椭圆方程及性质的应用-课时作业
秋高中数学课时作业9椭圆的标准方程及性质的应用新人教A版选修2-1(2021年整理)
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课时分层作业（九）椭圆的标准方程及性质的应用(建议用时：40分钟）[基础达标练]一、选择题1．若点P(a,1）在椭圆x22＋错误!＝1的外部,则a的取值范围为（)A.错误!B.错误!∪错误!C．错误!D。
错误!B[由题意知错误!＋错误!〉1，即a2>错误!，解得a〉错误!或a<－错误!。
］2．若直线y＝x＋2与椭圆错误!＋错误!＝1有两个公共点，则m的取值范围是（)【导学号：46342083】A．（－∞,0)∪(1，＋∞)B．(1,3）∪(3，＋∞）C．（－∞，－3)∪（－3，0) D．(1，3)B[由错误!消去y，整理得（3＋m)x2＋4mx＋m＝0。
若直线与椭圆有两个公共点,则错误!解得错误!由x2m＋错误!＝1表示椭圆,知m>0且m≠3.综上可知，m>1且m≠3,故选B.］3．椭圆错误!＋错误!＝1的左焦点为F1,点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上,那么点M的纵坐标是（)A．±错误!B．±错误!C．±错误!D．±错误!A［设椭圆的右焦点为F2，则原点O是线段F1F2的中点，从而OM綊错误!PF2，则PF2⊥F1F2，由题意知F2(3，0），由错误!＋错误!＝1得y2＝错误!解得y＝±错误!，从而M的纵坐标为±错误!。
椭圆方程及其性质的应用 当堂作业
椭圆方程及其性质的应用 当堂作业1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定解析：直线y ＝kx －k ＋1可变形为y －1＝k (x －1)，故直线恒过定点(1,1)，而该点在椭圆x 29＋y 24＝1内部，所以直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1相交，故选B ． 答案：B2．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2C ．1D ．0解析：∵4m 2＋n2>2，∴m 2＋n 2<2. ∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部．∴过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有两个交点．答案：B3．若AB 为过椭圆x 225＋y 216＝1的中心的弦，F 1为椭圆的左焦点，则△F 1AB 面积的最大值为( )A ．6B ．12C ．24D ．36解析：c 2＝25－16＝9，∴|OF 1|＝c ＝3.∵AB 过原点(0,0)，∴当AB 与短轴重合时，△F 1AB 的面积最大，其值为12×2b ×3＝4×3＝12.答案：B4．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22，则mn的值是( ) A ．22B ．233解析：由⎩⎪⎨⎪⎧mx 2＋ny 2＝1，y ＝1－x消去y ，得(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 中点为(x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝2n m ＋n ，∴x 0＝nm ＋n ，代入y ＝1－x 得y 0＝mm ＋n .由题意y 0x 0＝22，∴m n ＝22.答案：A5．已知椭圆的一个焦点为F .若椭圆上存在点P ，使得以椭圆短轴为直径的圆与线段PF 相切于线段PF 的中点，则该椭圆的离心率为( )A ．53B ．23C ．22D ．59解析：如图，设另一焦点为F 1.由条件可知，切点T 为PF 的中点，且OT ⊥PF ， ∴OT ＝b .∴|PF 1|＝2b .∴|PF |＝2a －2b .又∵∠F 1PF ＝90°，∴(2b )2＋(2a －2b )2＝(2c )2.整理得e ＝c a ＝53.答案：A6．若点P (a,1)在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，则a 的取值范围为________.解析：因为点P 在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，所以a 22＋123＞1，解得a ＞233或a ＜－233.答案：a ＞233或a ＜－2337．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22.若直线y ＝kx 与其一个交点的横坐标为b ，则k的值为________.解析：由条件知，点(b ，kb )在椭圆上，即b 2a 2＋k 2b 2b2＝1.∴k 2＝1－b 2a 2＝a 2－b 2a 2＝c 2a 2＝e 2＝12.∴k ＝±22.答案：±228．过椭圆x 26＋y 25＝1内的一点P (2，－1)的弦AB ，满足OP →＝12(OA →＋OB →)，则这条弦所在的直线方程是__________________.解析：由于直线AB 过点P ，又OP →＝12(OA →＋OB →)，∴点P 为弦AB 的中点．设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝－2.∴⎩⎨⎧x 216＋y 215＝1，x 226＋y225＝1.∴(x 1＋x 2)(x 1－x 2)6＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)5＝0.∴4(x 1－x 2)6－2(y 1－y 2)5＝0，即k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝53. ∴弦AB 所在的直线方程为y ＋1＝53(x －2)，即5x －3y －13＝0. 答案：5x －3y －13＝09．已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，消去y ，整理得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0.∵直线与椭圆有公共点，∴Δ＝4m 2－20(m 2－1)＝20－16m 2≥0. ∴－52≤m ≤52. (2)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由(1)得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝m 2－15.＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·425m 2－4(m 2－1)5＝225－4m 2＋5. ∵－52≤m ≤52，∴0≤m 2≤54. ∴当m ＝0时，|AB |取得最大值，此时直线方程为y ＝x ，即x －y ＝0. 10．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．解：(1)将(0,4)代入C 的方程得16b 2＝1，∴b ＝4.又e ＝c a ＝35，得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)．设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋(x －3)225＝1，即x 2－3x －8＝0，解得x 1＋x 2＝3，∴AB 的中点坐标x －＝x 1＋x 22＝32，y －＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65，即中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－65.1．(2016·全国卷Ⅰ)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A ．13B ．12C ．23D ．34。
课时作业20：2.1.1 椭圆及其标准方程
§2.1 椭 圆2．1.1 椭圆及其标准方程1．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．a >3B ．a <－2C ．a >3或a <－2D ．a >3或－6<a <－2答案 D解析 由a 2>a ＋6>0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－a －6>0，a ＋6>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a <－2或a >3，a >－6，所以a >3或－6<a <－2.2．以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P ⎝⎛⎭⎫35，－4和Q ⎝⎛⎭⎫－45，3，则此椭圆的方程是() A.y 225＋x 2＝1B.x 225＋y 2＝1C.x 225＋y 2＝1或x 2＋y 225＝1D ．以上都不对答案 A解析 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，则⎩⎨⎧ 925m ＋16n ＝1，1625m ＋9n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ＝125， ∴椭圆的方程为x 2＋y 225＝1. 3．设椭圆x 2m 2＋y 2m 2－1＝1(m >1)上一点P 到其左、右焦点的距离分别为3和1，则m 等于( ) A ．6 B ．3 C ．2 D ．4答案 C解析 ∵m 2>m 2－1，∴椭圆焦点在x 轴上，∴a ＝m ，则2m ＝3＋1＝4，∴m ＝2.4．设P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是( ) A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形答案 B解析 由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，不妨设|PF 1|>|PF 2|，∵|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝5，|PF 2|＝3，又∵|F 1F 2|＝2c ＝4，∴△PF 1F 2为直角三角形．5．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|＝23，若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 212＋y 29＝1 B.x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1 C.x 29＋y 212＝1 D.x 248＋y 245＝1或x 245＋y 248＝1 答案 B解析 由已知2c ＝|F 1F 2|＝23，所以c ＝ 3.因为2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43，所以a ＝23，所以b 2＝a 2－c 2＝9.