故障树分析
故障树分析法
什么是故障树分析法故障树分析（FTA）技术是美国贝尔电报公司的电话实验室于1962年开发的，它采用逻辑的方法，形象地进行危险的分析工作，特点是直观、明了，思路清晰，逻辑性强，可以定性分析，也可以做定量分析。
体现了以系统工程方法研究安全问题的系统性、准确性和预测性，它是安全系统工程的主要分析方法之一。
一般来讲，安全系统工程的发展也是以故障树分析为主要标志的。
1974年美国原子能委员会发表了关于核电站危险性评价报告，即“拉姆森报告”，大量、有效地应用YFTA，从而迅速推动了它的发展。
什么是故障树图（FTD）故障树图（或者负分析树）是一种逻辑因果关系图，它根据元部件状态（基本事件）来显示系统的状态（顶事件）。
就像可靠性框图（RBDs），故障树图也是一种图形化设计方法，并且作为可靠性框图的一种可替代的方法。
一个故障树图是从上到下逐级建树并且根据事件而联系，它用图形化"模型"路径的方法，使一个系统能导致一个可预知的，不可预知的故障事件（失效），路径的交叉处的事件和状态，用标准的逻辑符号（与，或等等）表示。
在故障树图中最基础的构造单元为门和事件，这些事件与在可靠性框图中有相同的意义并且门是条件。
故障树和可靠性框图（RBD）FTD和RBD最基本的区别在于RBD工作在"成功的空间"，从而系统看上去是成功的集合，然而，故障树图工作在"故障空间"并且系统看起来是故障的集合。
传统上，故障树已经习惯使用固定概率（也就是，组成树的每一个事件都有一个发生的固定概率）然而可靠性框图对于成功（可靠度公式）来说可以包括以时间而变化的分布，并且其他特点。
故障树分析中常用符号故障树分析中常用符号见下表:技降树分析中常用符号售件符号）符号名称定义©:与门患示仅当所膏锦人李祥发生M ，黯出事伴才发生Mh或门表示至少一4幅欢事伴发生时，鼎W 事件就发生6非门表示输出多作足鞠人事件的酎立第祚「门表洪门表示忸当n 个铺人事件中有k 梯k 并磅上的L 事作淀叟时，辅四事俸才爱生«fthA_推序与n 表示仅当输小孝怦按规定的顺序发生忖，标 出事祚才发生L PC ・…L ）巡 TT 耳门舜用:集或门表示仅当单个辅人李件发生忖，翱出事件才会______ （二pO —）T 燃r 】学门表示仅当条件送生忖输为事件的发生方导敢谢 出事件的发生AA相同隹椁拜号同缝塔明F 浦的惶或，除向用轼引字母人于《 V代玲相同仲浦声号iTtiv*r、^加7革……X”吆■相似隹喀符号用用指明用似于眼的位部 转向和彼此\/ X M . ■» KX字田代号用冏，事作的标垮不团4GM 用制果蛙蚪就故障树分析法的数学基础1.数学基础（1）基本概念 集:从最普遍的意义上说，集就是具有某种共同可识别特点的项（事件）的集合。
故障树分析
故障树分析故障树分析是一种用于系统安全性和可靠性评估的方法。
它是一种图形化工具，用于识别系统中可能导致故障发生的根本原因和相关因素，并评估这些故障的概率。
故障树分析依靠逻辑关系和概率计算，能够帮助工程师们更好地了解和改进系统的可靠性，从而减少故障的发生。
故障树分析的基本原理是将系统故障看作是一系列事件的组合。
在故障树分析中，故障可以被看作是一个系统灾难的最终结果。
而故障树则是从故障结果向上追溯故障发生的事件和条件的逻辑图。
这些事件和条件被称为基本事件，它们是系统中最小的可独立发生的故障现象。
故障树分析的核心思想是通过将系统故障拆解成各个基本事件，并根据这些基本事件之间的逻辑关系构建故障树，从而得到系统故障发生的概率。
故障树的构建过程是一个逆向的过程，从最终故障结果反向推导出可能导致故障发生的原因和条件。
通过对故障树的分析，可以识别出导致故障发生的关键事件，进而提出相应的改进措施。
在进行故障树分析时，需要进行以下几个步骤：1. 确定故障模式：故障模式是故障树分析的起点，它描述了可能发生的故障类型以及与之相关的因素。
通过对系统的历史故障数据和专家经验的分析，可以确定系统中可能存在的故障模式。
2. 确定顶事件：顶事件是故障树分析的终点，它描述了最终故障结果。
通过对系统设计和运行条件的分析，以及对顶事件的定义，可以识别出系统中可能发生的最终故障结果。
