大学物理习题解答8第八章振动与波动 (2)
大学物理知识总结习题答案(第八章)振动与波动
第八章 振动与波动本章提要1. 简谐振动· 物体在一定位置附近所作的周期性往复运动称为机械振动。
· 简谐振动运动方程()cos x A t ωϕ=+其中A 为振幅，为角频率，（t+）称为谐振动的相位，t ＝0时的相位称为初相位。
· 简谐振动速度方程d ()d sin xv A t tωωϕ==-+ · 简谐振动加速度方程222d ()d cos xa A t tωωϕ==-+· 简谐振动可用旋转矢量法表示。
2. 简谐振动的能量· 若弹簧振子劲度系数为k ，振动物体质量为m ，在某一时刻m 的位移为x ，振动速度为v ，则振动物体m 动能为212k E mv =· 弹簧的势能为212p E kx =· 振子总能量为P22222211()+()221=2sin cos k E E E m A t kA t kA ωωϕωϕ=+=++3. 阻尼振动· 如果一个振动质点，除了受弹性力之外，还受到一个与速度成正比的阻尼作用，那么它将作振幅逐渐衰减的振动，也就是阻尼振动。
· 阻尼振动的动力学方程为222d d 20d d x xx t tβω++= 其中，γ是阻尼系数，2mγβ=。
（1） 当22ωβ>时，振子的运动一个振幅随时间衰减的振动，称阻尼振动。
（2） 当22ωβ=时，不再出现振荡，称临界阻尼。
（3） 当22ωβ<时，不出现振荡，称过阻尼。
4. 受迫振动· 振子在周期性外力作用下发生的振动叫受迫振动，周期性外力称驱动力· 受迫振动的运动方程为22P 2d d 2d d cos x x F x t t t mβωω++= 其中，2k m ω=，为振动系统的固有频率；2C m β=；F 为驱动力振幅。
· 当驱动力振动的频率p ω等于ω时，振幅出现最大值，称为共振。
《大学物理教学课件》振动与波作业答案
三、计算题
2、解：设S波源振动方程为： s
y Acos t
A处S1
y1
B处S2
振动方程为：
Acos( t
振动方程为：
2 1
b)
Xy处2 两 波Ac振o动s(位相t 差2为1 ： a 2 b2 )
A b s1
a o s2
B
波动（三）
x x
p
2
[
2
x
2 1
a 2 b2 ] [ 2 b 2
v0
A
y x0
A cos ( v 0
y(m) A
t)
2 t
0
y
Acos(v0 t 2 A
x 2
x0
) 2
A
x0
X(m)
-A
2. x 0, t 0 : y 0 dy 0 dt
波动（二）
x0
2
在2秒内波形移动了40cm u 20cm / s
3.2m 2 u 8
(1). y
0.01cos(
t
)
(SI )
82
(2). y 0.01cos( (t x ) )
8 0.2 2
(SI )
一、选择题
波动（三）
1. A 2. A 3. A
二、填空题
1. 某时刻波阵面上每一个点都可以作为一个子波波源。经t时间后， 这些子波波阵面的包迹，就是经t时间后的新的波阵面.
1
2
p 2k 时干涉加强
a2 x2 ]
[ 2 x 2 a 2 b2 ] [ 2 b 2 a 2 x 2 ] 2k
2
1
1
2
1 ( a 2 x 2 x) 2 ( a 2 b2 b) k12
大学物理习题解答 第八章
8-1．已知波源在原点(x=0)的平面简谐波的方程为)cos(Cx Bt A y -=式中A,B,C 为正值恒量.试求:(1)波的振幅,波速,频率,周期与波长;(2)写出传播放向上距离波源l 处一点的振动方程;(3)试求任何时刻,在波传播放向上相距为D 的两点的位相差;解:(1) ∵A 、B 、C 为正值恒量，所以该波沿X 轴正方向传播，与平面简谐波的波动方程)(cos cxt A y -=ω比较系数，可得波的振幅为A ，B =ω, π2B f =, B T π2=， C c=ω，C B C c ==ω ，因为f c λ=，所以C B C B CT ππλ22=⋅==． 所以该波的振幅为A,波速为CB,频率为π2B ,周期为B π2,波长为C π2.(2)传播方向上距波源l 处一点的振动方程为：)cos(Cl Bt A y -=.(3)设t 时刻，传播方向上相距为D 的两点分别为x 1,x 2. 那么这两点所对应的波动方程分别为： )cos(11Cx Bt A y -= )cos(22Cx Bt A y -= 所以这两点的相位差Δφ为CD x x C =-=-=∆1221φφφ.8-2. 一列横波沿绳子传播时的波动方程为)410cos(05.0x t y ππ-=,式中x,y 以m 计,t 以s 计.(1)求此波的振幅、波速、频率、和波长;(2)求绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度;(3)求x=0.2m 处的质点在t=1s 时的相位,它是原点处质点在哪一时刻的位相. 这一位相所代表的运动状态在t=1.25s 时刻到达哪一点?在t=1.5s 时刻到达哪一点?(4)分别图示t=1s,1.1s,1.25s,1.5s 各时刻的波形.解：(1)通过与平面简谐波的波动方程比较系数，可得 此波的振幅为:A=0.05m, 波速为:ππ410=c =2.5(m/s). 频率为：ππ210=f =5(HZ). 波长为：f c =λ=0.5(m).答：该波的振幅为0.05m, 波速为2.5m/s, 频率为5HZ,波长为0.5m.(2) ∵平面简谐波的波动方程为：)(cos cxt A y -=ω.∴绳子上各质点的振动速度为: )(sin cxt A t y v --=∂∂=ωω.绳子上各质点的振动加速度为: )(cos 222c xt A ty a --=∂∂=ωω.∴绳子上各质点振动时的最大速度为 ωA v =max =0.5π=1.57(m/s). 