初中几何专题五：图形变换问题
中考数学几何图形的变换历年真题解析
中考数学几何图形的变换历年真题解析几何图形的变换是中考数学中的重要内容，涉及平移、旋转、翻转等多种变换方式。
通过对历年真题的解析，我们可以更好地理解和掌握这些变换的方法和应用。
下面将对数学中考几何图形的变换部分进行详细解析。
一、平移变换平移变换是指将一个图形在平面上沿着一定方向移动一定的距离，保持图形形状和大小不变。
在中考中，常常要求计算平移后的图形坐标或者确定平移向量的特征等。
例题1：已知点A(3,4)，将点A沿向量(2,-3)平移，记平移后的点为B。
求点B的坐标。
解析：根据平移的定义和向量的性质，我们知道平移后点的坐标等于原来点的坐标加上平移向量的坐标。
所以，点B的坐标为(3+2, 4-3)，即B(5,1)。
例题2：如图，平行四边形ABCD经过平移变换得到新的平行四边形A'B'C'D'，其中AB=3cm，CB=4cm，平移向量为v，求平移向量v的坐标。
解析：首先，我们可以利用平行四边形的性质推导出平移向量v的坐标与平行四边形的对应边的向量相等。
由于AB在变换前和变换后分别与A'B'、B'C'平行，所以v的坐标等于AB的坐标，即v=(3, 0)。
二、旋转变换旋转变换是指将一个图形绕着一定的旋转中心按一定的角度旋转。
在中考中，常常要求计算旋转后的图形坐标或者确定旋转角度的特征等。
例题3：如图，A、B、C三点在平面内，点A经过逆时针旋转90°得到点B，点B经过逆时针旋转90°得到点C，求点C的坐标。
解析：根据旋转的性质，我们可以得出旋转90°后，点的坐标分别等于原来点的y坐标、-x坐标。
所以，点C的坐标为(-2, 3)。
例题4：如图，正方形ABCD绕顶点A顺时针旋转90°得到新图形，求旋转后点C的坐标。
解析：根据旋转的性质，我们可以将旋转90°看作将原点逆时针旋转90°。
因此，旋转后点C的坐标为(-1, 1)。
初中数学图形变换知识点整理
初中数学图形变换知识点整理初中数学中，图形变换是一个重要的知识点，它包括了平移、旋转、对称和放缩四个部分。
这些变换不仅在初中数学中有着广泛的应用，也是进一步学习几何知识和应用问题的基础。
下面将对这些知识点进行整理和阐述。
一、平移平移是指将一个图形沿着一定的方向和距离移动，平移后的图形与原图形相似，只是位置发生了改变。
在平移中，有以下几个关键概念需要注意：1. 平移的向量：平移是向量的运算，表示为→AB，表示从点A到点B的位移，也可以表示成矢量形式(AB)。
2. 平移的性质：平移具有保持图形大小、形状和方向不变的性质。
即平移后的图形与原图形全等。
3. 平移的规律：平移的规律可以总结为“横坐标加上有向线段的横坐标，纵坐标加上有向线段的纵坐标”。
即新图形的坐标为(x+a，y+b)，其中a和b为向量→AB的横纵坐标。
二、旋转旋转是指将一个图形围绕一个中心点旋转一定的角度，旋转后的图形与原图形形状相似，但方向可能有所改变。
在旋转中，要注意以下几个关键概念：1. 旋转中心：旋转中心是图形旋转的轴心点，围绕该点进行旋转。
旋转中心可以是图像的一个顶点、中点或者其他位置。
2. 旋转角度：旋转角度是指图形旋转的角度，可以是正数也可以是负数。
顺时针旋转角度为负，逆时针旋转角度为正。
3. 旋转规律：旋转后的图形的顶点坐标可以通过坐标公式得出。
对于顺时针旋转，坐标公式为：新坐标点的横坐标为原坐标点的纵坐标，新坐标点的纵坐标为原坐标点的横坐标的相反数。
对于逆时针旋转，公式则相反。
三、对称对称是指图形通过某一条直线、点或平面变换后重合，这条直线、点或平面称为对称轴。