3. 确定基本事件：基本事件是故障树的组成部分，它描述了导致故障发生的最小故障现象。
基本事件是通过对故障模式和顶事件的分析，确定可能导致故障发生的条件和事件。
4. 构建故障树：根据顶事件和基本事件之间的逻辑关系，构建故障树的结构。
故障树使用逻辑门（如与门、或门、非门）表示事件之间的关系。
通过逻辑门的组合和连接，可以得到导致故障发生的组合逻辑。
5. 计算概率：通过概率计算的方法，计算故障树中各个事件的发生概率。
概率计算可以使用布尔代数、概率论等方法进行。
6. 分析故障树：通过对故障树的分析，可以识别出导致故障发生的关键事件。
故障树分析法
故障树分析法故障树分析法是一种常用的系统分析工具，用于分析和解决系统故障问题。
它是基于树状结构的逻辑推理方法，通过将系统故障现象从根本原因向下逐步细分，最终找出故障产生的根源，从而提供有效的解决方案。
故障树分析法由冯·邓明、吕培堂等人提出，旨在解决复杂的系统故障问题。
它借鉴了概率论、逻辑学和数学统计学等学科的理论和方法，通过建立故障树模型，分析系统故障的发生概率和故障根本原因，以便进行故障预防和改进工作。
故障树分析法的基本思想是通过对系统故障事件的分析，找出导致故障的基本事件和事件之间的逻辑关系，进而构建起一个全面而准确的故障树模型。
在故障树中，根事件表示系统的故障事件，中间事件表示造成故障事件的基本事件，而最底层的事件则是导致基本事件发生的可能性事件。
在进行故障树分析时，首先需要明确系统故障的范围和目标，然后收集相关的故障数据和现象，建立故障树模型，并进行逻辑推导和计算分析。
通过对故障树模型的分析，可以找出导致故障的主要因素和关键环节，进而制定相应的故障排除和改进措施，以提高系统的稳定性和可靠性。
在实际应用中，故障树分析法通常与其他分析方法相结合，如故障模式和影响分析法、追溯分析法等。
通过多种方法的综合应用，可以更全面地了解系统故障的性质和根本原因，并提出科学合理的解决方案。
总之，故障树分析法是一种有效的系统分析工具，可以帮助我们找出故障的根源并提供解决方案。
在实际应用中，我们需要熟练掌握故障树分析的基本原理和方法，结合实际情况进行具体分析。
通过不断改进和完善故障树模型，提高系统的可靠性和稳定性，从而确保系统正常运行。
故障树分析法作为一种重要的系统工具，将在各行各业发挥重要作用。
故障树分析法(FTA)
故障树分析法（FTA）故障树分析法(Fault Tree Analysis，简称FTA)，就是在系统（过程）设计过程中，通过对可能造成系统故障的各种因素(包括硬件、软件、环境、人为因素等)进行分析，画出逻辑框图(即故障树)，从而确定系统故障原因的各种可能组合及其发生概率，以计算系统故障概率，采取相应的纠正措施，提高系统可靠性的一种设计分析方法。
故障树分析主要应用于1.搞清楚初期事件到事故的过程，系统地图示出种种故障与系统成功、失败的关系。
2.提供定义故障树顶未卜事件的手段。
3.可用于事故（设备维修）分析。
故障树分析的基本程序1.熟悉系统：要详细了解系统状态及各种参数，绘出工艺流程图或布置图。
2.调查事故：收集事故案例，进行事故统计，设想给定系统可能发生的事故。
3.确定顶上事件：要分析的对象即为顶上事件。
对所调查的事故进行全面分析，从中找出后果严重且较易发生的事故作为顶上事件。
4.确定目标值：根据经验教训和事故案例，经统计分析后，求解事故发生的概率(频率)，以此作为要控制的事故目标值。
5.调查原因事件：调查与事故有关的所有原因事件和各种因素。
6.画出故障树：从顶上事件起，逐级找出直接原因的事件，直至所要分析的深度，按其逻辑关系，画出故障树。
7.分析：按故障树结构进行简化，确定各基本事件的结构重要度。
8.事故发生概率：确定所有事故发生概率，标在故障树上，并进而求出顶上事件(事故)的发生概率。
9.比较：比较分可维修系统和不可维修系统进行讨论，前者要进行对比，后者求出顶上事件发生概率即可。
10.分析：原则上是上述10个步骤，在分析时可视具体问题灵活掌握，如果故障树规模很大，可借助计算机进行。
