唐春香椭圆及其性质的应用
高中数学：圆锥曲线椭圆的性质及其应用教案苏教版选修1
第四讲 椭圆教学目标：理解椭圆的概念；掌握椭圆的标准方程；理解椭圆的性质教学重点：椭圆概念的理解；椭圆标准方程的求解；椭圆离心率等性质的掌握 教学难点：标准方程的求解；椭圆性质的应用 教学过程：一、知识要点： 1、椭圆的概念：“一动两定〞到两个定点的距离和等于定长的动点轨迹〔定长大于定点距离〕2、椭圆的标准方程：焦点在x 轴22a x ＋22by ＝1〔a ＞b ＞0〕在y 轴22y a ＋22x b ＝1〔a ＞b ＞0〕二、基础自测1、F 1F 、2是椭圆162x +92y =1的两个焦点，过F 1的直线与椭圆交于M 、N 两点，那么△MNF 2的周长为___________。
2、如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值X 围是___________。
3、椭圆中心在原点，一个焦点为F 〔-0〕，且长轴长是短轴长的2倍，那么该椭圆的标准方程为____________4、点P 在椭圆252x +92y =1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，那么点P 的横坐标是___________。
5、椭圆42x +y 2=1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，那么|2PF |等于___________。
6、椭圆标准方程为162x +2yk=1，那么其离心率=__________,渐近线为___________三、例题精讲题型一、概念，基本量例1、〔2009〕椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，假设1||4PF =，那么2||PF =；12F PF ∠的大小为.[解析]此题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理.属于基础知识、基本运算的考查. ∵229,3a b ==，∴22927c a b =-=-=， ∴1227F F =，又1124,26PF PF PF a =+==，∴22PF =，又由余弦定理，得()2221224271cos 2242F PF +-∠==-⨯⨯，∴12120F PF ︒∠=，故应填2,120︒.例2、设F 1，F 2是椭圆22194x y +=大的两个焦点，P 为椭圆上一点，P ，F 1，F 2是一个直角三角形的顶点，且|PF 1|>|PF 2|，求12||||PF PF 的值题型二、求椭圆方程例3、(1)椭圆中心在原点，长轴是短轴的3倍，并且过点P 〔3，0〕，求椭圆的方程 〔2〕椭圆的中心在原点，且经过点12(6,1);(3,2)P P --,求椭圆方程，例4、〔2009某某卷理〕巳知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为2，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，那么椭圆G 的方程为．解析：23=e ，122=a ，6=a ，3=b ，那么所求椭圆方程为193622=+y x . 变式：假设椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的距离的最小值为3题型三：性质及其应用例5．F 1，F 2F 1，当 〔1〕PO ∥AB 〔O例6、椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，且120PF PF = 试求该椭圆的离心率e 的取值X 围。
苏教版高中数学选择性必修第一册第3章圆锥曲线与方程3.1.2椭圆的几何性质课件
x2 4
＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过点F1作垂直于x轴的直
线与椭圆相交，一个交点为P，则PF2的长为( )
3 A. 2
B. 3
7
C. 2
D. 4
【解析】 因为PF1＋PF2＝4，PF1＝ba2＝12，所以PF2＝4－12＝72.
【答案】 C
2.
已知椭圆C：
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a>b>0)的左焦点为F，若点F关于直线x＋y
【答案】 2x52 ＋2y02 ＝1
5.
已知A，B分别是椭圆
x2 36
＋
y2 20
＝1长轴的左、右端点，点P在椭圆
上，直线AP的斜率为
3 3
.设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距
离等于MB，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．
【解析】 由题意，得直线AP的方程是x－ 3y＋6＝0. 设点M的坐标是(m,0)， 则点M到直线AP的距离是|m＋2 6|， 所以|m＋2 6|＝|m－6|. 又－6≤m≤6，解得m＝2，所以点M(2,0)．
＝0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为( )
2 A. 2 C. 2－1
3 B. 2 D. 3－1
【解析】 因为点F(－c,0)关于直线x＋y＝0的对称点为A(0，c)，且点A
在椭圆上，所以c＝b，所以椭圆C的离心率e＝
ac22＝
b2＋c2 c2＝
2 2.
【答案】 A
3.
(多选)若椭圆
x2 16
23，则椭圆的标准方程为______________；
【解析】 由题意，得c＝
3，ac ＝
3 2
，所以a＝2，所以b2＝a2－c2＝1.