故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1. 6．已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________________．答案 y 216＋x 2＝1 解析 由已知2a ＝8,2c ＝215，所以a ＝4，c ＝15，所以b 2＝a 2－c 2＝16－15＝1.又椭圆的焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 2＝1. 7．已知椭圆的焦点是F 1(0，－1)，F 2(0,1)，P 是椭圆上一点，并且|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，则椭圆的标准方程是________．答案 y 24＋x 23＝1 解析 由|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝2×2＝4，得2a ＝4.又c ＝1，所以b 2＝3.所以椭圆的标准方程是y 24＋x 23＝1. 8．已知椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2，N 是线段MF 的中点，O 为坐标原点，那么线段ON 的长是________．答案 4解析 设椭圆的另一个焦点为E ，则|MF |＋|ME |＝10，又∵|MF |＝2，∴|ME |＝8，又ON 为△MEF 的中位线，∴|ON |＝12|ME |＝4. 9．求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3,2)；(2)c ∶a ＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.解 (1)由焦距是4可得c ＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由椭圆的定义知，2a ＝32＋(2＋2)2＋32＋(2－2)2＝8，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12.又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1.(2)由题意知，2a ＝26，即a ＝13，又c ∶a ＝5∶13，所以c ＝5，所以b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144， 因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为x 2169＋y 2144＝1或y 2169＋x 2144＝1. 10．已知椭圆M 与椭圆N ：x 216＋y 212＝1有相同的焦点，且椭圆M 过点⎝⎛⎭⎫－1，255. (1)求椭圆M 的标准方程；(2)设椭圆M 的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆M 上，且△PF 1F 2的面积为1，求点P 的坐标．解 (1)由题意，知椭圆N 的焦点为(－2,0)，(2,0)，设椭圆M 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝4，1a 2＋45b 2＝1，化简并整理得5b 4＋11b 2－16＝0，故b 2＝1或b 2＝－165(舍)，a 2＝5， 故椭圆M 的标准方程为x 25＋y 2＝1. (2)由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，设P (x 0，y 0)，则△PF 1F 2的面积为12×4×|y 0|＝1， 得y 0＝±12. 又x 205＋y 20＝1，所以x 20＝154，x 0＝±152， 所以点P 有4个，它们的坐标分别为⎝⎛⎭⎫152，12，⎝⎛⎭⎫－152，12，⎝⎛⎭⎫152，－12，⎝⎛⎭⎫－152，－12.11．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．线段D ．直线答案 B解析 设椭圆的右焦点为F 2，由题意，知|PO |＝12|MF 2|，|PF 1|＝12|MF 1|， 又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，所以|PO |＋|PF 1|＝a >|F 1O |＝c ，故由椭圆的定义，知P 点的轨迹是椭圆．12．曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k＝1(0<k <9)的关系是( ) A ．有相等的焦距，相同的焦点B ．有相等的焦距，不同的焦点C ．有不等的焦距，不同的焦点D ．以上都不对答案 B解析 曲线x 225＋y 29＝1焦点在x 轴上． 对于曲线x 29－k ＋y 225－k＝1， ∵0<k <9，∴25－k >9－k >0，∴焦点在y 轴上，故两者的焦点不同．∵25－9＝(25－k )－(9－k )＝16＝c 2，∴2c ＝8，故两者焦距相等．故选B.13．已知椭圆x 2100＋y 264＝1的左焦点为F ，一动直线与椭圆交于M ，N 两点，则△FMN 的周长的最大值为( )A ．16B ．20C ．32D ．40答案 D解析 设右焦点为A ，一动直线与椭圆交于M ，N 两点，则△FMN 的周长l ＝|MN |＋|MF |＋|NF |＝|MN |＋2a －|MA |＋2a －|NA |＝4a ＋(|MN |－|MA |－|NA |)，由于|MA |＋|NA |≥|MN |，所以当M ，A ，N 三点共线时，△FMN 的周长取得最大值4a ＝40.14．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.答案 3解析 由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2.又∵PF 1→⊥PF 2→，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4c 2，即4c 2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2，∴|PF 1|·|PF 2|＝2b 2，∴12F PF S △＝12·|PF 1|·|PF 2|＝12×2b 2＝b 2＝9， 又∵b >0，∴b ＝3.15．已知△ABC 的顶点A (－2,0)和B (2,0)，顶点C 在椭圆x 216＋y 212＝1上，则sin A ＋sin B sin C ＝________.答案 2解析 ∵A (－2,0)和B (2,0)，顶点C 在椭圆x 216＋y 212＝1上， ∴|CA |＋|CB |＝8，|AB |＝4，∴由正弦定理得，sin A ＋sin B sin C ＝|CB |＋|CA ||AB |＝84＝2. 16.如图所示，已知动圆P 过定点A (－3，0)，并且在定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64的内部与其内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．解 设动圆P 和定圆B 内切于点M ，动圆圆心P 到两定点A (－3,0)和B (3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|P A |＋|PB |＝|PM |＋|PB |＝|BM |＝8>|AB |，所以动圆圆心P 的轨迹是以A ，B 为左、右焦点的椭圆，其中c ＝3，a ＝4，b 2＝a 2－c 2＝42－32＝7，其轨迹方程为x 216＋y 27＝1.。
课时作业6:2.1.2 椭圆的简单几何性质
2．1.2 椭圆的简单几何性质基础梳理x2y2y2x2想一想：1.通过对椭圆几何性质的研究，你能判断椭圆的焦点是在长轴上还是在短轴上吗？2．椭圆的离心率e能否用a，b表示？自测自评1．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴的端点坐标是( ) A ．(－1，0)、(1，0) B ．(0，－1)、(0，1) C ．(－6，0)、(6，0) D ．(0，－6)、(0，6)2．椭圆的四个顶点构成的菱形的面积为10，两个焦点与短轴的两个顶点构成的菱形的面积为5，则椭圆的离心率为( ) A.22 B.32 C.12 D.633．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(3，＋∞)∪(－∞，－2)D ．(3，＋∞)∪(－6，－2)基础巩固1．椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e 为( ) A.12 B.13 C.14 D.222．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2＋y 2b 2＝k (k ＞0)具有相同的( )A ．顶点B ．离心率C ．长轴D ．短轴3．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为( )A ．(±13，0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69)4．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F (－23，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是______________．能力提升5．椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21 D.1925或216．某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点A 距地面m 千米，远地点B 距离地面n 千米，地球半径为k 千米，则飞船运行轨道的短轴长为( ) A ．2（m ＋k ）（n ＋k ） B.（m ＋k ）（n ＋k ） C ．mn D ．2mn7．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的四个顶点顺次连接构成一个菱形，该菱形的面积为210，又椭圆的离心率为155，则椭圆的标准方程是____________________________． 8．若F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A 、B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________________．9．已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一点，若PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，求椭圆的离心率．10．