绳子上各质点振动时的最大加速度为 2m ax ωA a = =52π=49.35(m/s 2). 答：绳子上各质点振动时的最大速度为1.57m/s ，最大加速度为49.35m/s 2. (3)X=0.2m 处的质点在t=1s 时的位相: φ=9.2π 设该位相是原点处质点在t 时刻的位相，可得 φ=9.2π=10πt t=0.92(s) 这一位相代表的运动状态在t=1.25s 时距离原点的位置为： )(825.0)125.1(2.02.0m c t c x =-+=∆+=同理，在t=1.5s 时，该位相所代表的运动状态，距离原点的位置为： t c x '∆+=2.0=1.45 (m). (4)t=1s 时，x y π4cos 05.0=. t=1.1s 时，x y π4cos 05.0-=. t=1.25s 时,x y π4sin 05.0=. t=1.5s 时，x y π4cos 05.0-=.8-3. 已知平面余弦波波源的振动周期T=21s,所激起的波的波长λ=10m,振幅为0.1m,当t=0时,波源处振动的位移恰为正方向的最大值,取波源处为原点并设波沿+X 方向传播,求: (1)此波的方程;(2)沿波传播方向距离波源为2λ处的振动方程; (3)当4T t =时,波源和距离波源为 4λ,2λ,43λ及λ的各点各自离开平衡位置的位移;(4)当4T t =时,波源和距离波源为 4λ,2λ,43λ及λ的各点自离开平衡位置的位移;并根据(3)(4)计算结果画出波形(y-x)曲线; (5)当4T t =和2T 时,距离波源4λ处质点的振动速度. 解：(1)根据题意可知，该平面余弦波的振幅 A=0.1m, 频率f =2(HZ),波速f c λ==20(m/s),初相位φ0=0. 当取波源为原点并沿该波沿+X 方向传播时，波动方程为 )54cos(1.0x t y ππ-=.(2)沿波传播方向距离波源为λ/2处的振动方程为： )254cos(1.0λππ⋅-=t y =-0.1cos4πt.(3)距离波源分别为4λ,2λ,43λ和λ的各点的振动方程为 t y π4sin 1.0=, t y π4cos 1.0-= t y π4sin 1.0-=, t y π4cos 1.0=当4Tt =时，它们各自离开平衡位置的位移为 44sin 1.01Ty ⋅=π=0.1(m)， 2y =0(m),3y =-0.1(m), 4y =0(m)(4)与(3)的方法类似，易求得 4λ=x 时， y=0(m). 2λ=x 时， y=0.1(m).43λ=x 时，y=0(m). λ=x 时，y=-0.1(m).(5)各质点的振动速度，)54sin(4.0x t t y v πππ--=∂∂= 当4Tt =时，距离波源4λ处质点的振动速度为： )4544sin(4.0λπππ⨯-⨯-=T v =0(m/s)同理，当2T t =时，距离波源4λ处质点的振动速度为：v =-0.4π(m/s)答：当4Tt =和2T 时，距离波源4λ处质点的振动速度分别为0m/s 和-0.4πm/s. 8-4. 一波源做简谐振动,周期为1001s,经平衡位置向正方向运动时,作为计时起点.设此振动以c=400m/s 的速度沿直线传播,求: (1)这波沿某一波线的方程;(2)距波源为16m 处和20m 处质点振动方程和初位相; (3)距波源为15m 和16 m 的两质点的位相差是多少?解：(1)根据题意可知，该简谐波的频率为ƒ=100(HZ)， 波速c=400m/s, 初相位20πφ-=, 设该平面简谐波的波动方程为 )22cos(0φλπλπ+-=x ct A y 将上面的结果代入可得，)222cos(πλππ--=x t T A y =)22200cos(πππ--x t A(2)距波源为16m 和20m 处质点振动方程为：将x=16m 代入上式，得 )2200()2216200cos(1πππππ-=-⨯-=t Aos t A y同理,)2200cos()2220200cos(2πππππ-=-⨯-=t A t A y 初相位分别为：t=0时，210πφ-=,220πφ-=.(3)距波源为15m 和16m 的两质点的位相差： λπφ2⨯∆=∆x =2π. 8-5. 已知某平面简谐波的波源振动方程为)2sin(06.0πt y =,式中y 以m 计,t 以s计.设波速为2m/s,试求离波源5m 处质点的振动方程.这点的位相所表示的运动状态相当波源在哪一时刻的运动状态?解：离波源5m 处质点的振动方程为：将X=5m 代入波动方程得 )5(2sin06.0c t y -=π=)452sin(06.0ππ-t 设该点的位相所代表的运动状态相当波源在t ′时刻的运动状态，所以 t t '=-2452πππ可得 t ′=(t-2.5)(s).8-6.如图所示,A 和B 是两个同位相的波源,相距d=0.10m,同时以30Hz 的频率发出波动,波速为0.50m/s.P 点位于AB 上方,AP 与AB 夹角为30o ,且PA=4m ，求两波通过P 点位相差．解：依题意可知，PA=4m,AB=0.1m, 利用余弦定理，可得 PB=3.91(m)，两波通过P 点相位差： λπφ2)(⨯-=∆PB PA又∵fc=λ ∴Δφ=10.8π. 8-7. S 1和S 2是两个相干波源，相距41波长，S 1比S 2的位相超前2π.设两列波在 S 1,S 2连线方向的强度相同且不随距离变化,问S 1,S 2连线上在S 1外侧各点处的合成波的强度如何?又在S 2外侧各点的强度如何?解：两列相干波在空间任意点P 所形成的振动的振幅为 α∆=cos A 2A +A +A 212221A其中Δα为两列相干波在空间任一点所引起的两个振动的位相差 λπααα2)(1212⨯---=∆r r当P 点在S 1外侧时，根据题中所给的条件，可得 πλλππλπααα-=⨯--=⨯---=∆4222)(1212r r∴0)cos(-2A 2A 2020=+=πA 又∵波的强度与振幅的平方成正比 ∴I=0. 