椭圆几何性质的应用
椭圆的简单几何性质
椭圆的简单几何性质椭圆是一种具有特定几何性质的曲线。
在本文档中，我们将详细讨论椭圆的简单几何性质，并介绍其定义、焦点、半长轴、半短轴以及离心率等重要概念。
椭圆的定义椭圆可以通过以下方式进行定义：给定平面上的两个焦点F1和F2以及一条固定的长度2a的线段，椭圆是满足以下条件的点的集合：对于任意点P到焦点F1的距离加上点P到焦点F2的距离等于2a。
椭圆的焦点对于给定的椭圆，焦点F1和F2是椭圆上的两个点，且满足任意点P到焦点F1的距离加上点P到焦点F2的距离等于2a。
焦点对于椭圆的性质非常重要，并在许多应用中起着重要的作用。
椭圆的半长轴和半短轴椭圆的半长轴和半短轴是两个关键的几何性质。
半长轴为轴线上从中心点到椭圆上离心率最大的点的距离；半短轴为轴线上从中心点到椭圆上离心率最小的点的距离。
椭圆的半长轴和半短轴的关系可以用离心率来表示。
离心率定义为焦点到椭圆中心的距离除以半长轴的长度。
离心率也可以用半短轴除以半长轴来表示。
椭圆的离心率离心率是一个椭圆的重要几何性质，它描述了椭圆形状的圆度程度。
离心率范围在0和1之间，且离心率为0时表示圆形，离心率为1时表示长椭圆。
离心率越接近于0，椭圆的形状越接近于圆形。
椭圆的参数方程椭圆可以用参数方程来表示，其中x和y的值取决于参数t 的变化。
椭圆的参数方程为：x = a * cos(t)y = b * sin(t)其中，a和b分别是半长轴和半短轴的长度。
椭圆与直线的交点椭圆与直线的交点是椭圆和直线相交的点的集合。
在平面几何中，椭圆和直线的交点有以下几种情况：1.椭圆内部：直线与椭圆相交于两个不同的点。
2.直线刚好接触椭圆：直线与椭圆相切于一个点。
3.椭圆外部：直线与椭圆没有交点。
椭圆的对称性椭圆具有关于x轴和y轴的对称性。
具体来说，椭圆关于x轴对称指的是如果点(x, y)在椭圆上，则点(x, -y)也在椭圆上。
类似地，椭圆关于y轴对称指的是如果点(x, y)在椭圆上，则点(-x, y)也在椭圆上。
椭圆的一个几何性质和在物理学中的应用
椭圆的几何性质和在物理学中的应用1 几何性质为了思路清晰简明，我们采用罗列命题的方式叙述椭圆的几何性质，但这又不是简单的罗列，各命题间是有紧密地联系的。
定义1：椭圆是到两个定点（焦点）的距离和等于定长（2a ）的点的轨迹。
命题1：椭圆外一点到椭圆两焦点的距离和大于椭圆上一点到两焦点的距离和。
【证明】：如图1所示，M 是椭圆外任一点，1MF 和2MF 分别是该点到两焦点1F 和2F 的距离。
由于M 在椭圆之外，所以我们总能够在椭圆上找到一点N ，使此点在21F MF ∆内。
所以总有a NF NF MF MF 22121=+>+。
下面我们证明命题1中用到的关于三角形的一个命题。
命题2：三角形内一点到两个顶点的距离和小于第三个顶点到这两个顶点的距离和。
【证明】：如图，M 是ABC ∆中任一点，我们要证明的是CB CA BM AM +<+。
延长AM 与BC 交于D 点。
在ADC ∆中，由于两边之和大于第三边，有MD AM CD CA +>+； 在BDM ∆中，由于两边之和大于第三边，有MB MD DB >+。
上面两式相加有CB CA BM AM +<+，命题得证。
命题3：椭圆内一点到两焦点的距离和小于椭圆上一点到两焦点的距离和。
图3图1ABCMD 图2【证明】：如图3所示，我们总能够在椭圆上找一点N ，使M 位于21F NF ∆内。
由命题2可知命题正确。
我们可以说，椭圆的外部是这样的点的集合，它到椭圆的两个焦点的距离之和大于2a ；椭圆的内部是这样的点的集合，它到椭圆的两个核糖点的距离之和小于2a ；椭圆上的点到两个焦点的距离之和恰为2a 。
定义2：与椭圆只有一个公共点的直线称为椭圆的切线。
命题4：椭圆的切线不可能通过椭圆内的任何一点。
【证明】：假设切线可过椭圆内一点，则必与椭圆交于两点，这与该线为椭圆的切线相矛盾。
命题5：构成椭圆的切线的点的集合中，切点是到两个焦点的距离和最小的点。
椭圆的性质及应用
