哈夫曼树.ppt
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8哈夫曼树
a
b d e c
2 3 4 5 6 7 b c d e
d
e f g f g h
f
g
h
8
h
25
3、用孩子兄弟表示法来存储
思路：用二叉链表来表示树，但链表中的两个 指针域含义不同。 左指针指向该结点的第一个孩子； 右指针指向该结点的下一个兄弟结点。
firstchild data nextsibling
100
40
21 32 g e 17 7 a
60
28 11 10 h 6 d 2 c 5 3 f
10
对应的哈夫曼编码（左0右1）：
符 编码 频率 符 编码 频率
100
a
b
1100
00
0.07
0.19
a
b
000
001
0.07
0.19 0.06
0 b
0 40
1
1
0 60 1 28 1 0 6 d 0 2 c 11 1d Path Length
树的带权路径长度如何计算？ WPL = 哈夫曼树则是：WPL 最小的树。
w kl k
k=1
n
经典之例：
4 d
2 c 7 a (b) 5 b
Huffman树
7 a
7 a
5
2 b c
4 d
5 b
2 c (c)
4 d
(a)
WPL=36
WPL=46
WPL= 35
3
构造霍夫曼树的基本思想： 权值大的结点用短路径，权值小的结点用长路径。 构造Huffman树的步骤（即Huffman算法）：
(1) 由给定的 n 个权值{w0, w1, w2, …, wn-1}，构造具有 n 棵扩充 二叉树的森林F = { T0, T1, T2, …, Tn-1 }，其中每一棵扩充二叉树 Ti 只有一个带有权值 wi 的根结点，其左、右子树均为空。 (2) 重复以下步骤, 直到 F 中仅剩下一棵树为止： ① 在 F 中选取两棵根结点的权值最小的扩充二叉树, 做为左、 右子树构造一棵新的二叉树。置新的二叉树的根结点的权值为 其左、右子树上根结点的权值之和。 ② 在 F 中删去这两棵二叉树。 ③ 把新的二叉树加入 F。
b d e c
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3、用孩子兄弟表示法来存储
思路：用二叉链表来表示树，但链表中的两个 指针域含义不同。 左指针指向该结点的第一个孩子； 右指针指向该结点的下一个兄弟结点。
firstchild data nextsibling
100
40
21 32 g e 17 7 a
60
28 11 10 h 6 d 2 c 5 3 f
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对应的哈夫曼编码（左0右1）：
符 编码 频率 符 编码 频率
100
a
b
1100
00
0.07
0.19
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b
000
001
0.07
0.19 0.06
0 b
0 40
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0 60 1 28 1 0 6 d 0 2 c 11 1d Path Length
树的带权路径长度如何计算？ WPL = 哈夫曼树则是：WPL 最小的树。
w kl k
k=1
n
经典之例：
4 d
2 c 7 a (b) 5 b
Huffman树
7 a
7 a
5
2 b c
4 d
5 b
2 c (c)
4 d
(a)
WPL=36
WPL=46
WPL= 35
3
构造霍夫曼树的基本思想： 权值大的结点用短路径，权值小的结点用长路径。 构造Huffman树的步骤（即Huffman算法）：
(1) 由给定的 n 个权值{w0, w1, w2, …, wn-1}，构造具有 n 棵扩充 二叉树的森林F = { T0, T1, T2, …, Tn-1 }，其中每一棵扩充二叉树 Ti 只有一个带有权值 wi 的根结点，其左、右子树均为空。 (2) 重复以下步骤, 直到 F 中仅剩下一棵树为止： ① 在 F 中选取两棵根结点的权值最小的扩充二叉树, 做为左、 右子树构造一棵新的二叉树。置新的二叉树的根结点的权值为 其左、右子树上根结点的权值之和。 ② 在 F 中删去这两棵二叉树。 ③ 把新的二叉树加入 F。
第7章-树和二叉树第5讲-哈夫曼树
8
哈
夫
曼
树
8
示
例
42
的
演
示
15
19
14 23
3
11
100
58
298ຫໍສະໝຸດ 1535创建完毕
7
8
6/15
哈夫曼树的特点
n1 = 0：因为每次两棵树合并。 n = n0+n1+n2 = n0+n2
= 2n0-1。
7/15
规定哈夫曼树中的左分支为0，右分支为1，则从根结点到每个 叶结点所经过的分支对应的0和1组成的序列便为该结点对应字符的 编码。这样的编码称为哈夫曼编码。
说明：本题为2014年全国考研题
12/15
