固体物理(严守胜编著) 课后答案 第1章
固体物理(严守胜编著)课后答案第1章教学提纲
1.1对于体积V 内N 个电子的自由电子气体，证明（1）电子气体的压强()()V p 032ξ⨯=，其中0ξ为电子气体的基态能量。
（2）体弹性模量()V p V K ∂∂-=为V9100ξ 解：（1）()32352225223101101-==V N m h V m k h F πππξ（1.1.1）()()()()()V V Nm h V N m h V N m h V V p 0353522235352223235222323101323231013101ξππππππξ⨯==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂-=---（1.1.2） （2）()()()()VV N m h V N mh V V N m h VVV p V K 9103101910353101323101320383522238352223535222ξππππππ==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=∂∂-=---（1.1.3）1.2 He 3原子是具有自旋1/2的费米子。
在绝对零度附近，液体He 3的密度为0.081g •cm -3。
计算费米能量F ε和费米温度F T 。
He 3原子的质量为g m 24105-⨯≈。
解：把 He 3原子当作负电背景下的正电费米子气体. Z=1.328322241062.11062.1105081.01m cm m Z n m ⨯=⨯=⨯⨯==--ρ（1.2.1） ()1917312108279.7108279.73--⨯=⨯==m cm n k F π（1.2.2）()eVJ m k F F 42327293422102626.41080174.6100.52108279.710055.12----⨯=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==ηε （1.2.3）K k T B F F 92.410381.1106.801742323=⨯⨯==--ε（1.2.4）1.3低温下金属钾的摩尔电子热容量的实验测量结果为1108.2--⋅=K mol TmJ C e ，在自由电子气体模型下估算钾的费米温度F T 及费米面上的态密度()F g ε。
固体物理参考答案(前七章)
固体物理习题参考答案（部分）第一章 晶体结构1.氯化钠：复式格子，基元为Na +，Cl -金刚石：复式格子，基元为两个不等价的碳原子 氯化钠与金刚石的原胞基矢与晶胞基矢如下：原胞基矢)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(213212211j i a a i k a a k j a a +=+=+= ， 晶胞基矢 ka a j a a ia a ˆˆˆ321===2. 解：31A A O '：h:k;l;m==-11:211:11:111:1:-2:1 所以（1 1 2 1） 同样可得1331B B A A ：（1 1 2 0）； 5522A B B A ：（1 1 0 0）；654321A A A A A A ：（0 0 0 1）3.简立方： 2r=a ，Z=1,()63434r 2r a r 3333πππ===F体心立方：()πππ833r4r 342a r 3422a 3r 4a r 4a 33333=⨯=⨯=∴===F Z ，，则面心立方：()πππ622r 4r 34434442r 4a r 4a 233ar 33=⨯=⨯=∴===F Z ，，则 六角密集：2r=a, 60sin 2c a V C = a c 362=,πππ622336234260sin 34223232=⨯⨯⨯=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛a a c a r F a金刚石：()πππ163r 38r 348a r 3488Z r 8a 33333=⨯=⨯===F ，， 4. 解：'28109)31arccos(312323)ˆˆˆ()ˆˆˆ(cos )ˆˆˆ()ˆˆˆ(021*******12211=-=-=++-⋅+-=⋅=++-=+-=θθa a k j i a k j i a a a a a kj i a a kj i a a 5.解：对于（110）面：2a 2a a 2S =⋅=所包含的原子个数为2，所以面密度为22a2a22=对于（111）面：2a 2323a 22a 2S =⨯⨯= 所包含的原子个数为2，所以面密度为223a34a 232=8.证明：ABCD 是六角密堆积结构初基晶胞的菱形底面，AD=AB=a 。
固体物理第1章 参考答案
第一章 参考答案1体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子，试证明之。
证：体心立方格子的固体物理学原胞（Primitive cell ）的三个基矢是)(2),(2),(2321→→→→→→→→→→→→-+=+-=++-=k j i a a k j i a a k j i a a ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+=+=+==⨯⋅=ΩΩ⨯=Ω⨯=Ω⨯=→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→)(2)(2)(22122,2:3213321213132321j i a b i k a b k j ab aa a a a ab a a b a a b ππππππ定义它们是倒点阵面心立方的三个基矢。
2 对六角密堆积结构固体物理学原胞基矢如→→→→→→→→=+-=+=kc a ja i a a j a i a a 321232232求倒格子基矢。
