椭圆方程及性质的应用
椭圆方程及性质的应用
教学目标
1.掌握直线与椭圆的位置关系.(重点)
2.通过一元二次方程根与系数关系的应用，解决有关椭圆的简单综合问题.(重点)
3.能利用椭圆的有关性质解决实际问题.(难点)
教材整理1 点与椭圆的位置关系
设点P(x0，y0)，椭圆x2
a2＋
y2
b2＝1(a＞b＞0).
(1)点P在椭圆上?x20
a2＋
y20
b2＝1；(2)点P在椭圆内?
x20
a2＋
y20
b2＜1；
(3)点P在椭圆外?x20
a2＋
y20
b2＞1.
课堂练习
已知点(2,3)在椭圆x2
m2＋
y2
n2＝1上，则下列说法正确的是________
①点(－2,3)在椭圆外②点(3,2)在椭圆上
③点(－2，－3)在椭圆内④点(2，－3)在椭圆上【解析】由椭圆的对称性知点(2，－3)也在椭圆上.【答案】④
教材整理2 直线与椭圆的位置关系
1.直线与椭圆的位置关系及判定
直线y＝kx＋m与椭圆x2
a2＋
y2
b2＝1(a＞b＞0)联立
??
?
??
y＝kx＋m，
x2
a2＋
y2
b2＝1，
消去y得一个
一元二次方程.
2.弦长公式
设直线y ＝kx ＋b 与椭圆的交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝
1＋1
k 2·|y 1－y 2|.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)点P (2,1)在椭圆x 24＋y 2
9＝1的内部.( )
(2)过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切.( ) (3)过点A (0,1)的直线一定与椭圆x 2
＋y 2
2＝1相交.( )
(4)长轴是椭圆中最长的弦.( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)√
例题分析
(1)若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 2
4＝1的交点个数为( )
A.2个
B.至多一个
C.1个
D.0个
(2)已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m ，问m 为何值时，直线与椭圆相切、相交？
【精彩点拨】 利用几何法判断直线与椭圆的位置关系. 【自主解答】 (1)若直线与圆没有交点，则d ＝
4m 2
＋n
2
＞2，
∴m 2＋n 2＜4，即m 2＋n 24＜1.∴m 29＋n
24＜1，∴点(m ，n )在椭圆的内部，故直
线与椭圆有2个交点. 【答案】 A
(2)将y ＝x ＋m 代入4x 2＋y 2＝1， 消去y 整理得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0. Δ＝4m 2－20(m 2－1)＝20－16m 2.
当Δ＝0时，得m ＝±5
2，直线与椭圆相切. 当Δ＞0时，得－52＜m ＜5
2，直线与椭圆相交. 小结
1.直线与椭圆的位置关系是通过代数法完成的，Δ的符号决定了交点的个数，从而确定了其位置关系.
2.有关直线与椭圆的位置关系存在两类问题，一是判断位置关系，二是依据位置关系确定参数的范围，两类问题在解决方法上是一致的，都要将直线与椭圆方程联立，利用判别式及根与系数的关系进行求解. [再练一题]
1.已知椭圆的方程为x 2＋2y 2＝
2.
(1)判断直线y ＝x ＋3与椭圆的位置关系； (2)判断直线y ＝x ＋2与椭圆的位置关系；
(3)在椭圆上找一点P ，使P 到直线y ＝x ＋2的距离最小，并求出这个最小距离. 【解】 (1)由?????
y ＝x ＋3，x 2＋2y 2＝2，得3x 2＋43x ＋4＝0，
∵Δ＝(43)2－4×3×4＝0，∴直线y ＝x ＋3与椭圆相切. (2)由?????
y ＝x ＋2，
x 2＋2y 2＝2，
得3x 2＋8x ＋6＝0.
∵Δ＝64－4×3×6＝－8＜0，∴直线y ＝x ＋2与椭圆相离.
(3)由(1)、(2)知直线y ＝x ＋3与椭圆的切点P 满足条件，由(1)得P 的坐标为? ????－233，33，最小距离d ＝|2－3|2
＝2－62.
已知椭圆x 236＋y 2
9＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点.(1)当直线l 的斜率为1
2时，求线段AB 的长度；(2)当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程.
【精彩点拨】 (1)设直线方程→联立方程组→利用弦长公式求解； (2)考查椭圆的中点弦问题及“点差法”的运用.
【自主解答】 (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝1
2(x －4)， 即y ＝1
2x .由?????
y ＝12x ，x 2
36＋y 29＝1，
可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).
则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18. 于是|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2
＝
(x 1－x 2)2＋14(x 1－x 2)2＝52
(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5
2×62＝310.
所以线段AB 的长度为310. (2)法一：设l 的斜率为k ，
则其方程为y －2＝k (x －4).联立??
?
x 236＋y 2
9＝1，
y －2＝k (x －4)，
消去y 得(1＋4k 2)x 2－(32k 2－16k )x ＋(64k 2－64k －20)＝0. 若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝32k 2－16k
1＋4k 2
，
由于AB 的中点恰好为P (4,2)，所以x 1＋x 22＝16k 2－8k
1＋4k 2
＝4， 解得k ＝－12，且满足Δ＞0.这时直线的方程为y －2＝－1
2(x －4)， 即y ＝－1
2x ＋4.
法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则有?????
x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y 2
29＝1，
两式相减得x 22－x 2136＋y 22－y 2
1
9＝0，
整理得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－9(x 2＋x 1)
36(y 2＋y 1)，由于P (4,2)是AB 的中点，
∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，于是k AB ＝－
9×836×4
＝－1
2， 于是直线AB 的方程为y －2＝－12(x －4)，即y ＝－1
2x ＋4. 小结
1.求解直线与椭圆相交所得的弦长问题，一般思路是将直线方程与椭圆方程联立，得到关于x (或y )的一元二次方程，然后结合根与系数的关系及两点间的距离公式求弦长.一定要熟记公式的形式并能准确运算.
