2013中考压轴题选讲专题7：几何三大变换问题(排版+答案)

2012年中考数学压轴题分类解析专题7：几何三大变换相关问题授课老师：黄立宗典型例题选讲：例题1：（2012福建龙岩13分）矩形ABCD中，AD=5，AB=3，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点A的对应点A′落在线段BC上，再打开得到折痕EF．（1）当A′与B重合时（如图1），EF= ；当折痕EF过点D时（如图2），求线段EF的长；（2）观察图3和图4，设BA′=x，①当x的取值范围是时，四边形AEA′F是菱形；②在①的条件下，利用图4证明四边形AEA′F是菱形．例题2：（2012辽宁丹东）已知：点C、A、D在同一条直线上，∠ABC=∠ADE=α，线段 BD、CE交于点M．（1）如图1，若AB=AC，AD=AE①问线段BD与CE有怎样的数量关系？并说明理由；②求∠BMC的大小（用α表示）；（2）如图2，若AB= BC=kAC，AD =ED=kAE则线段BD与CE的数量关系为，∠BMC= （用α表示）；（3）在（2）的条件下，把△ABC绕点A逆时针旋转180°，在备用图中作出旋转后的图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），连接 EC并延长交BD于点M.则∠BMC= （用α表示）．例题3：（2012福建福州）如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过A(3，0)、B(4，4)两点．(1) 求抛物线的解析式；(2) 将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；(3) 如图②，若点N在抛物线上，且∠NBO＝∠ABO，则在(2)的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB 的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应)．例题4：（2012广西贵港12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋3的顶点为M（2，－1），交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其中点B的坐标为（3，0）。

（1）求该抛物线的解析式；（2）设经过点C的直线与该抛物线的另一个交点为D，且直线CD和直线CA关于直线BC对称，求直线CD的解析式；（3）在该抛物线的对称轴上存在点P，满足PM2＋PB2＋PC2＝35，求点P的坐标；并直接写出此时直线OP与该抛物线交点的个数。

巩固练习1、（2012黑龙江大庆）在直角坐标系中，C(2，3)，C′(－4，3)， C″(2,1)，D(－4，1)，A(0，a)，B(a，O)( a 0).（1）结合坐标系用坐标填空．点C与C′关于点对称; 点C与C″关于点对称; 点C与D关于点对称（2）设点C 关于点(4，2)的对称点是点P ，若△PAB 的面积等于5，求a 值．2、（2012辽宁阜新）（1）如图，在△ABC 和△ADE 中，AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE=90°．①当点D 在AC 上时，如图1，线段BD 、CE 有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论； ②将图1中的△ADE 绕点A 顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），如图2，线段BD 、CE 有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．（2）当△ABC 和△ADE 满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD 、CE 在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由．甲：AB ：AC=AD ：AE=1，∠BAC=∠DAE ≠90°；乙：AB ：AC=AD ：AE ≠1，∠BAC=∠DAE=90°；丙：AB ：AC=AD ：AE ≠1，∠BAC=∠DAE ≠90°．3、（2012湖南怀化10分）如图1，四边形ABCD 是边长为23的正方形，长方形AEFG 的宽AE 72=,长EF 732=．将长方形AEFG 绕点A 顺时针旋转15°得到长方形AMNH (如图2)，这时BD 与MN 相交于点O ． （1）求DOM ∠的度数；（2）在图2中，求D 、N 两点间的距离；（3）若把长方形AMNH 绕点A 再顺时针旋转15°得到长方形ARTZ,请问此时点B 在矩形ARTZ 的 内部、外部、还是边上？并说明理由．图1 图24、（2012福建泉州14分）如图，点O 为坐标原点，直线l 绕着点A （0,2）旋转，与经过点C （0,1）的二次函数21y x h 4=+交于不同的两点P 、Q. （1）求h 的值；（2）通过操作、观察算出△POQ 面积的最小值（不必说理）；（3）过点P 、C 作直线，与x 轴交于点B ，试问：在直线l 的旋转过程中四边形AOBQ 是否为梯形，若是，请说明理由；若不是，请指明其形状.5、（2012青海省12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x 2+bx+c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于C （0，﹣3）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP ′C ，那么是否存在点P ，使四边形POP ′C 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P 运动到什么位置时，四边形ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积．备用图6、已知，在△ABC 中，AB=AC 。

过A 点的直线a 从与边AC 重合的位置开始绕点A 按顺时针方向旋转角θ，直线a 交BC 边于点P （点P 不与点B 、点C 重合），△BMN 的边MN 始终在直线a 上（点M 在点N 的上方），且BM=BN ，连接CN 。

（1）当∠BAC=∠MBN=90°时，①如图a ，当θ=45°时，∠ANC 的度数为_______；②如图b ，当θ≠45°时，①中的结论是否发生变化？说明理由；（2）如图c ，当∠BAC=∠MBN ≠90°时，请直接写出∠ANC 与∠BAC 之间的数量关系，不必证明。

