哈夫曼树讲解

{ int ww; int parent, llink, rlink; };
Hu Junfeng
/*哈夫曼树结点的结构*/
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哈夫曼树的表示3 哈夫曼树的表示
• struct HtTree /*哈夫曼树类型*/ { int m; /*外部结点的个数*/ int root; /* 哈夫曼树根在数组中的位置 */ struct HtNode *ht; /*存放2m-1个结点的数组*/ }; typedef struct HtTree *PHtTree; /* 哈夫曼树类型的指针类型 */
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哈夫曼树的构造过程
23
2
3
12
6
5
12
6
11 5
6
12
11 5
2 3 6
12
2
3 2 3
4棵只有根的二叉树
2、3合并得到3棵二叉树 合并得到3
5、6合并得到2棵二叉树 合并得到2
11、12合并得到1 11、12合并得到1棵二叉树 合并得到
左右选择不同，得到的 树形态不同， 相同。 左右选择不同，得到的HuffMan树形态不同，但WPL相同。 树形态不同 相同
Y Y
100 内部节点
智
N
体
Y
N
70 18
德
N
5
Hu Junfeng
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哈夫曼树（构建算法） 哈夫曼树（构建算法）
给定m个权值{ w1 , w2 ,…, wm }
① 构造由m棵二叉树组成的树林F = {T1,T2,…,Tm}，其中每棵树Ti
只有一个根结点，且根结点的权值为wi；
② 在树林中选取两棵根结点权值最小的和次小的二叉树作为左右子
WPL
=
∑
i =1
w ili
• 其中，wi是第i个外部结点的权值，li为从根到第i个外部结点的 路径长度，m为外部结点的个数。
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哈夫曼树： 哈夫曼树：
• 对于一组非负实数｛w1 , w2 , w3 ,…, wm｝， 存在一棵以wi（i = 1,2,…，m）为权的m个 外部结点的扩充的二叉树，使得带权的外部 路径长度WPL最小。这棵二叉树就称为哈夫 哈夫 曼树或最优二叉树 曼树 最优二叉树。 最优二叉树 • WPL = 1 x 70 + 2 x 18 + 3 x 5 + 3 x 7 = 70 + 36 + 15 +21 = 142 7
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哈夫曼树的存储实现
• 存储结构可以有多种，如二叉链表、三叉链表等。下面给出 一种顺序结构(一维数组），结点结构：
ww parent llink rlink
– ww: 以该结点为根的子树中所有外部结点的加权和。 – parent: 父结点在数组中的存储位置（下标），根无父，设为-1。 – llink: 左孩子存储位置，对于外部结点，无孩子，设为-1。 – rlink: 右孩子存储位置，对于外部结点，无孩子，设为-1。
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哈夫曼树及其应用
• 哈夫曼树 • 哈夫曼算法 • 哈夫曼编码
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扩充二叉树的概念
•
– – –
把原二叉树的结点都变为 度数为2的分支结点
如果原结点的度数为2，则不 变 度数为1，则增加一个分支， 度数为0（树叶），则增加两 个分支。 内部节点
100
Y Y
德
N
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哈夫曼树的表示2 哈夫曼树的表示
• 假定外部结点个数为m，则内部结点个数必为m-1，因此 最后得到的HuffMan树必定有2m-1个结点。因此，用2m-1 个元素的一维数组就可以存储该HuffMan树。每个元素表 示一个结点，前m个存储外部结点，后m-1个用于内部结 点。 • struct HtNode
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信息编码1 信息编码
• 定长编码 – 所有的字符都具有相同的编码长度 • 如26个字符：A, B, C, D, …, Z A: B: C: D: 00000 00001 00010 00011 …… Z: 11001
线路传输 信息发送
ABB…
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信息接收
编码： 编码：00000 00001 00001 译码： 译码：00000 00001 00001 A B B
Y Y
德
N
智
N
N
5 70
体
Y
7
18
外部路径
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两个概念
• “外部路径长度” E:在扩充的二叉树里从根到每个外部结点的 m 路径长度之和。 E = ∑ li
i=1
• 其中，li为从根到第i个外部结点的路径长度，m为外部结点的 个数。 • 设扩充二叉树具有m个带权值的外部结点，那么从根结点到各 个外部结点的路径长度与相应结点权值的乘积的和，叫做扩充 二叉树的带权的外部路径长度。 m
树构造一棵新的二叉树，其根结点的权值为左右子树根结点权值 之和。