对称中需要注意以下几个关键概念：1. 对称轴：对称轴是图形对称的参考线。
对称轴可以是一条直线、一个点或平面。
2. 对称性质：对称是指图形经过对称变换后，与原图形完全重合，即图形左右对称、上下对称或中心对称。
3. 对称变换规律：对称变换后的图形的坐标可以通过规律得出。
几何图形的变换练习题
几何图形的变换练习题
1. 平移：
(1) 将正方形ABCD顺时针平移4个单位，得到新的正方形EFGH。
若A(-3,2)，求新的正方形的顶点坐标。
2. 旋转：
(1) 将三角形ABC顺时针旋转90°，得到新的三角形DEF。
已知
A(-1,2)，B(3,4)，C(2,1)，求新的三角形的顶点坐标。
3. 对称：
(1) 将矩形EFGH关于y轴进行对称，得到新的矩形IJKL。
已知
E(2,3)，F(5,3)，G(5,1)，H(2,1)，求新的矩形的顶点坐标。
(2) 将点P(3,4)关于x轴进行对称，得到新的点Q。
求点Q的坐标。
4. 缩放：
(1) 将正方形MNPQ按照原点为中心，缩小一半，得到新的正方形RSTU。
若M(2,2)，求新的正方形的顶点坐标。
5. 组合变换：
(1) 将三角形VWX顺时针旋转60°，然后再将旋转后的三角形关于
y轴进行对称，得到新的三角形YZT。
已知V(1,1)，W(4,3)，X(2,5)，
求新的三角形的顶点坐标。
以上为几何图形的变换练习题，通过练习可以加深对平移、旋转、
对称和缩放等变换操作的理解和掌握。
通过计算坐标，可以推算出新
图形的顶点坐标，从而绘制出变换后的图形。
练习题的难度逐步增加，建议先从简单的开始，逐步挑战更复杂的变换操作，提高对几何变换
的熟练度。
初中数学专题：几何图形的变换经典题型（平移、旋转、翻折）初中数学几何图形题型
初中数学专题：几何图形的变换经典题型（平移、旋转、翻折）初中数学几何图形题型解题思路：几何图形问题的解决，主要借助于基本图形的性质（定义、定理等）和图形之间的关系(平行、全等、相似等）.基本图形的许多性质都源于这个图形本身的“变换特征”，最为重要和最为常用的图形关系“全等三角形”极多的情况也同样具有“变换”形式的联系.本来两个三角形全等是指它们的形状和大小都一样，和相互间的位置没有直接关系，但是，在同一个问题中涉及到的两个全等三角形，大多数都有一定的位置关系（或成轴对称关系，或成平移的关系，或成旋转的关系（包括中心对称）.这样，在解决具体的几何图形问题时，如果我们有意识地从图形的性质或关系中所显示或暗示的“变换特征”出发，来识别、构造基本图形或图形关系。
经典题型：一、平移经典问题如图，抛物线C1：Y=X的平方减4X,将抛物线C1向上平移5个单位长度得到抛物线C2,则抛物线C2的顶点坐标为；图中的两条抛物线、直线X=A(A二、折叠经典问题矩形纸片ABCD的边长AB=4，AD=2．将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在其一面着色（如图），则着色部分的面积是多少？三、平移旋转经典问题二次函数Y=二分之一乘以X的平方减2X减2，二分的图象在坐标平面内绕顶点旋转180°，再向左平移3个单位，向上平移5个单位后图象对应的二次函数解析式是多少？四、压轴题在如图的方格纸中有一个Rt△ＡＢＣ（A、B、C三点均为格点），∠C=90°．现将Rt△ABC绕点B顺时针旋转90°后所得到的Rt△A'BC'.（1）画出Rt△A'BC',其中A、C的对应点分别是A'、C'（2）试求出线段ＡＣ所经过区域的面积S.指导机构：家家乐教育立家学校2018小学奥数专题六：经济问题的经典题型以及解题方法2017-2018上学期六年级小升初数学出错率最高的47题2018小学奥数专题五：循环小数的经典题型以及解题方法2018初中数学专题：特殊图形中的动点问题归纳及解题方法特别声明：以上文章内容仅代表作者本人观点，不代表新浪看点观点或立场。
