椭圆方程及性质的应用

椭圆方程及性质的应用教学目标1.掌握直线与椭圆的位置关系.(重点)2.通过一元二次方程根与系数关系的应用，解决有关椭圆的简单综合问题.(重点)3.能利用椭圆的有关性质解决实际问题.(难点)教材整理1 点与椭圆的位置关系设点P(x0，y0)，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0).(1)点P在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1；(2)点P在椭圆内⇔x20a2＋y20b2＜1；(3)点P在椭圆外⇔x20a2＋y20b2＞1.课堂练习已知点(2,3)在椭圆x2m2＋y2n2＝1上，则下列说法正确的是________①点(－2,3)在椭圆外②点(3,2)在椭圆上③点(－2，－3)在椭圆内④点(2，－3)在椭圆上【解析】由椭圆的对称性知点(2，－3)也在椭圆上.【答案】④教材整理2 直线与椭圆的位置关系1.直线与椭圆的位置关系及判定直线y＝kx＋m与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)联立⎩⎪⎨⎪⎧y＝kx＋m，x2a2＋y2b2＝1，消去y得一个一元二次方程.2.弦长公式设直线y ＝kx ＋b 与椭圆的交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k 2·|y 1－y 2|.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)点P (2,1)在椭圆x 24＋y 29＝1的内部.( )(2)过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切.( ) (3)过点A (0,1)的直线一定与椭圆x 2＋y 22＝1相交.( )(4)长轴是椭圆中最长的弦.( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)√例题分析(1)若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A.2个B.至多一个C.1个D.0个(2)已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m ，问m 为何值时，直线与椭圆相切、相交？【精彩点拨】 利用几何法判断直线与椭圆的位置关系. 【自主解答】 (1)若直线与圆没有交点，则d ＝4m 2＋n2＞2，∴m 2＋n 2＜4，即m 2＋n 24＜1.∴m 29＋n24＜1，∴点(m ，n )在椭圆的内部，故直线与椭圆有2个交点. 【答案】 A(2)将y ＝x ＋m 代入4x 2＋y 2＝1， 消去y 整理得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0. Δ＝4m 2－20(m 2－1)＝20－16m 2.当Δ＝0时，得m ＝±52，直线与椭圆相切. 当Δ＞0时，得－52＜m ＜52，直线与椭圆相交. 小结1.直线与椭圆的位置关系是通过代数法完成的，Δ的符号决定了交点的个数，从而确定了其位置关系.2.有关直线与椭圆的位置关系存在两类问题，一是判断位置关系，二是依据位置关系确定参数的范围，两类问题在解决方法上是一致的，都要将直线与椭圆方程联立，利用判别式及根与系数的关系进行求解. [再练一题]1.已知椭圆的方程为x 2＋2y 2＝2.(1)判断直线y ＝x ＋3与椭圆的位置关系； (2)判断直线y ＝x ＋2与椭圆的位置关系；(3)在椭圆上找一点P ，使P 到直线y ＝x ＋2的距离最小，并求出这个最小距离. 【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，x 2＋2y 2＝2，得3x 2＋43x ＋4＝0，∵Δ＝(43)2－4×3×4＝0，∴直线y ＝x ＋3与椭圆相切. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2＋2y 2＝2，得3x 2＋8x ＋6＝0.∵Δ＝64－4×3×6＝－8＜0，∴直线y ＝x ＋2与椭圆相离.(3)由(1)、(2)知直线y ＝x ＋3与椭圆的切点P 满足条件，由(1)得P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，33，最小距离d ＝|2－3|2＝2－62.已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点.(1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；(2)当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程.【精彩点拨】 (1)设直线方程→联立方程组→利用弦长公式求解； (2)考查椭圆的中点弦问题及“点差法”的运用.【自主解答】 (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)， 即y ＝12x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ，x 236＋y 29＝1，可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18. 于是|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(x 1－x 2)2＋14(x 1－x 2)2＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝52×62＝310.所以线段AB 的长度为310. (2)法一：设l 的斜率为k ，则其方程为y －2＝k (x －4).联立⎩⎨⎧x 236＋y 29＝1，y －2＝k (x －4)，消去y 得(1＋4k 2)x 2－(32k 2－16k )x ＋(64k 2－64k －20)＝0. 若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝32k 2－16k1＋4k 2，由于AB 的中点恰好为P (4,2)，所以x 1＋x 22＝16k 2－8k1＋4k 2＝4， 解得k ＝－12，且满足Δ＞0.这时直线的方程为y －2＝－12(x －4)， 即y ＝－12x ＋4.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y 229＝1，两式相减得x 22－x 2136＋y 22－y 219＝0，整理得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－9(x 2＋x 1)36(y 2＋y 1)，由于P (4,2)是AB 的中点，∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，于是k AB ＝－9×836×4＝－12， 于是直线AB 的方程为y －2＝－12(x －4)，即y ＝－12x ＋4. 小结1.求解直线与椭圆相交所得的弦长问题，一般思路是将直线方程与椭圆方程联立，得到关于x (或y )的一元二次方程，然后结合根与系数的关系及两点间的距离公式求弦长.一定要熟记公式的形式并能准确运算.2.解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的两个不同的点，M (x 0，y 0)是线段AB 的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1， ①x 22a 2＋y 22b2＝1， ②由①－②，得1a 2(x 21－x 22)＋1b2(y 21－y 22)＝0， 变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0，即k AB ＝－b 2x 0a 2y 0. [再练一题]2.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且椭圆与直线x ＋2y ＋8＝0相交于P ，Q ，且|PQ |＝10，求椭圆的方程.