2015年大同杯数学竞赛解析
2015年全国初中数学联合竞赛(初三)试题及解答
第一试（A）
一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分） 1. 设实数 a, b, c 满足： a b c 3, a2 b2 c2 4 ，则 A．0 【答】D． 【解析】 B．3 C．6
a 2 b2 b2 c 2 c 2 a 2 =（ 2c 2a 2b
D．9
）
a 2 b2 b2 c 2 c 2 a 2 4 c 2 4 a 2 4 b2 (2 c) (2 a) (2 b) 9 ． 2c 2a 2b 2c 2a 2b
2． 若抛物线 y x2 bx c 与 x 轴只有一个公共点， 且过 A(m, n) ，B(m 8, n) ， 则 n （ A．8. 【答】 C 【解析】法一（LTX） ： 依题意，设抛物线解析式为 y ( x h)2 ， 因为它过 A(m, n) ， B(m 8, n) ， 所以 h m 4 ，故 n (m h)2 (4)2 16 ，选 C . 法二： 由题意， b 8 2m ，
2 2 2
）
A．3 【答】D．
B．6.
C ．9
D．12
【解析】设 x y t ，则 x y t ， 代入题设等式得 ( y t )2 ( y t ) y y 2 3 ，整理得 3 y 2 3ty t 2 3 0 . 由判别式 (3t )2 12(t 2 3) 3 得 2 3 t 2 3 ，故 ( x y)2 t 2 12 . 5．题目和解答与（A）卷第 4 题相同. 6．设 n 是小于 100 的正整数且使 2n2 3n 2 是 6 的倍数，则符合条件的所有正整数 n 的和 是（ ） B．850 C．1536 D．1634
上海市2015年12月大同杯数学竞赛(含答案)
上海市2015年12月大同杯数学竞赛(含答案)BCO 1O 2PA倍，则这三个素数为________．解答：设这三个素数为,,a b c 。
则有23()abc a b c =++。
因为23是素数，从23()abc a b c =++，可以得到23能够整除三个素数,,a b c 的abc 积。
从而可以得到其中有一个素数必为23。
假设23a = 这样就有23124(1)(1)2446212bc b c bc b c b c =++⇒--+=⇒--==⨯=⨯因为,b c 为素数，所以得到5,7b c ==或3,13b c == 这样得到三个素数为5,7,23或3,13,23。
5. 如图，圆1O 与圆 2O 外切于点P ，从圆1O 上点A作圆2O 的切线AB ， B 是切点，连接AP 并延长，与圆2O 交于点C ．已知圆1O 、圆2O 的半径分别为2、1，则ACAB=________．解答：做如图所示的辅助线。
可以得到21211//2CO PC AO CO PA AO ⇒==为此设PC k=，则2.PA k = 应用切割线定理有：223.AB AP AC k k AB=⋅=⨯⇒=所以AC AB ==。
A 'B AM NPQ6、 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，MON的两边分别是射线 y x (x0)与x 轴正 半轴．点A (6,5)，B (10,2)是MON内的两个定点，点P 、Q 分别是MON两边上的动点，则四边形ABQP 周长的最小值是________．解答：本题主要就是应用对称。
应为四边形ABQP ，其中一个边AB 为定值。
要求四边形 ABQP 周长的最小值，只要求另外三边的最小值。
从对称可以得到/(5,6)A ,/(10,2)B -.四边形另外三边的最小值为//A B依据两点间距离公式有 。
//22(105)(26)89A B=----=22(105)(25)34AB =---=8934+。
大同杯分析
2015大同杯分析一年一度的大同杯再次来临，与数学的新知杯和化学的天原杯相比，大同杯的难度一向是最难的，不过从这两年的初赛卷子来看，大同杯初赛的题目慢慢固化，这对未来的考生而言当然是条好消息，这样将使得我们的复习更有规律也更有针对性。