初中数学图形变换知识点整理
初中数学图形变换知识点整理图形变换是初中数学中的重要内容，它涵盖了平移、旋转、翻折和放缩等多个知识点。
了解图形变换的概念和基本原理，对于学好初中数学和几何学有着重要的意义。
本文将对初中数学图形变换的知识点进行整理和总结。
首先，我们来讨论平移。
平移是指在平面内保持大小和形状不变，只改变位置的变换。
通过平移变换，图形在平面内沿着某一方向移动，可以描述为向上、向下、向左或向右平移。
平移的关键是平移向量，它由水平方向和垂直方向的平移量组成。
平移变换可以用向量法来表示，即将平移向量的水平位移和垂直位移分别应用到图形的每一个点上。
接下来是旋转变换。
旋转是指围绕某一点旋转图形的变换。
在旋转变换中，旋转中心是关键点，它决定了旋转的中心和方向。
通过角度来确定旋转的大小，顺时针旋转和逆时针旋转分别由正负角度表示。
旋转变换可以用正弦和余弦函数来表示，通过坐标变换的方式来实现。
对于一个图形中的点，通过将其坐标按照旋转公式进行计算，可以得到旋转后的新坐标。
第三个知识点是翻折变换。
翻折是指关于某条直线对称的变换。
在翻折变换中，直线称为对称轴，它决定了翻折的位置和方向。
通过关于对称轴两侧的点对应，可以得到翻折后的新图形。
对称轴可以是水平线、垂直线或斜线，只要两侧的点位置对应即可。
翻折变换也可以通过坐标变换的方式来实现，通过确定翻折的对称轴和对称中心，将图形上的点按照对称关系进行计算。
最后是放缩变换。
放缩是指改变图形的尺寸大小的变换。
放缩变换可以分为放大和缩小两种情况。
放大是指增加图形的尺寸，缩小是指减小图形的尺寸。
放缩变换可以通过改变图形的横坐标和纵坐标的比例因子来实现。
比例因子大于1时图形放大，小于1时图形缩小。
放缩变换还可以通过矩阵变换的方式来实现，通过对图形的顶点坐标进行矩阵运算，可以得到放缩后的新坐标。
在实际问题中，图形变换常常与应用问题相结合。
例如，在地图上标记某一城市的位置时，可以通过平移变换将城市的位置标记到地图上的正确位置；在建筑设计中，可以使用旋转变换来调整建筑物的朝向；在布艺设计中，可以使用翻折变换来设计出各种不同的花纹；在制作模型时，可以使用放缩变换来控制模型的尺寸大小。
几何(网格、尺规)作图+第五章 图形的变换与作图+课件+2025年中考数学一轮总复习第五章
1
②分别以点D，E为圆心，大于 DE长
2
为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相
交于点F，作射线BF交AC于点G.则
∠ABG的大小为 35
度.
6.如图，在平面直角坐标系中，若将△ABC绕点C顺
时针旋转90°得到△A1B1C，则点B的对应点B1的坐标
为
（2，－1）.
7.如图，在菱形ABCD中，按如下步骤作图：
交线段BO于点D，交BC于点E；
②以点O为圆心，BD长为半径画弧，交
线段OA于点F；
③以点F为圆心，DE长为半径画弧，交前一条弧于点
G，点G与点C在直线AB同侧；
④作直线OG，交AC于点M.
下列结论不一定成立的是（
D ）
A.∠AOM＝∠B
B.∠OMC＋∠C＝180°
C.AM＝CM
1
D.OM＝ AB
1
①分别以点C，D为圆心，大于 CD长为半径作弧，两弧交于
2
点M，N；
②作直线MN，且MN恰好经过点A，
与CD交于点E，连接BE.
若AD＝4，则BE的长为 2 7
.