2.解决椭圆中点弦问题的两种方法
(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.
(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)上的两个不同的点，M (x 0，y 0)是线段AB 的中点，
则?????
x 21a 2＋y 21b 2＝1， ①x 2
2a 2＋y 22
b
2＝1， ②由①－②，得1a 2(x 21－x 2
2)＋1b
2(y 21－y 22)＝0， 变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·
x 0y 0，即k AB ＝－b 2x 0
a 2y 0. [再练一题]
2.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3
2，且椭圆与直线x ＋2y ＋8＝0相交于P ，Q ，且|PQ |＝10，求椭圆的方程.
【解】 ∵e ＝32，∴b 2＝1
4a 2.∴椭圆方程为x 2＋4y 2＝a 2. 与x ＋2y ＋8＝0联立消去y ，得2x 2＋16x ＋64－a 2＝0， 由Δ>0得a 2>32，由弦长公式得10＝5
4×[64－2(64－a 2)].
∴a 2
＝36，b 2
＝9. ∴椭圆的方程为x 236＋y 2
9＝1.
探究 在椭圆的有关问题中，常出现离心率、弦长或面积的范围、最值问题，这类问题一般思路是什么？
【提示】 (1)解决与椭圆有关的最值问题，一般先根据条件列出所求目标函数的关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法，应用不等式的性质，以及三角函数的最值求法求出它的最大值或最小值及范围. (2)解决椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)中的范围问题常用的关系有
①－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ；②离心率0＜e ＜1；③一元二次方程有解， 则判别式Δ≥0.
已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4.(1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值. 【精彩点拨】 (2)中，设A ，B 坐标→OA →·OB →
＝0→|AB |化为关于x 0的函数→求最值.
【自主解答】 (1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2
2＝1， 所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2.因此a ＝2，c ＝ 2. 故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝2
2.
(2)设点A ，B 的坐标分别为(t,2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →
＝0，即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0
.
又
x 20＋2y 20＝4，所以|AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2＝? ??
??x 0＋2y 0x 02＋(y 0－2)2 ＝x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4＝x 2
0＋4－x 202＋2(4－x 20)x 20＋4＝x 202＋8x 20
＋4(0＜x 20≤4).
因为x 202＋8x 20≥4(0 所以|AB |2≥8.故线段AB 长度的最小值为2 2. 小结 解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等，解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想.其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件. [再练一题] 3.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为6 3，短轴的一个端点到右焦点的 距离为3，直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆于不同的两点A ，B . (1)求椭圆的方程； (2)若坐标原点O 到直线l 的距离为3 2，求△AOB 面积的最大值. 【解】 (1)由c a ＝6 3，a ＝3， 所以c ＝2，b ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 2 ＝1. (2)由已知 |m | 1＋k 2＝32，所以m 2＝3 4(1＋k 2)， 联立l ：y ＝kx ＋m 和x 23＋y 2 ＝1，消去y ，整理可得： (1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3m 2 －3＝0，所以x 1＋x 2＝－6km 1＋3k 2，x 1x 2＝3m 2－31＋3k 2 ， 所以|AB |2＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2 ＝12(1＋k 2)(3k 2＋1－m 2 )(1＋3k 2)2 ＝ 3(k 2＋1)(9k 2＋1) (1＋3k 2)2 ＝3＋12k 29k 4＋6k 2＋1＝3＋12 9k 2＋1k 2＋6 ≤4(k ≠0)， 当且仅当k ＝±33时取等号，验证知k ＝±3 3满足题意， 显然k ＝0时，|AB |2＝3＜4.所以(S △AOB )max ＝12×2×32＝3 2 . 1.已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1有两个顶点在直线x ＋2y ＝2上，则该椭圆的焦点坐标是( ) A.(±3，0) B.(0，±3) C.(±5，0) D.(0，±5) 【解析】 ∵直线x ＋2y ＝2过(2,0)和(0,1)点， ∴a ＝2，b ＝1，∴c ＝ 3.椭圆焦点坐标为(±3，0). 【答案】 A 2.若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 2 2＝1相切，则斜率k 的值是( ) A.63 B.－63 C.±63 D.±33 【解析】 把y ＝kx ＋2代入x 23＋y 2 2＝1得(2＋3k 2)x 2＋12kx ＋6＝0， 由于Δ＝0，∴k 2＝23，∴k ＝±6 3. 【答案】 C 3.直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 2 3＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( ) A.m >1 B.m >1且m ≠3 C.m >3 D.m >0且m ≠3 【解析】 由??? y ＝x ＋2，x 2m ＋y 2 3＝1， 得(m ＋3)x 2＋4mx ＋m ＝0. 由Δ>0且m ≠3，得m <0或m >1且m ≠3， 又∵m >0，∴m >1且m ≠3. 【答案】 B 4.