【例（补充）】 对n（n≥2）个权值均不同的字符构成哈 夫曼树，关于该树的叙述中，错误的是 。
A. 该树一定是一棵完全二叉树 B. 该树中一定没有度为1的结点 C. 树中两个权值最小的结点一定是兄弟结点 D. 树中任一非叶子结点的权值一定不小于下一层任一
结点的权值 说明：本题为2010年全国考研题
哈夫曼编码属0、1二 进制编码
8/15
哈夫曼编码特点：权值越大的字符编码越短，反之越长。
9/15
产生哈夫曼编码
示例的演示
0
42
0
1
19
23
0
1
8
11
0
1
3
5
5： 0 0 0 1
3:0000 8:1111
5:0001 23:01
100
1
58
0
1
29
29
0
1
14
15
0
1
7
数据结构哈夫曼树PPT课件
第11页/共21页
例：
W（权）={2,4,2,3,3}，叶子结点个数,m=5 试设计Huffman树。
14
6
3
3
8
4
4
22
构造的 Huffman树
第12页/共21页
三、哈夫曼树的应用(哈夫曼编码)
在远程通讯中，要将待传字符转换成由二进制组成 的字符串：
设要传送的字符为： 若编码为：A—00 (等长) B—01
重码 000011010
关键：要设计长度不等的编码，则必须使任一字符的编码都不 是另一个字符的编码的前缀。这种编码称作最优前缀编码。
第14页/共21页
设要传送的字符为：
若编码为 ：A—0
B—110
C用二叉树设 计二进制前缀
编码
0
1
C0
1
BD
第15页/共21页
ABACCDA
C—10 D---11
ABACCDA
若将编码设计为长度不等的二进制编码，即让待传字符串中出 现次数较多的字符采用尽可能短的编码，则转换的二进制字符 串便可能减少。
第13页/共21页
设要传送的字符为：ABACCDA 若编码为： A—0
B—00 C—1 D---01
ABACCDA
但： 0000 AAAA ABA BB
二、构造哈夫曼树 1．哈夫曼树的定义
在一棵二叉树中，若带权路径长度达到最小，称这样的 二叉树为最优二叉树，也称为哈夫曼树(Huffman tree)。
第3页/共21页
例 有4个结点，权值分别为7，5，2，4，构造有4个叶子结点的二叉树
4d
a 7
n
c
2
WPL
WK LK
k 1
例：
W（权）={2,4,2,3,3}，叶子结点个数,m=5 试设计Huffman树。
14
6
3
3
8
4
4
22
构造的 Huffman树
第12页/共21页
三、哈夫曼树的应用(哈夫曼编码)
在远程通讯中，要将待传字符转换成由二进制组成 的字符串：
设要传送的字符为： 若编码为：A—00 (等长) B—01
重码 000011010
关键：要设计长度不等的编码，则必须使任一字符的编码都不 是另一个字符的编码的前缀。这种编码称作最优前缀编码。
第14页/共21页
设要传送的字符为：
若编码为 ：A—0
B—110
C用二叉树设 计二进制前缀
编码
0
1
C0
1
BD
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ABACCDA
C—10 D---11
ABACCDA
若将编码设计为长度不等的二进制编码，即让待传字符串中出 现次数较多的字符采用尽可能短的编码，则转换的二进制字符 串便可能减少。
第13页/共21页
设要传送的字符为：ABACCDA 若编码为： A—0
B—00 C—1 D---01
ABACCDA
但： 0000 AAAA ABA BB
二、构造哈夫曼树 1．哈夫曼树的定义
在一棵二叉树中，若带权路径长度达到最小，称这样的 二叉树为最优二叉树，也称为哈夫曼树(Huffman tree)。
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例 有4个结点，权值分别为7，5，2，4，构造有4个叶子结点的二叉树
4d
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n
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WPL
WK LK
k 1
第5章专题6哈夫曼树
数据结构（C++版）第2版
5.7 哈夫曼树及哈夫曼编码
9 4 5 2 5 0 weight parent 2 lchild -1 rchild -1
4 -1 5 -1
5 -1 4 -1 6 -1
3
1 2 3
i1
4
5
-1
-1
-1
-1
14
3
5
-1
0 -1 1 -1 4 -1
-1
3 -1 2 -1 5-1
清华大学出版社
数据结构（C++版）第2版
5.7 哈夫曼树及哈夫曼编码
哈夫曼树应用——哈夫曼编码
编码方案： A：00 B：10 C：010 D：110 E：111 F：0110 G：0111
45 0 19 0 9 A 1 10 0 1 5 0 11 B 1 26 1 15 0 7 D G 1 8 E
清华大学出版社
数据结构（C++版）第2版
5.7 哈夫曼树及哈夫曼编码