8.（2024·龙东）如图，在正方形网格中，每个小正方
形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，
△ABC的三个顶点坐标分别为A（－1，1），B（－2，
若射线AP恰好经过点E，则下列四个结
论：①∠C＝30°；②AP垂直平分线段
1
BF；③CE＝2BE；④S△BEF＝ S△ABC.其中
6
正确结论的个数有（ D
A.1个 B.2个 C.3个
）
D.4个
5.（2024·甘孜州）如图，在△ABC
中，AB＝AC，∠A＝40°，按如下步
专题5 旋转(初中数学)
元调复习专题5—图形的旋转，平移和轴对称★核心知识梳理1、 图形的平移（经过平移所得的图形与原来的图形的对应线段_________，对应角_________，连接各组对应点的线段_________．2、轴对称图形，轴对称（1）轴对称与轴对称图形（2）轴对称的性质：连接任意一对对应点的线段被对称轴______________．3、图形的旋转(1)旋转定义：(2)旋转性质：(3)中心对称定义：(4)中心对称性质：★典型例题讲解一、几何变换与角度问题例1.如图，矩形ABCD ，∠DAC=650，点E 是CD 上一点，BE 交AC 于点F,将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点C’处，求∠AFC’的度数。
练习.1.如图，△COD 是△AOB 绕点O 顺时针旋转40°后得到的图形，若点C 恰好落在AB 上，且∠AOD 的度数为90°，则∠B 的度数是 ．二、几何变换中线段计算与证明例2：如图，P 是等边三角形ABC 内一点，PA=2，PB=2√3，PC=4，求△ABC 的边长练习：1.如上图 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=1，BC=，点O 为Rt △ABC 内一点，连接A0、BO 、CO ，且∠AOC=∠COB=BOA=120°，（1）求∠ABC 和∠A′BC 的度数；（2）求OA+OB+OC 的值．2.如图1，在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，把△ABC 绕点A 旋转到△ADE 的位置，DE 交BC 于点M ，连接AM ．（1）求证：∠AMB=∠AME ；（2）如图2，AD 交BC 于H ，在边AE 上取一点G ，使DH=EG，连接GC ，求点A 到直线CG 的距离3.如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1=；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=1+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=2+；…，按此规律继续旋转，直至得到点P2014为止．则AP2014= .三、几何变换与点的坐标例3.在平面直角坐标系中，O为原点，点A（-2，0），点B（0，2），点E，点F分别为OA，OB的中点.若正方形OEDF 绕点O顺时针旋转，得正方形OE’D’F’，记旋转角为α.（Ⅰ）如图①，当α＝90°，求AE’，BF’ 的长；（Ⅱ）如图②，当α＝135°，求证AE’ ＝BF’，且AE’ ⊥BF’；（Ⅲ）若直线AE’与直线BF’相交于点P，求点P的纵坐标的最大值（直接写出结果即可）练习：1.点A的坐标为（2，0），把点A绕着坐标原点旋转135º到点B，那么点B的坐标是_________ ．2.如图，直线443y x=-+与x轴、y轴分别交于A、B两点，把AOB△绕点A顺时针旋转90°后得到AO B''△，则直线A B'的解析式是．3.（2013•武汉）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2；（2）若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2；请直接写出旋转中心的坐标；（3）在x轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．四、综合题例4. （2015•连云港）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．(1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．(2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长．(3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△GHE与△BHD 面积之和的最大值，并简要说明理由．练习：(2015北京东城)已知：Rt△A′BC′和Rt△ABC重合，∠A′C′B=∠ACB=90°，∠BA′C′=∠BAC=30°，现将Rt△A′BC′绕点B按逆时针方向旋转角α（60°≤α≤90°），设旋转过程中射线C′C和线段AA′相交于点D,连接BD．