若过椭圆x 216＋y 2 4＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是________. 【解析】 设弦两端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 22 4＝1，两 式相减并把x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2代入得y 1－y 2x 1－x 2＝－1 2，∴所求直线方程为y －1＝ －1 2(x －2)，即x ＋2y －4＝0. 【答案】 x ＋2y －4＝0 5.如图2-1-4，已知斜率为1的直线l 过椭圆y 28＋x 2 4＝1 的下焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长 【解】 令点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 由椭圆方程知a 2＝8，b 2＝4，∴c ＝ a 2－ b 2＝2， ∴椭圆的下焦点F 的坐标为F (0，－2)， ∵直线过点B (2,0)和点F (0，－2)，∴直线l 的方程为y ＝x －2. 将其代入y 28＋x 24＝1，化简整理得3x 2－4x －4＝0，∴x 1＋x 2＝43，x 1x 2＝－4 3， ∴|AB |＝ (x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝ 2(x 2－x 1)2＝2 (x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2 ? ????432－4×? ?? ??－43＝ 823. 椭圆的定义与性质 椭圆的定义与性质 1．椭圆的定义 (1)第一定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做焦距． (2)第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数e (0 椭圆的标准方程与性质 教学目标： １了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用; 2 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 高考相关点: 在高考中所占分数:13分 考查出题方式:解答题的形式，而且考查方式很固定，涉及到的知识点有:求曲线方程,弦长,面积，对称关系，范围问题,存在性问题。 涉及到的基础知识 1．引入椭圆的定义 在平面内与两定点Ｆ１，Ｆ２的距离的和等于常数(大于|F1F２|=2c）的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P={M||MF1｜＋|ＭF2|＝2a｝，｜F1F2|＝２c,其中a＞0,c>０,且a,c为常数： 有以下３种情况 (１）若a＞c,则集合P为椭圆； (2）若a＝c，则集合P为线段； (3)若a 标准方程x2 ａ2 +＼ｆ（y２,ｂ2）＝1 （a>ｂ>0) ＼f(y2，a2）＋错误!=1 (a>ｂ>０) 图形 性质范围 －a≤x≤a -b≤y≤b -b≤ｘ≤b -a≤ｙ≤a 对称性对称轴:坐标轴;对称中心：原点 顶点 A1(-a,0),A２(a,０） Ｂ1(０,-b）,B2(0,b) A１(0，－a),A２(0，a) B1(－ｂ,0),B2(b,0）轴长轴A1A2的长为2ａ;短轴B1B2的长为2b 焦距｜F１Ｆ２|=2c 离心率ｅ=错误!∈(０，1） ａ，b，c的关系c2=a2-b2题型总结 类型一椭圆的定义及其应用 例1：如图所示，一圆形纸片的圆心为Ｏ，F是圆内一定点,M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与Ｆ重合,然后抹平纸片,折痕为ＣD，设CＤ与OM交于点P,则点P的轨迹是( ) A.椭圆? B.双曲线 C.抛物线 D.圆 【解析】根据CD是线段MF的垂直平分线.可推断出,进而可以知道 结果为定值,进而根据椭圆的定义推断出点P的轨迹【答案】根据题意知，CD是线段MF的垂直平分线．,(定值）,又显然，根 据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以Ｆ、O两点为焦点的椭圆.所以A选项是正确的 练习1：已知Ｆ1,F２是椭圆C： 22 22 1 x y a b +=(a>b＞0)的两个焦点，P为椭圆C 上的一点,且 错误! 1⊥2 PF，若△PF1F２的面积为9,则ｂ＝____＿_＿_． 【解析】由题意的面积∴故答案为: 【答案】３ 练习2：已知F1，Ｆ２是椭圆错误!+错误!=１的两焦点，过点F２的直线交椭圆于A，B两点,在△AF1Ｂ中,若有两边之和是10，则第三边的长度为() A．6?B.5 Ｃ．4 D．3 椭圆方程的一个性质和应用 于志洪金建荣 学习椭圆方程时，大家会发现这样一类椭圆，它们有一个共同特征，即离心率相同。 F 面将共离心率的椭圆方程的一个性质及其应用介绍给同学们，供大家学习时参考。 -.性质 X 2 和椭圆— a 2 y 2 1(a b b 2 0) 有相同离心率的椭 圆方程都具有 2 X -2 a （0）的特征。 2 X -2 a 程。 2 y 产 b 2 . 2 X a 2 .a y 2 2 1和椭圆 b 2 \ a 2 b 2 a. y 2 2 1和椭圆 b 2 X 2 设椭圆 1的离心率分别为e 和e'，则 a 2 b 2 a e' .a 2 b 2 e'，故椭圆 0）有相同的离心 率。 也就是说，和椭圆飞 a b 0）有相同的离心率的椭圆方程都具有 0）的特 征。 应用 X 2 2 y 2 1有相同离心率，且与直线 3X 例.求和椭圆 4 （2003年全国重点名校高考模拟题） 2、7y 16 0相切的椭圆方 解法1 :由以上性质，可设所求椭圆方程为 2小 16 0相切，故由方程组x 2 4y 2 得16y 2 16-. 7y 64 9 0。其判别式 2 2 4，故所求椭圆方程为 X y 1 16 4 3x 迂 4 ，3X 16、、7)2 y 2 ( 2, 7y 16 4 16 解法2 :设所求椭圆方程为 X 2 4y 2 0）。因其与直线 0联立消去X ，整理 （64 9 ）0，解得 因它与直线 3X 27y 16 0相切，则设切点为（ 27 4 X 1, 表示为同一直线，所以 X 1 4y 1 X 1 y 1），故切线方程为 3 4 y 1 X 1X 4y 』 4 。两直线 ￥。将 X 1和y 1同时代入椭圆方 程，得（？ ）2 4（乂 4 8 2 故所求椭圆方程为 — 16 )2 化简整理得 0，解得 4或 0 （舍去）。 2 y_ 4 X 2 2 a 2 ?. ， bi 。设切点为 (2 cos 解法3 :设所求椭圆方程为 2 即— 4 r~ . 、sin 则 a 2 4 ， b 2 ， ），则椭圆的切线方程为 一、椭圆第一个定义的应用 1.1 椭圆的第一个定义平面内有两个定点F1、F2，和一个定长2a。若动点P到两个定点距离之和等于定长2a，且两个定点距离|F1F2|<2a.则动点轨迹是椭圆。两个定点F1、F2称为椭圆的焦点。 由此定义得出非常重要的等式，其中P为椭圆上一个点。此等式既表明作为椭圆这个点的轨迹的来源，也说明椭圆上每一个具有的共同性质。即椭圆上每一个点到两个焦点距离之和等于定长2a .在有关椭圆的问题中，若题设中含有有关椭圆上一点到两个焦点距离的信息，首先考虑的就是能否用上这个关系式。 1.2 应用举例 例1.