中考几何三大变换(含答案17页)

中考几何变换专题复习（针对几何大题的讲解）几何图形问题的解决，主要借助于基本图形的性质（定义、定理等）和图形之间的关系(平行、全等、相似等）.基本图形的许多性质都源于这个图形本身的“变换特征”，最为重要和最为常用的图形关系“全等三角形”极多的情况也同样具有“变换”形式的联系.本来两个三角形全等是指它们的形状和大小都一样，和相互间的位置没有直接关系，但是，在同一个问题中涉及到的两个全等三角形，大多数都有一定的位置关系（或成轴对称关系，或成平移的关系，或成旋转的关系（包括中心对称）.这样，在解决具体的几何图形问题时，如果我们有意识地从图形的性质或关系中所显示或暗示的“变换特征”出发，来识别、构造基本图形或图形关系，那么将对问题的解决有着极为重要的启发和引导的作用.下面我们从变换视角以三角形的全等关系为主进行研究.1．已知正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作EF⊥BD交BC 于F，连接DF，G 为DF 中点，连接 EG，CG．（1）求证：EG=CG；（2）将图①中△BEF绕B 点逆时针旋转 45°，如图②所示，取 DF 中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）将图①中△BEF绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．解决图形问题的能力，核心要素是善于从综合与复杂的图形中识别和构造出基本图形及基本的图形关系，而“变换视角”正好能提高我们这种识别和构造的能力.考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；正方形的性质。

专题：压轴题。

分析：（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出 CG=EG．（2）结论仍然成立，连接 AG，过 G 点作MN⊥AD于M，与 EF 的延长线交于 N 点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到 MG=NG；再证明△AMG≌△ENG，得出 AG=EG；最后证出 CG=EG．（3）结论依然成立．还知道EG⊥CG．解答：（1）证明：在Rt△FCD 中，∵G为DF 的中点，∴CG=FD，同理，在Rt△DEF中，EG=FD，∴CG=EG．（2）解：（1）中结论仍然成立，即 EG=CG．证法一：连接 AG，过 G 点作MN⊥AD于M，与 EF 的延长线交于 N点．在△DAG 与△DCG 中，∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴△DAG≌△DCG，∴AG=CG；在△DMG 与△FNG 中，∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG，∴MG=NG；在矩形 AENM 中，AM=EN，在△AMG与△ENG 中，∵AM=EN，∠AMG=∠ENG，MG=NG，∴△AMG≌△ENG，∴AG=EG，∴EG=CG．证法二：延长 CG 至M，使 MG=CG，连接 MF，ME，EC，在△DCG 与△FMG 中，∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，∴△DCG≌△FMG．∴MF=CD，∠FMG=∠DCG，∴MF∥CD∥AB，∴EF⊥MF．在Rt△MFE与Rt△CBE中，∵MF=CB，EF=BE，∴△MFE≌△CBE∴∠MEF=∠CEB．∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°，∴△MEC 为直角三角形．∵MG=CG，∴EG=MC，∴EG=CG．（3）解：（1）中的结论仍然成立．即EG=CG．其他的结论还有：EG⊥CG．点评：本题利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质．2．（1）如图 1，已知矩形 ABCD 中，点 E 是BC 上的一动点，过点 E 作EF⊥BD 于点F，EG⊥AC于点G，CH⊥BD于点H，试证明 CH=EF+EG；（2）若点 E 在BC 的延长线上，如图 2，过点 E 作EF⊥BD于点 F，EG⊥AC的延长线于点 G，CH⊥BD于点 H，则 EF、EG、CH 三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；（3）如图 3，BD 是正方形 ABCD 的对角线，L 在BD 上，且 BL=BC，连接 CL，点 E 是 CL 上任一点，EF⊥BD于点 F，EG⊥BC于点 G，猜想 EF、EG、BD 之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；（4）观察图 1、图 2、图 3 的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有 EF、EG、CH 这样的线段，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论．考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；正方形的性质。