（1）当α=60°时，A’B 过点C，如图1所示，判断BD和A′A之间的位置关系，不必证明；BA C （2）当α=90°时，在图2中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍然成立，不必证明；（3）如图3，对旋转角α（60°＜α＜90°），猜想（1）中的结论是否仍然成立；若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由.【典型练习基础篇】一、选择题：( ) 1．如图所示的图案绕旋转中心旋转后能够与自身重合，那么它的旋转角可能是A ．60ºB ．90ºC ．72ºD ．120º()2．如图，△ABC 绕A 按逆时针方向旋转一定的角度后成为△AB′C′.则下列等式中：①BC=B′C′；②∠BAB′=∠CAC′；③∠ABC=∠AB′C′； ④△ABB′≌△ACC′．其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个( )3．在“线段、等腰三角形、等边三角形、矩形、菱形、圆”这几个图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的个数是 A ．6个 B ．5个 C ．4个 D ．3个( )4．在图形旋转中，下列说法错误的是A.图形上各对应点的旋转角度相同;B.对应点到旋转中心距离相等;C.由旋转得到的图形也一定可以由平移得到;D.旋转不改变图形的大小、形状（ ）5.在平面直角坐标系中，已知点C （0，3），D （1，7），将线段CD 绕点M （3，3）旋转180°后，得到线段AB ，则线段AB 所在直线的函数解析式是A ．y=3x+15B ．y=3x-15C ．y=15x-3D ．y=-15x+3( )6. 在等边△ABC 中，D 是边AC 上一点，连接BD ，将△BCD 绕点B 逆时针旋转60°，得到△BAE ，连接ED ，若BC=5，BD=4．则下列结论错误的是A ．AE ∥BC ；B ．∠ADE=∠BDC ； C ．△BDE 是等边三角形；D ． △ADE 的周长是9二、填空题7．如图，将Rt △ABC 绕直角顶点C 点逆时针旋转得到△A'CB'，若∠A'CB=160º，则此图形旋转角是 度．第7题 第8题 第9题8．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，△A′B′C 可以由△ABC 绕点C 顺时针旋转得到，其中点A′与点A 是对应点，点B′与点B 是对应点，连接AB′，且A 、B′、A′在同一条直线上，则AA′的长为9．如图，P 是正三角形ABC 内的一点，且PA=6，PB=•8，•PC=10，若将△PAC 绕点A 逆时针旋转后，•得到△P •′AB ，•则点P •与点P •′之间的距离为_____，∠APB=_______°．10．若点(a ＋l ，3)与点(－2，b －2)关于x 轴对称，则点P(－a ，b)关于原点的对称点坐标是 ．三、解答题第1题图 第2题图第5题图 第6题图11.（1）点（1，2）绕原点O 逆时针旋转90°得到的点的坐标是 ；（2）直线y=2x 绕原点O 逆时针旋转90°得到的直线解析式是 ；（3）求直线y=2x+3绕原点O 逆时针旋转90°得到的直线解析式.12.（2015•武汉）如图，已知点A （﹣4，2），B （﹣1，﹣2），平行四边形ABCD 的对角线交于坐标原点O ．（1）请直接写出点C 、D 的坐标；（2）写出从线段AB 到线段CD 的变换过程；（3）直接写出平行四边形ABCD 的面积．13.如图，正方形ABCD 和平行四边形CPEF ，点P 在射线AB 上，点E 在边AD 上，作FG ⊥AD 于G 。
初三中考总复习——图形变换
BF⊥ AC 于点 F，AE，BF 相交于点 M ，连接 DE ，DF . 则 DE ，DF 的数量关系为
.
【拓展】如图 2，在△ AB C中 ，C B= CA ，点 D 是 AB边的 中点 ，点 M 在 △ A B C的内部 ，且 ∠
C' B'
性 (1) 平 移 前 后 的 图 形 全 (1) 关于某条直 (1) 旋转前后的图 ⑴关于中心对称的两
质 等；
线对称的两个图 形全等；
个图形， 对称点所连线
(2) 对应线段平行 ( 或共 形全等；
(2) 对应点到旋转 段都经过对称中心， 并
线 ) 且相等；
(2) 对称点所连 中心的距离相等； 且被对称中心平分 .
同时对于抛物线的连续性理解不到位 .
例 9（ 2013.1 海淀期末）．抛物线 y mx2 ( m 3) x 3(m 0) 与 x 轴交于 A、B 两点，且 点 A 在点 B 的左侧，与 y 轴交于点 C，OB=OC ．
（ 1）求这条抛物线的解析式；
（ 2）若点 P (x1,b ) 与点 Q ( x2 ,b ) 在（ 1）中的抛物线上，且 x1 x2 ，PQ=n .