已知点 1(3,0) F-,2(3,0) F,有 126 PF PF +=,则P点的轨迹是 . 例2.求证以椭圆 (a>b>0) 上任意一点P的 焦半径为直径画圆，这个圆必与圆相切. 解评：此题若用一般方法解或用椭圆参数方程解答，计算量都很大，解题过程冗长，属于中档题。我们若抓住PF2为一个圆直径，PF1为另一个圆半径的2倍，用公式，很容易得出正确解答。 例3. F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点， 求的面积.24 解评：题设中有椭圆上一点到两个焦点间距离的信息，即可试探是否能用 解决 例4.P 是椭圆2 2 145 20 x y + =上位于第一象限内的点, F 1、F 2是椭圆的左、右焦点, 若 则12PF PF -的值为( ) A. D. 3 例5. 在圆C:22(1)25x y ++=内有一点A (1,0),Q 为圆C 上一点,AQ 的垂直平分线线段CQ 的交点为M,求M 点的轨迹方程. 练:一动圆与圆⊙o 1：x 2+y 2+6x+5=0外切,同时与⊙o 2 ： x 2+y 2_ 6x _ 91=0 内切， 求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。 高二数学公开课教案：椭圆性质的运用 曾木顺 三维目标 1、知识与能力 (1)通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问题和解决问题的能力．（2）思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．（3）实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．（4）创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径． 2、过程与方法 理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的简单几何性质解决实际问题； 3、情感、态度与价值观目标 通过知识的运用及问题的解决，培养学生学习数学的兴趣。 4.教学重、难点： （1）教学重点：椭圆的方程及其几何性质的运用 （2）教学难点：灵活运用椭圆的几何性质 5.本节所用的数学思想方法：数形结合的思想方法，化归思想方法。 教学过程：（一）复习引入：椭圆的简单几何性质如下 标准方程 )0(122 22>>=+b a b y a x )0(12 2 22>>=+b a b x a y 图形 范围 -a ≤x ≤a,-b ≤y ≤b -b ≤x ≤b, -a ≤y ≤a 对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称 顶点坐标 （±a ,0）(0,±b ) (±b ,0),(0,±a ) （二）进行新课 例1：已知中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为 2 3 ，点A ，B 分别是椭圆C 的长轴、短轴的端点，点O 到直线AB 的距离为5 5 6。 （1）求椭圆C 的标准方程； （2）已知点E （3，0），设点P 、Q 是椭圆C 上的两个动点，满足EP ⊥EQ ，求?的取值范围。 【分析】本题主要考查直线、椭圆、平面向量等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及计算能力。 解：(1)由离心率2 3 == a c e ，得 2 1 12=-=e a b ∴ b a 2= ① ∵原点O 到直线AB 的距离为 556∴55 622=+b a a b ② ， 将①代入②，得92 =b ，∴362 =a 则椭圆C 的标准方程为 19 362 2=+y x （2）∵ EQ EP ⊥ ∴ 0=? ∴ 2 )(=-?=? 设),(y x P ，则193622=+y x ，即4 922 x y -= ∴6)4(4 3 4996)3(222 2 2 2 +-=- ++-=+-==?x x x x y x EP QP EP ∵ 66≤≤-x ， ∴ 816)4(4 3 62≤+-≤ x 椭圆的标准方程及其几何性质 1. 椭圆定义： （1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点. 当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在; 当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段 （2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10< 【专题七】椭圆标准方程及其性质知识点大全 (一)椭圆的定义及椭圆的标准方程： ●椭圆定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数 )2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦 点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：①若)(2121 F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； ②若)(2121 F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形 (二)椭圆的简单几何性： ●标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程。 标准方程 122 22=+b y a x )0(>>b a 12 2 22=+b x a y )0(>>b a 图形 性质 焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F 焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤， b y ≤ b x ≤，a y ≤ 对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称 顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ± 轴长 长轴长12A A ,12A A =a 2，短轴长12B B ,12B B =b 2 离心率 ①(01)c e e a = << ，②21()b e a =-③2 22b a c -= （离心率越大，椭圆越扁） 1.方程中的两个参数a 与b ，确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数a ，b ，c 都大于零，其中 a 最大且a 2= b 2+ c 2. 2.方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是：ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠ B 。A ＞B 时，焦点在y 轴上，A ＜B 时，焦点在x 轴上。 (三)焦点三角形的面积公式：122tan 2 PF F S b θ ?=如图： ●椭圆标准方程为:122 22=+b y a x )0(>>b a ，椭圆焦点三角形：设P 为椭圆上任意一点， 12,F F 为焦点且∠12F PF θ=，则△12F PF 为焦点三角形，其面积为122tan 2 PF F S b θ ?