设椭圆x 2m ＋1＋y 2＝1的两个焦点是F 1(－c ，0)与F 2(c ，0)，且椭圆上存在点P ，使得直线PF 1与直线PF 2垂直，求实数m 的取值范围．答 案基础梳理【答案】 a b b a 原点、x 轴、y 轴 (±a ，0) (0，±b ) (0，±a ) (±b ，0) (±c ，0) (0，±c ) (0，1) 想一想：1.椭圆的焦点在长轴上． 2．可以，因为e ＝ca ，又c ＝a 2－b 2，所以e ＝a 2－b 2a＝1－b 2a2. 自测自评 1．【答案】D2．【解析】依题意有2ab ＝10，2bc ＝5，所以e ＝c a ＝12.【答案】C3．【解析】由于椭圆的焦点在x 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2>a ＋6，a ＋6>0，即⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋2）（a －3）>0，a >－6.解得a >3或－6<a <－2，故选D. 【答案】D基础巩固1．【解析】由题意，得a ＝2c ，∴e ＝c a ＝12.【答案】A2．【解析】椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e 1＝c 21a 21＝1－b 2a 2，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝k 的离心率 e 2＝c 22a 22＝1－b 2ka 2k＝1－b 2a2＝e 1.故选B. 【答案】B3．【解析】由条件知，椭圆的焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，所以c 2＝a 2－b 2＝169－100＝69，所以焦点坐标为(0，±69)． 【答案】D4．【解析】已知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，c ＝23，a 2－b 2＝c2⇒⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝4，a 2＝16⇒x 216＋y 24＝1.【答案】x 216＋y 24＝1能力提升5．【解析】当椭圆的焦点在x 轴上时，a 2＝9，b 2＝4＋k ， 得c 2＝5－k .由c a ＝5－k 3＝45，得k ＝－1925；当焦点在y 轴上时，a 2＝4＋k ，b 2＝9，得c 2＝k －5.由ca ＝k －54＋k ＝45，得k ＝21.【答案】C6．【解析】由题意可得a －c ＝m ＋k ，a ＋c ＝n ＋k ，故(a －c )·(a ＋c )＝(m ＋k )(n ＋k )．即a 2－c 2＝b 2＝(m ＋k )(n ＋k )，所以b ＝（m ＋k ）（n ＋k ）， 所以椭圆的短轴长为2（m ＋k ）（n ＋k ），故选A. 【答案】A7．【解析】由题意，得2ab ＝210，即ab ＝10.① 又e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1525＝35，即2a 2＝5b 2.② 解①②得a 2＝5，b 2＝2，所以所求椭圆方程为x 25＋y 22＝1. 【答案】x 25＋y 22＝18．【解析】根据题意，求出点B 的坐标代入椭圆方程求解． 设点B的坐标为(x 0，y 0)．∵x 2＋y 2b2＝1，∴F 1(－1－b 2，0)，F 2(1－b 2，0)． ∵AF 2⊥x 轴，∴A (1－b 2，b 2)． ∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴AF 1→＝3F 1B →，∴(－21－b 2，－b 2)＝3(x 0＋1－b 2，y 0)． ∴x 0＝－531－b 2，y 0＝－b 23.将B ⎝⎛⎭⎫－531－b 2，－b 23代入x 2＋y 2b 2＝1，得b 2＝23. ∴椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.【答案】x 2＋32y 2＝19．【答案】解：∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1⊥PF 2， 在Rt △PF 1F 2中，tan ∠PF 1F 2＝|PF 2||PF 1|＝12， 设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝2x ，由椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴x ＝2a 3， ∵|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴x 2＋4x 2＝4c 2， ∴209a 2＝4c 2，∴e ＝c a ＝53.10．【答案】解：(1)由题设有m >0，c ＝m ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)，由PF 1⊥PF 2得y 0x 0＋c ·y 0x 0－c＝－1，化简得x 20＋y 20＝m .①将①与x 20m ＋1＋y 20＝1联立，解得x 20＝m 2－1m ，y 20＝1m. 由m >0，x 20＝m 2－1m≥0，得m ≥1. ∴实数m 的取值范围是[1，＋∞)．。
人教新课标版数学高二选修2-1课时作业9椭圆标准方程及性质的应用
一、选择题1．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是( )A ．－2＜a ＜2B ．a ＜－2或a ＞ 2C ．－2＜a ＜2D ．－1＜a ＜1【解析】 ∵点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1内部，∴a 24＋12＜1.∴a 24＜12. 则a 2＜2，∴－2＜a ＜ 2.【答案】 A2．(2013·潍坊高二检测)直线y ＝k (x －2)＋1与椭圆x 216＋y 29＝1的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．相切D ．无法判断【解析】 直线y ＝k (x －2)＋1过定点P (2,1)，将P (2,1)代入椭圆方程，得416＋19＜1，∴P (2,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．【答案】 B3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1有两个顶点在直线x ＋2y ＝2上，则此椭圆的焦点坐标是( )A ．(±3，0)B ．(0，±3)C ．(±5，0)D ．(0，±5)【解析】 ∵直线x ＋2y ＝2过(2,0)和(0,1)点，∴a ＝2，b ＝1，∴c ＝3，椭圆焦点坐标为(±3，0)．【答案】 A4．(2013·大庆高二检测)椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22，则m n 的值是( ) A.22 B.233 C.922 D.2327【解析】 联立方程组可得⎩⎨⎧ y ＝1－x mx 2＋ny 2＝1⇒(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝n m ＋n， y 0＝1－x 0＝1－n m ＋n ＝m m ＋n. ∴k OP ＝y 0x 0＝m n ＝22.故选A. 【答案】 A5．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是( )A ．m ≥1B ．m ≥1或0＜m ＜1C ．0＜m ＜5且m ≠1D ．m ≥1且m ≠5【解】 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，x 25＋y 2m ＝1，得(m ＋5k 2)x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0，又直线与椭圆有公共点，∴上述方程的Δ≥0对一切k 都成立，即(10k )2－4(m ＋5k 2)×5(1－m )≥0，亦即5k 2≥1－m 对一切k 都成立，∴1－m ≤0，即m ≥1，而m ≠5.【答案】 D二、填空题6．已知F 1为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，直线l ：y ＝x －1与椭圆C 交于A 、B 两点，那么|F 1A |＋|F 1B |的值为________．【解析】 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)，由⎩⎨⎧ x 2＋2y 2＝2，y ＝x －1，消去y ，得3x 2－4x ＝0.∴A (0，－1)，B (43，13)．又由x 22＋y 2＝1知左焦点F 1(－1,0)，则|F 1A |＋|F 1B |＝2＋523＝823.【答案】 8237．直线l 交椭圆x 216＋y 212＝1于A 、B 两点，AB 的中点为M (2,1)，则l 的方程为________．【解析】 由点差法求出k AB ＝－32，∴l 的方程为y －1＝－32(x －2)．化简得：3x ＋2y －8＝0.【答案】 3x ＋2y －8＝0 8．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．【解析】 由已知可得直线方程为y ＝2x －2，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧ x 25＋y 24＝1y ＝2x －2解得A (0，－2)，B (53，43)，∴S △AOB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝53.【答案】 53三、解答题图2－2－49．如图2－2－4所示，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高 4.5米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？【解】 如图建立直角坐标系，则点P (11,4.5)，椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1.∵P (11,4.5)在椭圆上，∴112a 2＋4.52b 2＝1.①又b ＝h ＝6，代入①式，得a ＝4477.此时l ＝2a ＝8877≈33.3(米)，因此隧道的拱宽约为33.3米．10．已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．【解】 (1)由题意得⎩⎨⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，消y 整理得：5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0.∵直线与椭圆有公共点，∴Δ＝4m 2－20(m 2－1)＝20－16m 2≥0， ∴－52≤m ≤52.(2)设直线与椭圆交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝m 2－15.