典型例题参考答案例题1：【答案】解：(1)5。

由折叠（轴对称）性质知A ′D=AD=5，∠A=∠EA ′D=900。

在Rt △A ′DC 中，DC=AB=2，∴ 22A C 534'-。

∴A ′B=BC －A ′C=5－4=1。

∵∠EA ′B ＋∠BEA ′=∠EA ′B ＋∠FA ′C=900， ∴∠BEA ′=∠FA ′C 。

又 ∵∠B=∠C=900，∴Rt △EBA ′∽Rt △A ′CF 。

∴A E AB A F FC ''='，即A E 153'= ∴ 5A E 3'=。

在Rt △A ′EF 中，2225510EF A E A D 259='+'=+=。

（2）①3x 5≤≤。

②证明：由折叠（轴对称）性质知∠AEF=∠FEA ′，AE=A ′E ，AF=A ′F 。

又 ∵AD ∥BC ，∴∠AFE=∠FEA ′ 。

∴∠AEF=∠AFE 。

∴AE=AF 。

∴AE=A ′E=AF=A ′F 。

∴四边形AEA ′F 是菱形。

【考点】折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，平行的性质，等腰三角形的性质，菱形的判定。

【分析】(1)根据折叠和矩形的性质，当A ′与B 重合时（如图1），EF= AD=5。

根据折叠和矩形的性质，以及勾股定理求出A ′B 、A ′F 和FC 的长，由Rt △EBA ′∽Rt △A ′CF 求得5A E 3'=，在Rt △A ′EF 中，由勾股定理求得EF 的长。

（2）①由图3和图4可得，当3x 5≤≤时，四边形AEA ′F 是菱形。

②由折叠和矩形的性质，可得AE=A ′E ，AF=A ′F 。

由平行和等腰三角形的性质可得AE=AF 。

从而AE=A ′E=AF=A ′F 。

根据菱形的判定得四边形AEA ′F 是菱形。

例题2：【答案】解：（1）如图1。

①BD=CE ，理由如下：∵AD=AE ，∠ADE=α，∴∠AED=∠ADE=α，。

∴∠DAE=180°－2∠ADE=180°－2α。

同理可得：∠BAC=180°－2α。

∴∠DAE=∠BAC 。

∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE ，即：∠BAD=∠CAE 。

在△ABD 与△ACE 中，∵AB=AC ，∠BAD=∠CAE ，AD=AE ，∴△ABD ≌△ACE （SAS ）。

∴BD=CE 。

②∵△ABD ≌△ACE ，∴∠BDA=∠CEA 。

∵∠BMC=∠MCD+∠MDC ，∴∠BMC=∠MCD+∠CEA=∠DAE=180°－2α。

（2）如图2，BD=kCE ，902α︒-α。

（3）作图如下：90+2α︒。

【考点】相似三角形的判定和性质，全等角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理和外角性质，作图（旋转变换），旋转的性质【分析】（1）①先根据等腰三角形等角对等边的性质及三角形内角和定理得出∠DAE=∠BAC ，则∠BAD=∠CAE ，再根据SAS 证明△ABD ≌△ACE ，从而得出BD=CE 。

②先由全等三角形的对应角相等得出∠BDA=∠CEA ，再根据三角形的外角性质即可得出∠BMC=∠DAE=180°－2α。

（2）∵AD=ED ，∠ADE=α，∴∠DAE=180ADE =9022α︒-∠︒-。

同理可得：∠BAC=902α︒-。

∴∠DAE=∠BAC 。

∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE ， 即：∠BAD=∠CAE 。

∵AB=kAC ，AD=kAE ，∴AB ：AC=AD ：AE=k 。

在△ABD 与△ACE 中，∵AB ：AC=AD ：AE=k ，∠BDA=∠CEA ，∴△ABD ∽△ACE 。

∴BD ：CE=AB ：AC=AD ：AE=k ，∠BDA=∠CEA 。

∴BD=kCE 。

∵∠BMC=∠MCD+∠MDC ，∴∠BMC=∠MCD+∠CEA=∠DAE=902α︒-。

（3）先在备用图中利用SSS 作出旋转后的图形，再根据等腰三角形等角对等边的性质及三角形内角和定理得出∠DAE=∠BAC=902α︒-，由AB=kAC ，AD=kAE ，得出AB ：AC=AD ：AE=k ，从而证出△ABD ∽△ACE ，得出∠BDA=∠CEA ，然后根据三角形的外角性质即可得出∠BMC=90+2α︒： ∵AD=ED ，∠ADE=α，∴∠DAE=∠AED=180ADE =9022α︒-∠︒-。

同理可得：∠BAC=902α︒-。

∴∠DAE=∠BAC ，即∠BAD=∠CAE 。

∵AB=kAC ，AD=kAE ，∴AB ：AC=AD ：AE=k 。

在△ABD 与△ACE 中，∵AB ：AC=AD ：AE=k ，∠BAD=∠CAE ，∴△ABD ∽△ACE 。