=。 (四)通径 ：如图：通径长 2 2b MN a = ●椭圆标准方程:122 22=+b y a x )0(>>b a ， (五)点与椭圆的位置关系： （1）点00(,)P x y 在椭圆外?22 00 221x y a b +>；（2）点00(,)P x y 在椭圆上?220220b y a x +＝1； （3）点00(,)P x y 在椭圆内?2200 221x y a b +< (六)直线与椭圆的位置关系： ●设直线l 的方程为：Ax+By+C=0，椭圆122 22=+b y a x （a ﹥b ﹥0），联立组成方程 组，消去y(或x)利用判别式△的符号来确定： （1）相交：0?>?直线与椭圆相交；（2）相切：0?=?直线与椭圆相切； M N F x y 学习资料[文档副标题] [日期] 世纪金榜 [公司地址] 椭圆方程及性质的应用 （45分钟 100分） 一、选择题(每小题6分,共30分) 1.(2013·重庆高二检测)已知直线l过点(3,-1),且椭圆C:+=1,则直线l与椭圆C的公共点的个数为( ) A.1 B.1或2 C.2 D.0 2.若AB为过椭圆+=1的中心的弦,F1为椭圆的左焦点,则△F1AB面积的最大值为( ) A.6 B.12 C.24 D.36 3.椭圆+=1上的点到直线x+2y-=0的最大距离为( ) A.3 B. C. D.2 4.直线y=1-x交椭圆mx2+ny2=1于M,N两点,MN的中点为P,若k OP=(O为原点),则等于( ) A. B. C.- D.- 5.(2013·南昌高二检测)已知椭圆的一个焦点为F,若椭圆上存在点P,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点,则该椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 二、填空题(每小题8分,共24分) 6.(2013·绵阳高二检测)短轴长为,离心率e=的椭圆的两焦点为F1,F2,过F1作直线交椭圆于A,B两点,则△ABF2的周长为. 7.(2013·宜春高二检测)椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,若直线y=kx与其一 个交点的横坐标为b,则k的值为. 8.过椭圆+=1内的一点P(2,-1)的弦AB,满足=(+),则这条弦所在的直线方程是. 三、解答题(9题,10题14分,11题18分) 9.(2013·合肥高二检测)已知椭圆C的焦点F1(-2,0)和F2(2,0),长轴长为6,设直线l交椭圆C于A,B两点,且线段AB的中点坐标是P(-,),求直线l的方程. 10.(2013·安阳高二检测)已知椭圆的两焦点为F1(-,0),F2(,0),离心率e=. (1)求此椭圆的方程. (2)设直线l:y=x+m,若l与此椭圆相交于P,Q两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求m的值. 11.(能力挑战题)已知大西北某荒漠上A,B两点相距2km,现准备在荒漠上开垦出一片以AB为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园,按照规划,围墙总长为8km. (1)试求四边形另两个顶点C,D的轨迹方程. (2)农艺园的最大面积能达到多少? (3)该荒漠上有一条直线型小溪l刚好通过点A,且l与AB成30°角,现要对整条小溪进行加固改造,但考虑到今后农艺园的小溪要重新设计改造,因此,对小溪可能被农艺园围进的部分暂不加固,则暂不加固的部分有多长? 椭圆方程及性质的应用 教学目标 1.掌握直线与椭圆的位置关系.(重点) 2.通过一元二次方程根与系数关系的应用，解决有关椭圆的简单综合问题.(重点) 3.能利用椭圆的有关性质解决实际问题.(难点) 教材整理1 点与椭圆的位置关系 设点P(x0，y0)，椭圆x2 a2＋ y2 b2＝1(a＞b＞0). (1)点P在椭圆上?x20 a2＋ y20 b2＝1；(2)点P在椭圆内? x20 a2＋ y20 b2＜1； (3)点P在椭圆外?x20 a2＋ y20 b2＞1. 课堂练习 已知点(2,3)在椭圆x2 m2＋ y2 n2＝1上，则下列说法正确的是________ ①点(－2,3)在椭圆外②点(3,2)在椭圆上 ③点(－2，－3)在椭圆内④点(2，－3)在椭圆上【解析】由椭圆的对称性知点(2，－3)也在椭圆上.【答案】④ 教材整理2 直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆的位置关系及判定 直线y＝kx＋m与椭圆x2 a2＋ y2 b2＝1(a＞b＞0)联立 ?? ? ?? y＝kx＋m， x2 a2＋ y2 b2＝1， 消去y得一个 一元二次方程. 2.弦长公式 设直线y ＝kx ＋b 与椭圆的交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋1 k 2·|y 1－y 2|. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)点P (2,1)在椭圆x 24＋y 2 9＝1的内部.( ) (2)过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切.( ) (3)过点A (0,1)的直线一定与椭圆x 2 ＋y 2 2＝1相交.( ) (4)长轴是椭圆中最长的弦.( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 例题分析 (1)若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 2 4＝1的交点个数为( ) A.2个 B.至多一个 C.1个 D.0个 (2)已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m ，问m 为何值时，直线与椭圆相切、相交？ 【精彩点拨】 利用几何法判断直线与椭圆的位置关系. 【自主解答】 (1)若直线与圆没有交点，则d ＝ 4m 2 ＋n 2 ＞2， ∴m 2＋n 2＜4，即m 2＋n 24＜1.∴m 29＋n 24＜1，∴点(m ，n )在椭圆的内部，故直 线与椭圆有2个交点. 【答案】 A (2)将y ＝x ＋m 代入4x 2＋y 2＝1， 消去y 整理得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0. Δ＝4m 2－20(m 2－1)＝20－16m 2. 椭圆及其标准方程 一、教学目标 (一)知识目标 1、使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及推导； 2、掌握焦点、焦点位置与方程关系、焦距； (二)能力目标 通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力； (三)学科渗透目标 通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力 二、教材分析 1．重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程． (解决办法：用模型演示椭圆，再给出椭圆的定义，最后加以强调；对椭圆的标准方程单独列出加以比较．) 2．