椭圆的性质及应用教学目标(一)知识教学点通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用．(二)能力训练点通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力．(三)学科渗透点使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等．教学重点：椭圆的几何性质及初步运用．(解决办法：引导学生利用方程研究曲线的性质，最后进行归纳小结．)教学难点：椭圆离心率的概念的理解．(解决办法：先介绍椭圆离心率的定义，再分析离心率的大小对椭圆形状的影响，最后通过椭圆的第二定义讲清离心率e的几何意义．)教学疑点：椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质，与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变．(解决办法：利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明．)活动设计提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结．教学过程(一)复习提问1．椭圆的定义是什么？2．椭圆的标准方程是什么？学生口述，教师板书．(二)几何性质根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是b＞0)来研究椭圆的几何性质．说明：椭圆自身固有几何量所具有的性质是与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变．1．范围即|x|≤a，|y|≤b，这说明椭圆在直线x=±a和直线y=±b所围成的矩形里(图2-18)．注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点．2．对称性先请大家阅读课本椭圆的几何性质2．设问：为什么“把x换成-x，或把y换成-y？，或把x、y同时换成-x、-y时，方程都不变，所以图形关于y轴、x轴或原点对称的”呢？事实上，在曲线的方程里，如果把x换成-x而方程不变，那么当点P(x，y)在曲线上时，点P关于y轴的对称点Q(-x，y)也在曲线上，所以曲线关于y轴对称．类似可以证明其他两个命题．同时向学生指出：如果曲线具有关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称中的任意两种，那么它一定具有另一种对称．如：如果曲线关于x轴和原点对称，那么它一定关于y轴对称．事实上，设P(x，y)在曲线上，因为曲线关于x轴对称，所以点P1(x，-y)必在曲线上．又因为曲线关于原点对称，所以P1关于原点对称点P2(-x，y)必在曲线上．因P(x，y)、P2(-x，y)都在曲线上，所以曲线关于y轴对称．最后指出：x轴、y轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心即椭圆中心．3．顶点只须令x=0，得y=±b，点B1(0，-b)、B2(0，b)是椭圆和y轴的两个交点；令y=0，得x=±a，点A1(-a，0)、A2(a，0)是椭圆和x轴的两个交点．强调指出：椭圆有四个顶点A1(-a，0)、A2(a，0)、B1(0，-b)、B2(0，b)．教师还需指出：(1)线段A1A2、线段B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b；(2)a、b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长；这时，教师可以小结以下：由椭圆的范围、对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形．4．离心率教师直接给出椭圆的离心率的定义：等到介绍椭圆的第二定义时，再讲清离心率e的几何意义．先分析椭圆的离心率e的取值范围：∵a＞c＞0，∴ 0＜e＜1．再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的影响：(2)当e接近0时，c越接近0，从而b越接近a，因此椭圆接近圆；(3)当e=0时，c=0，a=b两焦点重合，椭圆的标准方程成为x2+y2=a2，图形就是圆了．(三)应用为了加深对椭圆的几何性质的认识，掌握用描点法画图的基本方法，给出如下例1．例1 求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．本例前一部分请一个同学板演，教师予以订正，估计不难完成．后一部分由教师讲解，以引起学生重视，步骤是：(2)描点作图．先描点画出椭圆在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性就可以画出整个椭圆(图2-19)．要强调：利用对称性可以使计算量大大减少．