椭圆性质的运用(公开课)
高二数学公开课教案：椭圆性质的运用曾木顺三维目标1、知识与能力(1)通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问题和解决问题的能力．（2）思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．（3）实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．（4）创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径． 2、过程与方法理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的简单几何性质解决实际问题； 3、情感、态度与价值观目标通过知识的运用及问题的解决，培养学生学习数学的兴趣。
4.教学重、难点：（1）教学重点：椭圆的方程及其几何性质的运用 （2）教学难点：灵活运用椭圆的几何性质5.本节所用的数学思想方法：数形结合的思想方法，化归思想方法。
教学过程：（一）复习引入：椭圆的简单几何性质如下标准方程)0(12222>>=+b a b y a x )0(12222>>=+b a b x a y 图形范围 -a ≤x ≤a,-b ≤y ≤b-b ≤x ≤b, -a ≤y ≤a对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称顶点坐标（±a ,0）(0,±b )(±b ,0),(0,±a )（二）进行新课例1：已知中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为23，点A ，B 分别是椭圆C 的长轴、短轴的端点，点O 到直线AB 的距离为556。
（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点E （3，0），设点P 、Q 是椭圆C 上的两个动点，满足EP ⊥EQ ，求⋅的取值范围。
【分析】本题主要考查直线、椭圆、平面向量等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及计算能力。
椭圆方程及性质的应用圆锥曲线与方程教学设计上课PPT课件高中数学北京海淀
1 2
2 2
(2)由(1)知a2=2c2,b2=c2.故椭圆方程为 设P(x0,y0).由F1(－c,0)，B(0,c)，有
由已知,有 即(x0+c)c+y0c=0.又c≠0,故有
x0u+uuyr0+c=0. ① F1B (c,c).
uuur uuur F1PgF1B 0，
x2 2c2
y2 c2
角度2 应用椭圆的几何性质解题
【典例】设椭圆
(a>b>0)的左、右焦点为
F1,F2,右顶点为A,上顶点为B.已知
x2 y2 a2 b2 1
| AB |
3 2
|
F1F2
|
.
(1)求椭圆的离心率. (2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l 与该圆相切,求直线l的斜率. 世纪金榜导学号08316019
椭圆的范围)
椭圆的范围,不能忽略
【正解】因为2x2+3y2=6,所以y2=
所以x2+y2+2x=x2+ +2x
= x2+2x+2= (x+3)2-1,
因为2x2+3y2=6,所以 所以- ≤x≤ ,
=16, 2x2
所以当x=- 时,x2+y2+2x有最小3值3-2 .
1
1
3
3
x2 y2
32
3
3
2 1
1
3
2
2
2
3
2
Δ⇒m==9±m32-41,6(m2-7)=0⇒m2=16x2 ＋ y2
2
47
故两切线方程为y= 显然y= x-4与椭圆
高中数学高二下册第十二章12.4 椭圆的性质-对椭圆中定值问题的探究 课件
从长远利益考虑，让孩子从小适度地知道一点忧愁，品尝一点磨难，并非坏事，这对培养孩子的承受力和意志，对孩子的健康成长或许更有好 处。——东方 驾驭命运的舵是奋斗。 勇猛大胆和坚定的决心能抵得上武器的精良。——达芬奇 燕雀安知鸿鹄之志哉。
Байду номын сангаас
新教材高中数学第3章圆锥曲线的方程 2椭圆的简单几何性质课件新人教A版选择性必修第一册
6
;
3
思路分析(1)焦点位置不确定,应分类讨论;(2)结合图形求出a,b,c的值代入.
解 若焦点在 x 轴上,则 a=3,
∵e=
=
6
,∴c=
3
6.∴b2=a2-c2=9-6=3.
2
∴椭圆的标准方程为
9
2
+ =1.
3
若焦点在 y 轴上,则 b=3,
∵e=
+
2
=1
64
,设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴
长分别相等,且椭圆C2的焦点在y轴上.
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率;
(2)写出椭圆C2的方程,并研究其范围、对称性、顶点、离心率.
1 2 3 4
解 (1)由椭圆
2
2
C1: + =1 可得其长半轴长为
100
64
坐标为(6,0),(-6,0),离心率
如图所示,△A1FA2 为等腰直角三角形,OF 为斜边 A1A2 的中线(高),且
|OF|=c,|A1A2|=2b,
∴c=b=4,∴a2=b2+c2=32.
2
2
故所求椭圆的标准方程为 + =1.
32
16
规律方法
利用待定系数法求椭圆标准方程的关注点
(1)基本思路是“选标准,定参数”,即先明确焦点的位置或分类讨论.一般步
探究点一
根据椭圆的标准方程研究其几何性质
问题4利用椭圆方程,如何求其相应的几何性质?哪些性质容易混淆?
【例1】 求椭圆9x2+16y2=144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和
高中数学第2章圆锥曲线与方程1.2椭圆的简单性质第2课时椭圆方程及性质的应用课件
数学D 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
讲课堂互动讲义
练课后演练提升
(1)焦点三角形中的有关问题常用到勾股定 理、正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式等．
(2)椭圆的定义|PF1|＋|PF2|＝2a 在解题中往往起到关键作 用，因此常作如下变形：
①|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|；
数学D 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
讲课堂互动讲义
练课后演练提升
(2)在△PF1F2 中，|PF2|＝2a－|PF1|＝4－|PF1|. 由余弦定理得 |PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|cos 120°， 即(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|，所以|PF1|＝56. 所以 S△PF1F2＝21|F1F2|·|PF1|·sin 120° ＝12×2×65× 23＝53 3.