难点：椭圆的标准方程的推导． (解决办法：推导分4步完成，每步讲解，关键步骤加以补充说明．) 3．疑点：椭圆的定义中常数加以限制的原因． (解决办法：分三种情况说明动点的轨迹．) 三、教学过程 （一）创设情境，引入概念 1、动画演示，描绘出椭圆轨迹图形。 2、实验演示。 思考：椭圆是满足什么条件的点的轨迹呢？ （二）实验探究，形成概念 1、动手实验：学生分组动手画出椭圆。 实验探究： 保持绳长不变，改变两个图钉之间的距离，画出的椭圆有什么变化？ 思考：根据上面探究实践回答，椭圆是满足什么条件的点的轨迹？ 2、概括椭圆定义 引导学生概括椭圆定义 椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 距离的和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫椭圆。 教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。 思考：焦点为21,F F 的椭圆上任一点M ，有什么性质？ 令椭圆上任一点M ，则有)22(22121F F c a a MF MF =>=+ （三）研讨探究，推导方程 1、知识回顾：利用坐标法求曲线方程的一般方法和步骤是什么？ M 2 F 1F 课题：12.4椭圆的基本性质（二课时） 教学目标： 1、掌握椭圆的对称性，顶点，范围等几何性质. 2、能根据椭圆的几何性质对椭圆方程进行讨论，在此基础上会画椭圆的图形． 3、学会判断直线与椭圆的位置，能够解决直线与椭圆相交时的弦长问题，中点问题等. 4、在对椭圆几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化，学会分类讨论、数形结合等数学思想和探究能力的培养；培养探究新事物的欲望，获得成功的体验，树立学好数学的信心. 教学重点：椭圆的几何性质及初步运用 教学难点：直线与椭圆相交时的弦长问题和中点问题 教学过程： 一．课前准备： 1、 知识回忆 （1） 椭圆和圆的概念 （2） 椭圆的标准方程 2、课前练习 1) 圆的定义： 到一定点的距离等于______的图形的轨迹。 椭圆的定义： _______________________________的图形的轨迹。 2) 椭圆的标准方程： 1。焦点在x 轴上____________（ ） 2。焦点在y 轴上____________（ ） 若125 162 2=+y x ，则椭圆的长轴长________短半轴长__________，焦点为____________，顶点坐标为__________，焦距为______________ 二．教学过程设计 一、引入课题 “曲线与方程”是解析几何中最重要最基本的内容其中有两类基本问题：一是由曲线求方程，二是由方程画曲线．前面由椭圆定义推导出椭圆的标准方程属于第一类问题，本节课将研究第二类问题，由椭圆方程画椭圆图形，为使列表描点更准确，避免盲目性，有必要先对椭圆的范围、对称性、顶点进行讨论. 二、讲授新课 （一） 对称性 问题1：观察椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的对称性？ x -代x 后方程不变，说明椭圆关于y 轴对称； y -代y 后方程不变，说明椭圆曲线关于x 轴对称； x -、y -代x ，y 后方程不变，说明椭圆曲线关于原点对称； 问题2：从对称性的本质上入手，如何探究曲线的对称性？ 以把x 换成－x 为例，如图在曲线的方程中，把x 换 椭圆的简单几何性质 1．若焦点在x轴上的椭圆x2 2＋ y2 m＝1的离心率为 1 2，则m等于() A.3 B.3 2C. 8 3D. 2 3 2．若椭圆经过原点，且焦点为F1(1,0)，F2(3,0)，则其离心率e是() A.3 4B. 2 3C. 1 2D. 1 4 3．椭圆(m＋1)x2＋my2＝1的长轴长是() A.2m－1 m－1 B. －2－m m C.2m m D．－ 21－m m－1 4．椭圆的两个焦点和它在短轴上的两个顶点连成一个正方形，则此椭圆的离心率为() A.1 2B. 2 2 C. 3 2D. 3 3 5．(2009·江西高考)过椭圆x2 a2＋ y2 b2＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于 点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为() A. 2 2B. 3 3 C.1 2D. 1 3 6．若AB为过椭圆x2 25＋ y2 16＝1中心的线段，F1为椭圆的焦点，则△F1AB面积的 最大值为() A．6 B．12 C．24 D．48 1 7．椭圆的一个焦点将长轴分为3∶2的两段，则椭圆的离心率是________． 8．过椭圆x2 5＋ y2 4＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O 为坐标原点，则△OAB的面积为________． 9．若椭圆x2 k＋2＋ y2 4＝1的离心率e＝ 1 3，则k的值等于________． 10．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是短轴长的3倍，且过点(3，－1)； (2)椭圆过点(3,0)，离心率e＝ 6 3. 11．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m， (1)当直线和椭圆有公共点，求实数m的取值范围． (2)求被椭圆截得的最长线段所在的直线方程． 2 椭圆的定义、标准方程及性质(一) 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.） 1、椭圆的焦距（） A．2 B． C． D． 2、是定点，，动点M满足，则点M的轨迹是（） A．椭圆 B．圆 C．线段 D．直线 3、若椭圆的两个焦点分别为，且椭圆过点则椭圆的方程为（）A． B． C． D． 4、方程表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是（） A． B． C． D．（0,1） 5、过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于A、B两点，则A、B与椭圆的另一焦点构成的周长是（） A． B．2 C． D．1 6、已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为（） A．或 B． C．或 D． 7、已知，则曲线有（） A．相同的短轴 B．相同的焦点 C．相同的离心率 D．相同的长轴 8、椭圆的焦点，P为椭圆上的一点，已知，则的面积为（） A．9 B．12 C．10 D．8 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．) 9、椭圆的离心率为，则= . 10、设是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，则*的最大值为 . 11、椭圆的焦点分别是，点在椭圆上.如果线段的中点在轴上，那么是倍. 12、已知圆及点，为圆上一点，的垂直平分线交于于，则点的轨迹方程为 . 三、解答题(本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 13、如果点在运动的过程中，总满足关系式，点的轨迹是什么曲线?写出它的方程. 