西南交大工程数学ⅰ离线作业及解析

2013—2014学年第一学

期

离线作业

科目：工程数学

姓名：

学号：

专业：

西南交通大学网络教育学院

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工程数学Ⅰ第1次离线作业

三、主观题(共15道小题)

29.

求5元排列52143的逆序数。

解答：

在排列52143中，排在5之后，并小于5的数有4个；排在2之后，并小于2的数有1个；排在1之后，并小于1的数有0个；排在4之后，并小于4的数有1个。所以

30.

计算行列式

解答：

容易发现D的特点是：每列（行）元素之和都等于6

，那么，把二、三、四行同时加到第一行，并提出第一行的公因子6，便得到

由于上式右端行列式第一行的元素都等于1，那么让二、三、四行都减去第一行得31.

求行列式中元素a和b的代数余子式。

解答：

行列式展开方法=

=

32.

计算行列式

解答：

容易发现D的特点是：每列元素之和都等于6，那么，把二、三、四行同时加到第一

，便得到

行，并提出第一行的公因子6

一行就出现了三个零元素，即

33.设，

求

解答：

34.

，求解答：

35.

求矩阵X使之满足

解答：

36.解矩阵方程，其中

解答：

首先计算出，所以A是可逆矩阵。对矩阵（A

，B）作初等行变换

所以

所以秩（A）= 4。

3

7.

解答：

38.

求向量组

解答：设

39.

求解非齐次线性方程组

解答：

对增广矩阵施行初等行变换化成简单阶梯形矩阵

40.设

解答：若

41.

设

，求A的特征值和特征向量。解答：

42.

求一个正交矩阵P，将对称矩阵

化为对角矩阵。解答：

43.已知二次型，问：满足什么条件时，二次型f 是正定的；满足什么条件时，二次型f 是负定的。

解答：

二次型

f 的矩阵为

工程数学Ⅰ第2次离线作业

三、主观题(共14道小题)

30.判断（1）；（2）是否是五阶行列式D5 中的项。

解答：（1）是；（2）不是；

31.

设求的根。

解答：

行列式特点是：每行元素之和都等于a+b+c+x，那么，把二、三、四列同时加到第

一列，并提出第一列的公因子a+b+c+x，便得到

二、三、四列-a依次减去第一列的-a、-b、

-c倍得

计算四阶行列式

解答：

D

的第一行元素的代数余子式依次为

33.

用克莱姆法则解方程组

解答：

34.

解答：

35.

解答：

36.用初等行变换把矩阵化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵。解答：

上面最后一个矩阵就是阶梯形矩阵，对这个阶梯形矩阵再作初等行变换，

就可以得到

简单阶梯形矩阵，即

37.

讨论方程组

的可解性。

解答：

38.

解答：令

，

则

A的阶梯形有零行，所以向量组线性相关。

39.

求方程组

的一个基础解系并求其通解。解答：

对方程组的系数矩阵作初等行变换化成简单阶梯形矩阵：

原方程组的一个基础解系。

40.

a、b为何值时，线性方程组

有唯一解，无解或有无穷多解？在有无穷多解时，求其通解？解答：

41.

把向量组

解答：

先得出正交向量组

正交向量组。

42.

设

的特征值和特征向量。

，求A

解答：

43.用正交变换把二次型化为标准型。解答：

二次型的矩阵

正交化得

位化得

工程数学Ⅰ第3次离线作业三、主观题(共15道小题)

27.

解答：

28.

举例说明行列式性质，设解答：

29.

计算n+1阶行列式

解答：

把D的第一行加到第二行，

再将新的第二行加到第三行上，

如此继续直到将所得新的第n行加到第n+1行上，这样就得到

30.

计算四阶行列式

解答：

D按第三行展开得

将行列式

31.a取何值时齐次线性方程组有非零解。

解答：

由定理，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式

D=0。

32.矩阵的转置矩阵

解答：

33.设，判断A是否可逆？若可逆，求出解答：

即

所以

的逆矩阵

34.用初等行变换求矩阵

解答：

同样道理，由算式可知，若对矩阵（A，B）施行初等行变换，当把A变为E时，B就变为

35.讨论向量组，，的线性相关性。

解答：

即

36.

解答：

37.

求解齐次方程组

解答：