本例实质上是椭圆的第二定义，是为以后讲解抛物线和圆锥曲线的统一定义做准备的，同时再一次使学生熟悉求曲线方程的一般步骤，因此，要详细讲解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是集合P={M将上式化简，得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)．这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是椭圆．由此例不难归纳出椭圆的第二定义．(四)椭圆的第二定义1．定义平面内点M与一个定点的距离和它到一定直线的距离的比是常数线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率．2．说明这时还要讲清e的几何意义是：椭圆上一点到焦点的距离和它到准线的距离的比．(五)小结解法研究图形的性质是通过对方程的讨论进行的，同一曲线由于坐标系选取不同，方程的形式也不同，但是最后得出的性质是一样的，即与坐标系的选取无关．前面我们着重分析了第一个标准方程的椭圆的性质，类似可以理解第二个标准方程的椭圆的性质．布置学生最后小结下列表格：五、布置作业1．求下列椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、各个顶点和焦点坐标、准线方程：(1)25x2+4y2-100=0，(2)x2+4y2-1=0．2．我国发射的科学实验人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面266Km，远地点距地面1826Km，求这颗卫星的轨道方程．3．点P与一定点F(2，0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1∶2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．的方程．作业答案：4．顶点(0，2)可能是长轴的端点，也可能是短轴的一个端点，故分两种情况求方程：。
根据椭圆的知识点方法总结椭圆的几何性质
根据椭圆的知识点方法总结椭圆的几何性质椭圆是一个具有特殊几何性质的曲线，它在数学和物理学中有着广泛的应用。
本文将总结一些关于椭圆的基本知识点和方法，并探讨椭圆的几何性质。
1. 椭圆的定义和基本要素椭圆可以通过以下定义来描述：给定确定的两点F₁和F₂（焦点）以及不小于焦点间距离之和的固定值2a（长轴长度），椭圆是所有与这两点间距离之和等于2a的点的集合。
椭圆有几个基本要素需要了解：- 近焦点F₁和远焦点F₂：这两个点决定了椭圆的位置和形状。
- 焦距：焦距是指焦点到椭圆上任意一点的距离之和，等于2a。
- 长轴和短轴：长轴是连接两个焦点的线段，短轴是与长轴垂直且通过椭圆中心的线段。
- 焦半径：焦半径是指从焦点到椭圆上一点的距离。
2. 椭圆的性质椭圆有一些独特的性质，下面是其中一些重要的性质：- 对称性：椭圆是关于长轴和短轴的对称图形，这意味着如果一个点在椭圆上，那么它关于长轴或短轴的镜像点也在椭圆上。
- 焦点性质：对于椭圆上的任意一点P，焦距FP₁ + FP₂的值是一个常数，等于2a。
- 切线性质：椭圆上的切线与径垂直，也就是说切线与焦半径相切。
- 弦性质：椭圆上的弦与焦半径平行，也就是说弦的中垂线与焦半径重合。
3. 椭圆的方程椭圆可以用数学方程来表示，其中一个常见的方式是使用焦点坐标法。
椭圆的焦点坐标是(F₁,0)和(F₂,0)，椭圆的方程可表示为：(x - F₁)² + y² = (x - F₂)² + y² = 2a另外，椭圆的标准方程是：x²/a² + y²/b² = 1其中，a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴长度。
总结椭圆是一种具有特殊性质的几何曲线，在数学和物理学中有广泛的应用。
本文总结了椭圆的基本知识点和方法，包括椭圆的定义和基本要素、椭圆的性质以及椭圆的方程。
通过了解这些内容，我们可以更好地理解和应用椭圆的几何性质。
椭圆方程及其应用
椭圆方程及其应用概述椭圆方程是描述平面上椭圆的几何性质的方程。
它是一种二次方程，通常形式为 Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0。
本文将介绍椭圆方程的基本定义、性质，以及它在不同领域的应用。
基本定义与性质椭圆方程的一般形式为 Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0。