中心对称 .
西总 P88 例 1
例 6（ 2014 顺义二模）如图，正方形 ABCD 的边长为 3，点 E， F 分别在边 AB， BC 上， AE
＝ BF＝ 1，小球 P 从点 E 出发沿直线向点 F 运动，每当碰到正方形的 D
C
边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球
P 第一次碰到 BC 边时，
西城区教育研修学院·初三数学研修活动
初三中考总复习 —— 图形变换
西城外国语学校 袁慎鹏
2015.3.26
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初中几何专题五：图形变换问题一、旋转旋转变换：定义：将平面图形F绕这个平面内一定点O在这个平面内旋转（顺时针和逆时针）一个角α得到新图形F’，这种几何变换叫做旋转变换，定点O叫做旋转中心，定角α叫做旋转角，如图所示。
→①图形与图形是全等形。
②图形F与图形F’的对应线段相等。
③图形F与图形F’的对应线段上的对应点的顺序相同。
④若图形F上一点A在图形F上的对应点为A’，则∠AOA‘=α⑤图形F与图形F’的对应角相等。
⑥图形F与图形F’的任意一对对应线段（或延长线）的夹角都等于α（0°＜α≤90°）或180°-α（90°＜α＜180°）[注]：旋转变换法是通过图形的旋转变换，借助图形各元素之间的新旧位置关系探索解题途径的一种方法，它的关键是选择适当的旋转中心，寻找合适的旋转角，正确运用旋转变换的六条性质去解题。
解题策略：图形的旋转是把图形的一部分或全部绕着一个确定的点从一个位置移动到另一个位置。
通过旋转可以把题目中一些不明朗的关系明朗化，它的最大特点是在旋转过程中旋转部分两点之间的距离不变、两直线间的夹角不变和对应直线的夹角等于旋转角。
它的使用范围一般是等腰三角形或中心对称图形。
有时再结合基本辅助线添加更能体现其在添加辅助线中的优势。
一、基本性质应用例1：如图所示，用一张半透明的薄纸覆盖在画有任意△AOB的纸上，在薄纸上画出与△AOB重合的一个三角形，然后用一板图钉在点O处固定。
将薄纸绕着图钉（即O点）转动一个角度450，薄纸上的三角形就旋转到了新的位置，标上A ˊ，O，Bˊ，我们可以认为△AOB旋转450后变为△AˊOBˊ，从图中我们可以发现点A旋转到点Aˊ，OA旋转OAˊ，∠AOB旋转到∠AˊOBˊ，这些都是相互对应的点，线段与角，请你再仔细观察图形回答。
（1）点B的对应点是哪一个点？线段OB的对应线段是哪一个线段？∠B的对应叫是哪个角？（2）在将△AOB旋转到△AˊOBˊ的位置时，旋转中心是哪一个点？旋转角度是多少°？（3）△AOB的边OB的中心D的对应点在哪里？解；根据图示可以发现：点B的对应点是Bˊ，线段OB的对应线段是OBˊ，∠B的对应角是∠Bˊ；旋转中心是点O ，旋转的角度是450；△AOB 的边OB 的中心D 的对应点为对应边线段OB 的中心D 二、旋转时对称图形的认识与区分如图所示：我们可以发现等边三角形，平行四边行，圆，它们都是一个共同点，这些图形能与自身重合像这种一个图形绕着某一点旋转一定角度后能与自身重合的图形是旋转对称图形。
例1：在上述三个基本平面图形中，他们的旋转中心是哪一点，旋转角度是多少？对于这三个旋转图形的旋转方式是不是只有一种呢？解析：等边三角形的旋转中心是其三边垂直平分线（三个内角平分线）的交点；它围绕其中心旋转1200后能与自身重合，平行四边行的旋转中心是对角线交点，它围绕其旋转中心旋转1800后能与自身重合，而圆的旋转中心是其圆心，它围绕其圆心旋转任意一个角度都能与自身重合。
例2：如图在△ABC 的斜边AB 上取两点E ，F ，使∠FCE=450。
