几何三大变换(习题及答案)
初中数学学--几何三大变换含答案
平面直⻆坐标系中，原点 关O 于直线y = − 4 x + 对4 称点O1的坐标是 3
答案
， 96
(
72
)
25
25
解析
图 如 ，
线 对称点 ∵ 原点O关于直
4
y= − x+4
, O1
3
∴ OO1⊥AB
设 线 为 轴于 OO1 与直
的 交 点 4
x
4/9
(1)
答案
标为 ① k = −8； ② 存在，点P 的坐
或 或 或 ； (−4, 2) (−2, 4) (4, −2) (2, −4)
解析
过点 轴于点 ，过点 轴于点 图 ①
作 A AE⊥x
E
作 B BF ⊥x
F，如 1所示．
轴 轴 , , ∵BF ⊥x
AE⊥x
， ∘
∴∠BF O = ∠OEA = 90
2
2
4 【2016年江苏南京玄武区八年级下学期期末考试数学试卷】
如图，在平面直⻆坐标系中，点B是反比例函数y = k 的图象上任意一点，将点B绕原点 顺O 时针方向旋转
到点 ． ∘
90
A
x
(1) 若点A的坐标为(4, ，2) ①求k的值；②在反比例函数y=的图象上是否存在一点P，使得△AOP是等 腰三⻆形且∠AOP是顶⻆，若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (2) 当k = −1，点B在反比例函数y = k 的图象上运动时，判断点A在怎样的图象上运动？并写出表达式．
AC = √(2 + √3)
+
2
1
=
√6
初中几何三大变换平移、旋转、轴对称
初中几何三大变换平移、旋转、轴对称
姓名：__________
指导：__________
日期：__________
【答案解析】先将ABC 绕着B C 的中点旋转180，再将所得的三角形绕着B C的中点旋转180，即可得到△ A B C；先将ABC 沿着B C 的垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着B C的垂直平分线翻折，即可得到△ A B C；故选：D.
典型易错题5（易错指数）
【答案解析】A ．等腰三角形底边上的高所在的直线是它的对称轴，正确；B ．线段和角都是轴对称图形，正确；C ．连接轴对称图形的对应点的线段必被对称轴垂直平分，正确；D ．ABC DEF ，则ABC 与DEF 不一定关于某条直线对称，错误；故选：D ．
典型易错题6（易错指数）
图中序号（1）（2）（3）（4）对应的四个三角形，都是这个图形进行了一次变换之后得到的，其中是通过轴对称得到的是
A．（1）B．（2）C．（3）D．（4）【答案解析】轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形，通过轴对称得到的是（1）．故选：A
典型易错题7（易错指数）
【答案解析】
典型易错题8（易错指数）
【答案解析】。
几何三大变换(习题及答案)
△DEC，使点 B 的对应点 E 恰好落在边 AC 上，点 A 的对应点为 D，延长 DE 交 AB
于点 F，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AC=DE
B．BC=EF
C．∠AEF=∠D D．AB⊥DF
A
FE
BC
D
13. 如图，在△OAB 中，顶点 O(0，0)，A(-3，4)，B(3，4)，将△OAB 与正方形 ABCD
A
E
D
G
D1
D2
BHF
C
7. （2019 潍坊）如图，在矩形 ABCD 中，AD=2．将∠A 向内翻折，点 A 落在 BC 上，记为 A′，折痕为 DE．若将∠B 沿 EA′向内翻折，点 B 恰好落在 DE 上，记为 B′，则 AB=__________．
A
D
B′ E
B
A′
C
8. （2020 宿迁）如图，在矩形 ABCD 中，AB=1，AD= 3 ，P 为 AD 上一个动点，连 接 BP，线段 BA 与线段 BQ 关于 BP 所在的直线对称，连接 PQ，当点 P 从点 A 运 动到点 D 时，线段 PQ 在平面内扫过的面积为_________．
B
A
4. （2020 上海）如图，在△ABC 中，AB=4，BC=7，∠B=60°，点 D 在边 BC 上， CD=3，连接 AD．如果将△ACD 沿直线 AD 翻折后，点 C 的对应点为点 E，那么点 E 到直线 BD 的距离为__________． A
B
D
C
1
5. （2020 青岛）如图，将矩形 ABCD 折叠，使点 C 和点 A 重合，折痕为 EF，EF 与 AC 交于点 O．若 AE=5，BF=3，则 AO 的长为（ ）
几何三大变换(习题及答案)