同理，当P 点在S 2外侧时， 02)4(22)(1212=⨯---=⨯---=∆λπλπλπαααr r ⇒A=2A 0 ∴04I I =答：S 1,S 2连线上在S 1外侧各点处的合成波的强度为0，而在S 2外侧合成波的强度为4I 0.8-8．图所示,设平面横波1沿BP 方向传播,它在B 点的振动方程为t y πcos 102.021-⨯=,平面横波2沿AP 方向传播,A 点的振动方程为)2cos(102.022ππ+⨯=-t y ,两式中y 以ｍ计，ｔ以ｓ计，Ｐ处与Ｂ相距0.40m ，与A 相距0.05m,波速为0.20m/s.求: (1)两波传到P 处的为相差; (2)在P 处合振动的振幅;(3)如果在P 处相遇的两横波,振动方向是互相垂直的,则合振动的振幅又如何?解：(1)两波传到P 处的位相差Δα： λπααα2)(1212⨯---=∆r r由题中给出A,B 两点的振动方程可知，A 比B 的位相超前π ∴ππωππλππα5.22)(22)(-=⨯-⨯-=--=∆CPB PA PB PA (2)在P 处合振动的振幅为：α∆++=cos A 2A A A 2010220210A 21083.2-⨯= (m). (3)由于两列横波振幅相同，频率相同，相位差Δα=25π, 所以，当振动方向相互垂直时，合成的结果是圆周运动. ∴A=A 10=0.2×10-2(m).8-9. 一列正弦式空气波,沿直径为0.14m 的圆柱形管行进,波的平均强度为18*10-3J/s ·m 2,频率为300Hz,波速为300m/s,问: (1)波中的平均能量密度和最大能量密度是多少?(2)每两个相邻的,相位差为2π的同相面(亦即相距1波长的两同相面)之间的波段中有多少能量?解：(1)根据题中所给的条件，由C I ω= 则cI=ω=300/10183-⨯=5106-⨯(J ·m -3). 由)(sin 222c rt A -=ωωρω 可得ωωρω222max ==A =4102.1-⨯(J ·m -3)(2)V W ∆⋅=ωd r 2πω==9.23×710-(J)8-10. 为了保持波源的振动不变,需要消耗4W 的功率,如果波源发出的是球面波,且认为媒质不吸收波的 能量,求距离波源1m 和2m 处的能流密度. 解：因为IS P =,所以距离波源1m 处的能流密度为ππ1442111===r S P I =0.318(w ·m -2)距离波源2m 处的能流密度为222244r S P I π===0.08(w ·m -2). 8-11. 两个波在一根很长的细绳上传播,它们的方程设为 )4(cos 06.01t x y -=π,)4(cos 06.02t x y +=π,式中x,y 以m 计,t 以s 计;(1) 求各波的频率,波长,波速和传播方向;(2) 试求这细绳上是做驻波式振动,求节点的位置和腹点的位置; (3)波腹处的振幅多大?在x=1.2m 处振幅多大?解：(1)与波动方程形式)cos(crt A y -=ω作比较，可得)4(4cos 06.01x t y -=π, )4(4cos 06.02xt y +=ππω41= ⇒πω211=f =2(Hz)， s m c /41= 111T c =λ=2(m) 传播方向沿x 轴正方向 πω42=， ƒ2=2(Hz)， C 2=-4m/s.222T c =λ =2(m). 传播方向沿x 轴负方向(2)由于两列波同频率，同振幅，同振动方向，并且传播速率相同方向相反，故满足驻波条件，所以做的是驻波式振动t x y y y ππ4cos cos 12.021⋅=+= 节点的位置： 2)12(ππ+=k x (k=0,±1, ±2,………) ⇒2)12(+=k x . 腹点的位置： ππk x = (k=0,±1, ±2, ……) ⇒k x =. (3)波腹处的振幅为0.12m.x=1.2m 处的振幅： )2.1cos(12.0π=0.097(m). 8-12. 设入射波的波动方程为)(2cos 1λπxT t A y +=,在x=0处发生反射,反射点为一自由端.求: (1)反射波的波动方程;(2)合成波(驻波)的方程,并由合成波方程说明哪些点是波腹,哪些点是波节.解：(1)反射波的波动方程为： )(2cos 2λπxT t A y -=(2) )2cos()2cos(221T tx A y y πλπ⋅=+波腹点：πλπk x =2 (k=0,±1, ±2,………) ⇒2λk x =.波节点位置：2)12(2πλπ+=k x (k=0,±1, ±2,………) ⇒4)12(λ+=k x8-13. 在实验室中做驻波试验时,将一根长3米的弦线的一端系于电动音叉的一个臂上,这音叉在 垂直于眩线长度的方向撒谎那个以60Hz 的频率做振动,眩线的质量为60*0.001kg.如果使这根弦线产生有四个波腹的振动,必须给这根弦线施多大的力.解：由8.14题的结论可知 μυTl n n 2=(n=1, 2,3，………) 根据题中所给的已知条件，可得 l =3m,n=44υ=60HZ, μ=60·10-3/3=kg 2102-⨯. 代入上式，解得24)2(nlT υμ==162(N).8-14. 把两端固定的一根弦线波动一下,就有横向振动弦线的两固定端传去,并被反射回来形成驻波图样, 一根长度为l 的弦线,它的驻波图样是一定的,所以它可按呈现一个波腹,二个波腹,三个波腹,……的形式做振动或这种基本振动叠加.试证明:一根长度为l 的弦线只能发出下列一些固有频率.μυTl n n 2=n=1,2,3,….. 式中μ是弦线单位的质量,T 是绳中的张力.证明：假设长度为l 的弦线，它的驻波图样可以产生n 个波腹，则n 2λ=l ① 又因波在弦线中传播的速率为 μTc =其中T 是绳中的张力，μ是弦线单位长度的质量μυυλTc nn == ②联立①②，解得 μυTl n n 2=. 故结论得证. 8-15. (1)有一支频率未知的音叉和一支频率已知为384Hz 的标准音叉一起振动时每秒产生三个拍,当这音叉上涂上少量石蜡时,拍频减少,沃尔玛这支音叉频率是多少?(2)某一波形可以用下式表示:11sin sin 3sin 535Y A x A x A x =+++试分别作出该级数前三项的图形,并作出叠加之后的图形. 解：(1)由拍频的定义，可知 123υυυ-==∴ 312±=υυ 即2υ=387或381(Hz). (2)图如下：11。