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·425m 2－4(m 2－1)5＝225－4m 2＋5. ∵－52≤m ≤52，∴0≤m 2≤54，∴当m ＝0时，|AB |取得最大值，此时直线方程为y ＝x ，即x －y ＝0.11．已知△ABC 的顶点A ，B 在椭圆x 2＋3y 2＝4上，C 在直线l ：y ＝x ＋2上，且AB ∥l .(1)当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及△ABC 的面积；(2)当∠ABC ＝90°，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程．【解】 (1)∵AB ∥l ，且AB 边通过点(0,0)，∴AB 所在直线的方程为y ＝x .设A ，B 两点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 2＋3y 2＝4，y ＝x ，得x ＝±1， ∴|AB |＝2|x 1－x 2|＝22，又∵AB 边上的高h 等于原点到直线l 的距离，∴h ＝2，∴S △ABC ＝12|AB |·h ＝2.(2)设AB 所在直线方程为y ＝x ＋m .由⎩⎨⎧x 2＋3y 2＝4，y ＝x ＋m ，得4x 2＋6mx ＋3m 2－4＝0. ∵A ，B 在椭圆上，∴Δ＝－12m 2＋64＞0.设A ，B 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－3m 2，x 1·x 2＝3m 2－44，∴|AB |＝2|x 1－x 2|＝32－6m 22. 又∵BC 的长等于点(0，m )到直线l 的距离，即|BC |＝|2－m |2. ∴|AC |2＝|AB |2＋|BC |2＝－m 2－2m ＋10＝－(m ＋1)2＋11. ∴当m ＝－1时，AC 边最长．(这时Δ＝－12＋64＞0) 此时AB 所在直线方程为y ＝x －1.。
课时作业5：2.5.2 第二课时 椭圆方程及性质的应用
第二课时 椭圆方程及性质的应用一、选择题1.过椭圆x 24＋y 23＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为( ) A.8，6 B.4，3 C.2， 3 D.4，23答案 B解析 由题意知a ＝2，b ＝3，c ＝1，最长弦过两个焦点，长为2a ＝4，最短弦垂直于x 轴，长度为2b 2a ＝3.2.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的短轴长与椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长相等，则( ) A.a 2＝25，b 2＝16 B.a 2＝9，b 2＝25C.a 2＝25，b 2＝9或a 2＝9，b 2＝25D.a 2＝25，b 2＝9 答案 D解析 椭圆x 225＋y 216＝1的长轴长为10，椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长为6，由题意可知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上， 即有a ＝5，b ＝3.3.方程x 2m ＋y 22m －1＝1为椭圆方程的一个充分不必要条件是( )A.m >12B.m >12且m ≠1C.m >1D.m >0答案 C解析方程x 2m ＋y 22m －1＝1表示椭圆的充要条件是⎩⎨⎧m >0，2m －1>0，m ≠2m －1，即m >12且m ≠1，所以方程x 2m ＋y 22m －1＝1为椭圆方程的一个充分不必要条件是m >1，故选C.4.(多选题)已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，短轴长等于2，离心率为63，过焦点F 1作y 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，则下列说法正确的是( )A.椭圆C 的方程为y 23＋x 2＝1B.椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1C.|PQ |＝233D.△PF 2Q 的周长为43 答案 ACD解析 由已知得2b ＝2，b ＝1，c a ＝63， 又a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝3.∴椭圆方程为x 2＋y 23＝1，又|PQ |＝2b 2a ＝23＝233.△PF 2Q 的周长为4a ＝4 3.5.如图，已知F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，现以F 2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M ，N ，若过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，则椭圆的离心率为( )A.3－1B.2－ 3C.22D.32答案 A解析 ∵过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线， ∴∠F 1MF 2＝90°，|MF 2|＝c ， ∵|F 1F 2|＝2c ，∴|MF 1|＝3c ，由椭圆定义可得 |MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a ， ∴椭圆离心率e ＝21＋3＝3－1. 二、填空题6.已知A (－1，0)，C (1，0)是椭圆C 的两个焦点，过C 且垂直于x 轴的直线交椭圆于M ，N 两点，且|MN |＝3，则椭圆的方程为________；若B 是椭圆上一点，则△ABC 的最大面积为________. 答案 x 24＋y 23＝13解析 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，令x ＝c ，则y ＝±b 2a ，由|MN |＝3，得2b 2a ＝3，又a 2－b 2＝c 2＝1， ∴a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，结合椭圆知当B 点为椭圆与y 轴交点时，S △ABC 的面积最大，此时S △ABC ＝12×2×3＝ 3.7.设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，经过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点.若△F 2AB 是面积为43的等边三角形，则椭圆C 的方程为________. 答案 x 29＋y 26＝1解析 设椭圆C 的焦距为2c (c >0)，如图所示，因为△F 2AB 是面积为43的等边三角形，所以12|AB |2×sin π3＝34|AB |2＝43，解得|AB |＝4，即△F 2AB 是边长为4的等边三角形， 该三角形的周长为12＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ， 可得a ＝3，由椭圆的对称性可知，点A ，B 关于x 轴对称， 则∠AF 2F 1＝π6且AB ⊥x 轴， 所以|AF 2|＝2|AF 1|＝4，∴|AF 1|＝2，∴2c ＝|F 1F 2|＝|AF 2|2－|AF 1|2＝23， ∴c ＝3，则b ＝a 2－c 2＝6，因此椭圆C 的标准方程为x 29＋y 26＝1.8.已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e ≤32，则长轴长的取值范围为________答案 (2，4] 解析 ∵e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，b ＝1，0<e ≤32，∴1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2≤32， 则1<a ≤2，∴2<2a ≤4， 即长轴长的取值范围是(2，4]. 三、解答题9.分别求满足下列条件的椭圆标准方程.(1)中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点(－2，0)，(2，－1)； (2)离心率e ＝22，且与椭圆y 216＋x 212＝1有相同焦点. 解 (1)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，由⎩⎨⎧4m ＝1，2m ＋n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝12.所以椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)由于所求椭圆与椭圆y 216＋x 212＝1的焦点相同，设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0). 则c 2＝16－12＝4，所以c ＝2， 由e ＝c a ＝2a ＝22，得a ＝22，所以b 2＝a 2－c 2＝4，所以所求椭圆的标准方程为y 28＋x 24＝1.10.已知点A (4，0)，B (2，2)，椭圆x 225＋y 29＝1，M 是椭圆上的动点，求|MA |＋|MB |的最小值和最大值.解 由已知得A (4，0)是椭圆的右焦点，设左焦点为F (－4，0). 根据椭圆的定义，得|MA |＋|MB |＝2a －|MF |＋|MB |＝10＋|MB |－|MF |. 因为||MB |－|MF ||≤|FB |＝210， 所以|MB |－|MF |∈[－210，210]，故|MA |＋|MB |的最小值和最大值分别为10－210和10＋210.11.(多选题)如图所示，椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心.设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为a 1和a 2，半焦距分别为c 1和c 2，离心率分别为e 1，e 2，则下列结论正确的是( )A.a 1＋c 1>2(a 2＋c 2)B.a 1－c 1＝a 2－c 2C.a 1c 2>a 2c 1D.e 1＝e 2＋12答案 ABD解析 由椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心， 可得2a 2＝a 1，由椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点， 可得a 2＋c 2＝c 1.所以a 1＋c 1＝2a 2＋a 2＋c 2， 又a 2>c 2，所以a 1＋c 1>2(a 2＋c 2)，所以A 正确；因为a 1－c 1＝2a 2－(a 2＋c 2)＝a 2－c 2，所以B 正确；因为a 1c 2＝2a 2c 2，a 2c 1＝a 2(a 2＋c 2)＝a 22＋a 2c 2，则有a 1c 2－a 2c 1＝2a 2c 2－a 22－a 2c 2＝a 2(c 2－a 2)<0，所以C 错误；因为e 1＝c 1a 1＝a 2＋c 22a 2＝e 2＋12，所以D 正确.12.