A' MA'MA12几何三大变换（习题）例题示范例1：如图，四边形A BCD 是边长为9的正方形纸片，将该纸片A'折叠，使点B落在C D 边上的点B′处，点A的对应点为A′，折痕 A M D 为M N．若B′C=3，则A M 的长为．【思路分析】要求A M 的长，设A M=x，则M D=9-x．B' 思路一：考虑利用折叠为全等变换转条件，得AM=A′M=x，A′B′=AB=9．观察图形，∠A′=∠D=90°，△MA′B′和△MDB′都是 B N C 直角三角形，MB′是其公共斜边，则MB′可分别在两个直角三角形中借助勾股定理表达，列方程．A D A DB' B'B NC B N C思路一思路二思路二：MN 是对称轴，考虑利用对称轴上的点到对应点的距离相等转条件，得M B=MB′．观察图形，∠A=∠D=90°，MB，MB′ A可分别放到Rt△ABM 和Rt△DB′M中借助勾股定理表达，列方程．D例 2：如图，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四边形A BCD 的面积为24，则A C 的长为． B CE 【思路分析】已知四边形ABCD 的面积，要求AC 的长，考虑借助AC 表达四边形ABCD 的面积．四边形ABCD 为不规则四边形，考虑割补法或转化法求面积．分析题目中条件AB=AD，存在等线段共端点的结构，且隐含∠B+∠D=180°，故考虑通过构造旋转解决问题，可 D把△ABC 绕点A 逆时针旋转 90°．B CPN Q M NPDME巩固练习1.如图，将边长为2的等边三角形A BC 沿B C 方向平移1个单位得到△DEF，则四边形A BFD 的周长为（）A．6 B．8 C．10 D．12A DB B A A'C ( B' ) C'第1题图第2题图2.如图，已知△ABC 的面积为 8，将△ABC 沿BC 方向平移到△A′B′C′的位置，使点B′和点C 重合，连接AC′，交A′C 于点D，则△CAC′的面积为（）A．4 B．6 C．8 D．163.如图，在6 ⨯4 的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（）A．格点M B．格点N C．格点P D．格点QA E DM甲乙B F C第3题图第4题图4.如图，在正方形纸片ABCD 中，E，F 分别是AD，BC 的中点，沿过点B 的直线折叠，使点C 落在EF 上，落点为N，折痕交CD 边于点M，BM 与EF 交于点P，再展开．则下列结论：①CM=DM；②∠ABN=30°；③A B2 = 3CM 2 ；④△PMN 是等边三角形．其中正确的有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个5.如图，已知O A⊥OB，等腰直角三角A形C DE 的腰C D 在O B 上，∠ECD= N45°，将△C DE绕点C 逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在O A 上，则OC的值为．CDO C D BEDA'6.如图，E 是正方形 A BCD 内一点，连接 A E ，BE ，CE ，将△ABE 绕点B 顺时针旋转90°至△CBE ′的位置．若AE =1，BE =2，CE =3，则∠BE ′C = ．ADBCE' F B 第 6 题图 第 7 题图7. 如图，在平行四边形 ABCD 中，∠A =70°，将该平行四边形折叠，使点 C ，D 分别落在点 E ，F 处，折痕为 M N ．若点 E ，F 均在直线 A B 上，则∠AMF = ． 8. 如图，在 Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，BC =1，点 D 在AC 边上，将△ABD 沿直线 B D 翻折后，点 A 落在点 E 处．若AD ⊥DE ，则线段 D E 的长为 ．BAEDCAEB C 第 8 题图 第 9 题图9. 如图，矩形 A BCD 中，AB =15cm ，点 E 在 A D 上，且 A E =9cm ， 连接 E C ，将长方形 A BCD 沿直线 B E 翻折，点 A 恰好落在 E C 上的点 A'处，则 A 'C = cm ． 10. 如图，在矩形 ABCD 中，AB =3，AD =9，将此长方形折叠， 使点 D 与点 B 重合，点 C 的对应点为点 C ′，折痕为 EF ，则 EF 的长为 ．思考小结请结合本讲所学内容，回忆三大变换的思考层次平移旋转轴对称全等变换对应边平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等．对应边相等，对应角相等．对应边相等，对应角相等．对应点对应点所连线段平行（或在同一直线上）且相等．对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角；对应点连线的垂直平分线都经过旋转中心．对应点所连线段被对称轴垂直平分；对称轴上的点到对应点的距离相等．新关系平移会产生平行四边形．旋转会产生等腰三角形．折叠会产生垂直平分、等腰三角形．应用常应用在天桥问题、存在性问题．当题目中出现等线段共点的时候考虑旋转结构．常应用在折叠问题、最值问题．【参考答案】1. B2. C3. B4. C5.2 26. 135°7. 40°8. 3 19. 810. 10。
