《数学实验》实验报告——迭代法

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观察序列，并且判断极限。 Mathematica 程序如下：
当 x0=0.1，n=10 时,运行程序得
当 x0=0.5，n=10 时,运行程序得
当 x0=0.9，n=10 时,运行程序得
当 x0=1，n=10 时,运行程序得
实验结论:
１０
由以上实验可得，函数 f(x)=x/2+1/x 的极限为 1.41421
《数学实验》实验报告
班级 实验 内容 **** 学号 **** 姓名 实验 类别 **** 成绩 实验 时间
迭代法
自选实验
2011.6.7
实验问题：
n 元线性方程组
a11 x1 a12 x 2 a1 n xn 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n am 1 x1 am 2 x 2 amn xn 0
其中，f[x_]:=为所求迭代函数，迭代n次产生相应是序列，并观察。
（3）线性方程组的迭代求解 对给定的矩阵 M、 数组 f 和初始向量 x0， 由 X^(n+1)=Mx^n+f,n=0,1,2,3……给定的结 果 其 Matheatica 程序如下：
２
实验过程:
1．迭代序列 （ 1 ） 给 定 的 实 数 域 上 光 滑 的 实 值 函 数 f(x) 以 及 初 值 x0, 定 义 数 列 x(n+1)=f(x0),n=0,1,2,3,……. 对函数 f(x)= (25*x - 85)/(x + 3)的迭代过程，可以形象地用蜘蛛网图像来直观地显示，运 行以下程序：
2．方程求根
用迭代序列求 g(x)=x^3-2*x+1 的根，其 matheatic 程序如下：
当 x0=0.1，n=10 时,运行程序得
当 x0=0.5，n=10 时,运行程序得 当 x0=1.0，n=10 时,运行程序得
当 x0=1.5，n=10 时,运行程序得
当 x0=2.5，n=10 时,运行程序得
３
(2)以下是给定初值 x0 为 5.0
得到函数 f(x)=(25*x-85)/(x+3)的蜘蛛网图 如图：
４
(3)以下给定初值 x0 是 5.5
得到函数 f(x)=(25*x-85)/(x+3)的蜘蛛网图 如图：
５
(4)以下给定初值 x0 是 10
得到函数 f(x)=(25*x-85)/(x+3)的蜘蛛网图
பைடு நூலகம்实验目的：
（1）了解、掌握迭代法并且会熟练运用迭代法。 （2）通过多个实例研究知道的迭代数列的收敛性，比较多次实验的结果，继而得出相应结 论。 （3）通过理论知识以及多个实例，结合目的(2)学习线性方程组的迭代求解，通过多次举例 实验得出相应结论。 （4）同目的(3)类似学习非线性方程组的迭代求解，同样通过理论实例得出相应结论。
问题分析：
本实验通过给定的一个实数域上光滑的实值函数 f(x)以及一个初值 X0，之后，将 X0 代入所给的 f(x)得到一个函数值 f(x0)记为 X1;再将得到的 X1 代入函数 f(x)中得到 f(x1), 记为 X2;将 X2 代入 f(x)中得到 f(x2)记为 X3,再将 X3 代入函数 f(x)…….. 重复上述过程， 当将 Xn 代入 f （x） 中得到 Xn+1 即 Xn+1=f(Xn)。 其中{Xn} （n=0 1 2 3 ..） 为 f(x)的一个迭代序列。通过得到的迭代序列{Xn}，可以了解迭代序列{Xn}的敛散性：当 n 趋向无穷大时，如果{Xn}收敛于某个 X*，则得到 X*=f(X*),即：X*为 X=f(X)的解。 由以上理论支撑就可以利用迭代法求解某个方程的根继而就可以求解线性方程组的 解、非线性方程组的解。 求解线形方程时,线形方程组的系数矩阵 A 的行列式非零时方程组有唯一解，将方程组 改写成 x=Mx+f 的形式（f 为 n 阶矩阵，f=（f1,f2,……,fn）T 是 n 维列向量，给定 x0,由迭 代方程 X^(n+1)=M*X^n+f,n=0,1,2,….. 确定向量序列 x^n, 如果 x^n 收敛至向量 x*, 则有
当 x0=15，n=50 时,运行程序得
当 x0=22，n=100 时,运行程序得
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由以上实验可得，函数 g(x)=x^3-2*x+1 收敛到 1
实验结论：
由所给 x0 代入方程 g(x)=x^3-2*x+1 得到 x1, 再将得到的 x1 代入方程 g(x)=x^3-2*x+1 得 到 x2 ， 再 将 得 到 的 x2 代 入 方 程 g(x)=x^3-2*x+1 得 到 x3….. 重 复 上 述 过 程 得 到 x1,x2,x3,x4…..如果 x1,x2,x3,x4…..收敛到 x，则 x 即 为方程的根，如果 x1,x2,x3,x4…..不收 敛，则换初始值重复上述过程即可，直到得出收敛的 x.
６
如图：
(5)以下给定初值 x0 是 16
得到函数 f(x)=(25*x-85)/(x+3)的蜘蛛网图
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如图：
(6)以下给定初值 x0 是 17
得到函数 f(x)=(25*x-85)/(x+3)的蜘蛛网图
８
如图：
实验验证：
(1)程序如下：
运行结果:
实验结论
(1):当初始值 x0 在 5.0~17.0 之间时，都可通过迭代法得知蜘蛛网均落在两直线之间（即收 敛） ，而当初始值 x0 落在 5.0~17.0 之外时其蜘蛛网落在两直线之外(即发散)。 (2) 对给定的初值 x0 及迭代函数 f(x)=x/2+1/x,迭代 n 次产生相应的序列，
１
x*=Mx*+f,即 x*为方程组的解。 求解非线性方程组时，其可能有很多解，求解过程同求解线性方程组类似。
实验步骤：
(1)方程求根 用迭代序列求解，其编写程序如下：
其中，f[x_]:=所给方程， x0为所给初始值（x0应该给多组，用不同的初始值代入所给 函数，观察其结果。 （2）迭代序列的极限 用迭代序列求解，其编写程序如下：
3.线性方程组的迭代求解
给定一个 n 元线性方程组
a11 x1 a12 x 2 a1 n xn 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n am 1 x1 am 2 x 2 amn xn 0