1~10： 除了第5题稍显繁琐之外，基本上都是中考难度的题目，第5题需要考虑的也无非是外部小球没拿走，金属球的电性始终不变，手接触后，金属球所含多余电子数不变，而金属箔并拢，手拿开后，不会与金属小球发生电子交换，所以电性仍然不变，8,9两题都是我们讲义上的原题，做过的同学可千万不要再做错了哦。
11~20：中考难度的几题过后，15题的热平衡同样是一道老题，考虑热对流，所以是20°试管先热平衡。
16题考虑梯形上底较小，所以压力变化量变大。
17题是X2/2变化，但没想到的话也能做，从数据可以发现P值越大，Q的变化量越大，所以Q的数值会比中位数13小参考2014中考实验题，也是一个做法。
19题的追击问题，画出图像后，代入选项答案做较为简单。
21~30: 第24题的平面镜反射是一道考察了很多年的老题，复习到位的话应该都知道翻折镜子这个做法，25题也是与去年一模一样的一道题，用三力平衡必共点作图，找到相似即可。
26题看似简单，但实质是用杠杆的知识点做的。
28题可以用矢量三角形外加几何知识求解，29题将ABCD以外部分整个看作是并联的电阻R X即可计算总电阻了，压轴题比较好的方法是将眼睛当做光源，查看光源能传播到的地方即可。
31~36：此次多选题除了几道基础的复杂计算以外，更多的是向高中的知识点靠拢，35题考虑V1远远大于V2可得四个相似三角形，36题如果用高中的三角函数和斜面知识的话还是能够很快的算出摩擦力所做的功的。
37~42：38题的速度合成，差不多属于高中预录取阶段才有的难题了，40题之后的几道题也能看出高考的影子，基本上就是将电源内阻摘出来的高考题。
（例如40题可以参考14年高考的18题，另外27题参考的是13年高考的24题）PS：几道复杂题目的过程可参考附件图片综上所述可以看到，大同杯初赛的考点已经很大程度上的固化，每年都会有和前两年相似的考点，同时高中知识的下放也成为主流，如果是初二的同学们的话可以好好参考一下，变更一下学习方案，以更好的适应未来的大同杯竞赛。
2015年全国高中数学联赛试题答案
…………………20 分
包含 a1 的集合至少有
n− s −t 个．又由于 A1 ⊆ Ci （ i = 1, , t ） ，故 C1 , C2 , , Ct 都 k
n− s −t ，即在剩下的 n − s − t 个集合中， k
包含 a1 ，因此包含 a1 的集合个数至少为
n− s −t n − s + (k − 1)t n − s + t （利用 k ≥ 2 ） = +t ≥ k k k n ． ……………40 分 ≥ （利用 t ≥ s ） k
n ≤ (n + 1) ∑ห้องสมุดไป่ตู้ai2 ， i =1 所以①得证，从而本题得证．
…………………40 分
证法二：首先，由于问题中 a1 , a2 , , an 的对称性，可设 a1 ≥ a2 ≥ ≥ an ．此 n 外，若将 a1 , a2 , , an 中的负数均改变符号，则问题中的不等式左边的 ∑ ai 不 i =1 减，而右边的 ∑ ai2 不变，并且这一手续不影响 ε i = ±1 的选取，因此我们可进一
2t u − 1 2u − 1 m 1 2αt ⋅ 1 2αt ⋅ 1 + 2u + + 2(t −1)u ) =+ =+ ( q q q
…………………10 分
n + 2 ∑ aj n = j +1 2
2
2
n 2 n n n 2 2 ≤ 2 ∑ ai + 2 n − ∑ a j （柯西不等式） …………30 分 2 i =1 2 = n j +1 2 n n 2 2 n + 1 n n n + 1 2 a j （利用 n − = = 2 ∑ ai + 2 ） ∑ 2 2 2 i =1 2 = n j +1 2 n n 2 2 2 ≤ n ∑ ai + (n + 1) ∑ a j （利用 [ x ] ≤ x ） n = i =1 j +1 2
2015高数竞赛解答
2 z 2 z ze2 x ， x 2 y 2
2分
2 2 z x x f (e sin y ) e sin y f (e x sin y ) e x sin y ， 2 x
f ( x t , y t ) f ( x, y) sin t
f x ( x, y) f y ( x, y)
.