专题：几何综合题。

分析：（1）要证明 CH=EF+EG，首先要想到能否把线段 CH 分成两条线段而加以证明，就自然的想到添加辅助线，若作CE⊥NH于 N，可得矩形 EFHN，很明显只需证明 EG=CN，最后根据 AAS 可求证△EGC≌△CNE得出结论．（2）过C 点作CO⊥EF于O，可得矩形 HCOF，因为 HC=DO，所以只需证明 EO=EG，最后根据 AAS 可求证△COE≌△CGE得出猜想．（3）连接 AC，过 E 作EG 作EH⊥AC于H，交 BD 于O，可得矩形 FOHE，很明显只需证明 EG=CH，最后根据 AAS 可求证△CHE≌△EGC得出猜想．（4）点P 是等腰三角形底边所在直线上的任意一点，点 P 到两腰的距离的和（或差）等于这个等腰三角形腰上的高，很显然过 C 作CE⊥PF于E，可得矩形 GCEF，而且 AAS 可求证△CEP≌△CNP，故 CG=PF﹣PN．解答：（1）证明：过 E 点作EN⊥GH 于N（1 分）∵EF⊥BD，CH⊥BD，∴四边形 EFHN 是矩形．∴EF=NH，FH∥EN．∴∠DBC=∠NEC．∵四边形 ABCD 是矩形，∴AC=BD，且互相平分∴∠DBC=∠ACB∴∠NEC=∠ACB∵EG⊥AC，EN⊥CH，∴∠EGC=∠CNE=90°，又 EC=EC，∴△EGC≌△CNE．（3 分）∴EG=CN∴CH=CN+NH=EG+EF（4 分）（2）解：猜想 CH=EF﹣EG（5 分）（3）解 BD（6 分）（4）解：点 P 是等腰三角形底边所在直线上的任意一点，点 P 到两腰的距离的和（或差）等于这个等腰三角形腰上的高．如图①，有 CG=PF﹣PN．注：图（1 分）（画一个图即可），题设的条件和结论（1 分）点评：此题主要考查矩形的性质和判定，解答此题的关键是作出辅助线，构造矩形和三角形全等来进行证明．3．如图 1，点 P 是线段 MN 的中点．（1）请你利用该图 1 画一对以点 P 为对称中心的全等三角形；（2）请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：①如图 2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB＞AC，点 D 是BC 边中点，过 D 作射线交AB 于E，交 CA 延长线于 F，请猜想∠F等于多少度时，BE=CF（直接写出结果，不必证明）；②如图 3，在△ABC 中，如果∠BAC 不是直角，而（1）中的其他条件不变，若 BE=CF 的结论仍然成立，请写出△AEF必须满足的条件，并加以证明．考点：作图—复杂作图；全等三角形的判定；等腰三角形的判定。

专题：证明题；开放型。

分析：（1）以P 点为中心，依次做两条相互交叉但长度相等的线段，可得两个全等三角形；（2）当BE=CF 时，∠F的结论成立；第 2 小题需要用到辅助线的帮助．延长 FD 到点 G，使得 FD=GD，连接 BG，证明△DCF≌△DBG后推出∠F=∠G，CF=BG，从而证明 BE=CF．解答：解：（1）如图：画图正确（2 分）（2）①∠F=45°时，BE=CF．（2 分）②答：若 BE=CF 的结论仍然成立，则AE=AF，△AEF 是等腰三角形．（1 分）证明：延长 FD 到点 G，使得 FD=GD，连接 BG．∵点 D 是BC 边中点，∴DC=DB在△DCF 和△DBG 中∴△DCF≌△DBG．（2 分）∴∠F=∠G，CF=BG（1 分）当△AEF 是等腰三角形，AE=AF 时，∠F=∠2，∵∠1=∠2，∴∠1=∠G．∴BE=BG．∴BE=CF．（2 分）点评：本题涉及全等三角形，等腰梯形的相关性质和判定，并考查学生的作图能力，为综合题型，难度中上．4．如图①，OP 是∠AOB 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B=60°，AD、CE 分别是∠BAC、∠BCA 的平分线，AD、CE 相交于点 F．请你判断并写出 FE 与FD 之间的数量关系；（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB 不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．考点：全等三角形的判定与性质。

专题：探究型。

分析：根据要求作图，此处我们可以分别做两边的垂线，这样就可以利用 AAS 来判定其全等了．先利用 SAS 来判定△AEF≌△AGF．得出∠AFE=∠AFG，FE=FG．再利用 ASA 来判定△CFG≌△CFD 得到 FG=FD 所以 FE=FD．解答：解：在 OP 上任找一点 E，过 E 分别做CE⊥OA于C，ED⊥OB于D．如图①，（1）结论为 EF=FD．如图②，在 AC 上截取 AG=AE，连接 FG．∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠1=∠2，在△AEF与△AGF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS）．∴∠AFE=∠AFG，FE=FG．由∠B=60°，AD，CE 分别是∠BAC，∠BCA 的平分线，∵2∠2+2∠3+∠B=180°，∴∠2+∠3=60°．又∠AFE 为△AFC 的外角，∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=∠2+∠3=60°．∴∠CFG=60°．即∠GFC=∠DFC，在△CFG与△CFD中，，∴△CFG≌△CFD（ASA）．∴FG=FD．∴FE=FD．（2）EF=FD 仍然成立．如图③，过点 F 分别作FG⊥AB 于点 G，FH⊥BC 于点 H．∴∠FGE=∠FHD=90°，∵∠B=60°，且 AD，CE 分别是∠BAC，∠BCA 的平分线，∴∠2+∠3=60°，F 是△ABC 的内心∴∠GEF=∠BAC+∠3=60°+∠1，∵F 是△ABC 的内心，即 F 在∠ABC 的角平分线上，∴FG=FH（角平分线上的点到角的两边相等）．又∠HDF=∠B+∠1（外角的性质），∴∠GEF=∠HDF．在△EGF与△DHF中，，∴△EGF≌△DHF（AAS），∴FE=FD．点评：此题考查全等三角形的判定方法，常用的方法有 SSS，SAS，AAS，HL 等．5．如图，已知矩形ABCD，AB=，BC=3，在BC 上取两点E、F（E 在F 左边），以EF 为边作等边三角形 PEF，使顶点 P 在AD 上，PE、PF 分别交 AC 于点G、H．（1）求△PEF 的边长；（2）若△PEF的边EF 在线段 BC 上移动．试猜想：PH 与BE 有什么数量关系？并证明你猜想的结论．考点：矩形的性质；等边三角形的性质。