中考数学专题复习：三大几何变换
1平移一般是在需要同时移动两条线段或元素的时候，才考虑的方法．【例1】 已知：如图，正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，FG DE ⊥于点H ．⑴ 求证：FG DE =．知识互联网思路导航典题精练题型一：平移变换三大几何变换2⑵求证：FD EG +．【解析】 延长GC 到点P ，使得GP DF =，连接EP 、DP ．⑴ ∵DF GP ∥，GP DF =∴四边形DFGP 为平行四边形 ∴FG DP =，FG DP ∥ 又∵FG DE ⊥，∴DP DE ⊥ ∴ADE CDP =∠∠ 在ADE △和CDP △中DAE DCP DA DCADE CDP =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴ADE CDP △≌△ ∴DE DP FG ==⑵ 由⑴知道DEP △为等腰直角三角形∴EP ==在EGP △中，EG DF EG GP PE +=+=≥当EG FD ∥时，取到等号．【例2】 在Rt △ABC 中，∠A =90°，D 、E 分别为AB 、AC 上的点．⑴ 如图1，CE =AB ，BD =AE ，过点C 作CF ∥EB ，且CF =EB ，连接DF 交EB 于点G ，连接BF ，请你直接写出EBDC的值； ⑵ 如图2，CE =kAB ，BD =kAE ，12EB DC =，求k 的值．HGFEDCBA P A BCDEFG H图2B 图1FB3DCBA【解析】(1)EB DC =(2)过点C 作CF ∥EB 且CF =EB ，连接DF 交EB 于点G , 连接BF . ∴四边形EBFC 是平行四边形. ∴CE ∥BF 且CE =BF . ∴∠ABF =∠A =90°.∵BF =CE =kAB .∴BFk AB=. ∵BD =kAE ，∴BDk AE=. ∴BF BDAB AE=. ∴DBF ∆∽EAB ∆. ∴DFk BE=,∠GDB=∠AEB . ∴∠DGB =∠A =90°. ∴∠GFC =∠BGF =90°.∵12CF EB DCDC ==. ∴DF DF EB CF==. ∴k .【例3】 ⑴如图，已知正方形纸片ABCD 的边长为8，O ⊙的半径为2，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，使EA ′恰好与O ⊙相切于点A ′（EFA △′与O ⊙除切点外无重叠部分），延长FA ′交CD 边于点G ，则A G ′的长是 ．⑵将弧BC 沿弦BC 折叠交直径AB 于点D ，若45AD DB ==，，则BC 的长是______________．【解析】 ⑴ 过F 点作FH CD ⊥于H ．典题精练题型二：轴对称变换B421H EDCBAN C'F E B'D C B AABCD B'EFC'MN 则四边形AFHD 是矩形，∴8AF DH FH AD ===，， 设AF x =，则根据对称性可知DH CG A F GC x ====′′ ∴8242HG x FG x =-=+，， 在Rt FHG △中，90FHG ∠=︒，∴222FH HG FG +=，即()()22288242x x +-=+， 解得73x =，∴1943A G x =+=′． ⑵ 将半圆还原，点D 关于BC 的对称点为E ，作CH AB ⊥于H ．根据“翻折”的性质可知12∠=∠， 则CD CE AC == ∵CH AB ⊥，则27AH HD HB ===，，BC 2=BH ·AB∴BC ==【例4】 把正方形沿着EF 折叠使点B 落在AD 上，B C ''交CD 于点N ，已知正方形的边长为1，求DB N '△的周长．【解析】 在B C ''上取点M ，使B M AB ''=，连接BM ．∵AD BC ∥，∴CBB AB B ''=∠∠由翻折得对称性可知MB B CBB ''=∠∠ ∴AB B MB B ''=∠∠ 在ABB '△和MBB '△中AB MB AB B MB B BB BB ''=⎧⎪''=⎨⎪''=⎩∠∠ ∴ABB MBB ''△≌△5∴90B AB B MB ''==︒∠∠，AB MB = 在Rt BNM △和Rt BNC △中 BM BCBN BN =⎧⎨=⎩∴Rt Rt BNM BNC △≌△ ∴MN CN =∴DB N '△的周长为2DB AB DN CN ''+++=．【例5】 在Rt △ABC 中，AB =BC ，∠B =90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O 放在斜边AC上，将三角板绕点O 旋转． ⑴ 当点O 为AC 中点时，①如图1， 三角板的两直角边分别交AB ，BC 于E 、F 两点，连接EF ，猜想线段AE 、CF 与EF 之间存在的等量关系（无需证明）；②如图2， 三角板的两直角边分别交AB ，BC 延长线于E 、F 两点，连接EF ，判断①中的猜想是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；⑵ 当点O 不是AC 中点时，如图3,，三角板的两直角边分别交AB ，BC 于E 、F 两点，若14AO AC=，求OE OF的值．