14、点到定点的距离和它到定直线的距离的比是，求点的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形. 15、已知点是椭圆上的一点，且以点及焦点为顶点的三角形的面积等于1，求点的坐标. 椭圆方程及性质的应用 （45分钟100分）一、选择题(每小题6分,共30分) 1.(2013·重庆高二检测)已知直线l过点(3,-1),且椭圆C:x2 25+y2 36 =1,则直线l与椭圆 C的公共点的个数为( ) A.1 B.1或2 C.2 D.0 2.若AB为过椭圆x2 25+y2 16 =1的中心的弦,F1为椭圆的左焦点,则△F1AB面积的最大 值为( ) A.6 B.12 C.24 D.36 3.椭圆x2 16+y2 4 =1上的点到直线x+2y-√2=0的最大距离为( ) A.3 B.√11 C.√10 D.2√2 4.直线y=1-x交椭圆mx2+ny2=1于M,N两点,MN的中点为P,若k OP=√2 2 (O为原点),则m等于( ) A.√2 2B.√2 C.-√2 2 D.-√2 5.(2013·南昌高二检测)已知椭圆的一个焦点为F,若椭圆上存在点P,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点,则该椭圆的离心率为( ) A.√5 3B.2 3 C.√2 2 D.5 9 - 1 - 二、填空题(每小题8分,共24分) 6.(2013·绵阳高二检测)短轴长为√5,离心率e=2 3 的椭圆的两焦点为F1,F2,过F1作直线交椭圆于A,B两点,则△ABF2的周长为. 7.(2013·宜春高二检测)椭圆x2 a2+y2 b2 =1(a>b>0)的离心率为√2 2 ,若直线y=kx与其一 个交点的横坐标为b,则k的值为. 8.过椭圆x2 6+y2 5 =1内的一点P(2,-1)的弦AB,满足OP→=1 2 (OA→+OB→),则这条弦所在 的直线方程是. 三、解答题(9题,10题14分,11题18分) 9.(2013·合肥高二检测)已知椭圆C的焦点F1(-2√2,0)和F2(2√2,0),长轴长为6, 设直线l交椭圆C于A,B两点,且线段AB的中点坐标是P(-9 10,1 10 ),求直线l的方 程. 10.(2013·安阳高二检测)已知椭圆的两焦点为F1(-√3,0),F2(√3,0),离心率e=√3. (1)求此椭圆的方程. (2)设直线l:y=x+m,若l与此椭圆相交于P,Q两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求m的值. 11.(能力挑战题)已知大西北某荒漠上A,B两点相距2km,现准备在荒漠上开垦出一片以AB为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园,按照规划,围墙总长为8km. - 1 - 椭圆性质总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 椭 圆 一.考试必“背” 1 椭圆的两种定义： ①平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长()212F F a >的点的轨迹，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ， 212F F a <无轨迹）。其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。 ②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M={P| e d PF =，0＜e ＜1的常数 }。（1=e 为抛物线；1 >e 为双曲线） 2 标准方程： （1）焦点在x 轴上，中心在原点：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）； 焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。其中22b a c -=（一个 ?Rt ） （2）焦点在y 轴上，中心在原点：122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）； 焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。其中22b a c -= 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，22b a c -=并且椭圆的焦点总 在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。 3．参数方程 ：椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 的参数方程 ? ??==θθ sin cos b y a x )(为参数θ 4.性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）有以下性 质： 2.2.2 椭圆形至及其应用 1．一个顶点的坐标为(0,2)，焦距的一半为3的椭圆的标准方程为( ) A.x 24＋y 29＝1 B.x 29＋y 24＝1 C.x 24＋y 2 13＝1 D.x 213＋y 24 ＝1 2．椭圆x 225＋y 2 9 ＝1上的点P 到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( ) A ．8,2 B ．5,4 C ．9,1 D ．5,1 3．已知F 1、F 2为椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆离心率e ＝32 ，则椭圆的方程是( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 216＋y 2 4 ＝1 C.x 216＋y 212 ＝1 D.x 216＋y 2 3＝1 4．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A.12 B.32 C.34 D.64 5．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为 32 ，且G 上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为______________． 6．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________． 7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝63.过点A (0，－b )和B (a,0)的直线与原点的距离为32 ，求椭圆的标准方程． 8.如图所示，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标 等于短半轴长的23 ，求椭圆的离心率． 9．设P (x ，y )是椭圆x 225＋y 2 16 ＝1上的点且P 的纵坐标y ≠0，点A (－5,0)、B (5,0)，试判断k P A ·k PB 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由． 