解：;,213→→→⊥a a a→→→→→→→→+-=+===ja i a a ja i a a a a a 2322322121)33(32)32(22332123213→→→→→→→→→→→→+=+Ω=Ω⨯==⨯⋅=Ω=j i aac a i ac j a a b ca aa a a kc a πππ ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=Ω⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=→→→→→j i a a a b 3332/2132ππ→→→→=Ω⎪⎭⎫⎝⎛⨯=kc a a b ππ2/22133求解简单立方中晶面指数为(hkl)的晶面簇间距。
解：正格子基矢是 →→→→→→===k a c j a b i a a ,,令 为相应的倒基矢→→→***,,c b a21222***,,3***)()()(2222)(222-→→→→→→→→→→→→→→→→→⎥⎦⎤⎢⎣⎡++==++=++==⨯⋅=Ω===a l a k ahK d kl a j k a i h a c l b k a h K a c b a kac j ab i aa hklnkl l k h πππππππ4 试证明六角密集结构中c/a=如图所示，ABC 分别表示六角密排结构中三个原子，D 表示中心的原子。
固体物理课后习题答案
(
)
⎞ 2π k⎟= −i + j + k 同理 ⎠ a
(
)
(
)
(
)
2π ⎧ ⎪b1 = a −i + j + k ⎪ 2π ⎪ i− j+k ⎨b 2 = a ⎪ 2π ⎪ ⎪b3 = a i + j − k ⎩
(
)
(
)
(
)
由此可得出面心立方格子的倒格子为一体心立方格子； 所以体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。 2.2 在六角晶系中，晶面常用四个指数（hkil）来表示，如图 所示，前三个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成 1200的 共面轴 a1 , a2 , a3 上的截距为
设两法线之间的夹角满足
K 1 i K 2 = K1 i K 2 cos γ
K 1iK 2 cos γ = = K1 i K 2 2π 2π (h1 i + k1 j + l1 k )i (h2 i + k2 j + l2 k ) a a 2π 2π 2π 2π (h1 i + k1 j + l1 k )i (h1 i + k1 j + l1 k ) i (h2 i + k2 j + l2 k )i (h2 i + k2 j + l2 k ) a a a a
a1 a2 a3 , , ，第四个指数表示该晶面 h k i
在六重轴c上的截距为
c 。证明： l
i = −(h + k )
并将下列用（hkl）表示的晶面改用（hkil）表示：
2
第一章 晶体的结构
( 001) , (133) , (110 ) , ( 323) , (100 ) , ( 010 ) , ( 213) .
固体物理 课后答案
第一章、晶体的结构习题1．以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密度分别为：（1）简立方，6π; （2）体心立方, ;83π（3）面心立方，;62π（4）六角密积，;62π（5）金刚石结构，;163π[解答]设想晶体是由刚性原子球堆积而成，一个晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致密度，设n为一个晶胞中的刚性原子球数,r表示刚性原子球半径，V表示晶胞体积，则致密度ρ=Vrn334π（1）对简立方晶体，任一个原子有6个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.2所示，中心在1，2，3，4处的原子球将依次相切，因为,,433aVra==面1.2 简立方晶胞晶胞内包含1个原子，所以ρ=6)(33234ππ=aa（2）对体心立方晶体，任一个原子有8个最近邻，若原子刚性球堆积，如图1.3所示，体心位置O的原子8个角顶位置的原子球相切，因为晶胞空间对角线的长度为,,433aVra==晶胞内包含2个原子，所以ρ=ππ83)(*2334334=aa图1.3 体心立方晶胞（3）对面心立方晶体，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图 1.4所示，中心位于角顶的原子与相邻的3个面心原子球相切，因为3,42a V r a ==，1个晶胞内包含4个原子，所以ρ=62)(*4334234ππ=a a .（4）对六角密积结构，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1。
5所示，中心在1的原子与中心在2，3，4的原子相切，中心在5的原子与中心在6，7，8的原子相切，图 1.5 六角晶胞 图 1.6 正四面体晶胞内的原子O 与中心在1，3，4，5，7，8处的原子相切，即O 点与中心在5，7，8处的原子分布在正四面体的四个顶上，因为四面体的高h =223232c r a == 晶胞体积 V = 222360sin ca ca =, 一个晶胞内包含两个原子，所以ρ=ππ62)(*22233234=ca a .（5）对金刚石结构，任一个原子有4个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.7所示，中心在空间对角线四分之一处的O原子与中心在1，2，3，4处的原子相切，因为,8 3r a=晶胞体积3aV=,一个晶胞内包含8个原子，所以ρ=163)83(*83334ππ=aa.2．在立方晶胞中，画出（102），（021），（122-），和（201-）晶面。
固体物理(严守胜编著)-课后标准答案--第章
固体物理(严守胜编著)-课后答案--第章————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：23 1.1对于体积V 内N 个电子的自由电子气体，证明（1）电子气体的压强()()V p 032ξ⨯=，其中0ξ为电子气体的基态能量。