2015 年高等数学竞赛试卷
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二、解答题：11～16 题，共 60 分．
11. 求极限（本题共两小题，每小题 5 分，共 10 分）
（1） lim
2015 年高等数学竞赛试卷
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2015 年高等数学竞赛试卷
考试时间：2015 年 5 月
一、填空题：1～10 题，每题 4 分，共 40 分．
10 1. 求极限 lim x x 0 x
10
．
1 (n 1)d = n2
1 1 d 2. 设 d 0 为常数，求极限 lim 2 2 n n n
解： xn
3分 2分
12. （本题 10 分） 设函数 f ( x) 连续， g ( x) f ( xt )dt ，且 lim
0
x 0
1
f ( x) k ，k 为常数，求（1） g ( x) ； x
（2） lim g ( x) .
x 0
解： （1）令 u xt , t
d/2
．
1 3. 设 f 具有二阶导数， f ( x) x 2 ，则 f ( f ( x)) 256 x 2 2
网友智慧2015年上海大同杯数学竞赛两道试题的优解
网友智慧2015年上海大同杯数学竞赛两道试题的优解
上海市上南北校朱文超老师1用“梅内劳斯”定理
2用相似
后续请参考：集体研究|2015年上海大同杯压轴题剖析
上海民办张江集团学校王麟老师
简介“托勒密定理”托勒密定理：圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
它的逆定理也是成立的：若一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆。
托勒密定理实际上可以看做一种判定圆内接四边形的方法。
2015年全国高中数学联合竞赛一试试题(A卷)解析
33 ,
.
22
于是每个小三角形的面积为
1 2
×4×
3 2
= 3，
所以阴影部分的面积为 3 × 8 = 24.
y
33 A,
22
O
x
7. 设 ω 为正实数，若存在 a, b(π ⩽ a < b ⩽ 2π)，使得 sin ωa + sin ωb = 2，则 ω
的取值范围是
.
解答
依题意，存在
k, l
∈
Z，使得
设 A(x1, y1), B(x2, y2), F1(−1, 0)，则
y1
+
y2
=
2km −k2 + 2,
y1y2
=
m2 − 2. k2 + 2
且 ∆ = 4k2m2 − 4(k2 + 2)(m2 − 2) = 8(k2 − m2 + 2) > 0.
于是
kAF1
+
kBF1
=
y1 x1 +
1
+
y2 x2 +
−
1 2
=
1007
⇒
z2015
=
2015
+
1007i.
4. 在矩形 ABCD 中，AB = 2, AD = 1，边 DC 上 (包含点 D、C) 的动点 P 与
CB 延长线上 (包含点 B) 的动点 Q 满足 |D# P»| = |B# Q»|，则向量 P# A» 与向量
#» PQ
的数量积
#» #» PA · PQ
为满足 d = 0 的 P 类数的个数，记 A 为满足 d = 0 的 P 类数的集合.
2015年全国高中数学联赛试卷解析汇报汇报
2015 年全国高中数学联合比赛（A 卷）参照答案及评分标准一试说明：1. 评阅试卷时，请依照本评分标冶填空题只设。
分和香分两档；其余各题的评阅，请严格 依照本评分标准的评分品位给分，不要增添其余中间品位 .2. 假如考生的解答方法和本解答不一样，只需思路合理、步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适合区分品位评分，解答题中第 9 小题 4 分为一个品位，第10、11 小题该分为一个档次，不要增添其余中间品位．一、填空题：本大题共8 小题，每题 8 分，满分 64 分．1．设 a,b 为不相等的实数，若二次函数f ( x) x 2ax b 知足 f (a) f (b) ，则 f ( 2)答案： 4. 解：由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得 a b a0 ，2，即 2a b 所以 f (2)4 2a b42．2．若实数知足 costan ，则1 cos 4的值为．sin答案：2. 解：由条件知， cos2sin ，频频利用此结论， 并注意到 cos 2sin 21 ，得1 cos 4cos 2 sin sin 2 sin 2(1 sin )(1cos 2 )sin cos 22 sin 2 ．3．已知复数数列 z n 知足 z1, z1zn1 ni( n1,2, ) ，此中 i 为虚数单位， z n 表1 n示 z n 的共轭复数，则 z2015 ．答案： 2015 + 1007i ．解：由己知得，对全部正整数n ，有z n 2 z n 1 1 (n 1)i z n 1 ni 1 ( n 1)i z n2 i ,于是 z 2015z 1 1007 (2i ) 2015 1007i ．