若AE=a ，EF=b ，FB=c 。
则以 a ，b ，c 为边的三角形是什么三角形？ 研究对象：确定三角形的类型 角度：旋转解析：将△ACE 绕点C 逆时针旋转900，得到△BCD ，连接DF 。
显然△AC E ≌△BCD ，∴AE=BD=a,CE=CD ,∠ACE=∠BCD,易得∠DCF=450.所以△ECF ≌△DCF,所以DF=EF=b,再由旋转的性质可得AB ⊥BD.所以△FBD 是直角三角形,所以a,b,c 为边的三角形是直角三角形. 三、旋转思想的应用例1：如图，正方形ABCD 中，E 为BC 边上一点，∠EAD 的平分线交DC 与F 。
求证：B E ＋DF=AE 研究对象：B E ＋DF=AE 角度： 旋转解析：把△ADF 绕点A 顺时针旋转900到△ABG 的位置，由BG=DF 知。
只需证EG=EA 即可。
因而需要证∠G=∠EAG 。
证明：把△ADF 绕点A 顺时针旋转900到△ABG 的位置，则BG=DF 。
∠G=∠DFA 。
∠1=∠4。
因为DC ∥AB 。
所以∠DFA=∠FAB 。
因为∠1=∠2。
所以∠2=∠4所以∠2＋∠3=∠4＋∠3。
即∠FAB=∠EAG 所以∠EAG=∠G 所以EA=EG=BE+GB=BE+FD 。
FE NMCBDA例2：如图：分别以△ABC 的边AB 、AC 和BC 为边作等边△ABD 、等边△ACF 、等边△BCE ，求证：ADEF 是平行四边形。
证明：如图以B 为旋转中心，将△CAB 按逆时针旋转60°，∵BC=BE,BA=BD,∠CBA=∠EBD,∴△CBA 按逆时针方向旋转60°后恰好与△EBD 重合，于是，由旋转变换的性质6可知，CA 的延长线与DE 的延长线的夹角为60°，又∠CAF=60°,∴AF ∥DE ，又DE=AC=AF,∴ADEF 是一个平行四边形。
例3：如图，已知△ABC 中，点M 是BC 边上的中点，过M 作∠BAC 的平分线AD 的平行线交AB 于E ，交CA 的延长线于F 点。
求证：BE=CF分析：这一题的已知条件中有M 是线段BC 的中点， 即点M 为线段BC 的对称中心，同时考虑到相似三角 形中的基本图形“8”字形，故可将△FMC 绕中点 M 旋转180°，这时线段CF 也由原来的位置移动到线段 BN 位置，而BN 、E 同在△BEN 中，只要证明△BEN为等腰三角形即可。
而∠Ｎ＝∠Ｆ，∠BEM=∠FEA ，只要证明∠FEA=∠F 。
又∠F=∠CAD ，∠FEA=∠BAD ，AD 又是角平分线，从而此题可证。
此题的解题关键在于将线段CF 旋转到线段BN ，从而将要证明相等的两条线段集中到一个三角形中，而这一考虑正是基于点M 为线段BC 的中点（对称中心），因此，有中心对称图形的几何题的辅助线添加不妨仿此一试。
二、轴对称轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形对称变换法：定义：把一个平面图形F 沿着某一条直线l 翻转180°，得到另一图形F 1，（如图所示），这种几何变换叫做轴对称变换，这时我们说图形F 与F 1关于直线l 对称，他们的对应点叫做关于直线l 的对称点，直线l 叫做对称轴。
→①关于某条直线对称的两个图形是全等形。
②如果两个图形关于某条直线对称，那么它们的对应点连线被对称轴垂直平分。
③两个图形关于某条直线对称，如果他们的对应线段（或其延长线）相交，那么交点必在对称轴上。
解题策略：通过翻折可以构造出轴对称图形并充分利用轴对称图形的性质进行解题。
例如等腰三角形、等腰梯形等等，它的基本特点是各个对称点到对称轴的距离相等。