【解析】（1）① 猜想：222AE CF EF +=. ② 成立.证明：连结OB.典题精练COB A OE图FBA OCEFA BCEF图图题型三：旋转变换CB AOEF6∵AB =BC , ∠ABC =90°,O 点为AC 的中点， ∴12OB AC OC ==,∠BOC =90°,∠ABO =∠BCO =45°. ∵∠EOF =90°，∴∠EOB =∠FOC . 又∵∠EBO =∠FCO ， ∴△OEB ≌△OFC （ASA ）.∴BE =CF. 又∵BA=BC , ∴AE =BF.在RtΔEBF 中，∵∠EBF =90°, 222BF BE EF ∴+=.222AE CF EF ∴+=. （2）解：如图，过点O 作OM ⊥AB 于M ，ON ⊥BC 于N . ∵∠B =90°, ∴∠MON =90°. ∵∠EOF =90°,∴∠EOM =∠FON .∵∠EMO =∠FNO =90°，∴△OME ∽△ONF. ∴OM OE ONOF=∵△AOM 和△OCN 为等腰直角三角形， ∴△AOM ∽△OCN ∴OM AO ON OC =.∵14AO AC=， ∴13OE OF=.【例6】 ABC △和DBE △是绕点B 旋转的两个相似三角形，其中ABC ∠与DBE ∠、A ∠与D∠为对应角．⑴如图1，若ABC △和DBE △分别是以ABC ∠与DBE ∠为顶角的等腰直角三角形，且两三角形旋转到使点B 、C 、D 在同一条直线上的位置时，请直接写出线段AD 与线段EC 的关系；⑵若ABC △和DBE △为含有30°角的直角三角形，且两个三角形旋转到如图2的位置时，试确定线段AD 与线段EC 的关系，并说明理由；⑶若ABC △和DBE △为如图3的两个三角形，且ACB ∠=α，BDE β∠=，在绕点B 旋转的过程中，直线AD 与EC 夹角的度数是否改变？若不改变，直接用含α、β的式子表示夹角的度数；若改变，请说明理由．30︒30︒ABCDE图3AB CDE图2图1ED CB AA OBCEF M N7【解析】 ⑴ 线段AD 与线段CE 的关系是,AD EC AD EC ⊥=．⑵ 如图2，连接AD 、EC 并延长，设交点为点F ．∵ABC △∽DBE △ ，∴AB BC BD BE =，∴AB BDBC BE=． ∵90ABC DBE ∠=∠=°，∴1390∠+∠=°，2390∠+∠=°．∴12∠=∠ ． ∴ABD CBE △∽△ ．∴AD ABCE BC=． 在Rt ACB △中，30,tan ABACB ACB BC∠=∠=°，∵tan 30=°，∴AD CE =又∵90,30,DBE DEB ∠=∠=°°∴460∠=°， ∴56120∠+∠=°．∵ABD CBE △∽△，∴5307CEB ∠=∠=+∠°，∴7530,61205∠=∠-∠=-∠°°， ∴7690∠+∠=°，∴90DFE ∠=°．即AD CE ⊥．⑶ 在绕点B 旋转的过程中，直线AD 与EC 夹角度数不改变，()180AFE αβ∠=--度．7654321F 30︒30︒AB CD E图28题型一 平移变换 巩固练习【练习1】 如图，已知ABC △，AD BE ∥，若480CBE DAC ==︒∠∠，则C ∠的度数为______．【解析】 60︒. 通过作平行线平移角，使角与角之间联系起来．【练习2】 如下图，两条长度为1的线段AB 和CD 相交于O 点，且60AOC ∠=︒，求证：1AC BD +>．【解析】 考虑将AC 、BD 和AB 集中到同一个三角形中，以便运用三角形的不等关系．作CB AB '∥且CB AB '=，则四边形ABB C '是平行四边形，从而AC BB '=． （教师可告诉学生：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， 在BB D '△中可得BB BD B D ''+>， 即AC BD B D '+>．由于1CD AB CB '===，60B CD AOC '∠=∠=︒，所以B CD '△是等边三角形，故1B D '=，所以1AC BD +>．题型二 轴对称变换 巩固练习【练习3】 如图矩形纸片ABCD ，5cm AB =，10cm BC =，CD 上有一CDEBA FA BEDCNCDEBAODCBAB'OBDC复习巩固F Q EPDCBAA9DEC B AF 2F 1DEC B A点E ，2cm ED =，AD 上有一点P ，3cm PD =，过P 作PF AD ⊥交BC 于F ，将纸片折叠，使P 点与E 点重合，折 痕与PF 交于Q 点，则PQ 的长是________cm ．【解析】 134. 