W＝{2，4，5 ，3} 哈夫曼树的构造过程
第1步：初始化
2 5
4
5
3
第2步：选取与合并
2
第3步：删除与加入
3 5 2 5 3
4
清华大学出版社
数据结构（C++版）第2版
5.7 哈夫曼树及哈夫曼编码
W＝{2，4，5 ，3} 哈夫曼树的构造过程
清华大学出版社
数据结构（C++版）第2版
5.7 哈夫曼树及哈夫曼编码
哈夫曼树应用——哈夫曼编码
编码：给每一个对象标记一个二进制位串来表示 一组对象。例：ASCII，指令系统等。
数据结构哈夫曼树课件
总结词
优化、提升
详细描述
基于哈夫曼树的网络流量分类算法的优化策 略主要从以下几个方面进行优化和提升：一 是优化哈夫曼树的构造算法，提高树的构造 效率和准确性；二是利用多级哈夫曼编码技 术，降低编码和解码的时间复杂度；三是引 入机器学习算法，对网络流量特征进行自动
提取和分类，进一步提升分类准确率。
THANKS
基于堆排序的构造算法
总结词：堆排序是一 种基于比较的排序算 法，它利用了堆这种 数据结构的特点，能 够在O(nlogn)的时间 内完成排序。在哈夫 曼树的构造中，堆排 序可以用来找到每个 节点的父节点，从而 构建出哈夫曼树。
详细描述：基于堆排 序的构造算法步骤如 下
1. 定义一个最大堆， 并将每个节点作为一 个独立的元素插入到 堆中。每个元素包含 了一个节点及其权值 。
哈夫曼编码的基本概念
哈夫曼编码是一种用于无损数据压缩的熵编码算法，具有较高的编码效率和较低的 编码复杂度。
它利用了数据本身存在的冗余和相关性，通过构建最优的前缀编码来实现高效的数 据压缩。
哈夫曼编码是一种可变长编码，其中每个符号的编码长度取决于它在输入序列中出 现的频率。
哈夫曼编码的实现方法
构建哈夫曼树
节ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ。
优化编码长度
在分配码字时，通过一些策略优化 编码长度，例如给高频符号更短的 码字。
可变长度编码
为了提高压缩比，可以使用可变长 度编码，即对于高频符号赋予更短 的码字，对于低频符号赋予更长的 码字。
04
哈夫曼树在数据压 缩中的应用
基于哈夫曼编码的数据压缩算法
哈夫曼编码是一种可变长度的 编码方式，通过统计数据的出 现频率来构建哈夫曼树，实现 数据压缩。
数据结构哈夫曼树和哈夫曼编码PPT课件
C
AB
AC
BC
ABC
第27页/共55页
回朔策略—求幂集
000
000
100
000
010
100
110
000
001
010
011 100 101 110
111
第28页/共55页
回朔策略—求幂集
void powerSet(int num){ if (num<=len-1) { for (int i=0; i<2; i++){ if (i = = 0) mask[num]=1; else mask[num]=0; powerSet(num+1);} } else{ for (int j=0; j<len; j++){ if (mask[j]==1) printf("%c",set[j]);} printf("\n");}
}
第29页/共55页
回朔策略—求幂集
int len=3; int mask[]={0,0,0}; char set[]={'A','B','C'}; int main(int argc, char* argv[]) {
powerSet(0); return 0; }
第30页/共55页
章末复习
1. 熟练掌握二叉树的结构特性，了解相应的证 明方法。 2. 熟悉二叉树的各种存储结构的特点及适用范 围。 3. 遍历二叉树是二叉树各种操作的基础。实现 二叉树遍历的具体算法与所采用的存储结构有 关。掌握各种遍历策略的递归算法，灵活运用 遍历算法实现二叉树的其它操作。层次遍历是 按另一种搜索策略进行的遍历。
算法6--哈夫曼树幻灯片课件
问题：如何设计程序才能使得比较的总次数最少？
以各个分数段上学生所占的百分比作为权值，构造一棵哈夫曼树：
W={ 5, 15, 40, 30, 10 }
100
60
40 C
B 30
30
D 15 15
E 5 10 A
Y a<60
E
N
Y a<70
D
N
Y a<80
C
N
Y a<90
B
N
A
Y 70a<80
C
N
Y 80a<90
//——哈夫曼树和哈夫曼编码的存储表示—— typedef struct{
unsigned int weight； unsigned int parent，lchild，rchild； }HTNode，*HuffmanTree；
//动态分配数组存储哈夫曼树 typedef char **HuffmanCode；
10
11
若要发送的数据是：“ A B C D ”
编码：“00011011”
怎样缩短电文的总长度？ 可缩短 每个字符的编码。如：
A
B
C
D
0
1
00
01
电文越短，则在相同条件下传输越快，出错 的机率越小。
若要发送的数据是：“ A B C D ”
编码：“010001”
译码出现 “二义性” !