振动、波动部分答案(新)
大学物理学——振动和波振 动班级 学号 姓名 成绩内容提要1、简谐振动的三个判据（1）；（2）；（3）2、描述简谐振动的特征量： A 、T 、γ；T1=γ，πγπω22==T3、简谐振动的描述：（1）公式法 ；（2）图像法；（3）旋转矢量法4、简谐振动的速度和加速度：)2cos()sin(v00πϕωϕωω++=+-==t v t A dt dx m ； a=）（）（πϕωϕωω±+=+=0m 0222t a t cos -dtxd A 5、振动的相位随时间变化的关系：6、简谐振动实例弹簧振子：，单摆小角度振动：，复摆：0mgh dt d 22=+θθJ ,T=2mghJπ 7、简谐振动的能量：222m 21k 21A A Eω==系统的动能为：）（ϕωω+==t sin m 21mv 212222A E K ；系统的势能为：）ϕω+==t (cos k 21kx 21222A E P8、两个简谐振动的合成（1）两个同方向同频率的简谐振动的合成合振动方程为：）（ϕω+=t cos x A其中，其中；。
＊(2) 两个同方向不同频率简谐振动的合成拍：当频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动合成时，其合振动的振幅表现为时而加强时而减弱的现象，拍频：12-γγγ=＊（3）两个相互垂直简谐振动的合成合振动方程：）（1221221222212-sin )(cos xy 2y x ϕϕϕϕ=--+A A A A ，为椭圆方程。
练习一一、 填空题1．一劲度系数为k 的轻弹簧，下端挂一质量为m 的物体，系统的振动周期为T 1。
若将此弹簧截去一半的长度，下端挂一质量为m/2的物体，则系统的周期T 2等于 。
2．一简谐振动用余弦函数表示，其振动曲线如图所示，则此简谐振动的三个特征量为：A ＝ ；=ω ;=ϕ 。
3．如图，一长为l 的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平固定轴上，做成一复摆。
已知细棒绕过其一端的轴的转动惯量J ＝3/2ml ，此摆作微小振动的周期为 。
大学物理习题及解答(振动与波、波动光学)
1． 有一弹簧，当其下端挂一质量为m 的物体时，伸长量为9.8 ⨯10－2 m 。
假如使物体上下振动，且规定向下为正方向。
〔1〕t =0时，物体在平衡位置上方8.0 ⨯10－2 m处，由静止开始向下运动，求运动方程。
〔2〕t = 0时，物体在平衡位置并以0.60m/s 的速度向上运动，求运动方程。
题1分析：求运动方程，也就是要确定振动的三个特征物理量A 、ω，和ϕ。
其中振动的角频率是由弹簧振子系统的固有性质〔振子质量m 与弹簧劲度系数k 〕决定的，即m k /=ω，k 可根据物体受力平衡时弹簧的伸长来计算；振幅A 和初相ϕ需要根据初始条件确定。
解：物体受力平衡时，弹性力F 与重力P 的大小相等，即F = mg 。
而此时弹簧的伸长量m l 2108.9-⨯=∆。
如此弹簧的劲度系数l mg l F k ∆=∆=//。
系统作简谐运动的角频率为1s 10//-=∆==l g m k ω〔1〕设系统平衡时，物体所在处为坐标原点，向下为x 轴正向。
由初始条件t = 0时，m x 210100.8-⨯=，010=v 可得振幅m 100.8)/(2210102-⨯=+=ωv x A ；应用旋转矢量法可确定初相πϕ=1。
如此运动方程为])s 10cos[()m 100.8(121π+⨯=--t x〔2〕t = 0时，020=x ，120s m 6.0-⋅=v ，同理可得m 100.6)/(22202022-⨯=+=ωv x A ，2/2πϕ=；如此运动方程为]5.0)s 10cos[()m 100.6(122π+⨯=--t x2．某振动质点的x －t 曲线如下列图，试求：〔1〕运动方程；〔2〕点P 对应的相位；〔3〕到达点P 相应位置所需要的时间。
题2分析：由运动方程画振动曲线和由振动曲线求运动方程是振动中常见的两类问题。
此题就是要通过x －t 图线确定振动的三个特征量量A 、ω，和0ϕ，从而写出运动方程。
曲线最大幅值即为振幅A ；而ω、0ϕ通常可通过旋转矢量法或解析法解出，一般采用旋转矢量法比拟方便。
大学物理活页答案(振动和波)
大学物理活页答案（振动和波部分）第一节 简谐振动1. D2.D3.B4.B5.B6.A7. X=0.02cos (52π−π2) 8. 2:1 9. 0.05m -37° 10. π or 3π 11. 012.解： 周期 3/2/2=ω=πT s ， 振幅 A = 0.1 m ， 初相 φ= 2π/3， v max = A = 0.3π m/s ，a max = 2A = 0.9π2 m/s 2 ．13.提示：旋转矢量法（1）x =0.1cos (πt −π2)（2）x =0.1cos (πt +π3) （3）x =0.1cos (πt +π)14. （1）x =0.08cos (π2t +π3)t=1 x=-0.069m F=-kx=−m ω2x =2.7×10−4（2）π3=π2t t=0.67s第二节 振动能量和振动的合成1. D2.D3.D4.B5.B6. )(212121k k m k k +=νπ 提示：弹簧串联公式等效于电阻并联 7. 0.02m 8. π 0 提示：两个旋转矢量反向9. 402hz10. A=0.1m 位相等于113° 提示：两个旋转矢量垂直。