A B C D E实际应用问题：在阅读理解题意的基础上，把实际问题抽象成数学问题 （1）设计轴对称图案：给出基本图形，设计对称图案，并说明含义 （2）平面镜成像问题，镜里和镜外两个物体或是图形关于镜面成轴对称（3）剪纸对折的次数N 与要剪的轴对称图形的对称轴的条数M 之间的关系是M=2？ 例1： 从轴对称的角度看，你觉得哪两个图形比较独特，简单说明理由对象：五个图形 角度：轴对称的特点分析：第一角度：从定义的角度。
我们可以E 是不同的，因为它不是对称的图形；从对称轴的条数的角度，我们知道C 是不同的，因为它有无数条对称轴例2 ：标号A 、B 、C 、D 正方形沿虚线剪开后，得到标号为P 、Q 、M 、N 关系的图形填空：A 与（）对应，B 与（）对应，C 与（）对应，D 与（）对应 对象：图形 角度：对称分析：第一角度：沿图中交出图形的特征，即两个对称的图形必然全等的特征，去寻找图中的组成图形，例如A 剪出三个三角形，而三个三角形组成的是M 。
因而A 与M 对应，以后依次类推例3 ：把一个三角形对折三次后，沿虚线剪下，则所得到的图形是上折 右折 右下折 剪下分析：在解答图形折叠问题时，一般先作出折叠前后的图形形状及位置，然后再利用轴对称变换的性质解题。
通过实物演示与操作和空间想象，易选出正确答案。
解C 。
例4：一次幽默晚会上，主持人出了一道题目，“如何把2+3=8变成一道真正的等式”很长时间没有人答出，小英仅仅拿了一面方的镜子，很快解决了答题板上的这道题目，你知道她是怎样做的么？解：镜子起到了一个对称的作用，把镜子按图所示的样子放置，镜子里面的等式就是一个真正的等式镜里镜子 镜外例5: 在△ABC 中，2ABC ACB ∠=∠，AD 是角平分线，求证：AB+BD=AC 注：本解法的实质是作△ACD 关于AD 的对称图形，△AED 这表明若题设中没有角平分线，有时以角平分线为对称轴做对称变换，可使已知条件集中起来，便于解题。
例6: 如图正方形ABCD 中，M 、N 是AD 、BC 中点，把点C 沿BE 对折使点C 落在MN 上的F 点，问此时EBC ∠的度数是多少？解析：要确定EBC ∠的度数就是要考虑EBC ∠形成的原因，根据已知条件EBC ∠的形成是因沿BE 对折使点C 落在MN 的F 点，那么这种对折的关系就相当于利用了轴对称的知识，同时又因为MN 是正方形的对称轴的一部分，故又可形成新的轴对称的关系，所以这是轴对称关系应用的问题。
例7：如图，已知：△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，EF 为AD 的垂直平分线 ，EF 、BC 交于F ，求证：DF 2=FC ×FB 。
分析：这个题目中既有角平分线又有线段的垂直平分线，它们分别是这两个基本图形的对称轴，若要翻折将那一部分翻折？结合结论中的线段DF 、FC 、FB都在一条直线上证明起来很不方便，因此考虑到将△DFE沿着直线EF（EF为线段AD的对称轴）翻折。
故连结A、F。
这时，只要证明AF2=FC×FB，只要证明△ACF∽△ABF，只要证明∠FAC=∠FBA。
由于FA=FD，所以∠FAD=∠FDA，∠ADF=∠B+∠BAD，∠FAD=∠FAD+∠CAD，而∠BAD=∠CAD为已知，故命题得证。
例8：如图，在等腰直角三角形ABC中，E、F分别是底边BC上的两点，且∠EAF=45°求证：以BE、EF、FC 为边的三角形为直角三角形。
分析：线段BE、EF、FC在一条直线上，要证明它们能组成直角三角形，关键是将它们移到一个三角形中以便于找到其边或角之间的关系。
所以将△ACF沿着直线AF翻折得到△ADF，这时DF=CF，考虑到移动的目的，连结DE并期望着DE=BE。
故想到证明△ABE≌△ADE。