已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与椭圆交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( ) A.22 B.2－ 3 C.5－2 D.6－3答案 D解析 设AF 1＝x ，则AB ＝x ，BF 1＝2x ，于是x ＋x ＋2x ＝4a ，解得x ＝(4－2 2 )a ，于是AF 2＝2a －(4－2 2 )a ＝(22－2)a ，由勾股定理得[(4－2 2 )a ]2＋[(22－2)a ]2＝(2c )2，整理得e 2＝c 2a 2＝9－62，所以e ＝9－62＝9－218＝6－3，故选D.13.椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆C 的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，求椭圆的离心率. 解 由直线方程y ＝3(x ＋c )，得直线与x 轴的夹角∠MF 1F 2＝π3，且过点F 1(－c ，0)，∵∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，∴∠MF 2F 1＝π6，∴∠F 1MF 2＝π－π3－π6＝π2，即F 1M ⊥F 2M ，∴在Rt △F 1MF 2中，|F 1F 2|＝2c ，|F 1M |＝c ，|F 2M |＝3c ，∴由椭圆定义可得2a ＝c ＋3c ，∴ca ＝21＋3＝3－1.14.设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的两焦点，B 为椭圆上的点且坐标为(0，－1). (1)若P 是该椭圆上的一个动点，求|PF 1→|·|PF 2→|的最大值；(2)若C 为椭圆上异于B 的一点，且BF 1→＝λCF 1→，求λ的值； (3)设P 是该椭圆上的一个动点，求△PBF 1的周长的最大值. 解 (1)因为椭圆的方程为x 24＋y 2＝1， 所以a ＝2，b ＝1，c ＝3， 即|F 1F 2|＝23，又因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，所以|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4， 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝2时取“＝”， 所以|PF 1|·|PF 2|的最大值为4， 即|PF 1→|·|PF 2→|的最大值为4.(2)设C (x 0，y 0)，B (0，－1)，F 1(－3，0)， 由BF 1→＝λCF 1→得x 0＝3（1－λ）λ，y 0＝－1λ. 又x 204＋y 20＝1，所以有λ2＋6λ－7＝0，解得λ＝－7或λ＝1，又BF 1→与CF 1→方向相反，故λ＝1舍去， ∴λ＝－7.(3)因为|PF 1|＋|PB |＝4－|PF 2|＋|PB |≤4＋|BF 2|， |PF 1|＋|PB |＋|BF 1|≤4＋|BF 2|＋|BF 1|＝8，所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，△PBF1周长最大，最大值为8.。
课时作业3：3.1.2 第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用
3.1.2 第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用A 组 基础巩固练一、选择题1．若直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(1，＋∞)B ．(1,3)∪(3，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(－3,0)D ．(1,3)2．过椭圆x 2＋2y 2＝4的左焦点作倾斜角为π3的弦AB ，则弦AB 的长为( )A ．67B ．167C ．716D ．763．在椭圆x 216＋y 29＝1内，过点M (1,1)且被该点平分的弦所在的直线方程为( )A ．9x －16y ＋7＝0B ．16x ＋9y －25＝0C ．9x ＋16y －25＝0D ．16x －9y －7＝04．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( ) A ．12B ．23C ．34D ．455．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A ．x 245＋y 236＝1B ．x 236＋y 227＝1C ．x 227＋y 218＝1D ．x 218＋y 29＝1二、填空题6．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．7．设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右两个焦点，过F 1作斜率为1的直线，交C于A 、B 两点，则|AF 2|＋|BF 2|＝________.8．椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线P A 1斜率的取值范围是[1,2]，那么直线P A 2斜率的取值范围是________． 三、解答题9．设直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点．(1)求实数b 的取值范围； (2)当b ＝1时，求|AB |.10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22，直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为103时，求实数k 的值．B 组 素养提升练11．(多选题)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( ) A ．必在圆x 2＋y 2＝1外 B ．必在圆x 2＋y 2＝74上C ．必在圆x 2＋y 2＝2内D ．必在圆x 2＋y 2＝94上12．已知椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦距为2c ，直线l ：y ＝24x 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若|AB |＝2c ，则椭圆C 的离心率为( ) A ．32B ．34C ．12D ．1413．(一题两空)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点为B (0,4)，离心率e ＝55，则椭圆方程为________，若直线l 交椭圆于M ，N 两点，且△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，则直线l 方程为________．14．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．C 组 思维提升练15．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A ，下顶点为B ，过A 、O 、B (O 为坐标原点)三点的圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫32，－12.(1)求椭圆的方程；(2)已知点M 在x 轴正半轴上，过点B 作BM 的垂线与椭圆交于另一点N ，若∠BMN ＝60°，求点M 的坐标．参考答案A 组 基础巩固练一、选择题 1．【答案】B【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1，消去y ，整理得(3＋m )x 2＋4mx ＋m ＝0. 若直线与椭圆有两个公共点，则⎩⎪⎨⎪⎧3＋m ≠0，Δ＝4m 2－4m 3＋m >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠－3，m <0或m >1.由x 2m ＋y 23＝1表示椭圆，知m >0且m ≠3. 综上可知，m >1且m ≠3，故选B. 2．【答案】B【解析】易求得直线AB 的方程为y ＝3(x ＋2)．由⎩⎨⎧y ＝3x ＋2，x 2＋2y 2＝4消去y 并整理，得7x 2＋122x ＋8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1227，x 1x 2＝87.由弦长公式，得|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋32·⎝⎛⎭⎫－12272－4×87＝167.3．【答案】C【解析】设弦的两个端点的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则有x 2116＋y 219＝1，x 2216＋y 229＝1，两式相减，又x 1＋x 2＝y 1＋y 2＝2，因此x 1－x 216＋y 1－y 29＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－916，所求直线的斜率是－916，弦所在的直线方程是y －1＝－916(x －1)，即9x ＋16y －25＝0，故选C.4．【答案】C【解析】如图所示，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则有|F 1F 2|＝|PF 2|，∠PF 1F 2＝∠F 2PF 1＝30°所以∠PF 2A ＝60°，∠F 2P A ＝30°，所以|PF 2|＝2|AF 2|＝2⎝⎛⎭⎫32a －c ＝3a －2c . 又因为|F 1F 2|＝2c ，所以，2c ＝3a －2c ，所以e ＝c a ＝34.5．【答案】D【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的斜率k ＝－1－01－3＝12，⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，即1a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2x 1＋x 2x 1－x 2＝0⇔1a 2＋1b 2×12×－22＝0，即a 2＝2b 2， c 2＝9，a 2＝b 2＋c 2，解得：a 2＝18，b 2＝9，方程是x 218＋y 29＝1，故选D. 二、填空题 6．【答案】53【解析】由已知可得直线方程为y ＝2x －2，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得A (0，－2)，B ⎝⎛⎭⎫53，43， ∴S △AOB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝53.]7．