【解】 ∵e ＝32，∴b 2＝14a 2.∴椭圆方程为x 2＋4y 2＝a 2. 与x ＋2y ＋8＝0联立消去y ，得2x 2＋16x ＋64－a 2＝0， 由Δ>0得a 2>32，由弦长公式得10＝54×[64－2(64－a 2)].∴a 2＝36，b 2＝9. ∴椭圆的方程为x 236＋y 29＝1.探究 在椭圆的有关问题中，常出现离心率、弦长或面积的范围、最值问题，这类问题一般思路是什么？【提示】 (1)解决与椭圆有关的最值问题，一般先根据条件列出所求目标函数的关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法，应用不等式的性质，以及三角函数的最值求法求出它的最大值或最小值及范围. (2)解决椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)中的范围问题常用的关系有①－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ；②离心率0＜e ＜1；③一元二次方程有解， 则判别式Δ≥0.已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4.(1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值. 【精彩点拨】 (2)中，设A ，B 坐标→OA →·OB →＝0→|AB |化为关于x 0的函数→求最值.【自主解答】 (1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1， 所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2.因此a ＝2，c ＝ 2. 故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22.(2)设点A ，B 的坐标分别为(t,2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0，即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.又x 20＋2y 20＝4，所以|AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋2y 0x 02＋(y 0－2)2 ＝x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4＝x 20＋4－x 202＋2(4－x 20)x 20＋4＝x 202＋8x 20＋4(0＜x 20≤4).因为x 202＋8x 20≥4(0<x 20≤4)，且当x 20＝4时等号成立，所以|AB |2≥8.故线段AB 长度的最小值为2 2. 小结解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等，解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想.其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件.[再练一题]3.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，短轴的一个端点到右焦点的距离为3，直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆于不同的两点A ，B .(1)求椭圆的方程；(2)若坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值. 【解】 (1)由c a ＝63，a ＝3，所以c ＝2，b ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 2＝1. (2)由已知|m |1＋k 2＝32，所以m 2＝34(1＋k 2)， 联立l ：y ＝kx ＋m 和x 23＋y 2＝1，消去y ，整理可得：(1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝－6km1＋3k 2，x 1x 2＝3m 2－31＋3k 2， 所以|AB |2＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝12(1＋k 2)(3k 2＋1－m 2)(1＋3k 2)2＝3(k 2＋1)(9k 2＋1)(1＋3k 2)2＝3＋12k 29k 4＋6k 2＋1＝3＋129k 2＋1k 2＋6≤4(k ≠0)，当且仅当k ＝±33时取等号，验证知k ＝±33满足题意， 显然k ＝0时，|AB |2＝3＜4.所以(S △AOB )max ＝12×2×32＝32.1.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1有两个顶点在直线x ＋2y ＝2上，则该椭圆的焦点坐标是( )A.(±3，0)B.(0，±3)C.(±5，0)D.(0，±5) 【解析】 ∵直线x ＋2y ＝2过(2,0)和(0,1)点， ∴a ＝2，b ＝1，∴c ＝ 3.椭圆焦点坐标为(±3，0). 【答案】 A2.若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是( ) A.63 B.－63 C.±63 D.±33【解析】 把y ＝kx ＋2代入x 23＋y 22＝1得(2＋3k 2)x 2＋12kx ＋6＝0， 由于Δ＝0，∴k 2＝23，∴k ＝±63. 【答案】 C3.直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( ) A.m >1 B.m >1且m ≠3 C.m >3 D.m >0且m ≠3【解析】由⎩⎨⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1，得(m ＋3)x 2＋4mx ＋m ＝0.由Δ>0且m ≠3，得m <0或m >1且m ≠3， 又∵m >0，∴m >1且m ≠3. 【答案】 B4.若过椭圆x 216＋y 24＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是________.【解析】 设弦两端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1，两式相减并把x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2代入得y 1－y 2x 1－x 2＝－12，∴所求直线方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0. 【答案】 x ＋2y －4＝0 5.如图2-1-4，已知斜率为1的直线l 过椭圆y 28＋x 24＝1 的下焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长【解】 令点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 由椭圆方程知a 2＝8，b 2＝4，∴c ＝a 2－b 2＝2，∴椭圆的下焦点F 的坐标为F (0，－2)，∵直线过点B (2,0)和点F (0，－2)，∴直线l 的方程为y ＝x －2.将其代入y 28＋x 24＝1，化简整理得3x 2－4x －4＝0，∴x 1＋x 2＝43，x 1x 2＝－43， ∴|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝2(x 2－x 1)2＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫432－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝823.。