目前我国故障树分析一般都考虑到第7步进行定性分析为止，也能取得较好效果附：故障树分析程序（国家标准）GB7829—87国家标准局1987—06—03批准 1988—01—01实施1 总则1．1 目的故障树分析是系统可靠性和安全性分析的工具之一。
第8章故障树分析
故障树分析的步骤： 1. 建立故障树
故障树建树方法主要有三种：演绎法、合 成法、决策表法。其中第一种方法用于手 工建树，其他两种方法用于计算机辅助建 树。手工建树按如下步骤进行：
选择和确定顶事件。 自上而下地建立故障树
2. 建立故障树的数学模型 对于单调关联系统，顶事件是底事件的 函数。
解：
Top
事件M1发生的概率为： P（M1）= P(X1)P(X2) = 0.04 × 0.02 = 0.0008
M1
X3
顶事件发生的概率为：
P(Top) = 1 – ( 1 – 0.0008) × (1 – 0.01) X1 X2
= 0.010792
系统的可靠度为：
结构重要度
结构重要度表明了零部件在系统结构上的重要度，与零部件本身的失 效概率没有关系。通常由如下公式计算底事件的结构重要度：
Ii
1 2n1
n (xi
1) n (xi
0)
上式中n系统零部件总数，n (xi 1) 表示部件i失效时系统失效的状
态数， n (xi 0) 表示部件i完好时系统失效的状态数。
系统故障树结构函数T=x2x3+x1; 系统失效概率函数：
此处Xi的含义不 同
F(t)=P(T)=P(x2x3+x1)=x2x3 + x1 - x2x3x1 ; 各元件概率重要度：
I1pr
F x1
1
x2 x3
0.9827
I pr 2
F x2
x3
x1x3
0.2345
1970年代利用FTA法作系统分析得到迅速发展， 成为航天、核能、化工等部门对可靠性、安全性 有特别要求的系统不可缺少的分析方法。
故障树分析法
它可作定性评价，也可定量计算系统的故障概率及可靠性， 为改善评价系统安全性和可靠性提供定量分析依据。
它是图形化的技术资料，具有直观性。
二、事故树分析程序
1.准备阶段
➢ 确定所要分析的系统。合理地处理好所要分析系统与外界 环境及其边界条件，所分析系统的范围、明确影响系统安 全的主要因素。j 1 x 源自 p j（四）事故树定量分析
4）近似计算方法
在事故树分析中，若系统包括的逻辑门和基本事件达到数 百个或更多，其分析和计算都较困难，此时，可使用近似 的计算方法。近似算法有多种，现概要介绍3种：
（1）首项近似法 （2）平均近似法
r
Q(T)F1 qi j1 xiKj
Q(T) F1 12F2
常用逻辑门及其符号
事故树分析法
建造事故树时的注意事项：
事故树反映出系统故障的内在联系和逻辑关系， 同时能使人一幕了然，形象地掌握这种联系与关系， 并据此进行正确的分析。
1.熟悉分析系统：建造事故树由全面熟悉开始。必 须从功能的联系入手，充分了解与人员有关的功能， 掌握使用阶段的划分等与任务有关的功能，包括现 有的冗余功能以及安全、保护功能等。
其得分，按其得分多少，排出结构重要度的顺序。
例：某事故树最小割集：K1={x5,x6,x7,x8}; K2={x3,x4}; K3={x1}; K4={x2},试确定各基本事件的结 构重要度。
C.利用最小割集确定基本事件重要系数的几个近似计 算公式
➢ 若当最小割集确定后，则可依据下述几个公式求出 某基本事件的结构重要度系数，然后依据其系数值 的大小进行排列。
（三）事故树定性分析
故障树分析法（FTA）
故障树分析法（FTA）故障树分析法（FTA）故障树分析法(Fault Tree Analysis，简称FTA)，就是在系统（过程）设计过程中，通过对可能造成系统故障的各种因素(包括硬件、软件、环境、⼈为因素等)进⾏分析，画出逻辑框图(即故障树)，从⽽确定系统故障原因的各种可能组合及其发⽣概率，以计算系统故障概率，采取相应的纠正措施，提⾼系统可靠性的⼀种设计分析⽅法。
故障树分析主要应⽤于1.搞清楚初期事件到事故的过程，系统地图⽰出种种故障与系统成功、失败的关系。