第5讲 椭圆的性质及应用 一、知识梳理 1 x 2 y 2 y 2 x 2 2、椭圆的几何性质分为两类 （1）一类是与坐标系无关的椭圆本身故有的性质：长轴长、短轴长、焦距、离心率等. （2）一类是与坐标系有关的性质：顶点坐标、焦点坐标等. 在解题时要特别注意第二类性质，应根据椭圆方程的形式，首先判断椭圆的焦点在哪条坐标轴上，然后再进行求解. 问题 为什么椭圆的离心率决定椭圆的扁平程度？ 提示：椭圆的离心率反映了焦点远离中心的程度，e 的大小决定了椭圆的形状，反映了椭圆的圆扁程度． 因为a 2＝b 2＋c 2，所以b a ＝1－e 2，因此，当e 越趋近于1时，b a 越接近于0，椭圆越扁；当e 越趋近于0时， b a 越接近于1，椭圆越接近于圆． 题型（一） 求椭圆的离心率 例1 （1）下列椭圆中最扁的一个是（ ） A ． B ． C ． D ． 【解答】解：椭圆的离心率越小，椭圆越圆，越大，离心率越大，椭圆越扁，越小， A 中＝，B 中＝，C 中＝ ，D 中＝ ， 故选：B ． （2）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为________． 解析： 依题意，△BF 1F 2是正三角形， ∵在Rt △OBF 2中，|OF 2|＝c ，|BF 2|＝a ，∠OF 2B ＝60°，∴a cos 60°＝c ，∴c a ＝1 2 ， 即椭圆的离心率e ＝12.，答案： 1 2 （3）如图，设椭圆的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为椭圆在第二象限上的点，直线BO 交椭圆于C 点，若直线BF 平分线段AC 于M ，则椭圆的离心率是（ ） A ． B ． C ． D ． 【解答】解：如图，设AC 中点为M ，连接OM ，则OM 为△ABC 的中位线， ∴OM ∥AB ，于是△OF A ∽△AFB ，且＝＝，即＝，可得e ＝＝． 故选：C ． （4）《九章算术）是我国古代内容极为丰富的数学名著第九章“勾股”，讲述了“勾股定理及一些应用．直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾2 +股2 ＝弦2 ”．设F 是椭圆＝ 1（a ＞b ＞0）的左焦点，直线y ＝x 交椭圆于A 、B 两点，若|AF |，|BF |恰好是Rt △ABF 的”勾”“股”， 则此椭圆的离心率为（ ） A ． B ． C ． D ． 【解答】解：∵|AF |，|BF |恰好是Rt △ABF 的”勾”“股”，∴AF 1⊥BF 1，∴OA ＝OB ＝OF 1＝c ． ∴A （， ），∴ ? ， ，? ，e 2 ＝1﹣ ＝4﹣2，∴﹣1． 故选：A ． 椭圆的标准方程与几何性质 高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★★☆☆ 典例在线 （1）已知椭圆24x +2 2 y =1的两个焦点是F 1，F 2，点P 在该椭圆上，若|PF 1|－|PF 2|=2，则12PF F △的面积是 A B ．2 C ． D （2）已知F 1，F 2分别是椭圆E :22x a +221y b =(0a b >>)的左、右焦点，点(1)在椭圆 上，且点(1-，0)到直线PF 2P (1-，4-)，则椭圆的标准方程为 A ．x 2 +2 4 y =1 B ．24x +y 2 =1 C ．x 2 +2 2 y =1 D ．22 x +y 2 =1 （3）已知椭圆22x a +2 2y b =1(0a b >>)的左、右焦点分别为F 1(c -，0)，F 2(c ，0)，若椭圆上 存在点P ，使1221 sin sin a c PF F PF F ∠∠=，则该椭圆离心率的取值范围为 A ．(01-) B ．，1) C ．(0) D ．1-，1) 【参考答案】（1）A ；（2）D ；（3）D ． 【试题解析】（1）由椭圆的方程可知a =2，c ，且|PF 1|+|PF 2|=2a =4，又|PF 1|－|PF 2|=2， 所以|PF 1|=3，|PF 2|=1．又|F 1F 2|=2c =|PF 1|2=|PF 2|2+|F 1F 2|2 ，即12PF F △为直 角三角形，所以12122||11 12 |2|PF F S F F PF = =?=△．故选A ． （3）根据正弦定理得 2112 21 sin sin PF PF PF F PF F ∠∠= ，又 1221 sin sin a c PF F PF F ∠∠=可得 21 a c PF PF =，即12 PF c PF a = =e ， 所 以 |PF 1|=e|PF 2| ． 又 |PF 1|+|PF 2|=e|PF 2|+|PF 2|=|PF 2|·(e+1)=2a ，所以|PF 2|= 21 a e +．因为a －c <|PF 2| 第5讲椭圆的性质及应用 一、教学目标 1．掌握椭圆的简单几何性质． 2．理解离心率对椭圆扁平程度的影响. 二、教学重、难点 1．重点：椭圆的几何性质及初步运用． 2．难点：椭圆离心率的概念的理解． 3．疑点：椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质，与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变．三、教学方法 一学、二记、三应用 四、知识梳理 1 22 2 （1）一类是与坐标系无关的椭圆本身故有的性质：长轴长、短轴长、焦距、离心率等. （2）一类是与坐标系有关的性质：顶点坐标、焦点坐标等. 在解题时要特别注意第二类性质，应根据椭圆方程的形式，首先判断椭圆的焦点在哪条坐标轴上，然后再进行求解. 3、椭圆的几何性质与椭圆的位置、大小和形状的关系 （1）椭圆的焦点决定椭圆的位置. （2）椭圆的范围决定椭圆的大小. （3）椭圆的离心率决定椭圆的形状.离心率越大，椭圆越“扁”；离心率越小，椭圆越“圆”。 （4）对称性是椭圆的重要性质，椭圆的顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆的上重要的特殊点，在作图时应先确定这些点. 特别注意 （1）椭圆的长轴长为2a，长半轴长为a；椭圆的短轴长为2b，短半短长为b. （2）椭圆中a,b,c的关系是：a2＝b2＋c2. 问题为什么椭圆的离心率决定椭圆的扁平程度？ 五、课前测试 1．已知椭圆116 252 2=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为（ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 2．如果222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ） A ．()1,0 B ．()2,0 C ．()+∞,0 D ． ()+∞,1 3．已知椭圆2222 12:1,:1,124168 x y x y C C +=+=则 （ ） A ．1C 与2C 顶点相同. B ．1 C 与2C 长轴长相同. C ．1C 与2C 短轴长相同. D ．1C 与2C 焦距相等. 六、典例剖析 题型（一） 椭圆简单的几何性质 例1 求下列椭圆的长轴长和短轴长，焦点坐标和顶点坐标和离心率： （1）224936x y +=； （2）2222 41(0)m x m y m +=>． [题后感悟] 已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，焦点位置不确椭圆的定义与性质讲解学习
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