上海市2015年12月大同杯数学竞赛(含答案).

C2015年上海初三数学竞赛（大同中学杯）（2015年12月6日） 解答本题可以使用科学计算器一填空题（每小题10分，共80分）1、已知AB 为圆O 的直径，AB =1，延长AB 到点C，使得BC =1，CD 是圆O 的切线，D 是切点，则ABD ∆的面积为______________。

解答：依据切割线定理可以得到：2CD CB CA =⋅⇒因为可以得到BD CDCD CBD A AD AC∆⇒=∆∽因此有BD AD ==。

因为AB 为圆O 的直径，所以ABD ∆时直角三角形。

依据勾股定理有222221133AB BD AD BD BD =+⇒=⇒=。

而21226ABD S BD AD BD ∆=⋅==2、有编号分别为去1,2,3,4,5,6,7的7个大小相同的小球，从中任取3个小球，则取出的3个小球的编号和为奇数的概率为______________。

解答：从七个小球任意取出三个小球的取法为3735C =种，因为没有小球的数字不同，这样这三个球的数字和有35和结果。

要使用和为奇数。

应该包括两种下面情况第一种三个数均为奇数，也就是从1,3,5,7四个数中取三个，取法为344C =第二种，一个奇数，两个偶数，也就是从1,3,5,7的四个数中取1个，从2,4,6三个数中取两个，取法有224312C C ⋅=.这样和为奇数一共有41216+=种。

从而取出的3个小球的编号和为奇数的概率为16353、实数,x y 满足24x =，24y=，x y ≠，则x yy x+的值为____________。

解答：因为2244x y ⎧+=-----⎪⎨+=-----⎪⎩①②上述①②两个相减，得到：()())0x y x y x y -+-=。

因为x y ≠所以有x y+=上述①②相加得到222)4()2)4x y x y x y xy x y ++=⇒+-+=所以1xy =。

因此2()21x y x y xyy x xy +-+==4. 若三个素数的乘积恰好等于它们和的23 倍，则这三个素数为________．解答：设这三个素数为,,a b c 。

则有23()abc a b c =++。

因为23是素数，从23()abc a b c =++，可以得到23能够整除三个素数,,a b c 的abc 积。

从而可以得到其中有一个素数必为23。

假设23a =这样就有23124(1)(1)2446212bc b c bc b c b c =++⇒--+=⇒--==⨯=⨯ 因为,b c 为素数，所以得到5,7b c ==或3,13b c == 这样得到三个素数为5,7,23或3,13,23。

5. 如图，圆1O 与圆 2O 外切于点P ，从圆1O 上点A 作圆2O 的切线AB ， B 是切点，连接 AP 并延长，与圆2O 交于点C ．已知圆1O 、圆2O 的半径分别为2、1，则ACAB=________． 解答：做如图所示的辅助线。

可以得到21211//2CO PC AO CO PA AO ⇒==为此设PCk =，则2.PA k = 应用切割线定理有：223.AB AP AC k k AB=⋅=⨯⇒=所以AC AB ==。

6、 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，MON 的两边分别是射线 y x (x与x轴正半轴．点A (6,5)，B (10,2)是MON 内的两个定点，点P 、Q 分别是MON 两边上的动点，则四边形ABQP 周长的最小值是________． 解答：本题主要就是应用对称。

应为四边形 ABQP ，其中一个边AB 为定值。

要求四边形ABQP从对称可以得到/(5,6)A ,/(10,2)B -. 四边形另外三边的最小值为//A B 依据两点间距离公式有。

//A B ==AB ==。

7. 不定方程2222x y xy x y +=++的整数(,y)x 解共有________组。

解答：设x y k +=，所以从2222x y xy x y +=++，可以得到222k xy xy k -=+所以222233k kk k xy xy --=⇒=。

这样,y x 是方程22203k kt kt --+=的两个根，并且根为整数。

所以2222()40803k kk k k -∆=--⨯≥⇒-≤。

因此有08k ≤≤。

同时要保证22(2)33k k k k xy --==为整数。

这样就有0k =，3，5，6，8 当0k =时，(,y)(0,0)x =当3k =时，方程为方程2310t t -+=没有整数解。

当5k =时，方程为方程2550t t -+=没有整数解。

当6k =时，方程为方程2680t t -+=，有整数解为2,4。

所以(,y)(2,4)x =或(4,2)当8k =时，方程为方程28160t t -+=，有整数解为4,4。

所以(,y)(4,4)x =整数(,y)x 解共有4组C8. 设a 是给定的正实数，n 是给定的大于 1 的整数，实数123,,,,n x x x x ⋅⋅⋅ 满足2222123nx x x x a +++⋅⋅⋅+=，则 2222212131232()()()()()n n x x x x x x x x x x -+-+⋅⋅⋅+-+-+⋅⋅⋅+-21()n n x x -+⋅⋅⋅+-的最大值________________。