2.提供定义故障树顶未⼘事件的⼿段。
3.可⽤于事故（设备维修）分析。
故障树分析的基本程序1.熟悉系统：要详细了解系统状态及各种参数，绘出⼯艺流程图或布置图。
2.调查事故：收集事故案例，进⾏事故统计，设想给定系统可能发⽣的事故。
3.确定顶上事件：要分析的对象即为顶上事件。
对所调查的事故进⾏全⾯分析，从中找出后果严重且较易发⽣的事故作为顶上事件。
4.确定⽬标值：根据经验教训和事故案例，经统计分析后，求解事故发⽣的概率(频率)，以此作为要控制的事故⽬标值。
5.调查原因事件：调查与事故有关的所有原因事件和各种因素。
6.画出故障树：从顶上事件起，逐级找出直接原因的事件，直⾄所要分析的深度，按其逻辑关系，画出故障树。
7.分析：按故障树结构进⾏简化，确定各基本事件的结构重要度。
8.事故发⽣概率：确定所有事故发⽣概率，标在故障树上，并进⽽求出顶上事件(事故)的发⽣概率。
9.⽐较：⽐较分可维修系统和不可维修系统进⾏讨论，前者要进⾏对⽐，后者求出顶上事件发⽣概率即可。
10.分析：原则上是上述10个步骤，在分析时可视具体问题灵活掌握，如果故障树规模很⼤，可借助计算机进⾏。
⽬前我国故障树分析⼀般都考虑到第7步进⾏定性分析为⽌，也能取得较好效果附：故障树分析程序（国家标准）GB7829—87国家标准局1987—06—03批准 1988—01—01实施1 总则1．1 ⽬的故障树分析是系统可靠性和安全性分析的⼯具之⼀。
故障树分析FTA
析的事件。
它表示省略事件，主要用于表示不必 菱形の枠 进一步剖析的事件和由于信息不足，
不能进一步分析的事件 。
ａ ａ FTA图示上表示关联部分的移动或者 (IN) (OUT) 三角形の是枠 连接。三角形顶上的线表示向此方
向移动，横向的表示横向移动。
X
表示出现所有输入现象时才会引起输
故障树分析 (Fault Tree Analysis)
何谓FTA？
原因
问题
原因
原因
• 一个问题不只有一个原因。
何谓FTA？
滑跤了
跌跤了
绊倒了
踩空了
何谓FTA？
原因
原因 = 问题
原因
原因
• 有时原因也是问题。 • 此外,对于问题也有很多的原因。
何谓FTA？
鞋底磨光
滑倒了 = 为什么滑倒了？
（※在原理上是摩擦 系数太小）
火种
起火 and
燃烧物
起火是因为有「火种」而且还有 「燃烧物」才会发生。
→双方只要一个不存在,就不会 发生「and」。
车祸 or
打瞌睡 速度太快
交通事故因「打瞌睡」发生,也会 因「速度太快」而发生。
→只要有一个存在,就会发生 「or」。
FMEA与FTA
目的 对象
重点 方法 输入 输出
FMEA 分析识别缺陷
故障树分析的基本程序
6.画出故障树: 从顶上事件开始，采取演绎分析方法，逐层 向下找出直接原因事件，直到所有最基本的事件为止。每 一层事件都按照输入（原因）与输出（结果）之间逻辑关 系用逻辑门连接起来。这样得到的图形就是事故树图。要 注意，任何一个逻辑门都有输入与输出事件，门与门之间 不能直接相连。初步编好的事故树应进行整理和简化，将 多余事件或上下两层逻辑门相同的事件去掉或合并。如有 相同的子树，可以用转移符号表示省略其中一个，以求结 构简洁、清晰。
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2）若集合 A 和 B 包含共同基本事件，则 A B A0 B
A0 —除去与集合 B 共有的基本事件后， A 集合中剩余的基本事件的集合。 3）若集合 A 和 C 包含共同基本事件，集合 B 和 C 也包含共同基本事件，则
A B C A0 B0 C A0 —除去与集合 C 共有的基本事件后， A 集合中剩余的基本事件的集合； B0 —除去与集合 C 共有的基本事件后， B 集合中剩余的基本事件的集合。 4）若集合 A 和 C 包含共同基本事件，集合 B 和 C 也包含共同基本事件，且 A B （ A 属于 B ），则
I
(1)
1 3
1 1
1 3
I
(2)
1 3
1 2
1 2
1 3
I
(3)
I
(4)
1 3
1 2
1 6