解法：过Q 作QM ⊥DC ，设QP =x ，∴QE =x ，∵DE =2，∴2ME x =-∴在Rt △QME 中，22(2)9x x =-+，∴134PQ x ==题型三 旋转变换 巩固练习【练习4】 已知正方形ABCD 中，点E 在边DC 上，2DE =，1EC =（如图所示） 把线段AE绕点A 旋转，使点E 落在直线BC 上的点F 处，则F 、C 两点的距离为．【解析】 1或5．题目里只说“旋转”，并没有说顺时针还是逆时针，而且说的是“直线BC 上的点”，所以有两种情况如图所示：顺时针旋转得到1F 点，则11F C =，逆时针旋转得到2F 点，则22F B DE ==，225F C F B BC =+=．【练习5】 在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A 、C 的坐标分别为()80-，和()06，．将矩形 OABC 绕点O 顺时针旋转α度，得到四边形OA B C '''，使得边A B ''与y 轴交于点D ，此时边OA '、B C ''分别与BC 边所在的直线相交于点P 、Q ． ⑴ 如图1，当点D 与点B '重合时，求点D 的坐标； ⑵ 在⑴的条件下，求PQOD的值； ⑶ 如图2，若点D 与点B '不重合，则PQOD的值是否发生变化？若不变，试证明你的结论；若有变化，请说明理由． （北京东城期末）（图1）（图2）10【解析】 ⑴ ∵将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转α度，得到四边形OA B C '''，且A 、C 的坐标分别为()80-，和()06，， ∴8OA OA '==，6A B AB OC ''===．∴10OB '==． ∴点D 的坐标为()010，． ⑵ ∵10OB '=，6CO =，∴4B C '=． ∵3tan 4CP A B POC CO A O ''=∠=='，且6CO =， ∴92CP =．同理3CQ =． ∴152PQ =，∴34PQ OD =． （或：∵3tan 4CQ CP POC CD CO ==∠=．∴34PQ CQ CP OD CD CO +==+．） ⑶ 如图2所示，作C E '∥OA 交OP 于点E ，∵C E '∥OA ，且PE ∥CQ ， ∴四边形PEC Q '是平行四边形． ∴PQ C E '=．∵C E OD A B A O ''''⊥⊥，，∴9090C EO EOD ODA EOD ''∠+∠=∠+∠=°，°． ∴C EO ODA ''∠=∠．又∵90EOC DA O ''∠=∠=°， ∴C EO ODA ''△∽△． ∴34PQ C E C O OD OD OA ''==='． ∴PQOD的值不会发生改变． （图1）（图2）11【测试1】在四边形ABCD 中，AB CD ∥，2D B =∠∠，AD 和CD 的长度分别为a 和b ，那么AB 的长为________．【解析】自C 点作CE AD ∥交AB 于E ，则四边形AECD 是平行四边形，AE CD b ==，EC AD a ==．又2AEC D B B ECB ===+∠∠∠∠∠． 所以ECB B =∠∠，ECB △是等腰三角形．EB EC a ==，所以AB AE EB a b =+=+．【测试2】如图，已知ABC △中，30CAB B ∠=∠=︒，2AB =，点D 在BC 边上，把ABC △沿AD 翻折使AB 与AC 重合，得AB D '△，则ABC △与AB D '△重叠部分的面积为（ ） ABC．3- D【解析】A【测试3】如图，正方形ABCD 与正三角形AEF 的顶点A 重合，将△AEF 绕顶点A 旋转，在旋转过程中，当=BE DF 时，∠BAE 的大小可以是________．【解析】15︒或165︒ 课后测图4b a D C B A E A B C D a b 图12D CB'B A AB C DEF。
第7讲 几何三大变换问题及答案
1.如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时，求AM BN的值．类比归纳：在图（1）中，若13CE CD =，则AM BN 的值等于；若14CE CD =，则AM BN 的值等于；若1CE CD n =（n 为整数），则AM BN的值等于．（用含n 的式子表示）联系拓展：如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D ，重合），压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n =>=，，则AM BN的值等于__．（用含m n ，的式子表示）2. 2.如图①，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或边CD（含端点）交于点F，然后再展开铺平，则以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”.图一图二图三（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”是一个_________三角形；（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4．