【答案】327【解析】由x 24＋y 23＝1知，焦点F 1(－1,0)，所以直线l ：y ＝x ＋1，代入x 24＋y 23＝1得3x 2＋4(x＋1)2＝12，即7x 2＋8x －8＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝－87，x 1x 2＝－87，故|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝247.由定义有，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ， 所以|AF 2|＋|BF 2|＝4×2－247＝327.]8．【答案】⎣⎡⎦⎤－12，－14 【解析】由椭圆C ：x 22＋y 2＝1的方程可得a 2＝2，b 2＝1，由椭圆的性质可知：k P A 1·k P A 2＝－12，∴k P A 2＝－12k P A 1，∵k P A 1∈[1,2]，则k P A 2∈⎣⎡⎦⎤－12，－14.三、解答题9．解：(1)将y ＝x ＋b 代入x 22＋y 2＝1，消去y 并整理，得3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0.①因为直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点，所以Δ＝16b 2－12(2b 2－2)＝24－8b 2＞0， 解得－3＜b ＜ 3.所以b 的取值范围为(－3，3)．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当b ＝1时，方程①为3x 2＋4x ＝0. 解得x 1＝0，x 2＝－43.所以y 1＝1，y 2＝－13.所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝423. 10．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得c ＝2，b ＝2， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0，设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则 y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)， x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2(1＋k 2)(4＋6k 2)1＋2k 2，又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k 2，所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d＝|k |4＋6k 21＋2k 2，由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，化简得7k 4－2k 2－5＝0，解得k ＝±1.B 组 素养提升练11．【答案】ABC【解析】e ＝12⇒c a ＝12⇒c ＝a 2，a 2－b 2a 2＝14⇒b 2a 2＝34⇒b a ＝32⇒b ＝32a .∴ax 2＋bx －c ＝0⇒ax 2＋32ax －a 2＝0⇒x 2＋32x －12＝0， ∴x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－12， ∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝34＋1＝74. ∵1＜74＜2，∴点P 在圆x 2＋y 2＝1外，在x 2＋y 2＝74上，在x 2＋y 2＝2内，故应选ABC.12．【答案】A【解析】设直线与椭圆在第一象限内的交点为A (x ，y )，则y ＝24x 由|AB |＝2c ，可知|OA |＝x 2＋y 2＝c ，即x 2＋⎝⎛⎭⎫24x 2＝c ， 解得x ＝223c ，所以A ⎝⎛⎭⎫223c ，13c ，把点A 代入椭圆方程得到⎝⎛⎭⎫223c 2a 2＋⎝⎛⎭⎫13c 2b 2＝1，整理得8e 4－18e 2＋9＝0，即(4e 2－3)(2e 2－3)＝0，因0＜e ＜1，所以可得e ＝32.] 13．【答案】x 220＋y 216＝1 6x －5y －28＝0【解析】由题意得b ＝4，又e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－16a 2＝15，解得a 2＝20.∴椭圆的方程为x 220＋y 216＝1.∴椭圆右焦点F 的坐标为(2,0)，设线段MN 的中点为Q (x 0，y 0)，由三角形重心的性质知BF →＝2FQ →，从而(2，－4)＝2(x 0－2，y 0)， 解得x 0＝3，y 0＝－2，所以点Q 的坐标为(3，－2)． 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－4，且x 2120＋y 2116＝1，x 2220＋y 2216＝1， 以上两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)20＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)16＝0，∴k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－45·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－45×6－4＝65，故直线的方程为y ＋2＝65(x －3)，即6x －5y －28＝0.14．【答案】⎝⎛⎭⎫0，22 【解析】∵MF 1→⊥MF 2→，∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上，又点M 在椭圆内部，∴c ＜b ， ∴c 2＜b 2＝a 2－c 2，即2c 2＜a 2，∴c 2a 2＜12，即c a ＜22.又e ＞0，∴0＜e ＜22. C 组 思维提升练15．解：(1)依题意知A (a,0)，B (0，－b )，∵△AOB 为直角三角形，∴过A 、O 、B 三点的圆的圆心为斜边AB 的中点， ∴a 2＝32，－b 2＝－12，即a ＝3，b ＝1， ∴椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)由(1)知B (0，－1)，依题意知直线BN 的斜率存在且小于0， 设直线BN 的方程为y ＝kx －1(k ＜0)， 则直线BM 的方程为：y ＝－1kx －1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，y ＝kx －1.消去y 得(1＋3k 2)x 2－6kx ＝0，解得：x N ＝6k1＋3k 2，y N＝kx N －1， ∴|BN |＝x 2N ＋(y N ＋1)2＝x 2N ＋k 2x 2N ＝1＋k 2|x N |∴|BN |＝1＋k 2|x N －x B |＝1＋k 2·6|k |1＋3k 2，在y ＝－1k x －1中，令y ＝0得x ＝－k ，即M (－k,0)∴|BM |＝1＋k 2，在Rt △MBN 中，∵∠BMN ＝60°，∴|BN |＝3|BM |， 即1＋k 2·6|k |1＋3k 2＝3·1＋k 2， 整理得3k 2－23|k |＋1＝0， 解得|k |＝33，∵k ＜0，∴k ＝－33，∴点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫33，0.。
课时作业1：3.1.2 第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用
第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用1．直线y ＝x ＋1与椭圆x 25＋y 24＝1的位置关系是( ) A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法判断 答案 A解析 方法一 直线过点(0,1)，而0＋14<1，即点(0,1)在椭圆内部， 所以可推断直线与椭圆相交．方法二 联立直线与椭圆的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 25＋y 24＝1，消去y 得9x 2＋10x －15＝0， Δ＝100－4×9×(－15)＝640>0，所以直线与椭圆相交．2．(多选)若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是( ) A.63 B ．－63 C ．－33 D.33 答案 AB解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2，x 23＋y 22＝1，得(3k 2＋2)x 2＋12kx ＋6＝0，由题意知Δ＝144k 2－24(3k 2＋2)＝0，解得k ＝±63. 3．直线x －y ＋1＝0被椭圆x 23＋y 2＝1所截得的弦长|AB |等于( ) A.322B. 2 C ．2 2D ．3 2 答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0，x 23＋y 2＝1，得交点为(0,1)，⎝⎛⎭⎫－32，－12，则|AB |＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫1＋122＝322.4．若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是( ) A ．m >1B ．m >0C ．0<m <5且m ≠1D ．m ≥1且m ≠5 答案 D解析 方法一 由于直线y ＝kx ＋1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，则0<1m≤1且m ≠5， 故m ≥1且m ≠5.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，mx 2＋5y 2－5m ＝0， 消去y 整理得(5k 2＋m )x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0.由题意知Δ＝100k 2－20(1－m )(5k 2＋m )≥0对一切k ∈R 恒成立，即5mk 2＋m 2－m ≥0对一切k ∈R 恒成立，由于m >0且m ≠5，∴m ≥1且m ≠5.5．已知椭圆C ：y 29＋x 2＝1，过点P ⎝⎛⎭⎫12，12的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为( )A ．9x －y －4＝0B ．9x ＋y －5＝0C ．4x ＋2y －3＝0D ．4x －2y －1＝0答案 B解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为点A ，B 在椭圆上，所以y 219＋x 21＝1，① y 229＋x 22＝1.② ①－②，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)9＋(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝0.