如图所示二叉树：叶子结点分别表示A、B、 C、D 四个字符；且约定左分支表示字符“0”， 右分支表示字符“1”。则可以把从根结点到叶
❖因为n0=n2+1, 所以n2=n0-1, 又由于在最优二叉树中 没有度为1的结点,所以在最优二叉树中总的结点数为 n+n-1=2n-1
以各个分数段上学生所占的百分比作为权值，构造一棵哈夫曼树：
W={ 5, 15, 40, 30, 10 }
100
60
40 C
B 30
30
D 15 15
E 5 10 A
Y a<60
E
N
Y a<70
D
N
Y a<80
C
N
Y a<90
B
N
A
Y 70a<80
C
N
Y 80a<90
//——哈夫曼树和哈夫曼编码的存储表示—— typedef struct{
unsigned int weight； unsigned int parent，lchild，rchild； }HTNode，*HuffmanTree；
//动态分配数组存储哈夫曼树 typedef char **HuffmanCode；
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若要发送的数据是：“ A B C D ”
编码：“00011011”
怎样缩短电文的总长度？ 可缩短 每个字符的编码。如：
A
B
C
D
0
1
00
01
电文越短，则在相同条件下传输越快，出错 的机率越小。
若要发送的数据是：“ A B C D ”
编码：“010001”
译码出现 “二义性” !
如图所示二叉树：叶子结点分别表示A、B、 C、D 四个字符；且约定左分支表示字符“0”， 右分支表示字符“1”。则可以把从根结点到叶
❖因为n0=n2+1, 所以n2=n0-1, 又由于在最优二叉树中 没有度为1的结点,所以在最优二叉树中总的结点数为 n+n-1=2n-1
第12讲 哈夫曼树
树的带权路径长度
设有n个权值{w1,w2,…,wn}，构造一棵有n个叶 子结点的二叉树，每个叶子的权值为wi，
记： 其中： wpl w
k 1 n k
lk
w
k
— 权值
l k — 结点到根的路径长度
则wpl称为树的带权路径长度。
例 有4个结点，权值分别为7，5，2，4，构造有4个 叶子结点的二叉树
采用二叉树设计二进制前缀编码
设要传送的字符为：ABACCDA
以ABCD为叶子结点构造一颗二叉树 0 A 0 C 0 B 若编码为 ：A — 0 B — 110 C — 10 D — 111 1 1 1 D 规定： 左分支用“0”表 示； 右分支用“1”表 示
011010101110
译码过程
分解接收字符串：遇“0”向左，遇“1”向右；一旦到达叶 子结点，则译出一个字符，反复由根出发，直到译码完成 。
wpl w k l k
k 1 n
则wpl最小的二叉树叫Huffman树。
二、构造Huffman树的方法
例 构造Huffman树
7 a 5 b 2 c 4
d
7 a
5 b
2 c 18
6 4 d
7 a 5 b 2 c
11 6 d 4 7 a
11
5 b 2 c
6
d 4
Huffman算法 步骤: 根据给定的n个权值{w1,w2,……,wn}，构造n棵 只有根结点的二叉树，令其权值为wj 在森林中选取两棵根结点权值最小的树作左右子 树，构造一棵新的二叉树，置新二叉树根结点权 值为其左右子树根结点权值之和 在森林中删除这两棵树，同时将新得到的二叉树 加入森林中 重复上述两步，直到只含一棵树为止，这棵树即 哈夫曼树
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n
w i pi
最小，其中
i 1
Wi是第i个字符的使用频度，而Pi是第i个字符的编码长度， 这正是度量报文的平均长度的式子。
2020/3/5
21
例2：要传输的电文是{CAS；CAT；SAT；AT}
要传输的字符集是 D={C，A，S，T， ；}
每个字符出现的频率是W={ 2，4， 2，3， 3 }
PL=0+1+1+2+2=6
2020/3/5
9