（2）体弹性模量()V p V K ∂∂-=为V9100ξ 解：（1）()32352225223101101-==V N m h V m k h F πππξ（1.1.1）()()()()()V V Nm h V N m h V N m h V V p 0353522235352223235222323101323231013101ξππππππξ⨯==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂-=---（1.1.2） （2）()()()()VV N m h V N mh V V N m h VVV p V K 9103101910353101323101320383522238352223535222ξππππππ==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=∂∂-=---（1.1.3）1.2 He 3原子是具有自旋1/2的费米子。
在绝对零度附近，液体He 3的密度为0.081g •cm -3。
计算费米能量F ε和费米温度F T 。
He 3原子的质量为g m 24105-⨯≈。
解：把 He 3原子当作负电背景下的正电费米子气体. Z=1.328322241062.11062.1105081.01m cm m Z n m ⨯=⨯=⨯⨯==--ρ（1.2.1） ()1917312108279.7108279.73--⨯=⨯==m cm n k F π（1.2.2）()eVJ m k F F 42327293422102626.41080174.6100.52108279.710055.12----⨯=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==ηε （1.2.3）K k T B F F 92.410381.1106.801742323=⨯⨯==--ε（1.2.4）4 1.3低温下金属钾的摩尔电子热容量的实验测量结果为1108.2--⋅=K mol TmJ C e ，在自由电子气体模型下估算钾的费米温度F T 及费米面上的态密度()F g ε。
固体物理答案
第一章 晶体结构1.1、（1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 374.062)r 22(r 344a r 344x 3333≈π=π⨯=π⨯= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个 74.062r224r 346x 33≈π=π⨯= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 334.063r 338r 348a r 348x 33333≈π=π⨯=π⨯=1.3证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩r r r r r rr r r由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=⨯Ωr r r31230,,22(),0,224,,022a a a a a a a a a a Ω=⋅⨯==r r rQ ，223,,,0,()224,,022i j ka a a a a i j k a a ⨯==-++r rr r r r r r213422()()4a b i j k i j k a aππ∴=⨯⨯-++=-++r r rr r r r同理可得：232()2()b i j k ab i j k aππ=-+=+-r r r r r r r r 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。
固体物理第1.参考答案与解析
第一章 参考答案1体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子，试证明之。
证：体心立方格子的固体物理学原胞（Primitive cell ）的三个基矢是)(2),(2),(2321→→→→→→→→→→→→-+=+-=++-=k j i a a k j i a a k j i a a ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+=+=+==⨯⋅=ΩΩ⨯=Ω⨯=Ω⨯=→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→)(2)(2)(22122,2:3213321213132321j i a b i k a b k j ab aa a a a ab a a b a a b ππππππ定义它们是倒点阵面心立方的三个基矢。
2 对六角密堆积结构固体物理学原胞基矢如→→→→→→→→=+-=+=kc a ja i a a j a i a a 321232232求倒格子基矢。
解：;,213→→→⊥a a a→→→→→→→→+-=+===ja i a a ja i a a a a a 2322322121)33(32)32(22332123213→→→→→→→→→→→→+=+Ω=Ω⨯==⨯⋅=Ω=j i aac a i ac j a a b ca aa a a kc a πππ ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=Ω⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=→→→→→j i a a a b 3332/2132ππ→→→→=Ω⎪⎭⎫⎝⎛⨯=kc a a b ππ2/22133求解简单立方中晶面指数为(hkl)的晶面簇间距。
解：正格子基矢是 →→→→→→===k a c j a b i a a ,,令 为相应的倒基矢→→→***,,c b a21222***,,3***)()()(2222)(222-→→→→→→→→→→→→→→→→→⎥⎦⎤⎢⎣⎡++==++=++==⨯⋅=Ω===a l a k ahK d kl a j k a i h a c l b k a h K a c b a kac j ab i aa hklnkl l k h πππππππ4 试证明六角密集结构中c/a=如图所示，ABC 分别表示六角密排结构中三个原子，D 表示中心的原子。