③ 因为P ⎝⎛⎭⎫12，12是线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1，代入③得y 1－y 2x 1－x 2＝－9，即直线AB 的斜率为－9. 故直线AB 的方程为y －12＝－9⎝⎛⎭⎫x －12， 整理得9x ＋y －5＝0.6．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为______________．答案 27解析 由题意可设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1(a >2)， 与直线方程x ＋3y ＋4＝0联立，得4(a 2－3)y 2＋83(a 2－4)y ＋(16－a 2)(a 2－4)＝0，由Δ＝0，得a ＝7，所以椭圆的长轴长为27.7．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．答案 53解析 由已知可得直线方程为y ＝2x －2，|OF |＝1，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得A (0，－2)，B ⎝⎛⎭⎫53，43， 所以S △AOB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝53. 8．已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，经过点F 1的一条直线与椭圆交于A ，B 两点．若直线AB 的倾斜角为π4，则弦长|AB |为________． 答案 247 解析 易知F 1(－1,0)，∵直线AB 的倾斜角为π4， ∴直线AB 的斜率为1，可得直线AB 的方程为y ＝x ＋1.联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1，x 24＋y 23＝1， 整理得7x 2＋8x －8＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系可知x 1＋x 2＝－87，x 1·x 2＝－87， 则由弦长公式得|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2×⎝⎛⎭⎫－872－4×⎝⎛⎭⎫－87＝247. 9．对不同的实数值m ，讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1的位置关系．解 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋m ，x 24＋y 2＝1消去y ， 得x 24＋(x ＋m )2＝1， 整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0.Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)．当Δ＞0，即－5＜m ＜5时，此时直线与椭圆相交；当Δ＝0，即m ＝±5时，此时直线与椭圆相切；当Δ＜0，即m ＜－5或m ＞5时，直线与椭圆相离．10.某海域有A ，B 两个岛屿，B 岛在A 岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C ，曾有渔船在距A 岛、B 岛距离和为8海里处发现过鱼群．以A ，B 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系．(1)求曲线C 的标准方程；(2)某日，研究人员在A ，B 两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A ，B 两岛收到鱼群在P 处反射信号的时间比为5∶3，问你能否确定P 处的位置(即点P 的坐标)?解 (1)由题意知曲线C 是以A ，B 为焦点且长轴长为8的椭圆，又2c ＝4，则c ＝2，a ＝4，故b ＝23，所以曲线C 的方程是x 216＋y 212＝1. (2)由于A ，B 两岛收到鱼群发射信号的时间比为5∶3，∴设此时距A ，B 两岛的距离比为5∶3，即鱼群分别距A ，B 两岛的距离为5海里和3海里．设P (x ，y )，B (2,0)，由|PB |＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3，⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)2＋y 2＝9，x 216＋y 212＝1，－4≤x ≤4，∴x ＝2，y ＝±3，∴点P 的坐标为(2,3)或(2，－3)．11．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，若直线y ＝kx 与椭圆的一个交点的横坐标x 0＝b ，则k 的值为( ) A.22 B ．±22 C.12 D ．±12答案 B解析 根据椭圆的离心率为22，得c a ＝22. 由x 0＝b ，得y 20＝b 2⎝⎛⎭⎫1－b 2a 2＝b 2c 2a 2， 所以y 0＝±bc a ，∴k ＝y 0x 0＝±c a ＝±22. 12．以F 1(－1,0)，F 2(1,0)为焦点且与直线x －y ＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是( )A.x 220＋y 219＝1 B.x 29＋y 28＝1 C.x 25＋y 24＝1 D.x 23＋y 22＝1 答案 C解析 由题意设椭圆方程为x 2b 2＋1＋y 2b2＝1， ⎩⎪⎨⎪⎧x 2b 2＋1＋y 2b 2＝1，x －y ＋3＝0，得(2b 2＋1)x 2＋6(b 2＋1)x ＋8b 2＋9－b 4＝0，由Δ≥0得b 2≥4，所以b 2的最小值为4，由e ＝1－b 2b 2＋1＝1b 2＋1， 则b 2＝4时，e 取最大值，故选C.13．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为________． 答案 6解析 由x 24＋y 23＝1可得，F (－1,0)．设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝⎛⎭⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2， 当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6.14．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为________． 答案 4105解析 方法一 设直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋t ，x 24＋y 2＝1，消去y 得 x 24＋(x ＋t )2＝1， 整理得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0.∵Δ＝64t 2－80(t 2－1)>0，∴－5<t < 5.设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则x 1＋x 2＝－8t 5，x 1·x 2＝4(t 2－1)5. ∴|AB |＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2⎣⎡⎦⎤6425t 2－4×4(t 2－1)5 ＝－32t 2＋16025. 当t ＝0时，|AB |为最大，即|AB |max ＝4105. 方法二 根据椭圆的对称性，当直线斜率固定时，直线过原点时截椭圆所得弦长最长，将y＝x 代入x 24＋y 2＝1得交点坐标为A ⎝⎛⎭⎫255，255和B ⎝⎛⎭⎫－255，－255， 故|AB |＝4105.15．已知椭圆的左焦点为F 1，有一质点A 从F 1处以速度v 开始沿直线运动，经椭圆内壁反射(无论经过几次反射速率始终保持不变)，若质点第一次回到F 1时，它所用的最长时间是最短时间的7倍，则椭圆的离心率e 为( )A.23B.34C.35D.57答案 D解析 假设长轴在x 轴，短轴在y 轴，以下分为三种情况：(1)球从F 1沿x 轴向左直线运动，碰到左顶点必然原路反弹， 这时第一次回到F 1路程是2(a －c )；(2)球从F 1沿x 轴向右直线运动，碰到右顶点必然原路反弹， 这时第一次回到F 1路程是2(a ＋c )；(3)球从F 1沿x 轴斜向上(或向下)运动，碰到椭圆上的点A ， 反弹后经过椭圆的另一个焦点F 2，再弹到椭圆上一点B ， 反弹后经过点F 1，此时小球经过的路程是4a .综上所述，从点F 1沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点F 1时， 小球经过的最大路程是4a ，最小路程是2(a －c )．∴由题意可得4a ＝7×2(a －c )，即5a ＝7c ，得c a ＝57. ∴椭圆的离心率为57. 16．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点⎝⎛⎭⎫1，32，离心率为12，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)当△F 2AB 的面积为1227时，求直线的方程． 解 (1)∵椭圆过点⎝⎛⎭⎫1，32， ∴1a 2＋94b2＝1， 又e ＝c a ＝12且a 2＝b 2＋c 2， 解得a 2＝4，b 2＝3，c 2＝1，∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1. (2)显然直线AB 的斜率不为0，设AB 的方程为x ＝ty －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty －1，x 24＋y 23＝1， 整理得(3t 2＋4)y 2－6ty －9＝0，Δ＝36t 2＋36(3t 2＋4)＝144t 2＋144>0，∴y 1＋y 2＝6t 3t 2＋4，y 1y 2＝－93t 2＋4， 2ABF S ＝12|F 1F 2||y 1－y 2| ＝|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝⎝⎛⎭⎫6t 3t 2＋42＋363t 2＋4＝12t 2＋13t 2＋4＝1227， 解得t 2＝1，∴直线方程为x ＝±y －1，即y ＝x ＋1或y ＝－x －1.。
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椭圆方程及性质的应用
（45分钟 100分）
一、选择题(每小题6分,共30分)
1.(2013·重庆高二检测)已知直线l过点(3,-1),且椭圆C:+=1,则直线l与椭圆C的公共点的个数为( )
A.1
B.1或2
C.2
D.0
2.若AB为过椭圆+=1的中心的弦,F1为椭圆的左焦点,则△F1AB面积的最大值为( )
A.6
B.12
C.24
D.36
3.椭圆+=1上的点到直线x+2y-=0的最大距离为( )
A.3
B.