得到： I (1) I (2) I (3) I (4) 。显然该结果不符合实际情况。
该故障树的最小径集合为 (x1, x2 ) ， (x1, x3 , x4 ) 。则各基本事件的结构重要度：
系统安全 第六章 故障树分析
故障树分析的起源
美国贝尔实验室 H.A.Watson 民兵式导弹发射控制系统
美国贝尔实验室 A.B. Mearns 火箭偶发事故预测
美国波音飞机公司 Hassl 电子计算机进行辅助分析和计算
美国原子能委员会 拉马森报告
故障树实例
X8
X5
X1
X2
X3
X4
X7 X6
最小径集合：
(x1, x2 , x3 , x4 )
(x5 , x6 )
(x7 )
(x8 )
最小径集合求法-成功树
最小径集合：
(x1 , x2 ) (x1 , x3 , x4 )
T G1 G2 x1 x2 x1 x3 x4
T (x1 x2 ) (x1 x4 x3 )
顶事件发生概率
故障树与事件树
演绎分析法和归纳分析法 静态和动态 微观和宏观
故障树
故障树：
演绎地表示故障事件发生原因及其逻辑关系的逻辑 树图。
事件：
输入事件，输出事件； 顶事件，中间事件，基本事件。
逻辑门：
逻辑或门，逻辑与门，控制门，条件门。
FTA分析中的标准符号
顶事件/中间事件
省略符号
转移符号
最小割集合法
当故障树中，最小割集中无相同的基本事件（各最小割 集不相交），或基本事件数量少时，直接计算法是可行 的，也是可以理解的。当故障树复杂或最小割集中有相 同基本事件且其概率不可忽略时，计算比较复杂且易出 错。此时用最小割集进行计算比较合适。
在求出最小割集的基础上，把故障树顶事件表示为最小 割集中基本事件积之和的布尔表达式。计算的条件是基 本事件是相互独立的并且已知其发生的概率。若相当多 的基本事件不能估计或给出其概率时，则不宜进行定量 分析，只可进行定性分析。
故障树的简化
为了进行定量计算和处理共因事件，需对已建好 的故障树进行简化。
化简可依据上级事件发生的必要条件进行，也可 用布尔代数运算进行。
全为AND门时
运算： Z=A·E1=A·B·E2=A·B·C· D
全为OR门
运算： Z=A＋E1=A＋B＋E2=A＋B＋C＋D
有共因事件时的简化
（a）
T x1 x2 (x1 x3 )
P( p) [1 (1 p1 )(1 p2 )(1 p3 )(1 p4 )] [1 (1 p5 )(1 p6 )] p7 p8
布尔代数运算法则
幂 等 律 A+A=A A·A=A 加法交换律 A+B=B+A 乘法交换律 A·B=B·A 加法结合律 A+(B+C)=(A+B)+C 乘法结合律 A·(B·C)=(A·B)·C 加法分配律 A·B+A·C=A·(B+C) 乘法分配率 (A+B)·(A+C)=A+(B·C) 加法吸收律 A+(A·B)=A 乘法吸收律 A·(A+B)=A
最小割集合：其中任一基本事件不发生则顶事件
就不发生的割集合。 指明事故发生模式
径集合：其中基本事件都不发生则顶事件不发生的
基本事件集合。
最小径集合：其中任一基本事件不发生对保证顶
事件不发生都是必要的径集合。 指明预防事故途径
最小割集合求法
观察法 布尔代数法 行列法
最小割集合求法-观察法
基本事件
正常事件
转移符号
FTA分析中的标准符号
·
逻辑与门
+ 逻辑或门
控制门
条件门 条件门
故障树结构函数
用布尔代数表达故障树事件间的逻辑关系得到的 数学表达式。
用逻辑积表示逻辑与，记为 或 ·
用逻辑和表示逻辑或，记为 或 ＋
示例故障树的结构函数
T (X1 X2 X3 X4)•(X5 X6)• X7 • X8
S1 P(K J ) J 1
P ( K 1) P ( K 2 ) P ( K 3) P ( K 4) P ( X 1X 2) P ( X 1X 3) P ( X 2 X 3) P ( X 3 X 4 X 5) q1q 2 q3q1 q3q 2 q3q 4q5 0.000301
布尔代数运算法则
¤ 对偶法则
AB A B A B AB
¤ 对合法则
( A) A
¤ 重叠法则
A B A AB A B A AB
可靠性框图与FTA－串联模型