问题2：什么样的带权树路径长度最小？
例如：给定一个权值序列{2,3,4,7}，可构造的多种 二叉树的形态。
2
3
4
7
2 34 7
(a) WPL=2×2＋2×3+2×4+2×7=32 (b) WPL=1×2＋2×3+3×4+3×7=41
2020/3/5
7
4
3
2
(c) WPL=1×7＋2×4+3×3+3×2=30
10
哈夫曼树的构造
例：给定权值{7，5，2，4}，构造哈夫曼树。
6
方法： 75 2 4
75
（1）a 初始b化：由c 原始d数据生成森林a ； b c
d
（次2小）的找二最叉小(树a树) 作：为在左森右林子中树选构取造两一棵棵根新结的点二权叉值树最(，小b)其的根和
A）先序遍历
B）中序遍历
C）后序遍历
D）从根开始进行层次遍历
2、某二叉树的先序序列和后序序列正好相反，则该二叉
树一定是（ B ）的二叉树。
A）空或只有一个结点
B）高度等于其结点数
C）任一结点无左孩子
D）任一结点无右孩子
3、有n个叶子结点的哈夫曼树的结点总数为（ D ）
A）不确定
B）2n
C）2n＋1
D）2n－1
0
1
2
0
1
2
3 45 6
3
4
7
PL = 0＋1＋1＋2＋2＋2＋2＋3 ＝13
5 67
PL = 0＋1＋1＋2＋2＋3＋3＋3 ＝15
结点的权： 给树的每个结点赋予的一个具有某种实际意义的实数。 结点的带权路径长度：
从该结点到树根之间的路径长度与结点上权的乘积。 树的带权路径长度：
树中叶子结点带权路径长度之和。
a<60
(b) (c)
哈夫曼树的应用
2、哈夫曼编码
(1)前缀码：如果在一个编码系统中，任一个编码都不是其他任何编码的 前缀（最左子串），则称该编码系统中的编码是前缀码。例如，一组编 码01，001，010，100，110就不是前缀码，因为01是010的前缀，若去 掉01或010就是前缀码。例如，名字中的郑霞、郑霞锦就不是前缀码。
4
注（意3：）编从码叶的子总结长点度开恰始好，为顺哈着夫双曼亲树反的推T带上权去路，径; 直长到。根结A点，0 路 1
径上的‘0’或‘1’连接的序列就是结点对应的字符的二进2 制 2
编码的逆序。
CS
构造二叉树
例：已知结点的先序遍历序列和中序遍历序列分别为：
先序遍历序列：18，14，7，3，11，22，35，27
分数 比例
0—59 60—69 70—79 80—89 90—99
0.05 0.15 0.4
0.3
0.10
以比例数为权构造一棵哈夫曼树， 如（b)判输断入树100所00示个。
数据，仅需进
行22000次比
再将每一比较较。框的两次比较改为一 次，可得到（c)判定树。
70≤a < 80 80≤a<90 60≤a<70
4、除根结点外，树上每个结点（ B ）。
A）可有任意多个孩子、任意多个双亲 B）可有任意多个孩子、一个双亲 C）可有一个孩子、任意多个双亲 D）可有一个孩子、一个双亲
5、树用双亲链表表示，则（ C ）。
A）可容易地实现求双亲及子孙的运算 B）求双亲及子孙的运算均较困难 C）可容易地实现求双亲运算，但求子孙运算较困难 D）可容易地实现求子孙运算，但求双亲运算较困难
带权路径长度达到最小的扩充二叉树即为
哈夫曼树。哈夫曼树中，权值大的结点离根最
近。 2020/3/5
7
问题1：什么样的二叉树的路径长度PL最小？ 一棵二叉树的路径长度为0结点至多只有1个（根）；
路径长度为1结点至多只有2个（两个孩子）；
路径长度为2结点至多只有4个；
依此类推：路径长度为K结点至多只有2k个，所以n个结点的 二叉树其路径长度至少等于如下序列的前n项之和。
在解决某些判定问题时，利用哈夫曼树可以得到最 佳判定算法。
例1 将学生百分成绩按分数段分级的程序。
若学生成绩分布是均匀的，可用图（a)二叉树结构 来实现。
输入10000个 数据，则需进 行28000次比
较。
a<60
Y
N
不及格
a<70
Y
N
及格
a<80
Y
N
中等
a<90
Y
N
(a)
良好
优秀
学生成绩分布不是均匀的情况：
加权路径长度最小的二叉树就 是哈夫曼树。
公式：