数学D 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
讲课堂互动讲义
练课后演练提升
1．F1、F2 是椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的两焦点，M 是椭圆 上的一点，当点 M 移动到何位置时，∠F1MF2 最大？
解析： 令|MF1|＝m，|MF2|＝n，|F1F2|＝2c，易知 m＋n＝ 2a，
∴cos∠F1MF2＝|MF1|22＋|M|MF1F||2M|2－F2||F1F2|2 ＝m2＋2nm2·－n 4c2＝m＋n2－2m2nmn－4c2
数学D 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
讲课堂互动讲义
练课后演练提升
∴P→F·P→A＝14x2－x＋1＝14(x－2)2，9 分 ∵－2≤x≤2， ∴当 x＝－2 时，P→F·P→A取得最大值 4；11 分 当 x＝2 时，P→F·P→A取得最小值 0.12 分
新教材高中数学第3章第2课时椭圆的标准方程及性质的应用课件苏教版选择性必修第一册ppt
∴yx11－ －yx22＝－4xy11＋＋xy22＝－12，即 kAB＝－12． 又直线 AB 过点 M(2，1)， 故所求直线的方程为 x＋2y－4＝0．
(2)设弦的两端点分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
x＋2y－4＝0，
由1x62 ＋y42＝1，
得 x2－4x＝0，∴x1＋x2＝4，x1x2＝0，
∴|AB|＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2
＝
1＋－122· 42－4×0＝2 5．
1．本例中把条件改为“点 M(2，1)是直线 x＋2y－4＝0 被焦点 在 x 轴上的椭圆所截得的线段的中点”，求该椭圆的离心率．
[解] 设直线与椭圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，则 x1＋x2＝4， y1＋y2＝2．
∴点(1，1)在椭圆内， 故直线 y＝kx－k＋1 与椭圆相交．]
3．直线 x＋2y＝m 与椭圆x42＋y2＝1 只有一个交点，则 m
的值为( )
A．2 2 B．± 2 C．±2 2 D．±2 C [由xx＋ 2＋24yy＝2＝m4，， 消去 y 并整理得 2x2－2mx＋m2－4＝0． 由 Δ＝4m2－8(m2－4)＝0，得 m2＝8． ∴m＝±2 2．]
(3)当 Δ＜0，即 m＜－3 2或 m＞3 2时，方程①没有实数解，可 知原方程组没有实数解．这时直线 l 与椭圆 C 没有公共点．
如何判断直线与椭圆的位置关系？
[提示] 判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方 程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的 一元二次方程，则
当 k≠0 时，2x1x2－(m＋4)(x1＋x2)＋8m＝0， 化简得，82km2－＋11＝0， 所以 m＝1． 当 k＝0 时，也成立． 所以存在点 Q(1，0)， 使得∠PQM＋∠PQN＝180°．
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2.2.2 椭圆形至及其应用 1．一个顶点的坐标为(0,2)，焦距的一半为3的椭圆的标准方程为( ) A.x 24＋y 29＝1 B.x 29＋y 24＝1 C.x 24＋y 2
13＝1 D.x 213＋y 24
＝1 2．椭圆x 225＋y 2
9
＝1上的点P 到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( ) A ．8,2 B ．5,4 C ．9,1 D ．5,1
3．已知F 1、F 2为椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆离心率e ＝32
，则椭圆的方程是( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 216＋y 2
4
＝1 C.x 216＋y 212
＝1 D.x 216＋y 2
3＝1
4．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )
A.12
B.32
C.34
D.64
5．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为
32
，且G 上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为______________．
6．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．
7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝63.过点A (0，－b )和B (a,0)的直线与原点的距离为32
，求椭圆的标准方程．
8.如图所示，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标
等于短半轴长的23
，求椭圆的离心率．
9．设P (x ，y )是椭圆x 225＋y 2
16
＝1上的点且P 的纵坐标y ≠0，点A (－5,0)、B (5,0)，试判断k P A ·k PB 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
1．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是( ) A ．－2<a <2
B ．a <－2或a > 2
C ．－2<a <2
D ．－1<a <1
2．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 2
4
＝1的位置关系为( ) A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．不确定
3．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )
A ．3 2
B ．26
C ．27
D ．4 2
4．过椭圆x 225＋y 2
9
＝1的右焦点且倾斜角为45°的弦AB 的长为( ) A ．5 B ．6 C.9017
D ．7 5．过椭圆x 25＋y 2
4
＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．
6．若倾斜角为π4的直线交椭圆x 2
4
＋y 2＝1于A ，B 两点，则线段AB 的中点的轨迹方程是________________．
7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32
，短轴一个端点到右焦点的距离为2. (1)求该椭圆的标准方程；
(2)若P 是该椭圆上的一个动点，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，求PF 1→·PF 2→的最大值与最小值．
8．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3.
(1)求椭圆C 的焦距；(2)如果AF 2→＝2F 2B →，求椭圆C 的方程．
9．(10分)如图，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，x 轴
被曲线C 2：y ＝x 2－b 截得的线段长等于C 1的长半轴长．
(1)求C 1，C 2的方程．(2)设C 2与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与C 2相交于点A ，B ，直线MA ，MB 分别与C 1相交于点D ，E .证明：MD ⊥ME .。