哈夫曼编码.ppt
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霍夫曼编码PPT课件
Your company slogan
对于各值（码值）的代码（码字）就是从根节点出发到底层节点所经历 的分支序列。如a4的代码（码字）为00，a6的码字为111... ...通常a4和 a6等称为码值，00和111等称为码字。所有码值和码字对应关系如下表 所示：
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（三）霍夫曼表
将所有码值和码字的关系整理成一张表，为了整字 节输出码字，表中还含有各码字的长度。这种表就称 为霍夫曼表。本例霍夫曼表如表所示：
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进行压缩编码时，只要将码值用码字代替即可。所 以源符a1 a1 a2 a2 a3 a3 a3 a4 a4 a4 a4 a5 a5 a5 a6 a6 a6 a7 a7 a8编码为： 01001001101110110110100000000110110 11010000100001001。
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四、霍夫曼编码
（一）霍夫曼编码过程
设信息源空间为[A*P]:{A:a1 a2 ……an}{P(A):P(a1) P(a2)P(a3)……P(an)}其中∑ P(ak)=1,先用r个码的号码符 号集X:{x1,x2,……xr}对信源A中的每一个符号ak进行编码。 编码过程如下： 把信源符号ai按其出现的概率的大小顺序排列起来； 把最末两个具有最小概率的元素之概率加起来； 把该概率之和同其余概率由大到小排队，然后再把两个最 小概率加起来，再排队； 重复步骤 (2) 、 (3), 直到概率和达到 1 为止 ; 在每次合并消息时，将被合并的消息赋以1和0或0和1； 寻找从每个信源符号到概率为1处的路径，记录下路径上 的1和0； 对每个符号写出"1"、"0"序列（从码数的根到终节点）。 创建霍夫曼表。 压缩编码时，将码值用码字代替。
对于各值（码值）的代码（码字）就是从根节点出发到底层节点所经历 的分支序列。如a4的代码（码字）为00，a6的码字为111... ...通常a4和 a6等称为码值，00和111等称为码字。所有码值和码字对应关系如下表 所示：
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（三）霍夫曼表
将所有码值和码字的关系整理成一张表，为了整字 节输出码字，表中还含有各码字的长度。这种表就称 为霍夫曼表。本例霍夫曼表如表所示：
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进行压缩编码时，只要将码值用码字代替即可。所 以源符a1 a1 a2 a2 a3 a3 a3 a4 a4 a4 a4 a5 a5 a5 a6 a6 a6 a7 a7 a8编码为： 01001001101110110110100000000110110 11010000100001001。
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四、霍夫曼编码
（一）霍夫曼编码过程
设信息源空间为[A*P]:{A:a1 a2 ……an}{P(A):P(a1) P(a2)P(a3)……P(an)}其中∑ P(ak)=1,先用r个码的号码符 号集X:{x1,x2,……xr}对信源A中的每一个符号ak进行编码。 编码过程如下： 把信源符号ai按其出现的概率的大小顺序排列起来； 把最末两个具有最小概率的元素之概率加起来； 把该概率之和同其余概率由大到小排队，然后再把两个最 小概率加起来，再排队； 重复步骤 (2) 、 (3), 直到概率和达到 1 为止 ; 在每次合并消息时，将被合并的消息赋以1和0或0和1； 寻找从每个信源符号到概率为1处的路径，记录下路径上 的1和0； 对每个符号写出"1"、"0"序列（从码数的根到终节点）。 创建霍夫曼表。 压缩编码时，将码值用码字代替。
哈夫曼编码PPT课件
第19页/共60页
Huffman编码举例
例1【严题集6.26③】：假设用于通信的电文仅由8个字母 {a, b, c, d, e, f, g, h} 构成， 它们在电文中出现的概率分别为{ 0.07, 0.19, 0.02, 0.06, 0.32, 0.03, 0.21, 0.10 }，试 为这8个字母设计哈夫曼编码。如果用0～7的二进制编码方案又如何？ 【类同P148 例2】
建议2： Huffman树的存储结构可采用顺序存储结构： 将整个Huffman树的结点存储在一个数组HT[1..n..m]中;
各叶子结点的编码存储在另一“复合”数组HC[1..n]中。
第16页/共60页
Huffman树和Huffman树编码的存储表示：
typedef struct{ unsigned int weight；//权值分量（可放大取整） unsigned int parent，lchild，rchild； //双亲和孩子分量 }HTNode，*HuffmanTree；//用动态数组存储Huffman树 typedef char**HuffmanCode； //动态数组存储Huffman编码表