11. mv 0=(m +M)v ′ 12kA 2=1(m+M)v ′22 A=0.025m ω=√k m+M =40 x=0.025cos (40t −π/2)12. x=0.02cos (4t +π/3)x (m) ω π/3 π/3 t = 0 0.04 0.08 -0.04 -0.08 O A A机械波第一节 简谐波1. B2. A3.D4.C5.A （注意图缺：振幅A=0.01m ）6.B7. 503.2 8. a 向下 b 向上 c 向上 d 向下 （追赶前方质元）9. π 10. 4π 或011.解：(1) )1024cos(1.0x t y π-π=)201(4cos 1.0x t -π= (SI) (2) t 1 = T /4 = (1 /8) s ，x 1 = λ /4 = (10 /4) m 处质点的位移)80/4/(4cos 1.01λ-π=T y m 1.0)818/1(4cos 1.0=-π= (3) 振速 )20/(4sin 4.0x t ty -ππ-=∂∂=v ． )4/1(212==T t s ，在 x 1 = λ /4 = (10 /4) m 处质点的振速 26.1)21sin(4.02-=π-ππ-=v m/s 12.λ=0.4m u =0.05 k =ωu =2πλ=5π ω=π4 ϕ0=π2−2πT ∙T 2=−π2 y (x,t )=0.06cos (π4t −5πx −π2) y (0.2,t )=0.06cos (π4t −3π2)13. 210)cos sin 3(21-⨯-=t t y P ωω 210)]cos()21cos(3(21-⨯π++π-=t t ωω )3/4cos(1012π+⨯=-t ω (SI)． 波的表达式为：]2/234cos[1012λλω-π-π+⨯=-x t y )312cos(1012π+π-⨯=-λωx t (SI) 第二节 波的干涉 驻波 电磁波1.D2.C3. D4.B5.B6.A7.C8. y =−2Acos (ωt ) ðy ðt =2Aωsin (ωt)9. 2A （提示：两振动同相）10. 0.5m 11. Acos2π(t T −x λ) A12. > 70.8hz 13. 7.96×10-2 W/m 214.解：(1) 反射点是固定端，所以反射有相位突变π，且反射波振幅为A ，因此反 射波的表达式为 ])//(2cos[2π+-π=T t x A y λ(2) 驻波的表达式是 21y y y += )21/2cos()21/2cos(2π-ππ+π=T t x A λ (3) 波腹位置： π=π+πn x 21/2λ, λ)21(21-=n x , n = 1, 2, 3, 4,… 波节位置： π+π=π+π2121/2n x λ λn x 21= , n = 1, 2, 3, 4,…15.解：(1) 与波动的标准表达式 )/(2cos λνx t A y -π= 对比可得： ν = 4 Hz ， λ = 1.50 m ， 波速 u = λν = 6.00 m/s(2) 节点位置 )21(3/4π+π±=πn x )21(3+±=n x m , n = 0，1，2，3, …(3) 波腹位置 π±=πn x 3/44/3n x ±= m , n = 0，1，2，3, …。
大学物理习题解答8第八章振动及波动(I)
第七章 电磁感应本章提要1. 法拉第电磁感应定律· 当穿过闭合导体回路所包围面积的磁通量发生变化时，导体回路中就将产生电流，这种现象称为电磁感应现象，此时产生的电流称为感应电流。
· 法拉第电磁感应定律表述为：通过导体回路所包围面积的磁通量发生变化石，回路中产生地感应电动势i e 与磁通量m Φ变化率的关系为其中Φ为磁链，负号表示感应电动势的方向。
对螺线管有N 匝线圈，可以有m N Φ=Φ。
2. 楞次定律· 楞次定律可直接判断感应电流方向，其表述为：闭合回路中感应电流的方向总是要用自己激发的磁场来阻碍引起感应电流的磁通量的变化。
3. 动生电动势· 磁感应强度不变，回路或回路的一部分相对于磁场运动，这样产生的电动势称为动生电动势。
动生电动势可以看成是洛仑兹力引起的。
· 由动生电动势的定义可得：· 洛伦兹力不做功，但起能量转换的作用。
4. 感生电动势·当导体回路静止，而通过导体回路磁通量的变化仅由磁场的变化引起时，导体中产生的电动势称为感生电动势。
其中E i 为感生电场强度。
5. 自感· 当回路中的电流发生变化，它所激发的磁场产生的通过自身回路的磁通量也会发生变化，此变化将在自身回路中产生感应电动势，这种现象称为自感现象，产生的电动势为自感电动势，其表达式为：d d L i L te =-（L 一定时） 负号表明自感电动势阻碍回路中电流的变化，比例系数L 称为电感或自感系数。
· 自感系数表达式为：· 自感磁能6. 互感· 对于两个临近的载流回路，当其中一回路中的电流变化时，电流所激发的变化磁场在另一回路中产生感应电动势。
这种现象称为互感现象，对应产生的电动势称为互感电动势，其表达式为：121d d i M te =-（M 一定时） 其中M 为互感系数。
7. 麦克斯韦方程组回顾有关描述静电场和稳恒磁场的基本性质的4个方程：● 静电场高斯定理● 稳恒磁场的高斯定理● 静电场的环路定理● 稳恒磁场的安培环路定理根据上述4个方程，考虑电场或磁场的变化，麦克斯韦对上述方程进行修改，得到如下一组描述任何电场和磁场的方程组。
