2017年上海市大同杯九年级静安区初赛试题

2017年上海初三数学竞赛(大同中学杯)静安区选拔赛解答本试卷可以使用科学计算器 一、填空题(每题10分，共80分)1．若关于x 的不等式x a b +<的解集为2＜x ＜4，则ab 的值是 ． 2．已知实数x 、y 、z 满足x ＋y ＝2，364z xy y +=--，则x ＋2y ＋3z ＝ ． 3．若a 2＋b 2＝4＝ ．4．设a 、b 都是实数，函数f (x )＝ax 2＋b (x ＋1)－2．若对任意实数b ，方程ax 2＋b (x ＋1)－2＝x 有两个相异的实根，则实数a 的取值范围为 ．5．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且∠D ＝90°．设CD 上有一点E ，使得AE ＝BE ，且△AED与△CEB 相似但不全等．已知2017CD AB =，则BCAD 的值为 ． 6．若x 、y 都是正数，且79xy x y ++=，则22x y xy -+的最大值为 ．7．有一个六位数，它的数码和可被26整除．这个六位数加1，所得的数的数码之和也可被26整除.则满足上述条件的最小的六位数是 ．8．如图，点B 、C 在以AD 为直径的半圆上，且C 是弧BD 的中点，AC 与BD 交于点P ．若BP ＝4，CD ＝2，则AB ＝ ．二、解答题(第9、10题，每题15分；第11、12题每题20分，共70分)9．设a 、b 、c 、d 为四个不同的实数，若a 、b 为方程x 2－10cx －11d ＝0的解，c 、d 为方程x 2－10ax －11b ＝0的解．求a ＋b ＋c ＋d 的值．(第8题图)10．求所有的素数对(p ，q )，使得p 2＋10pq ＋9q 2为完全平方数？11．已知圆内接四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点P ，DA ，CB 的延长线交于点Q ．过点P 作PE ⊥BC ，交边AB 于点E ．若PQ ⊥AC ，证明：点E 为边AB 的中点．12．从1，2，3，…，2017中选取n 个数，使得这n 个数中的任意两数的差的绝对值既不等于4，也不等于5，求n 的最大值．(第11题图)Q2017年上海初三数学竞赛(大同中学杯)静安区选拔赛解答本试卷可以使用科学计算器一、填空题(每题10分，共80分)1．若关于x 的不等式x a b +<的解集为2＜x ＜4，则ab 的值是 ． 解：－3．由题设，b ＞0，不等式x a b +<等价于－a －b ＜x ＜－a ＋b ．从而24a b a b --=⎧⎨-+=⎩，解得a ＝－3，b ＝1，ab ＝－3．2．已知实数x 、y 、z 满足x ＋y ＝2，364z xy y +=--，则x ＋2y ＋3z ＝ ． 解：－9．由x ＋y ＝2，得x ＝2－y ，则()2326444z y y y y y +=---=---，即()2320z y +++=．因此z ＝－3，y ＝－2，x ＝4，x ＋2y ＋3z ＝－9.3．若a 2＋b 2＝4＝ ．解：2．由a 2＋b 2＝4，得－2≤a 、b ≤2，所以a ＋2≥0，且b －3＜0． 又ab －3a ＋2b －6≥0，即(a ＋2)(b －3)≥0， 所以a ＝－2，b ＝0，原式＝2．4．设a 、b 都是实数，函数f (x )＝ax 2＋b (x ＋1)－2．若对任意实数b ，方程ax 2＋b (x ＋1)－2＝x 有两个相异的实根，则实数a 的取值范围为 ． 解：0＜a ＜1．由题意得()()210,1420a b a b ≠⎧⎪⎨∆=--->⎪⎩，即()210,212810.a b a b a ≠⎧⎨∆=-+++>⎩ 因为对任意实数b 恒成立，所以()()224124810a a ∆=+-+<，解得0＜a ＜1．5．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且∠D ＝90°．设CD 上有一点E ，使得AE ＝BE ，且△AED 与△CEB 相似但不全等，已知2017CD AB =，则BCAD的值为．6．若x 、y 都是正数，且79xy x y ++=，则22x y xy -+的最大值为 ． 解：881.因为79xy x y xy =++≥+，所以2≤169，0＜xy ≤19．所以22x y xy -+＝221111182492481xy ⎛⎫⎛⎫--+≤--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，当19xy =时,即13x y ==时, 22x y xy -+取最大值为881.7．有一个六位数，它的数码和可被26整除.这个六位数加1，所得的数的数码之和也可被26整除.则满足上述条件的最小的六位数是 . 解：898999．显然，这个六位数加1以后有进位．要使数码和为26的倍数，至少需要进3位．因此，此六位数的后三位均为9，前三位的数码和是25． 因此满足条件的最小的数为898999． 8．如图，点B 、C 在以AD 为直径的半圆上，且C 是弧BD 的中点，AC 与BD 交于点P ．若BP ＝4，CD＝2，则AB ＝ ． 解：12．延长AB 、DC 交于点E ．因为AD 为直径，所以∠ABD ＝∠ACD ＝90°， 因此∠EBP ＝90°＝∠DCP ，所以E 、B 、P 、C 四点共圆，DC ·DE ＝DP ·DB ． 因为C 是弧BD 的中点，所以∠EAC ＝∠DAC ，EC ＝DC＝2，45＝DP ·(DP ＋4)，解得DP ＝5． 由勾股定理得，CP．又由相交弦定理得，CP ·AP ＝DP ·BP＝5×4，AP＝． 所以AB12=．二、解答题(第9、10题，每题15分；第11、12题每题20分，共70分)9．设a 、b 、c 、d 为四个不同的实数，若a 、b 为方程x 2－10cx －11d ＝0的解，c 、d 为方程x 2－10ax －11b ＝0的解．求a ＋b ＋c ＋d 的值．解：由一元二次方程根与系数的关系得 a ＋b ＝10c ，c ＋d ＝10a ．(第8题图)两式相加得a＋b＋c＋d＝10(a＋c)．因为a是方程程x2－10cx－11d＝0的解，且d＝10a－c，所以，0＝a2－10ac－11d＝a2－10ac－11(10a－c)＝a2－110a＋11c－10ac．①类似地，c2－110c＋11a－10ac＝0．②①－②得(a－c)(a＋c－121)＝0．因为a≠c，所以a＋c＝121．因此，a＋b＋c＋d＝10×121＝1210．10．求所有的素数对(p，q)，使得p2＋10pq＋9q2为完全平方数？解：设p2＋10pq＋9q2＝k2(k∈N*)，则(p＋3q)2＋4pq＝k2，(k－p－3q)(k＋p＋3q)＝4pq．因为p、q都是素数，所以(k－p－3q，k＋p＋3q)＝(1，4pq)，(2，2pq)，(4，pq)，(p，2q)，(q，2p)，(2p，q)，(2q，p)．则2(p＋3q)＝4pq－1,2pq－2，pq－4，p－2q，q－2p，2p－q，2q－p．因为2(p＋3q)是偶数，4pq－1是奇数，所以2(p＋3q)≠4pq－1．因为2(p＋3q)＞p－2q，q－2p，2p－q，2q－p，所以2(p＋3q)≠p－2q，q－2p，2p－q，2q－p．若因此2(p＋3q)＝pq－4，则p、q中必有一个为2，代入后无符合题意的解．若2(p＋3q)＝2pq－2，则pq－p－3q＝1，(p－3)(q－1)＝4，(p－3，q－1)＝(1,4)，(2,2)，(4,1)．解得(p，q)＝(4,5)（舍），(5,3)，(7,2).综上所述，(p，q)＝(5,3)，(7,2).…11．已知圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，DA，CB的延长线交于点Q．过点P作PE⊥BC，交边AB于点E.若PQ⊥AC，证明：点E为边AB的中点．证明：在PC上截取P A′＝P A，则∠P A′Q＝∠P AQ，点P为AA′中点．(5分)联结A′B．因为∠P A′Q＝∠P AQ＝180°－∠DAC＝180°－∠DBC＝∠PBQ，所以A′、P、Q、B四点共圆．所以∠A′BC＝∠QPC＝90°，即A′B⊥BC.因为PE⊥BC，所以A′B∥PE．因为点P为AA′中点，所以点E为边AB的中点.法二：延长PE交CQ于点F，则∠PFB＝∠APQ＝90°。