HT[s1].parent=i; HT[s2].parent=i; HT[i].lchild=s1; HT[i].rchild=s2; HT[i].weight=HT[s1].weight+ HT[s2].weight;}
第18页/共60页
(续前)再求出n个字符的Huffman编码HC
HC=(HuffmanCode)malloc((n+1)*sizeof(char*)); //分配n个字符编码的头指针 向量（一维数组） cd=(char*) malloc(n*sizeof(char)); //分配求编码的工作空间(n)
Huffman编码举例
例1【严题集6.26③】：假设用于通信的电文仅由8个字母 {a, b, c, d, e, f, g, h} 构成， 它们在电文中出现的概率分别为{ 0.07, 0.19, 0.02, 0.06, 0.32, 0.03, 0.21, 0.10 }，试 为这8个字母设计哈夫曼编码。如果用0～7的二进制编码方案又如何？ 【类同P148 例2】
建议2： Huffman树的存储结构可采用顺序存储结构： 将整个Huffman树的结点存储在一个数组HT[1..n..m]中;
各叶子结点的编码存储在另一“复合”数组HC[1..n]中。
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Huffman树和Huffman树编码的存储表示：
typedef struct{ unsigned int weight；//权值分量（可放大取整） unsigned int parent，lchild，rchild； //双亲和孩子分量 }HTNode，*HuffmanTree；//用动态数组存储Huffman树 typedef char**HuffmanCode； //动态数组存储Huffman编码表
HT[s1].parent=i; HT[s2].parent=i; HT[i].lchild=s1; HT[i].rchild=s2; HT[i].weight=HT[s1].weight+ HT[s2].weight;}
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(续前)再求出n个字符的Huffman编码HC
HC=(HuffmanCode)malloc((n+1)*sizeof(char*)); //分配n个字符编码的头指针 向量（一维数组） cd=(char*) malloc(n*sizeof(char)); //分配求编码的工作空间(n)
哈夫曼编码
单个字母编码时编码效率不高
信源字母集大时不易实现（香农-费诺码可解决）
硬件实现时需要缓冲寄存器（变长码固有的缺陷） 差错扩散（可增加信道校验码） 必须知道信源的统计特性（通用信源编码不需要）
School of Information and Mathematics
谢谢各位老师！
结论
结论：在哈夫曼编码过程中，对缩减信源符号按概率 由大到小的顺序重新排列时，应使合并后的新符号尽 可能排在靠前的位置，这样可使合并后的新符号重复
编码次数减少，使短码得到充分利用。
School of Information and Mathematics
结论
定理：在变长编码中，若各码字长度严格按照所对应符号
引例—色子游戏
点数出现 的频率
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引例—色子游戏
按概率编码
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引例—莫尔斯电报码
莫尔斯电报码：按照英文字母出现的概率编码，
在英文中，e的出现概率很高，而z的出现概率则最低。
例题
可见：第二种编码方法的码长方差要小许多。意味着第 二种编码方法的码长变化较小，比较接近于平均码长。
第一种方法编出的5个码字有4种不同的码长；
第二种方法编出的码长只有两种不同的码长；
显然，第二种编码方法更简单、更容易实现，所以
更好。
School of Information and Mathematics
哈夫曼编码
哈夫曼编码算法： (1) 信源符号按概率分布大小，以递减次序排列； (2) 取两个最小的概率，分别赋以“0”,“1”; 然后把这两个概率值相加，作为新概率值与其他概率重新排序 (3) 按重排概率值，重复(2)…,
第7章图像编码.ppt
像素冗余
由于任何给定的像素值，原理上都可以 通过它的相邻像素预测到，单个像素携 带的信息相对是小的。对于一个图像， 很多单个像素对视觉的贡献是冗余的。 这是建立在对邻居值预测的基础上。
例：原图像数据：234 223 231 238 235 压缩后数据：234 11 -8 -7 3，我们可以
对一些接近于零的像素不进行存储，从而 减小了数据量
7.1.5 图像传输中的压缩模型
源数据编码：完成原数据的压缩。
通道编码：为了抗干扰，增加一些容错、 校验位、版权保护，实际上是增加冗余。
通道：如Internet、广播、通讯、可移动介 质。
源数据 编码
通道 编码
通道
通道 解码
源数据 解码
7.2 哈夫曼编码
1.