C.
D.2
4.直线y=1-x交椭圆mx2+ny2=1于M,N两点,MN的中点为P,若k OP=(O为原点),则等于( )
A. B. C.- D.-
5.(2013·南昌高二检测)已知椭圆的一个焦点为F,若椭圆上存在点P,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、填空题(每小题8分,共24分)
6.(2013·绵阳高二检测)短轴长为,离心率e=的椭圆的两焦点为F1,F2,过F1作直线交椭圆于A,B两点,则△ABF2的周长为.
7.(2013·宜春高二检测)椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,若直线y=kx与其一
个交点的横坐标为b,则k的值为.
8.过椭圆+=1内的一点P(2,-1)的弦AB,满足=(+),则这条弦所在的直线方程是.
三、解答题(9题,10题14分,11题18分)
9.(2013·合肥高二检测)已知椭圆C的焦点F1(-2,0)和F2(2,0),长轴长为6,设直线l交椭圆C于A,B两点,且线段AB的中点坐标是P(-,),求直线l的方程.
10.(2013·安阳高二检测)已知椭圆的两焦点为F1(-,0),F2(,0),离心率e=.
(1)求此椭圆的方程.
(2)设直线l:y=x+m,若l与此椭圆相交于P,Q两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求m的值.
11.(能力挑战题)已知大西北某荒漠上A,B两点相距2km,现准备在荒漠上开垦出一片以AB为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园,按照规划,围墙总长为8km.
(1)试求四边形另两个顶点C,D的轨迹方程.
(2)农艺园的最大面积能达到多少?
(3)该荒漠上有一条直线型小溪l刚好通过点A,且l与AB成30°角,现要对整条小溪进行加固改造,但考虑到今后农艺园的小溪要重新设计改造,因此,对小溪可能被农艺园围进的部分暂不加固,则暂不加固的部分有多长?
答案解析
1.【解析】选C.∵直线过定点(3,-1)且+<1,
∴点(3,-1)在椭圆的内部,故直线l与椭圆有2个公共点.
2.【解析】选B.c2=25-16=9,∴|OF1|=c=
3.
∵AB过原点(0,0).
∴当AB与短轴重合时,△F1AB的面积最大,其值为×2b×3=4×3=12.
3.【解题指南】可设出与直线平行的直线方程,利用直线与椭圆相切确定切点,两平行线间的距离即为最大或最小值.
【解析】选C.由得2x2+2mx+m2-16=0.
当直线与椭圆相切时,Δ=0即4m2-4×2(m2-16)=0,解得m=±4.当m=4时,切点到直线x+2y-=0的距离最大,其值为d==.
4.【解题指南】利用设而不求的思想,用m,n表示出中点P的坐标,再建立方程求解.
【解析】选A.设M(x1,y1),N(x2,y2),P(x0,y0).
由得(m+n)x2-2nx+n-1=0.
∴x0=,从而y0=1-x0=1-=.
∴k OP==.
【变式备选】过点M(-1,)的直线l与椭圆x2+2y2=2交于A,B两点,设线段AB中点为M,设直线l的斜率为k1(k1≠0),直线OM的斜率为k2,则k1k2的值为( ) A.2 B.-2 C. D.-
【解析】选D.设A(x1,y1),B(x2,y2).
则+2=2 ①
+2=2 ②
②-①,得(x2-x1)(x2+x1)+2(y2-y1)(y2+y1)=0,即=-,
∴k1==-=1,而k2==-,
故k1·k2=-.
5.【解题指南】采用数形结合,建立a,b,c的齐次式.
【解析】选A.如图,设另一焦点为F 1,由条件可知,
切点T为PF的中点,且OT⊥PF,
∴OT=b,∴|PF1|=2b.
∴|PF|=2a-2b.
又∵∠F1PF=90°,
∴(2b)2+(2a-2b)2=(2c)2,整理得e==.
6.【解析】由题意知解得a=,
△ABF2的周长为4a=4×=6.
答案:6
7.【解题指南】根据条件可知,点(b,kb)在椭圆上,结合离心率解出斜率k. 【解析】由条件知,(b,kb)在椭圆上,即+=1.
∴k2=1-===e2=,∴k=±.
答案:±
8.【解析】由于直线AB过点P,又=(+),
∴点P为弦AB的中点.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4,y1+y2=-2.
∴
∴+=0,
∴-=0,
即k==.
∴弦AB所在的直线方程为y+1=(x-2),即5x-3y-13=0.
答案:5x-3y-13=0
9.【解题指南】先求出椭圆的标准方程,再用“平方差法”求直线斜率,进而求出直线方程.
【解析】由已知条件得椭圆的焦点在x轴上,其中c=2,a=3,从而b=1,
所以其标准方程是+y2=1.
设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为P(-,),则=-,=.
又∵A,B在椭圆上,∴
两式相减得-+9(-)=0,
即(x1+x2)(x1-x2)+9(y1+y2)(y1-y2)=0,
∴-(x1-x2)+9×(y1-y2)=0,
∴=1.
所以k=1,所以直线l的方程为y=x+1.
10.【解析】(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0),
则c=,=,∴a=2,b2=a2-c2=1.
∴所求椭圆方程为+y2=1.
(2)由消去y,得5x2+8mx+4(m2-1)=0,
则Δ=64m2-80(m2-1)>0得m2<5, (*)
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则x1+x2=-,x1x2=,
y1-y2=x1-x2,
|PQ|=
==2.
解得m2=,满足(*),∴m=±.
11.【解析】以AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系.则A(-1,0),B(1,0).
(1)由题意可知,C,D两点在以A,B为焦点的一个椭圆上.
∵平行四边形的周长为8,∴2a=4,
而2c=2,∴b2=a2-c2=3.
故所求椭圆的标准方程为+=1(y≠0),即为C,D两点的轨迹方程.
(2)易知:当C,D为椭圆的短轴端点时,农艺园的面积最大,其值为2km2.
(3)求l:y=(x+1)被椭圆+=1截得的线段长.设线段端点坐标分别为
(x1,y1),(x2,y2).
由
整理得13x2+8x-32=0,由根与系数的关系,得x1+x2=-,x1·x2=-,
∴弦长为=,
∴暂不加固的部分为km.
【拓展提升】解答与椭圆有关的实际问题的方法技巧
解答实际应用问题时,关键是先将实际问题转化为数学模型(称为建模),然后用相关的数学知识和方法解答该数学问题,从而得到实际问题的答案.
对于与椭圆有关的实际问题,解答时要注意事物的实际含义与椭圆的几何性质的转化,同时注意充分利用椭圆方程对变量进行讨论,来解决实际问题.
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