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1.1对于体积V 内N 个电子的自由电子气体，证明（1）电子气体的压强()()V p 032ξ⨯=，其中0ξ为电子气体的基态能量。
（2）体弹性模量()V p V K ∂∂-=为V100ξ 解：（1）()32352225223101101-==V N m h V m k h F πππξ（1.1.1）()()()()()V V Nm h V N m h V N m h V V p 035352223535222323522223101323231013101ξππππππξ⨯==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂-=---（1.1.2） （2）()()()()VV N m h V N mh V V N m h VVV p V K 103101910353101323101320383522238352223535222ξππππππ==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=∂∂-=---（1.1.3）1.2 He 3原子是具有自旋1/2的费米子。
在绝对零度附近，液体He 3的密度为0.081g •cm -3。
计算费米能量F ε和费米温度F T 。
He 3原子的质量为g m 24105-⨯≈。
解：把 He 3原子当作负电背景下的正电费米子气体. Z=1.328322241062.11062.1105081.01m cm m Z n m ⨯=⨯=⨯⨯==--ρ（1.2.1） ()1917312108279.7108279.73--⨯=⨯==m cm n k F π（1.2.2）()eVJ m k F F 42327293422102626.41080174.6100.52108279.710055.12----⨯=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯== ε （1.2.3）K k T B F F 92.410381.1106.801742323=⨯⨯==--ε（1.2.4）1.3低温下金属钾的摩尔电子热容量的实验测量结果为1108.2--⋅=K mol TmJ C e ，在自由电子气体模型下估算钾的费米温度F T 及费米面上的态密度()F g ε。
解：()F B A F B A V A e T T k N n T Tnk N n C N C 2222ππ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==（1.3.1）K TT C T k N T e B AF 332322321073.191008.210381.1210022.62⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==--ππ（1.3.2）()31463233281071.71073.1910381.1104.1232323----⨯=⨯⨯⨯⨯===m J m T k n n g F B F F εε（1.3.3）1.4铜的密度为395.8g m =ρ。
室温下的电阻率为cm ⋅Ω⨯=-61055.1ρ。
计算 （1）导电电子浓度； （2）驰豫时间；（3）费米能量F ε，费米速度F v ； （4）费米面上电子的平均自由程F l 。
（5）等离子体的振荡频率ωp. 解： （1）322231048.8546.6395.8110022.6-⨯=⨯⨯⨯==cm A Z N n m Aρ（1.4.1）（2）()()()s ne m ne m 14262196223122107.2101055.110602.1101048.810110.9-----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯===ρστ（1.4.2）（3）()()11018312223121036.11036.11048.833--⨯=⨯=⨯⨯==m cm n k F ππ（1.4.3）()eVJ m k F F 05.71013.11011.921036.110055.1218312103422=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==--- ε（1.4.4）()s m m k v F F 63110341057.11011.91036.110055.1⨯=⨯⨯⨯⨯==--（1.4.5）（4）m v l F 81461025.4107.21057.1--⨯=⨯⨯⨯==τ （1.4.6） （5）等离子体的振荡频率Hzm ne ep 16021064.1⨯==εω.1.5考虑一在球形区域内密度均匀的自由电子气体，电子系统相对于等量均匀正电荷背景有一小的整体位移。
证明在这一位移下系统是稳定的，并给出这一小振动问题的特征频率。
解：（仅供参考）()2102201cos 2θk k k k k ∆+∆+=（1.5.1）E k ∆ 0k 1k偶极矩强度为：()()()()()()()θθθθθπθθθπθθθπθθθπθθϕθππππππd cos sin cos 2cos 2d cos sin d cos sin d cos sin d 4cos 2d d d sin 2002022020202021221204041203202021010⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∆+∆∆+∆++-=-+-=--=-=-=k k k k k k k kne k kk k ne k k ne k k ne k k k ne P k k k k（1.5.2）取近似，忽略k ∆的2阶以上无穷小量knek knek k nek k k k ne P ∆-=∆=∆=∆⨯-=⎰⎰3020330203020020343cos 4d cos sin cos 4d cos sin cos 22πθπθθθθπθθθθππππ（1.5.3） 电极化强度为kne V k nek V P∆-=∆-==3034p π（1.5.4）位移电子受到的电场为00εεkne pE ∆=-=（1.5.5）在此电场下，电子受力指向平衡位置，大小正比于位移。