当它的“折痕△BEF”的顶点E位于边AD的中点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点F的坐标；（3）如图③，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标；若不存在，为什么？3.课题：两个重叠的正多边形，其中的一个绕某一个顶点旋转所形成的有关问题．实验与论证设旋转角∠A1A0B1＝α（α＜∠A1A0A2），θ1，θ2，θ3，θ4，θ5，θ6所表示的角如图所示．（1）用含α的式子表示：θ3＝_________，θ4＝_________，θ5＝_________；（2）图1－图4中，连接A0H时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请选择其中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由；归纳与猜想设正n边形A0A1A2…A n-1与正n边形A0B1B2…B n-1重合（其中，A1与B1重合），现将正n边形A0B1B2…B n-1绕顶点A0逆时针旋转α（n1800<< ）．（3）设θn与上述“θ3，θ4，…”的意义一样，请直接写出θn的度数；（4）试猜想在n边形且不添加其他辅助线的情形下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由．4.已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG=CG；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）5.刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，90°，B ∠=306cm °，；A BC ∠==图②中，90D ∠=°，45E ∠=°，4cm DE =.图③是刘卫同学所做的一个实验：他将DEF △的直角边DE 与△ABC 的斜边AC 重合在一起，并将DEF △沿AC 方向移动．在移动过程中，D 、E 两点始终在AC 边上（移动开始时点D 与点A 重合）．（1）在DEF △沿AC 方向移动的过程中，刘卫同学发现：F C 、两点间的距离逐渐_________．（填“不变”、“变大”或“变小”）（2）刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：问题①：当DEF △移动至什么位置，即AD 的长为多少时，F C 、的连线与AB 平行？问题②：当DEF △移动至什么位置，即AD 的长为多少时，以线段AD FC BC 、、的长度为三边长的三角形是直角三角形？问题③：在DEF △的移动过程中，是否存在某个位置，使得15FCD ∠=°？如果存在，求出AD 的长度；如果不存在，请说明理由．请你分别完成上述三个问题的解答过程．1.如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形．（1）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（2）当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．图1图2图3。
几何三大变换(轴对称)(北师版)(含答案)
几何三大变换（轴对称）（北师版）一、单选题(共7道，每道14分)1.如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再把B点折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为H，则∠AHB的度数是( )A.30°B.45°C.60°D.75°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题2.如图，将正方形对折后展开（图4是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形，则下图中阴影直角三角形满足一条直角边等于斜边的一半的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：含30°角的直角三角形3.如图，把长方形ABCD对折，折痕为MN（图1），展开后再折叠，使点B落在折痕MN上的处，得到（图2），延长交AD于点F，则∠EFA等于( )A.45°B.60°C.75°D.无法确定答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为一边在△ABC外侧作等边三角形ACD，过点D 作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．