其中 A、B、C、D、E 和 F 是实数系数，且 A 和 C 不同时为零。
通过对齐次化和变换，椭圆方程可以转化为标准形式：(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1其中 (h, k) 是椭圆的中心坐标，a 和 b 分别是椭圆在 x 和 y 方向上的半长轴长度。
椭圆的离心率定义为 c/a，其中 c 是椭圆的焦点之间的距离。
椭圆方程具有如下性质：1. 椭圆是一个封闭的曲线，其形状类似于圆，但更加拉长。
2. 所有椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和是常数。
3. 椭圆的直径是椭圆上两个离焦点最远的点之间的距离。
4. 椭圆的离心率决定了椭圆的形状，当离心率接近于 0 时，椭圆接近于圆；当离心率大于 0 但小于 1 时，椭圆呈现出拉长的形状。
应用领域椭圆方程在许多领域中有广泛的应用，以下介绍其中几个典型的应用：1. 天体力学椭圆方程在描述行星、卫星和彗星的轨道时起着重要作用。
行星的轨道通常是近似椭圆的，通过求解椭圆方程可以精确描述行星在椭圆轨道上的运动，从而预测它们的位置和速度。
2. 信号处理在信号处理领域，椭圆滤波器是一种常用的数字滤波器。
椭圆滤波器的频率响应可以用椭圆方程来描述，它具有可调节的通带和阻带波纹特性，能够实现比其他常见滤波器更陡峭的过渡带和更小的波纹。
3. 地理学在地理学中，椭圆方程被广泛用于描述地球的形状。
根据地球的形状和椭圆方程的参数，可以计算出地球的椭球体参数，如长半轴、短半轴和离心率，从而精确地描述地球的地理特征。
§2.2.2椭圆的角的几何性质及应用
§2.2.2椭圆的简单几何性质及应用学习目标：1、理解并掌握椭圆的几何性质，能根据这些几何性质解决一些简单问题. 2、培养学生数形结合的意识和独立分析、解决问题的能力. 重、难点：椭圆的几何性质和简单应用（重点）；几何性质的灵活应用（难点）. 学习过程：一、课前准备 （预习课本P 43----P 48找出疑惑之处），并填写下列知识要点 （1）椭圆的简单几何性质（2）椭圆的离心率对椭圆扁圆程度的影响因为0>>c a ，所以10<<e . e 越接近1，则c 越接近a ，从而22c a b -=越小，因此椭圆越 ；反之，e 越接近0，c 越接近0，从而b 越接近a ，这时椭圆就越接近 . 当且仅当b a =时，0=c ，这时两个焦点 ，图形变为 ，它的方程为 .（3）若点)(y x M ，与定点)0(，c F 的距离和它到定直线l ：c a x 2=的距离的比是常数ac（0>>c a ），则点M 的轨迹是 ，定点)0(，c F 是椭圆的一个焦点，直线l ：c a x 2=称为相应于焦点F 的准线. 由椭圆的对称性，相应于焦点)0(，c F -'，椭圆的准线是l '：ca x 2-=.焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 上图形标 准 方 程范 围 顶 点轴 长 长轴长 短轴长长轴长 短轴长 焦 点 焦 距对称性 对称轴 ，对称中心离心率1F ∙xy O∙ 2F 1A 2A 1B2B 2F 1F∙x ∙ 1A2A 1B 2B Oy（4）椭圆中一些重要量及重要结论① “四线”是指 ；“六点”是指 . ② 焦半径：焦点在x 轴上时，=||1MF , =||2MF . 焦点在y 轴上时，=||1MF , =||2MF . ③ 焦准距： . ④ 通径： . ⑤ 焦点三角形面积公式： .⑥ 焦点到椭圆上的最短距离为 ，最大距离为 .二、新课导学学习探究一、 椭圆的范围观察右图，容易看出椭圆上点的横坐标的范围是a -≤x ≤a ，纵坐标的范围 是b -≤y ≤b . 下面，我们利用方程（代数方法）研究上述取值范围. 由方程)0(12222>>=+b a by a x 可知 012222>-=ax b y ，所以椭圆上点的横坐标都适合不等式22a x ≤1，即a -≤x ≤a ，同理有22b y ≤1，即b -≤y ≤b . 这说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形框里. 【例1】、已知中心在原点的椭圆经过（2， 1）点，求该椭圆的半长轴长a 的取值范围.跟踪训练：已知椭圆的长轴长为20，短轴长为16，则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值 范围是 （ ） A. [6， 10] B. [6， 8] C. [8， 10] D. [16， 20]学习探究二、 椭圆的对称性（1）判断曲线关于x 轴、y 轴、原点对称的方法：① 若把方程中的x 换成x -，方程不变 则曲线关于y 轴对称；② 若把方程中的y 换成y -，方程不变，则曲线关于y 轴对 称；③ 若把方程中的x 、y 同时换成x -、y -，方程不变，则曲线关于原点对称.