解答：因为2222212131232()()()()()n n x x x x x x x x x x -+-+⋅⋅⋅+-+-+⋅⋅⋅+-21()n n x x -+⋅⋅⋅+-22212123234211(1)()2()2()2()2n n n n x n n nn x x x x x x x x x x x x x x x x ---=-++⋅⋅⋅+-++⋅⋅+-++⋅⋅+-⋅⋅⋅-+-123234211(1)2()2()2()2n n n x n n n n a x x x x x x x x x x x x x ---=--++⋅⋅+-++⋅⋅+-⋅⋅⋅-+-有这样的一个结论，因为222222222222()2x y x y x y xy x y x y xy x y +=+≥⇒≤+⇔-+≤-≤+而1232342112()2()2()2n n n x n n n x x x x x x x x x x x x x ----++⋅⋅+-++⋅⋅+-+-22222222222212131232422222222222223435321212222221212[()()()][()()()][()()()][()()]()](1)(1)(1)(1)(n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x n x x x x x n x x x ----≤++++⋅⋅+++++++⋅⋅+++++++⋅⋅++⋅⋅⋅++++++=-+-+⋅⋅+-=-++⋅⋅+)(1)n a=-所以最大值为2(1)n a -二、解答题（第9、10 题，每题15 分，第11、12 题，每题20 分，共70 分） 9. 如图，在△ABC 中，BC a ，CA b ，ACB ，△ABD 是正三角形，P 是其中心，求CP 的长度．解答：分析作D 点关于AB 的对称点/D 。

则/AD B ∆为等边三角形，这样就有/060AD B ∠=，已知ACB所以/,,,A C DB 四点共圆。

这个圆过P点。

连接AP ，BP 。

因为P 是正三角形ABD 的中心，所以02sin 603AP BP AB AB ===因为A ,C ,B ,P 四点共圆，也就是四边形ACBP 为 圆内接四边形，应用圆内接四边形托勒密定理 可以得到AB PC BP AC AP BC ⋅=⋅+⋅所以)PC a b =+。

10. 在1，2，… ，2015 这2015 个正整数中选出k 个数，使得其中任意两个不同的数的和 都不是50 的倍数，求k 的最大值．解答：因为所有的整数，被5除余数为0,1,2,3,4，… ,47,48,49。

共50中情况。

而2015504015÷=⋅⋅⋅。

下面吧从1,2，… ，2015这2015个数被50除，余数的情况列表如下。

第1行取1到25这25个数，取50这个个数，任意两个数的和都不能被50整除。

第2行取51到74这24个数，和第一组取得的数组成新的数集，则这新的数集任意两个数的和不能被50整除。

以后每行都取前24个数，取到第40行位置。

最后一行取15个数。

这样正整数集合最大数值个数为2624(4021)15977+⨯-++= 这样集合为这样式样{1,2,,25,50,51,52,,74,101,102,,124,151,152,,174,,1951,1952,,1974,⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 2001,,2015}⋅⋅⋅50这个数可以换成1到2015之间50的倍数任意一个数。

因此k 的最大值为977.11. 已知△ABC 的三边长均为正整数，周长为 35，G 和I 分别为△ABC 的重心和内心，CACA且GIC ，求边AB 的长度．解答：本题有一定难度，但是抓住内心和重心的特征 还是能够找到解题的路径的。

由题意知道GIC，并且平分ACB ∠,的特征。

这样可以构造出三角形。

为此延长GI 很容易得到CMN ∆为等腰三角形，也就是CM CN = 过垂心G 和内心I 分别做AC 和BC 边的垂线。

设ABC ∆的半径为r 。

由面积法得到：CGM CGN CIM CIN S S S S ∆∆∆∆+=+也就是1112222CM GP CN GF rCN ⋅+⋅=⨯ 所以2GP GF r +=因为G 为三角形ABC 的重心，可以得到11233B AC A BC d d r --+= 用面积法有：12122233S S S b a a b c⨯+⨯=++ 化简为116b a a b c +=++也就是635a b ab += 635()ab a b =+，因为,a b 为正整数所以得到35ab k =，则6a b k +=为此,a b 为方程26350t kt k -+=的两个根。

235(6)43509k k k ∆=--⨯≥⇒≥有356356a b k k +=<⇒<。

因此4,5k = 当4k =时，方程为2243540(14)(10)014,10t t t t t -+⨯=⇒--=⇒=所以此时10,14a b ==。

因此11AB =。

当5k =时，方程为2303550t t -+⨯=没有整数解。

因此11AB =。

12. 设,a b 是正整数，22a b - 不是 4的倍数，求证：(3)(57)a b a b ++不是完全平方数． 证明：22()()a b a b a b -=+-，当,a b 为同奇数，或者同偶数时，可以得到22()()a b a b a b -=+-一定是4的倍数。