n
WPL WiLi i1
a
bc
d
7
52
4
WPL=7*2+5*2+2*2+4*2=36
c2 4d
a
b
7
5
WPL=7*3+5*3+2*1+4*2=46
7a
5b
2c
d4
WPL=7*1+5*2+2*3+4*3=35
具有不同带权路径长度的二叉树
哈夫曼树
结点的权值为左右子树根结点权值之1和8 。规定左子树根
7结点的权值小于右子树根结点的权值。 （a 3）删除与加1入1 ：将新的二7叉树a加入到森林F1中1 ，去除 原两棵权值最小的树； （4）5判b 断：重复2、3步骤，直至F中只5b剩一棵树为止6。
c
d
c
d
(c)
(d)
2
4
哈夫曼树的应用 （1）判定树
(2)哈夫曼编码：对一棵具有n个叶子的哈夫曼树，若对树中的每个左分 支赋予0，右分支赋予1，则从根到每个叶子的通路上，各分支的赋值分 别构成一个二进制串，该二进制串就称为哈夫曼编码。
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定理6-1 哈夫曼编码是前缀码。
证明：哈夫曼编码是根到叶子路径上的边的编码的序列， 也就是等价边序列，而由树的特点知，若路径A是另一条路 经B的最左部分，则B经过了A，因此，A的终点不是叶子。 而哈夫曼编码都对应终点为叶子的路径，所以，任一哈夫 曼码都不会与任意其他哈夫曼编码的前部分完全重叠，因 此哈夫曼编码是前缀码。
路径长度 0 ，1 ， 1 ，2， 2， 2， 2，3， 3，3，3，3，3，3，3，4，4，...
结点数k k=1 k=2 k=3 k=4 k=5 k=6 k=7 k=8
...
k=15
由此可知，结点n对应的路径长度为 log2n ，所以
前n项之和为:
h
log2k
k=1
2020/3/58来自完全二叉树的路径长度为：
h
20×0+21 × 1+22 × 2+…+ 2h × h= log2k k=1
h为树的深度，其路径长度可达到最小，所以完全 二叉树具有最小路径长度的性质，但不具有唯一性。
例如：下列不同形状的二叉树均具有最小的路径长度
A
A
B
C
B
C
DE
D
E
PL=0+1+1+2+2=6
哈夫曼树及其应用
1.路径
2.路径长度
6.树的带权 路径长度
什么是哈夫曼树
3.树的路径长度
5.结点带权 路径长度
4.结点的权
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哈夫曼树（最优树）及其应用
路径长度的概念
路径：从一个结点到另一个结点之间的分支 序列
结点之间的路径长度：从一个结点到另一个 结点之间的分支数目
树的路径长度（用PL表示）：从树的根到每 一个结点的路径长度之和
中序遍历序列：3，7，11，14，18，22，27，35 18
14
22
7
3
11
35 27
给定一棵二叉树的先序序列和中序序列，可唯 一确定一棵二叉树
1、对二叉树从1开始编号，要求每个结点的编号大于其左 右孩子的编号，同一个结点的左右孩子中，其左孩子的编
号小于其右孩子的编号，则可采用（ C ）实现编号。
各字符编码是 T ； A C S
00 01 10 110 111 上方述法电：文编码：
14
0
1
110（1011）11用01{1120，1040，0021，11131，003001}1作00为0 叶子结点6 的权值生成一8棵哈 夫曼树，并将对应权值wi的叶子结点0注明对应1 的字符；0 1
（2）约定左分支表示字符“0”，右分3支表示3字符‘1’4
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定理6-2 哈夫曼编码是最优前缀码。 即对于n个字符，分别 以它们的使用频度为叶子权，构造哈夫曼树，则该树对应的 哈夫曼编码，能使各种报文（由这n种字符构成的文本）对 应的二进制串的平均长度最短。
证明：由于哈夫曼编码对应叶权为各字符使用频度的哈夫曼
树，因此，该树为带权长度最小的树，即
a
bc
d
7
52
4
WPL=7*2+5*2+2*2+4*2=36