（2）由（1）可知，椭圆关于x 轴、y 轴、原点都是对称的. 这时坐标轴是它的对称轴， 原点是它的对称中心，椭圆的对称中心又叫椭圆的中心. 因此，椭圆既是轴对称图形， 又是中心对称图形.（3）椭圆对称性的应用：① 在利用描点法画椭圆时，只要作出第一象限的图象，其它象∙ x y O ∙ax -= a x =b y -=b y =限的图象可以利用对称性画出；② 在研究满足一定条件的点的性质时，只要研究点位于第一象限的情形，其它象限的情形可利用对称性得到.【例2】、已知点（3， 2）在椭圆12222=+by a x 上，下列给出的三个点（2,3--），（23-，）， （2,3-）中在该椭圆上的是 .跟踪训练：已知21F F ，是椭圆1204522=+y x 的两个焦点，P 为椭圆上的任一点，若21PF F ∠为 锐角，求P 点的横坐标的取值范围.学习探究三、 椭圆的顶点、长轴和短轴（1）顶点：椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与对称轴的四个交点：)0,()0,(21a A a A 、-，),0(),0(21b B b B 、-叫椭圆的顶点；椭圆)0(12222>>=+b a bx a y 的四个顶点是)0()0(21a A a A ，、，-，)0()0(21，、，b B b B -.（2）长轴、短轴：线段21A A 叫做椭圆的长轴，且a A A 2||21=，a 是长半轴长；线段21B B 叫做椭圆的短轴，且b B B 2||21=，b 是短半轴的长.（3）椭圆的焦点永远在长轴上.【例3】、若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦 点到椭圆上的最短距离为3，求该椭圆的方程.跟踪训练：)0,(c F 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点，F 与椭圆上的点的距离最大值为M ，最小值为m ，则椭圆上与F 点的距离等于2mM +的是 .学习探究四、 椭圆的离心率（1）椭圆离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，记作ac a c e ==22.（2）离心率的范围：因为0>>c a ，所以10<<e .（3）离心率e 与b a 、的关系：因为222b ac -=，所以22221ab a b a ace -=-==. （4）当1→e 时，椭圆越扁，当0→e 椭圆越圆. 特别地，当1=e 时，图形变为圆.【例4】、已知1F 为椭圆的左焦点，B A 、分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点， 当A F PF 11⊥，AB PO //（O 为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.跟踪训练：已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，过椭圆的右焦点作x 轴垂线交椭圆与B A 、两点，若0=⋅OB OA ，求椭圆的离心率.三、当堂检测1、已知)0,0(121>>=+n m nm ，则当mn 取得最小值时，椭圆12222=+n y m x 的离心率是.2、椭圆1422=+y x 的两个焦点为21F F ，，过2F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF 等于 （ ） 23.A 3.B 27.C 4.D 3、已知椭圆的一个焦点将长轴分成2 : 1两部分，且经过点（4,23-），求椭圆的标准方 程.4、已知椭圆191622=+y x ，求其内接三角形面积的最大值. 5、已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的四个顶点D C B A 、、、构成的四边形为菱形，若菱形ABCD 的内切圆恰好过焦点，求该椭圆的离心率.。
椭圆的几何性质ppt课件
的对称轴，坐标原点是对称中心. 椭圆的对称中
（3）顶点
在方程①中，令
= 0，得
轴有两个交点，可以记作
=−
作
或
1 (0,
− )，
交点，即
的顶点.
