第5讲 椭圆的性质及应用

第5讲椭圆的性质及应用
一、教学目标
1．掌握椭圆的简单几何性质．
2．理解离心率对椭圆扁平程度的影响.
二、教学重、难点
1．重点：椭圆的几何性质及初步运用．
2．难点：椭圆离心率的概念的理解．
3．疑点：椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质，与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变．三、教学方法
一学、二记、三应用
四、知识梳理
1
22
2
（1）一类是与坐标系无关的椭圆本身故有的性质：长轴长、短轴长、焦距、离心率等.
（2）一类是与坐标系有关的性质：顶点坐标、焦点坐标等.
在解题时要特别注意第二类性质，应根据椭圆方程的形式，首先判断椭圆的焦点在哪条坐标轴上，然后再进行求解.
3、椭圆的几何性质与椭圆的位置、大小和形状的关系
（1）椭圆的焦点决定椭圆的位置.
（2）椭圆的范围决定椭圆的大小.
（3）椭圆的离心率决定椭圆的形状.离心率越大，椭圆越“扁”；离心率越小，椭圆越“圆”。

（4）对称性是椭圆的重要性质，椭圆的顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆的上重要的特殊点，在作图时应先确定这些点.
特别注意
（1）椭圆的长轴长为2a，长半轴长为a；椭圆的短轴长为2b，短半短长为b.
（2）椭圆中a,b,c的关系是：a2＝b2＋c2.
问题为什么椭圆的离心率决定椭圆的扁平程度？
五、课前测试
1．已知椭圆116
252
2=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为（ ） A ．2
B ．3
C ．5
D ．7
2．如果222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）
A ．()1,0
B ．()2,0
C ．()+∞,0
D ． ()+∞,1
3．已知椭圆2222
12:1,:1,124168
x y x y C C +=+=则 （ ） A ．1C 与2C 顶点相同.
B ．1
C 与2C 长轴长相同. C ．1C 与2C 短轴长相同.
D ．1C 与2C 焦距相等.
六、典例剖析
题型（一） 椭圆简单的几何性质
例1 求下列椭圆的长轴长和短轴长，焦点坐标和顶点坐标和离心率：
（1）224936x y +=； （2）2222
41(0)m x m y m +=>．
[题后感悟]
已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，焦点位置不确
引申 已知椭圆()22550mx y m m +=>的离心率为e =m 的值．
课堂练习：求下列椭圆的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
（1）25x 2＋y 2＝25； （2）4x 2＋9y 2＝1.
题型（二） 由几何性质求标准方程
例2 （1）已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12
，则C 的标准方程是____________.
（2）已知椭圆x 2m ＋y 24
＝1的焦距是2，则该椭圆的长轴长为____________.
例3 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）长轴在x 轴上，长轴的长等于12，离心率等于23
； （2）长轴长是短轴长的2倍，且椭圆过点(－2，－4)．
[题后感悟]
（1）利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法．
（2）根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，一般步骤是：
①求出a2，b2的值；
②确定焦点所在的坐标轴；
③写出标准方程．
（3）解此类题要仔细体会方程思想在解题中的应用．
课堂练习：求适合下列条件的椭圆的标准方程．
（1）在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6；（2）以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过点A(5,0)．
题型（三）求椭圆的离心率
例4（1）设椭圆C：x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2
＝30°，则C的离心率为()
A.
3
6 B.
1
3 C.
1
2 D.
3
3
（2）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为________．
（3）（选讲）椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右顶点分别是A,B ，左、右焦点分别是F 1,F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（ ）
A ．14
B
C ．12 D
[题后感悟] (1)求离心率e 时，除用关系式a 2＝b 2＋c 2外，还要注意e ＝的代换，通过方程思想求离心率．
(2)在椭圆中涉及三角形问题时，要充分利用椭圆的定义、正弦定理及余弦定理、全等三角形、相似三角形等知识．
课堂练习：已知椭圆的两个焦点为F 1、F 2，A 为椭圆上一点，且AF 1⊥AF 2，∠AF 2F 1＝60°，求该椭圆的离心率．
例5 （1）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45
，则C 的离心率e ＝________．
（2）已知椭圆22
22:1x y C a b
+=（0a b >>）的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段1A 2A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）
A B C D ．13
（3）（选讲）设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( )
A.⎝⎛⎦⎤0，22
B.⎝⎛⎦⎤0，33
C.⎣⎡⎭⎫22，1
D.⎣⎡⎭⎫33，1
点拨：
（1）对于参数的取值范围问题，要能从几何特征的角度去分析参数变化引起的图形的变化.在学习中，要能主动的研究几何特征变化的根本性原因.
（2）对几何对象的本质属性的把握越准确，代数化就越容易.
（3）整个图形都随着P 点的变化而变化，P 点的变化使得线段||PF 2的长度也在变化，进而||PF 2与||MF 2的长度关系也在变化.正确的描述这一变化中量与量之间的数量关系是解题的关键所在.
（4）求椭圆的离心率通常要构造关于a ，c 的齐次式，再转化为关于e 的方程或不等式.
课堂练习 已知椭圆x 2k ＋8＋y 29
＝1的离心率e ＝12.求k 的值．
七、家庭作业
1．一个顶点的坐标为(0,2)，焦距的一半为3的椭圆的标准方程为( )
A.x 24＋y 29＝1
B.x 29＋y 24＝1
C.x 24＋y 213＝1
D.x 213＋y 2
4
＝1
2．椭圆x 216＋y 28
＝1的离心率为( ) A.13
B.12
C.33
D.22
3．椭圆x 225＋y 2
9
＝1上的点P 到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( ) A ．8,2 B ．5,4 C ．9,1 D ．5,1
4．已知F 1、F 2为椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆离心率e ＝32，则椭圆的方程是( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 216＋y 24＝1 C.x 216＋y 212＝1 D.x 216＋y 2
3
＝1
5．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A.45 B.35 C.25 D.15
6．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为
32
，且G 上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为______________．
7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝63.过点A (0，－b )和B (a,0)的直线与原点的距离为32
，求椭圆的标准方程．
8．如图所示，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于
短半轴长的23，求椭圆的离心率．。