AB＝10cm，BC＝6cm，P是直线DE上的一点，连接PC，PB，则△PBC周长的最小值为( )A.16cmB.cmC.24cmD.26cm答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：轴对称最值问题5.如图，将边长为8的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，折痕为MN，则折痕MN的长是( )A.1B.C. D.10答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题6.如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④．其中正确结论的个数是( )A.1B.2C.3D.4答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题7.如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于点E，BD⊥AE交AE的延长线于点D，连接CD．下列结论：①AC+CE=AB；②；③∠CDA=45°．其中正确的结论序号( )A.①②B.①③C.②③D.①②③答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半。
三大变换的应用(人教版)(含答案) (1)
三大变换的应用（人教版）一、单选题(共8道，每道12分)1.如图，把正方形ABCD沿对角线AC的方向移动到正方形的位置，它们重叠部分的面积是正方形ABCD面积的一半，若AD=2，则正方形移动的距离的长是( )A.1B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：正方形的性质和判定2.已知两个全等的直角三角形纸片ABC，DEF如图1放置，点B，D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G，∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC=30°，AB=DE=4．若纸片DEF不动，纸片ABC绕点F逆时针旋转30°，如图2，则点C到DE的距离为( )A.4B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转α角，得到△DEC，设CD交AB于点F，连接AD．当旋转角α的度数为( )时，△ADF是等腰三角形．A.30°或60°B.20°或40°C.25°或50°D.20°或40°或60°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质4.如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为( )A.3B.4C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：轴对称路径最短问题5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上的点，CD=1，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：轴对称路径最短问题6.如图，在一条公路CD的同一侧有A，B两个村庄，A，B与公路的距离AC，BD分别为500m，700m，且C，D两地相距500m，若要在公路旁（在CD上）建一个超市（看作一个点），则A，B两村庄到超市的距离之和最短是( )A.900mB.1000mC.1200mD.1300m答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：轴对称路径最短问题7.如图，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D，E是AB边上的两点，且AD=6，BE=8，∠DCE=45°，则DE的长为( )A.14B.9C.10D.11答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转思想8.如图，把Rt△ABC放入平面直角坐标系内，其中∠CBA=90°，AC=5，点A，B的坐标分别为（1，0），（4，0），将△ABC沿x轴向左平移，当点C落在直线上时，线段AC扫过的面积为( )A.6B.12C.8D.24答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：平移的性质。
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几何三大变换（习题）
➢例题示范
例1：如图，四边形ABCD 是边长为9 的正方形纸片，将该纸片折叠，使点B 落在CD 边上的点B′处，点A 的对应点为A′，折痕为MN．若B′C=3，则AM 的长为．