大学物理 8章作业 and answers
第八章 波 动 光 学(一) 光的干涉一. 选择题1. 波长为λ的单色平行光垂直照射在薄膜上，经上下两表面反射的两束光发生干涉，如图所示，若薄膜的厚度为e，且，则两束反射光的光程差为(A)(B)(C) (D)2. 如图示，波长为λ的单色光，垂直入射到双缝，若P 点是在中央明纹上方第二次出现的明纹，则光程差为(A) 0 (B) λ (C) 3λ /2 (D) 2 λNote: P 点是在中央明纹上方第二次出现的明纹，所以k=2 3. 在双缝干涉实验中，屏幕上的P 点处是明条纹，若将缝盖住，并在连线的垂直平分面处放一高折射率介质反射面M ，如图示，则此时(A) P 点处仍为明条纹 (B) P 点处为暗条纹(C) 不能确定P 点处是明条纹还是暗条纹 (D) 无干涉条纹Note:注意出现了半波损失4. 双缝干涉中，若使屏上干涉条纹间距变大，可以采取 (A) 使屏更靠近双缝 (B) 使两缝间距变小(C) 把两个缝的宽度稍稍调窄 (D) 用波长更短的单色光入射Note:干涉条纹间距Ddλ=5. 波长为λ的单色光垂直入射到折射率为n 的透明薄膜上，薄膜放在空气中，要使反射光干涉加强，薄膜厚度至少为(A) λ /2 (B) λ /2n (C) λ /4 (D) λ /4n Note: 2nd+λ /2=k λ (k=1,2,3,,,)6. 两块平玻璃构成空气劈形膜，左边为棱边，用单色平行光垂直入射，若上面的平玻璃慢慢向上平移，则干涉条纹(A) 向棱边方向平移，条纹间距变小 (B) 向棱边方向平移，条纹间距变大 (C) 向棱边方向平移，条纹间距不变 (D) 向远离棱边方向平移，条纹间距不变 (E) 向远离棱边方向平移，条纹间距变小 Note: 牢记如下规律：1. 厚度增大，角度不变则条纹向着劈尖处（也就是棱边）平移，条纹间距不变；2. 厚度减小，角度不变则条纹向远离劈尖处（也就是棱边）平移，条纹间距不变；3. 角度增大，条纹向着劈尖处（也就是棱边）平移，同时条纹间距变小；4. 角度减小，条纹向远离着劈尖处（也就是棱边）平移，同时条纹间距变大，详见PPT 第八章，page 677. 在图示三种透明材料构成的牛顿环装置中，用单色光垂直照射，再反射光中看到干涉条纹，则在接触点处形成的圆斑为(A) 全明 (B) 全暗(C) 右半边明，左半边暗 (D) 右半边暗，左半边明8. 在迈克耳逊干涉仪的一条光路中放入折射率为n 的透明薄膜后，观察到条纹移动6条，则薄膜的厚度是(A) 3λ (B) 3λ /n()2sin 2l n n λλθθ∆=≈间距(C) 3λ /(n -1) (D) 6λ /nNote: 2d(n-1)=6λ 二. 填空题9. 有两种获得相干光的基本方法，它们是__________________和___________________.（ 分波面法 ；分振幅法 ）10. 两同相位相干点光源、，发出波长为λ的光，A 是它们连线中垂线上的一点，在与A 间插入厚度为e 折射率为n 的薄玻璃片，两光源发出的光到达A 点时光程差为______________，相位差为____________________.；11. 杨氏双缝干涉实验中，双缝间距为d ，屏距双缝的间距为D （D >>d ），测得中央明条纹与第三级明条纹间距为x ，则入射光的波长为_____________________.Note 相邻干涉条纹间距 ，中央明条纹与第三级明条纹间距x =12. 一双缝干涉装置，在空气中观察时干涉条纹间距为1mm ，若将整个装置放入水中，干涉条纹的间距变为______ 3/4 ___________mm .（设水的折射率为4/3）13. 波长为λ的单色光垂直照射到两块平玻璃片构成的劈尖上，测得相邻明条纹间距为l ，若将劈尖夹角增大至原来的2倍，间距变为__________________.Note:14. 用λ=600nm 的平行单色光垂直照射空气牛顿环装置时，第四级暗环对应的空气膜厚度为______1.2 ________µm .Note:2d+λ /2=（2k+1）λ /2，这里k=0,1,2,3,4,，，第四级暗环k=4，所以d=2λ=1200nm三. 计算题15. 在双缝干涉实验中，两个缝分别用和的厚度相同的薄玻璃片遮着，在观察屏上原来的中央明纹处，现在为第5级明纹.若入射光的波长为nm 600，求玻璃片的厚度.解: 放上玻璃后原中央明纹处的光程为D d λ=3Ddλ()2sin 2l n n λλθθ∆=≈间距对应第5级明纹16. 取白光波长范围400nm ～760nm ，用白光入射到mm 25.0 d 的双缝，距缝50cm 处放置屏幕，问观察到第一级明纹彩色带有多宽？解: 取白光波长范围400nm ～760nm ，对于波长的光波，第一级干涉明纹中心的位置为波长和的光波，第一级明纹间距为17. 一薄玻璃片，厚度为μm 4.0，折射率为1.50，用白光垂直照射，问在可见光范围内，哪些波长的光在反射中加强？哪些波长的光在透射中加强？ 解：从玻璃片两表面反射的光的光程差光在反射中加强有可解得在可见光范围内，只有，相应波长为透射光的光程差光在透射中加强有可解得在可见光范围内，有和，相应波长为18. 波长为680nm 的平行光垂直地照射到12cm 长的两块玻璃片上，两玻璃片一边相互接触，另一边被厚0.048mm 的纸片隔开. 试问在这12cm 内呈现多少条明条纹? 解：两玻璃片之间是一空气劈尖，相邻明纹间距为l设玻璃片长为L 、纸片厚度为d则呈现明纹条数为(二) 光的衍射、偏振一. 选择题1. 光的衍射现象可以用(A) 波传播的独立性原理解释(B) 惠更斯原理解释(C) 惠更斯-菲涅耳原理解释(D) 半波带法解释2. 