= ，可知椭圆
2 (0,
1， 2
和
=−
1(
或
− ,0)，
与
). 因此，椭圆
= ，可知椭圆
2(
,0)；令
与
= 0 ，得
轴也有两个交点，可以记
与它的对称轴共有 4 个
=− ， = ， =− ， =
x
a 且 b
y
b ，这说明，椭圆
所围成的矩形内，如图所示.
（2）对称性
如果 ( , ) 是方程①的一组解，则不难看出，( − , )，( , − )，( − , − )
都是方程的解，这说明椭圆
因此，
轴、
心也称为椭圆的中心.
关于
轴是椭圆
轴、
轴、坐标原点对称，如图所示.
1 ， 2 ，如图所示，这四个点都称为椭圆
注意到
1 2
椭圆的长轴，线段
=2 ，
1
而且椭圆的长轴长为 2
2
1 2
=2
，而且
>
> 0 ，所以线段
1 2
称为
称为椭圆的短轴. 显然，椭圆的两个焦点在它的长轴上，
，短轴长为 2 .
于是， ，
距为 2 ，则
分别是椭圆的半长轴长和半短轴长，如果设椭圆的焦
是椭圆的半焦距，由
轴上的椭圆是一致的，如图所示.
例 1 求下列方程表示的椭圆的长轴长、半短轴长、焦点坐标以及离心率：
椭圆方程参数方程
椭圆方程参数方程1. 引言椭圆是数学中的一种曲线，具有特殊的几何性质和参数方程。
本文将介绍椭圆方程的参数方程以及相关的几何性质和应用。
2. 椭圆的定义椭圆是平面上到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点的轨迹。
称F1和F2为椭圆的焦点，a为椭圆的半长轴。
椭圆的参数方程可以表示为：x = a*cosθy = b*sinθ其中a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。
3. 椭圆的几何性质椭圆具有许多特殊的几何性质。
首先，椭圆的离心率e满足0 < e < 1，即椭圆是一个凸曲线。
其次，椭圆的焦距等于2a*e，其中e 为离心率。
此外，椭圆的面积可以表示为πab，其中π为圆周率。
椭圆还具有对称性，即关于x轴和y轴对称。
4. 椭圆的参数方程的应用椭圆的参数方程在实际应用中有广泛的应用。
例如，在天文学中，椭圆的参数方程可以用来描述行星绕太阳公转的轨道。
在物理学中，椭圆的参数方程可以用来描述电子在磁场中的运动轨迹。
在工程学中，椭圆的参数方程可以用来设计椭圆形的建筑物或物体。
5. 椭圆的相关公式除了参数方程之外，椭圆还有一些重要的公式。
椭圆的离心率e可以通过以下公式计算：e = √(1 - (b^2/a^2))其中，a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。
6. 椭圆的应用举例椭圆的参数方程在实际生活中有许多应用。
例如，在地理学中，椭圆的参数方程可以用来描述地球的形状。
在航天工程中，椭圆的参数方程可以用来计算卫星的轨道。
在电子工程中，椭圆的参数方程可以用来设计天线的形状。
7. 总结通过本文的介绍，我们了解了椭圆方程的参数方程及其几何性质和应用。
椭圆是一种具有特殊几何性质的曲线，可以通过参数方程来描述。
椭圆的参数方程在科学和工程领域中有广泛的应用，可以用来描述天体运动、轨道设计以及物体形状等。
掌握椭圆方程的参数方程，对于深入理解椭圆的性质和应用具有重要意义。
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归纳总结
【思路点拨】
化为标准形式 → 确定焦点位置
→ 求a，b，c → 求椭圆几何性质
课堂练习
若本例中椭圆方程变为：“4x2＋y2
＝4”，试求解长轴长、焦距、焦点坐标、顶点 坐标和离心率．
解：已知方程为
y2 x²＋ 4 ＝1，所以
a＝2，b＝1， c
＝ 4 1 ＝ 3 ，因此，椭圆的长轴的长和短轴的
c 3 长分别为 2a＝4,2b＝2，离心率 e＝ ＝ ，两个 a 2 焦点分别为 F1
(0,
3 )，F2(0,- 3 )，椭圆的四个
顶点是 A1(0，－2)，A2(0,2)，B1(-1,0)，B2(1,0).
