何变换思想的教学。

(1)课程标准关于图形变换的教学要求。

课程标准关于图形变换的内容和目标分为以下几个层次：

(2)教学中需要注意的问题。

图形变换在大纲时代的小学几何中只学习了轴对称，而且不是几何中的主要内容。课程标准与大纲相比，在第一、二学段的空间与图形领域的图形变换方面，

新增加了平移、旋转和相似变换。这些内容虽然难度不大，但是对概念的准确性和教学要求比较难把握，给一些教师的备课和教学带来一定困惑。下面谈一谈如何把握相关的概念和教学要求。

第一，对一些概念的准确把握。

平移、旋转、轴对称变换与生活中物体的平移、旋转和轴对称现象不是一个概念。数学来源于生活，但不等于生活，是生活现象的抽象和概括。生活中的平移和旋转现象往往是物体的运动，如推拉窗、传送带、电梯、钟摆、旋转门等物体的运动，都可以称之为平移现象或旋转现象。而中小学中的几何变换都是指平面图形在同一个平面的变换，也就是说原图形和变换后的图形都是平面图形，而且都在同一个平面内。几何中的平移、旋转和轴对称变换来自于生活中物体的平移现象、旋转现象和轴对称现象，如果把生活中这些物体画成平面图形，并且在同一平面上运动，就可以说成是几何中的平移、旋转和轴对称变换了。

一个变换是不是合同变换或相似变换，要依据概念进行判断。如课程标准要求小学阶段的平移限于水平方向和竖直方向，实际上平移也可以沿斜线方向平移，只要满足平移的两个条件。如高山索道、滑雪等都可以看成平移现象，画成平面图形就是平移变换。再如旋转，象旋转门、螺旋桨、水龙头等都可以看成旋转现象，但是要注意它的严密性：一是旋转中心必须固定，二是物体不能变形，三是旋转的角度可大可小，可以是1度，也可以是300度。这样的旋转运动画成平面图形在同一平面的运动才是旋转变换。另外，几何意义上的变换都是从图形的对应点及其连线的几何性质进行描述的，与图形的颜色等无关。

案例1：一辆汽车在笔直平坦的道路上行驶，这辆汽车的运动是平移吗？如果这辆汽车急刹车，轮胎抱死在道路上滑行是平移吗？

分析：严格来说，物体的平移应该保证物体不变形而且物体上的点在物体上的位置是固定的，轮胎在转动时汽车的运动就不是平移了，轮胎抱死滑行就是平移。因此，前者不是平移，后者是平移。

案例2：一架直升飞机在按一定速度飞行时螺旋桨的转动是旋转吗？它停在陆地上时螺旋桨的转动是旋转吗？