在单缝夫琅和费衍射实验中，波长为λ的单色光垂直入射到宽为a =4 λ的单缝上，对应衍射角为30o的方向，单缝处波面可分成的半波带数目为(A) 2个 (B) 4个(C) 6个 (D) 8个3. 单缝衍射中，若屏上P点满足，则该点为(A) 第二级暗纹(B) 第三级暗纹(C) 第二级明纹(D) 第三级明纹Note: 2k+1=74. 利用波动光学试验可测细丝的直径，通常采用下述实验的哪种(A) 牛顿环 (B) 劈尖干涉(C) 劈尖干涉和杨氏双缝干涉 (D) 单缝衍射或衍射光栅5. 某元素的特征光谱中含有波长和的谱线，在光栅光谱中两种谱线有重叠现象，重叠处谱线的级次是(A) 2、3、4、5…(B) 2、5、8、11…(C) 2、4、6、8…(D) 3、6、9、12…Note:光栅方程：λkθd±= sink1/k2必须正比于λ2/λ1即k1=（5/3）k2, 同时要求k1，k2都为整数，所以6. 波长的单色光垂直入射于光栅常数的平面衍射光栅上，可能观察到的光谱线的最大级次为(A) 2 (B) 3(C) 4 (D) 5Note:光栅方程：λkθd±= sin，令衍射角等于90度，得到最大k值为d/λ，注意k必须取整数。
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第七章 电磁感应本章提要1. 法拉第电磁感应定律· 当穿过闭合导体回路所包围面积的磁通量发生变化时，导体回路中就将产生电流，这种现象称为电磁感应现象，此时产生的电流称为感应电流。
· 法拉第电磁感应定律表述为：通过导体回路所包围面积的磁通量发生变化石，回路中产生地感应电动势i e 与磁通量m Φ变化率的关系为d d t＝－F e其中Φ为磁链，负号表示感应电动势的方向。
对螺线管有N 匝线圈，可以有m N Φ=Φ。
2. 楞次定律· 楞次定律可直接判断感应电流方向，其表述为：闭合回路中感应电流的方向总是要用自己激发的磁场来阻碍引起感应电流的磁通量的变化。
3. 动生电动势· 磁感应强度不变，回路或回路的一部分相对于磁场运动，这样产生的电动势称为动生电动势。
动生电动势可以看成是洛仑兹力引起的。
· 由动生电动势的定义可得：()d bab ae 醋ò＝v B l· 洛伦兹力不做功，但起能量转换的作用。
4. 感生电动势·当导体回路静止，而通过导体回路磁通量的变化仅由磁场的变化引起时，导体中产生的电动势称为感生电动势。
d dd d d d L S t te F =??蝌Ñ－＝－i E r B S 其中E i 为感生电场强度。
5. 自感· 当回路中的电流发生变化，它所激发的磁场产生的通过自身回路的磁通量也会发生变化，此变化将在自身回路中产生感应电动势，这种现象称为自感现象，产生的电动势为自感电动势，其表达式为：d d L iL te =-（L 一定时）负号表明自感电动势阻碍回路中电流的变化，比例系数L 称为电感或自感系数。
· 自感系数表达式为：L iY =· 自感磁能212m W LI =6. 互感· 对于两个临近的载流回路，当其中一回路中的电流变化时，电流所激发的变化磁场在另一回路中产生感应电动势。
这种现象称为互感现象，对应产生的电动势称为互感电动势，其表达式为：121d d iM te =-（M 一定时）其中M 为互感系数。
211212M i i Y Y ==7. 麦克斯韦方程组回顾有关描述静电场和稳恒磁场的基本性质的4个方程： ● 静电场高斯定理0d D S Sq ⋅=⎰⎰● 稳恒磁场的高斯定理d 0B S S=⋅⎰⎰● 静电场的环路定理d 0E l l⋅=⎰● 稳恒磁场的安培环路定理0d H l LI⋅=⎰根据上述4个方程，考虑电场或磁场的变化，麦克斯韦对上述方程进行修改，得到如下一组描述任何电场和磁场的方程组。
0d Sq =⎰⎰D S第七章 电磁感应d d d d lSt=-⎰⎰⎰BE l S d 0S=⎰⎰B S0d d d d LSI t=+⎰⎰⎰DH l S思考题7-1 一个导体圆线圈在均匀磁场中运动，在下列几种情况下，那些会产生感应电流？为什么？(1)线圈沿磁场方向平移；(2)线圈沿垂直方向平移；(3)线圈以自身的直径为轴转动，轴与磁场方向平行；(4)线圈以自身的直径为轴转动，轴与磁场方向垂直。
答：(1) (2)通过导体圆线圈的磁通量B S ＝F ?。
当线圈沿磁场方向平移和沿垂直方向平移时，磁感应强度和面积矢量方向相同，且大小不变，所以磁通量也保持不变，由法拉第电磁感应定律d /d t e =-F ，线圈中感应电动势为零，也就没有感应电流。
(3) 线圈以自身的直径为轴（轴与磁场方向平行）转动过程中，磁感应强度和面积矢量方向保持垂直，磁通量为零，因此线圈中也没有感应电流。
(4) 线圈以自身的直径为轴（轴与磁场方向垂直）转动过程中，磁通量为cos BS q ，q 磁感应强度和面积法向矢量方向的夹角，它随时间的变化而变化，所以线圈中存在感应电动势，有感应电流。
7-2 灵敏电流计的线圈处于永磁体的磁场中，通入电流线圈就会发生偏转，切断电流后线圈在回到原来位置前总要来回摆动几次。
这时，如果用导线把线圈的两个头短路，摆动就会马上停止，这是为什么？答：通电线圈处在磁场中，受到磁力距的作用，发生偏转。
切断电流后，由法拉第电磁感应定律，电流不会消失，而是逐渐衰减，在此过程中线圈仍然受到磁场安培力的作用，因此在回到原来位置前总要来回摆动几次。
如果用导线把线圈的两个头短路，线圈中电流被短路，不再受到安培力的作用，摆动马上停止。
7-3 变压器铁芯为什么总做成片状的，而且涂上绝缘漆相互隔开？铁片放置的方向应和线圈中磁场的方向有什么关系？答：变压器中的铁芯由于处在交变电流的磁场中，因而在铁芯内部要出现涡流，使铁芯发热，浪费电能，甚至引起事故。
将铁芯做成片状，而且涂上绝缘漆相互隔开，可以减小电流的截面，增大电阻，涡流损耗也随之减小。
为减小磁通量铁片放置的方向应和线圈中磁场的方向平行。