因为∠PBF＝180°－∠DBC＝180°－∠DAC＝∠P AQ，所以△PBF∽△QAP，BF PF AP PQ。

(第11题图)因为PF CFPQ PC =， 所以BF CFAP PC=。

由直线PEF 截△ABC ，得1AP CF BEPC FB EA=。

所以BE ＝EA ，即点E 为边AB 的中点。

12．从1，2，3，…，2017中选取n 个数，使得这n 个数中的任意两数的差的绝对值既不等于4，也不等于5，求n 的最大值．解：一方面，选取{9i ＋1，9i ＋2，9i ＋3，9i ＋4，2017}(i ＝0，1，2，3，…，223)，这897个数满足题意．另一方面，对于9个连续正整数a ，a ＋1，a ＋2，…，a ＋8，可分为以下五组{a ，a ＋4}，{a ＋1，a ＋5}，{a ＋2，a ＋6}，{a ＋3，a ＋7}，{a ＋8}，每组至多取一个数，即任意连续9个正整数中至多取五个数． 若恰好取出五个数，则每组恰好取一个，则必有a ＋8，则无a ＋3，a ＋4，则必有a ＋7，a ，则无a ＋2，a ＋5，则必有a ＋6，a ＋1．由于(a ＋6)－(a ＋1)＝5，因此不满足题意，所以任意连续9个正整数中至多取四个．所以从1，2，3，…，2017中至多取2016418979⨯+=个正整数． 综上所述，n 的最大值为897．。