可靠度: R=R1.R2 不可靠度: F=F1+F2-F1F2
可靠性框图与FTA－并联模型
可靠度 R=R1+R2-R1.R2 不可靠度 F= F1F2
最小割集合求法-行列法
x1 , x1
T
G1 , G2
x1 , G2 x2 , G2
x1 , x3 x1 , x4 x2 , x1 x2 , x3
x1 x2 , x3 x2 , x4
x2 , x4
最小径集合求法
观察法 对偶故障树法（成功树）
最小径集合求法-观察法
X8
X7
X5
X6
X1
X2
X3
X4
计算示例：
设一故障树的最小割集是 :
X1, X 2,X1, X3,X 2, X3,X3, X 4, X5
则：k1 X1, X 2, k2 X1, X 3, k3 X 2, X 3, k4 X 3, X 4, X 5
设 基 本 事 件 X1,X2,X3,X4,X5 的 概 率 为 q1=q24=q3=q4=q5=0.01
Q
1 2
(S1
S1
S2 )
S1
1 2
S2
r
S1 p(k j ) j 1
n
k j
Xi
i 1
S 2
p (k ik j )
1 i j r
S1-是首项近似算式； r-是最小割集数； kj-是第j个最小割集的集合； Xi-第j个最小割集中第i个底事件； n-第j个最小割集中底事件的个数； S2-近似计算的第二项。
所以：
Q
S1
1 2
S2
0.00029949
不交化法
利用布尔代数运算法则使相交的，即相互统计不独立的最 小割集合（例如，同一基本事件在不同的最小割集合中出 现的情况）变为不交的，即相互统计独立且互斥的最小割 集合，然后按各最小割集合发生概率的代数和来计算顶事 件发生概率。
不交化法
1）若集合 A 和 B 不包含共同基本事件，则 A B 可以先按对偶法则将集合 A 变换后按重叠法则进行不
在故障树分析中常用的基本事件重要度有结构重要度、概 率重要度和临界重要度。
基本事件结构重要度
基本事件在最小割集合（或最小径集合）中出现的情况直 接反映了该基本事件的重要度：
在由较少基本事件组成的最小割集合（或最小径集合）中出现的 基本事件，其结构重要度较大；
在不同最小割集合（或最小径集合）中出现次数多的基本事件， 其结构重要度大。
0.1 (1 0.1) 0.2 0.4 (1 0.1) 0.2 0.3 (1 0.4) 0.2044
基本事件重要度
从可靠性、安全性角度看，系统中各部件并不是同等重要 的，引入重要度的概念用以标明某个部件对顶事件发生的 影响大小是很必要的。
在故障树分析中，基本事件重要度来衡量某一基本事件 对顶事件影响的大小。重要度是故障树分析中的一个重要 概念，对改进系统设计，制订维修策略是十分有利的。对 于不同的对象和要求，应采用不同的重要度。
如果 q1 q2 q3 0.1
g(q) q1q21 (1 q1)(1 q3) 0.1 0.11 (1 0.1) (1 0.1)
0.0019
（b） T x1 x2 (x1 x3 ) x1 x2 x1 x1 x2 x3
x1 x2 x1 x2 x3
x1 x2
g(q) q1q2 0.1 0.1 0.01
有共因事件时的简化
Z=A+E=A+(A·B)=A Z=A·E=A·(A+B)=A
有共因事件时的简化
Z=E1+E2=(A·B)+(A·C) =A·(B+C)
Z=E1·E2=(A+B) ·(A+C) =A+(B·C)
最小割集合与最小径集合
割集合：能使顶事件发生的基本事件集合。
计算示例：
S 2
P(KiK j)
1 i j 4
P (K 1K 2) P (K 1K 3) P (K 1K 4) P (K 2 K 3) P (K 2 K 4) P (K 3K 4)
q1q 2 .q1q 3 q1q 2 .q 2 q 3 q1q 2 .q 3q 4 q 5 q 3 q 2 .q1q 3 q1q 3 .q 3q 4 q 5 q 2 q 3 .q 3q 4 q 5 q1q 2q3 q1q 2q3 q1q 2q3q 4q5 q1q 2q3 q1q3q 4q5 q 2q3q 4q5 ＝ 0 .0000030201