7-4 让一块磁铁在一根长的铅直管内落下，若不计空气阻力，试描述磁铁的运动情况，并说明理由。
答：磁铁入管前后，铁管中磁通量发生变化而出现感生电流，从而阻碍磁铁的运动，此时磁铁作加速度小于重力加速度的加速运动。
磁铁在管内运动时，铁管中磁通量不发生变化，此时磁铁作自由落体运动。
磁铁出管前后，管中也出现感生电流，磁铁的运动受到阻碍，作加速度小于重力加速度的加速运动。
7-5 要求用金属线绕制的标准电阻无自感，怎样绕制才能达到此目的？ 答：将金属线对折，然后绕成螺线圈。
螺线圈内的磁感应强度为零，电阻也就无自感。
7-6 两个共轴长线圈的自感系数1L 和2L 的比为4，这两线圈的匝数比是多少？答：设长线圈单位长度上线圈的匝数为n ，线圈的体积为V ，则其自感为2L n V m =。
由此可知，若两共轴长线圈的自感系数之比为4，则这两线圈的匝数比是1：2。
7-7 什么叫位移电流？位移电流和传导电流有什么不同？答：通过电场中某一横截面的位移电流等于通过该截面电位移通量对时间的变化率。
位移电流的实质是电场的变化率。
而传导电流则穿过某个横截面的电荷量对时间的变化率，对应着电荷的移动。
位移电流可以在真空中存在，而传导电流只能存在有电荷的空间。
7-8 感生电场与静电场有什么相同之处？又有什么不同？答：相同之处：感生电场与静电场都对电荷有力的作用。
不同之处在于：静电场存在于静止电荷周围的空间内，感生电场则是由变化的磁场所激发，不是由电荷所激发；静电场的电场线是始于正电荷、终于负电荷的，而感生电场的电场线则是闭合的。
正是由于感生电场的存在，才在闭合回路中形成感生电动势。
7-9 变化磁场所产生的电场是否也一定随时间变化？答：变化磁场所产生的电场不一定随时间变化。
如果d /d B t 为常数，即磁场均匀变化时，激发的感生电场不会随时间变化。
7-10 电荷作下列两种运动时，能否辐射电磁波？(1) 电荷在空间作简谐振动；(2)电荷作圆周运动。
答：变化着的电场和磁场相互激发，形成在空间中传播的电磁波。
电磁场的传播，也就是电磁波的产生总是和电荷的加速运动相联系的。
电荷在空间作简谐振动，它的加速度和时间就按正弦关系变化。
离它较远各点的电场和磁场也将随时间按正弦变化，这种变化的电磁场还不断向外传播。
这就形成了最简单形式的电磁波——简谐电磁波。
电子作圆周运动时，在圆周平面远处进行观察，电子可以看作是简谐振动，因此电荷作圆周运动时，也能辐射电磁波。
练习题7-1 如图7-1所示，在通有电流I 的无限长直导线近旁有一导线ab ，长为l ，离长直导线的距离为d 。
当它沿平行于长直导线的方向以速度v 平移时，导线中的感应电动势有多大？a 、b 哪端的电势高？第七章 电磁感应解：建立如图7-1所示坐标系，在导线ab 中取导体元d d l x =，该处的磁感强度02I B xμπ=杆中的感生电动势为 00()d d 2ln2v B lab abd ld Iv x xIv d l d－e m p m p +=醋=-+=òò 式中负号表示电动势方向由b 指向a ，故a 端电势较高。
7-2 在图7-2中，无限长直导线通有电流A)(100sin 5t I π=，另一个矩形线圈共1310⨯匝，宽a =10cm ，长l =20cm ，以2m/s v =的速度向右运动。
当d =10cm 时求：（1）线圈中的动生电动势；（2）线圈中的感生电动势；（3）线圈中的感应电动势； 解：（1）导体在磁场中运动时产生的感应电动势就是动生电动势。
本题中，如图，导体eh 段和fg 段上的动生电动势为零，因而线圈中的动生电动势为100322()210sin100(V)ef ghef gh B lv B lv N I N Ilv lvd d a t －e e e m m p p p =-=-=-+=? （2）由磁通量变化引起的电动势称为感生电动势。
在d =10cm 时，线圈中的感生电动势为2d dte F =- 其中0d ln 22d a d N I N Il d a l x x dm m p p ++F ==ò磁通量的变化归于电流的变化，依题意，得d 500cos100d It tp p = 联立上述三式，并带入数据，得22 4.3610cos100(V)t e p -=-?（3）线圈中的感应电动势为动生电动势和感生电动势的代数和12e e e =+7-3 只有一根辐条的轮子在均匀外磁场B 中转动，轮轴与B 平行，如图7-3x I 图7-1Ifg图7-2所示。
轮子和辐条都是导体，辐条长为R ，轮子每秒转N 圈子。
两根导线a 和b 通过各自的刷子分别与轮轴和轮边接触。
求:（1）a 、b 间的感应电动势 ；（2）若在a 、b 间接一个电阻，流过辐条的电流方向如何？（3）当轮子反转时，电流方向是否会反向？（4）若轮子的辐条是对称的两根或更多，结果又将如何？解：(1)辐条的转动使闭合导体回路所围面积的磁通量发生变化，从而产生感应电动势。
由法拉第电磁感应定律，a 、b 间的感应电动势为221(d )d d 12d d d 2ab B R B S BR t t t qe w F =-=-== 由题意得2N w p =代入上式得2ab NBR e p =(2)若a 、b 间接一个电阻，则辐条、导线和轮边逆时针构成一个闭合回路。
感生电流阻碍磁通量的减少，流过辐条的电流方向由轮轴指向轮边。
(3)若轮子反转时，d S 变为负，电流方向会反向。
(4)若轮子的辐条是对称的两根或更多，每根辐条产生的感应电动势大小相等，若每根辐条作为一个电源，则是两个或更多个电势相等的电源的并联，因此a 、b 间的感应电动势不变。
（另一种解法：可认为辐条在切割磁力线，参照下题解法。
）7-4 法拉第盘发电机是一个在磁场中转动的导体圆盘。
设圆盘的半径为R ，它的轴线与均匀外磁场B 平行，它以角速度ω绕轴转动，如图7-4所示。