【思路分析】
要求AM 的长，设AM=x，则MD=9-x．
思路一：考虑利用折叠为全等变换转条件，得AM=A′M=x，
A′B′=AB=9．观察图形，∠A′=∠D=90°，△MA′B′和△MDB′都是
直角三角形，MB′是其公共斜边，则MB′可分别在两个直角三角形中借助勾股定理表达，列方程．
思路一思路二
思路二：MN 是对称轴，考虑利用对称轴上的点到对应点的距离相等转条件，得MB=MB′．观察图形，∠A=∠D=90°，MB，MB′ 可分别放到Rt△ABM 和Rt△DB′M 中借助勾股定理表达，列方程．
例2：如图，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四边形ABCD 的面积为24，则AC 的长为．
【思路分析】
已知四边形ABCD 的面积，要求AC 的长，考虑借助AC 表达四
边形ABCD 的面积．四边形ABCD 为不规则四边形，考虑割补法或转化法求面积．分析题目中条件AB=AD，存在等线段共端点的
结构，且隐含∠B+∠D=180°，故考虑通过构造旋转解决问题，可把△ABC 绕点A 逆时针旋转90°．
1
➢巩固练习
1.如图，将边长为2 的等边三角形ABC 沿BC 方向平移1 个单
位得到△DEF，则四边形ABFD 的周长为．
第1 题图第2 题图
2.如图，已知△ABC 的面积为8，将△ABC 沿BC 方向平移到
△A′B′C′的位置，使点B′和点 C 重合，连接AC′，交A′C 于点D，则△CAC′的面积为．
3.如图，在6 4 的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点
三角形乙，则其旋转中心是（）
A．格点M B．格点N C．格点P D．格点Q
第3 题图第4 题图
4.如图，已知OA⊥OB，等腰直角三角形CDE 的腰CD 在OB
上，∠ECD=45°，将△CDE 绕点 C 逆时针旋转75°，点 E 的
对应点N 恰好落在OA 上，则OC
的值为．CD
5.如图，E 是正方形ABCD 内一点，连接
AE，BE，CE，将△ABE 绕点B 顺时针
旋转90°至△CBE′的位置．若AE=1，
BE=2，CE=3，则∠BE′C= ．
6.如图，在□ABCD 中，∠A=70°，将该
平行四边形折叠，使点C，D 分别落
在点E，F 处，折痕为MN．若点E，
F 均在直线AB 上，则∠AMF= ．
7.如图，在正方形纸片ABCD 中，E，F 分别是AD，BC 的中点，
沿过点B 的直线折叠，使点C 落在EF 上，落点为N，折痕交CD 边于点M，BM 与EF 交于点P，再展开．则下列结论：
①CM=DM；②∠ABN=30°；③AB2 3CM 2 ；④△PMN 是等
边三角形．其中正确的是．（填序号）
第7 题图第8 题图
8.已知一个矩形纸片OABC，OA=6，点P 为AB 边上一点，AP=2，
将△OAP 沿OP 折叠，点A 落在点A′处，延长PA′交边OC 于点D，经过点P 再次折叠纸片，点B 恰好落在点D 处，则AB 的长为．
9.如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=9，将此长方形折叠，
使点D 与点B 重合，点C 的对应点为点C′，折痕为EF，则EF 的长为．
10.如图，矩形纸片ABCD，AB=5，BC=10，CD 上有一点E，ED=2，
AD 上有一点P，PD=3，过P 作PF⊥AD 交BC 于点F，将纸片折叠，使点P 与点E 重合，折痕与PF 交于点Q，与AD
交于点G，则PQ 的长为．
11.如图，在四边形ABCD 中，已知△ABC 是等边三角形，
∠ADC=30°，AD=3，BD=5，则CD 的长为．
➢思考小结
请结合本讲所学内容，回忆三大变换的思考层次
、
；
平移旋转轴对称
①全等变换：①全等变换：①全等变换：
对应线段平行对应线段相等、对应角相对应线段相等
（或在一条直等；对应角相等；
线上）且相等、②对应点：②对应点：
性质
对应角相等；
②对应点：
对应点到旋转中心的距离
相等；
对应点所连线
段被对称轴垂对应点所连线对应点与旋转中心的连线直平分；
段平行（或在所成的角都等于旋转角；对称轴上的点
一条直线上）对应点所连线段的垂直平到对应点的距
且相等．分线都经过旋转中心．离相等．
平移会出现平旋转会出现等腰三角形，矩形背景下常
行四边形．特别地，旋转60°会出现等出现等腰三角组合
搭配
边三角形，旋转90°会出现
等腰直角三角形．
形；
两次折叠常出
现直角、60°角
折叠会出现圆
弧等．常应用在天桥当题目中出现等线段共端常应用在最值
问题、存在性问点时，会考虑构造旋转．问题等．
应用题等．（常见于图形中有正方
形、等边三角形、等腰三
角形等）
【参考答案】
1. 8
2. 8
3. B
2
4.
2
5. 135°
6. 40°
7. ②③④
8. 12
9. 10
13
10.
4
11. 4。