所以，电子在平衡位置作微小振动。
特征频率为mne p 02εω=（1.5.6）1.6在什么波长下，对于电磁波辐照，金属Al 是透明的？ 解：金属的等离子体的振荡频率为 当p ωωωτ>>>,1时，金属是透明的。
2ne m στ=（1.6.1）1621210101.51≈⨯==>>σστωm ne（1.6.2）()1631122192802104.21011.910854.810602.1101.18⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==>---m ne p εωω（1.6.3）nm m c 5.781085.72104.210328168=⨯=⨯⨯<=-ππωλ（1.6.4）波长小于78.5nm 时，金属Al 是透明的。
1.7对于自由电子气体，证明电阻率张量的对角元在外加磁场时不发生变化，即横向磁阻为零。
解：()0d d =+⨯+-=τp B v E e t p时（1.7.1）JB J m e E +⨯=τσ0（1.7.2） 分量式()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=+-=+-=z x y y x z yz x x z y x y z z y x J B J B J m e E J B J B J m e E J B J B J m e E τστστσ000 （1.7.3） []J E ρ=（1.7.4）[]⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1110xyx zy z B B B B B B m e στρ（1.7.5）从上式可以看出电阻率张量的对角元在外加磁场时不发生变化，所以横向磁阻)0()()0(xx xx xx B ρρρ-为零。
1.8对于表面在z=0和z=L 之间的金属平板，假定表面相当于一无穷高的势垒， （仅供参考）（1）证明单电子波函数比例于()[]y k x k i z k y x z +ex p sin（2）证明在金属内r 处的电荷密度为 ()()[]u j r 1031-=ρρ其中z k u F 2=，0ρ是波函数比例于()[]z k y k x k i z y x ++ex p 时的电荷密度，1j 是一级球贝塞尔函数。
解：（1）0222=+∇E ΨΨm（1.8.1） 解得()()()z ik zik yik yik x ik x ik z z y y x x De eCeeBe e A Ψ---+++=（1.8.2）在x 、y 方向是自由空间，所以，0==C B 。
⎩⎨⎧><∞<<=L z z L z V ,000（1.8.3）⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=+=+∴-πn L k D De e D z L ik L ik z z1001 （1.8.4） ()()[]y k x k i z k A Ψy x z +'=ex p sin（1.8.5）其中A i A 2='在z 方向取归一化条件()()()1242sin 2d 22cos 1d sin d 202020220*='=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-'=-'='=⎰⎰⎰L A k z k L A z z k A zz k A z ΨΨL zz Lz Lz L（1.8.6） 所以L A 2='（1.8.7）()()[]y k x k i z k L Ψy x z +=ex p sin 2（1.8.8）（2）()()[]()()[]()()()()()()()()()()z k Lz z k k Lz k L k kz z k k Lz k L kz z k L k L k kz z k L k L k kz zk L k L k k kz Lk L k k kz Lk k L k k kz Lk k z k Lk k y k x k i z k LF F F F k F F F k F k F k F k F k k k k z k y x z F F F F F F F F F F2sin 22cos 34d 2cos 2cos 342cos d 2234d 2sin 234d cos 2sin 2234d cos d cos 2cos 234d d sin cos 2cos 2d d sin 2d d sin cos 2cos 12d d sin sin 4d d d sin exp sin 232302302303003002300200200200222022πππππππππθππθθππθθθπθθπθθθπθθπϕθθρππππππππ-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+=-=+=+=-=-==+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（1.8.9）()[]30022022034d d sin 2d d d sin exp 1F k k z y x k Lk k L k k z k y k x k i LF Fπθθπϕθθρπππ==++=⎰⎰⎰⎰⎰（1.8.10）()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=3203322032330sin cos 312sin 832cos 4312sin 22cos 3434u u u u z k k z z k k z z k Lz z k k Lz k L k L F F F F F F F F Fρρππππρρ（1.8.11）。