③ 将新的二叉树加入到树林F中，去除原两棵权值最小的树； ④ 重复2、3步骤，直至F中只剩一棵树为止。
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给定权值 {7，5，2，4}，构造哈夫曼树 ， ， ， ，
7 5 2 4 6
a
b (a)
c
d
7
5 c
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d (b)
哈夫曼树 与 树的应用
2008/04/08
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非第归 后根遍历二叉树
• 先左子树 • 后右子树 • 然后根
B
A
C
D
E
F
G
H
I
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2
非第归 后根遍历二叉树
H D
3
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B
I E A F C G G
Heap中删除最小元素 中删除最小元素
2 3 9 14 12 11 10 16 7 5 4 8
struct HtTree /*哈夫曼树类型 哈夫曼树类型*/ 哈夫曼树类型 { struct HtNode ht[MAXNODE]; /* 哈夫曼树根在数组中的位置 */ int root; }; typedef struct HtTree *PHtTree; /* 哈夫曼树类型的指针类型 */
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h i
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4
4 4 28 28
j
改进的办法
•按一种周游次序在数组中存放结点，依次存放树的先根序列 按一种周游次序在数组中存放结点， 按一种周游次序在数组中存放结点
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29
29
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哈夫曼算法（初始化） 哈夫曼算法（初始化）
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13
哈夫曼算法（构造树） 哈夫曼算法（构造树）
思考：如何用堆结构实现huffman算法
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哈夫曼算法 —— 构造一棵பைடு நூலகம்夫曼树
① 根 据 给 定 的 n 个 权 值 {w1,w2,…,wn} ， 构 成 n 棵 二 叉 树 的 集 合 F={T1,T2,…,Tn}，其中每一棵二叉树Ti中只有一个带权为wi的 根结点，其左右子树为空。 ② 在F中选取两棵权值最小的树作为左右子树以构造一棵新的二叉 树，且新二叉树的根结点的权值为其左右子树根结点权值之和。 ③ 在F中删除这两棵树，同时将新得到的二叉树加入F中。 ④ 重复(2)和(3)，直到F中只含一棵树为止。
0 1
0
145
0
120 50
65
80
50
• 互不为子串？
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树和树林的存储表示
• 选择存储表示方法原则：结点本身+结点之间的 关系 树的存储表示（三种链表结构）
– – – 父指针表示法 [双亲表示法] 子表表示法 [孩子表示法] 长子-兄弟表示法 [孩子兄弟表示法]
•
•
树林的存储表示
智
N
•
空二叉树的扩充二叉树规 定为只有一个外部结点组 成的二叉树。
7
N
5 70
体
Y
18
Hu Junfeng
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加权路径： 加权路径：
WPL = ∑ wi li
i =1 m
100 内部节点
– wi是第i个外部结点的权值 – li为从根到第i个外部结点的路径长度 – m为外部结点的个数。 – WPL = 1 x 5 + 2 x 70 + 3 x 18 + 3 x 7 = 5 + 140 + 54 + 21 = 220
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哈夫编码：在概率意义上平均码长最短 哈夫编码：
{ (hot,50), (warm,65),(mild,120), (cold,80), (very cold,50)} 365 hot warm mild cold very cold 111 01 10 00 110 100
1 0 1
1 220
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树的类型定义为：
struct ParTree { int MAXNUM; int n; /* 树中结点的个数 */ struct ParTreeNode *nodelist; /* 存放树中的结点 */ }; typedef struct ParTree *PParTree; /* 树类型的指针类型 */ struct ParTree { struct ParTreeNode nodelist[MAXNUM]; /* 存放树中的结点 */ int n; /* 树中结点的个数 */ }; typedef struct ParTree *PParTree; /* 树类型的指针类型 */ 2727