求适合下列条件的椭圆的标准方程： 2 (1)长轴长是 6，离心率是 ； 3 (2)在 x 轴上的一个焦点，与短轴的两个端点的连
例2
线互相垂直，且焦距为 6.
x2 y2 y2 【解】 (1)设椭圆方程为 2＋ 2＝1(a>b>0)或 2＋ a b a x2 ＝1(a>b>0)．由已知得 2a＝6，∴a＝3. b2 c 2 又 e＝ ＝ ，∴c＝2.∴b2＝a2－c2＝9－4＝5. a 3 x2 y2 y 2 x2 ∴椭圆的标准方程为 ＋ ＝1 或 ＋ ＝1. 9 5 9 5 (2)由题意知焦点在 x 轴上， x2 y2 故可设椭圆的标准方程为 2＋ 2＝1(a>b>0)， 且两 a b 焦点为 F′(－3,0)，F(3,0)．
2.1.2 椭圆几何性质的应用
复习引入
定义:│PF1│+│PF2│=2a （2a＞|F1F2|)
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 范围
x 2 y2 ＋ ＝1(a>b>0) a2 b2
y2 x 2 ＋ ＝1(a>b>0) a2 b2
|x|≤a，|y|≤b ____________
|____________ x|≤b，|y|≤a
如图所示，△A1FA2 为等腰直角三角形，
OF 为斜边 A1A2 的中线， 且|OF|＝c， |A1A2|＝2b， ∴c＝b＝3. ∴a2＝b2＋c2＝18. x2 y2 ∴所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 18 9
例3
若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构 成正三角形，则其离心率 1 为 。 2
【思路点拨】求椭圆的离心率的常见思路 ：一是先求a，c，再计算e；二是依据条 件中的关系，结合有关知识和a、b、c的 关系，构造关于e的方程，再求解．注意e 的范围：0<e<1.
|F1F2|＝2c 坐标轴 ，对称中心：____ (0,0) 对称轴：_______
对称性
离心率
c a 椭圆的焦距与实轴长的比，即e＝___
课堂互动讲练 例1 求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长、焦距、焦点
坐标、顶点坐标和离心率．
【解】 x2 y2 将椭圆方程变形为 ＋ ＝1， 9 4
∴a＝3，b＝2，∴c＝ a2－b2＝ 9－4＝ 5. ∴椭圆的长轴长和焦距分别为 2a＝6,2c＝2 5； 焦点坐标为 F1(－ 5，0)，F2( 5，0)；顶点坐标 为 A1(－3,0)，A2(3,0)，B1(0，－2)，B2(0,2)；离 c 5 心率 e＝ ＝ . a 3
练习
1、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率 为
2 2
。
3、若椭圆的 的两焦点的位置 顶点 轴长
焦点在x轴上 (±a,0)，(0，±b) _________________
焦点在y轴上 (±b,0)，(0，±a) ________________
长轴A1A2，长度为2a， 短轴B1B2，长度为2b
焦点
焦距
F1(－c,0)，F2(c,0)
F 1(0，－c)，F2(0，c) __________________