4．在矩形 ABCD 中， AB2, AD1 ，边 DC 上（包括点 D 、 C ）的动点 P 与 CB 延伸线上（包括点 B ）的动点 Q 知足条件 DP BQ ，则 PA PQ 的最小值为．答案 3．4的坐标为（ t , l)解：不如设 A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , D ( 0 , l )．设 P （其中 0 t 2 ），则由 |DP | | BQ |得 Q 的坐标为（2，- t ) ，故 PA (t , ,1) PQ 2( , t t1),所以，PA PQ ( t ) (2 t) ( 1) ( t 1) t 2t 1 (t1)2 3 3 ．1 3 24 4当 t时， (PA PQ)min．245．在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为．答案： 2．解：设正方体为 ABCD-EFGH ，它共有 12 条棱，从中随意拿出 3 条棱的方法共有C 123 55=220 种．下边考虑使 3 条棱两两异面的取法数． 因为正方体的棱共确立 3 个互不平行的方向 （即 AB 、 AD 、AE 的方向），拥有同样方向的 4 条棱两两共面，所以拿出的 3 条棱必属于 3 个不一样的方向．可先取定 AB 方向的棱，这有 4 种取法．不如设取的棱就是 AB ，则 AD 方向只好取 棱 EH 或棱 FG ，共 2 种可能．当 AD 方向取棱是 EH 或 FG 时， AE 方向取棱分别只好是 CG 或DH ．由上可知， 3 条棱两两异面的取法数为4× 2=8，故所求概率为8 2220 ．556．在平面直角坐标系 xOy 中，点集 (x, y) ( x 3y 6)( 3x y 6)0 所对应的平面区域的面积为．答案：24．解：设 K 1 {( x, y) || x | | 3y | 6 0} ．先考虑 K 1在第一象限中的部分，此时有x 3 y 6 , 故这些点对应于图中的△ OCD 及其内部．由对称性知， K 1 对应的地区是图中以原点 O为中心的菱形 ABCD 及其内部．同理，设K 2 {( x, y) || 3x || y | 6 0} ，则 K 2 对应的地区是图中以 O 为中心的菱形 EFGH 及其内部．由点集 K 的定义知， K 所对应的平面地区是被 K 1 、 K 2 中恰巧一个所覆盖的部分，所以此题 所要求的即为图中暗影地区的面积S ．因为直线 CD 的方程为 x 3 y6 ，直线 GH 的方程为 3x y6 ，故它们的交点 P 的坐标为 (3 , 3 ) ．由对称性知， S8SCPG8 1 43 24 ．2 22 27．设 为正实数，若存在实数a,b(a b2 ) ，使得 sin a sin b 2 ，则 的取值范围为 ．答 案 ： w[9 ,5) [13,．) 解 ： sina sin b2 知 ， s in asin b 1 ， 而4 2 4si a, b [ w ,2w ] ，故题目条件等价于：存在整数 k,l (k l ) ，使得w2k2 2l2 2w ． ①当 w4 时，区间 [ w ,2w ] 的长度不小于 4 ，故必存在 k ,l 知足①式．当 0 w 4 时，注意到 [ w ,2w ] (0,8 ) ，故仅需考虑以下几种状况：(i)w5 2w，此时 w152 2 且 w 无解；24(ii) w5 92w95 ;22，此时 w4 2(iii) w9 132w，此时13 w9 13 w4 ．224 2, 得4综合 (i) 、 (ii) 、 (iii)，并注意到 w4 亦知足条件，可知 w [9,5) [13, ) ．4 248．对四位数 abcd ( 1 a9,0 b ， c, d 9 ) ，若 a b, b c, cd, 则称 abcd 为 P 类数；若 a b, bc, c d ，则称 abcd 为 Q 类数，用 N(P) 和 N(Q)分别表示 P 类数与 Q 类数的个数，则 N(P)-N(Q) 的值为．答案： 285．解：分别记 P 类数、 Q 类数的全体为A 、B ，再将个位数为零的P 类数全体记为 A 0 ，个位数不等于零的尸类数全体记为A 1．对任一四位数 abcdA 1 ，将其对应到四位数 dcba ，注意到 a b, b c, c d 1，故dcba B ．反之， 每个 dcba B 独一对应于从中的元素 abcd ．这成立了 A 1 与 B 之间的一一对应，所以有 N (P) N (Q) | A | | B | |A 0| |A 1|| B | |A 1|．下边计算 | A 0 | 对任一四位数abc0 A 0 , b 可取 0, 1 ， ， 9 ，对此中每个 b ，由b a9 及 b c 9 知， a 和 c 分别有 9 b 种取法，从而9b)2 9k 2 9 10 19|A 0 |(9285 ．b 0k 16 所以， N(P)N (Q) 285 ．二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。