根据信息论中信源编码理论，当平均码长R大于等于图像熵H时，总可设 计出一种无失真编码。当平均码长远大于图像熵时，表明该编码方法效率很低； 当平均码长等于或很接近于（但不大于）图像熵时，称此编码方法为最佳编码, 此时不会引起图像失真； 当平均码长大于图像熵时，压缩比较高，但会引起图 像失真。
第七章 图像编码
7.1 图像编码概述 7.2 哈夫曼编码 7.3 香农-范诺编码 7.4 行程编码 7.5 LZW编码 7.6 算术编码 7.7 预测编码 7.8 正交变换编码 7.9 JPEG编码 7.10 编程实例
7.1 图像编码概述
7.1.1 图像编码基本原理
虽然表示图像需要大量的数据，但图像数据是高度相关的， 或者说存在冗余（Redundancy）信息，去掉这些冗余信息后可以 有效压缩图像， 同时又不会损害图像的有效信息。数字图像的 冗余主要表现为以下几种形式：空间冗余、时间冗余、视觉冗余、 信息熵冗余、结构冗余和知识冗余。
哈夫曼编码
称这种预先规定的方法为编码方法
编码方法有多种 本问题采用哈夫曼编码方法
什么是哈夫曼编码方法
1952年由美国计算机科学家戴维· 哈夫曼先生提出 是一种数据压缩技术 该方法依据字符出现的概率进行编码 ，其基本思想为：
出现概率高的字符使用较短的编码 出现概率低的则使用较长的编码 使编码之后的码字的平均长 度最短
字母d的编码为0
18 0
可见：
1
11 0 5
பைடு நூலகம்
字母i的编码为10
7 d 0 i 10
1
6 0 2 a 110
在电文中出现频率高的字 母其对应叶子结点离根结 点近；出现频率低的字母 其对应叶子结点离根结点 远
字母a的编码为110 字母n的编码为111
1
4 n
因此，在电文中出现频率 高的字母的编码相对短， 而出现频率低的字母的编 码相对长
哈夫曼算法
返回开头
构建哈夫曼树例一
4个字母{ a,d,i,n } 在电文中出现的概率分别为{ 2,7,5,4}
a d i n
2
7
5
4
2
6
4 5
11
6 2 d 7 4 i
18
11 5 6
2
返回构建哈夫曼树
4
n
a
哈夫曼算法
根据给定的 n 个权值{ w1, w2,…, wn}，构成 n 棵 二叉树的集合 F={ T1,T2 ,…,Tn }，其中每棵二叉 树Ti中只有一个带权为 wi的根结点，其左右子树 均为空 在 F 中选取两棵根结点的权值最小的树作为左右 子树，构造一棵新的二叉树，且置新的二叉树的 根结点的权值为其左、右子树上根结点的权值之 和 在 F 中删除这两棵树，同时将新得到的二叉树加 入F中 重复(2)和(3)，直到 F 只含一棵树为止
哈夫曼编码演示
//创建并输出编码表 generate_code(root, 0); fout = fopen(“code.txt”, "w"); dump_code(fout); //压缩 fout = fopen(decoded.txt, "w"); encode(fout);
return 0; } 这是我的main函数，为了方便观看做了些 许简省，去掉了关闭文件，清理资源的等 代码行。但仍可以运行。
2
程序介绍
压缩程序
思路： 1.读入文件，统计频率，为出现的每一个字符建立节点,并排成一列 2.将节点转化成哈夫曼树 3.利用哈夫曼树产生编码表文件 4.利用编码将源文件转换成二进制编码表示的文本文件 5.将转码后的文本文件压缩成bin文件
0 1 0 a 0.1 1 b 0.2 c 0.7
产生代码 a: 00 b: 01 c: 1
4
结束感想
本次编写还算成功，虽然调试途中出现了一些大大小小的bug，但是都没有造成很 严重的困扰，可能是因为我采用了老师的框架，绕过了很多陷阱的原因，同时也向 那些自己编写整个程序或是自己不断创新的同学表以敬意。 同时非常高兴的是这是第一次我们能学以致用，编写出能在在生活中得到应用的程 序，这充分体现了一点：科技改善生活。
for(j=0; j<wordnum/8; j++) { character=0; for(i=0; i<8; i++) character += (c = getc(fin)-48) * (int)pow(2,i); fwrite(&character,sizeof(char),1,fout); }
C语言中1个char类型占8bit，在计算机中，也就是8位二进制数，相当 于可以存储0-255大小的十进制数。 所以我们要想把字符串存储转化为二进制存储，只需要将每8位字符串 对应的十进制数计算出来，存入每个char类型。 若最后不足8位，补0至8位即可。
数据结构哈夫曼树课件
总结词
优化、提升
详细描述
基于哈夫曼树的网络流量分类算法的优化策 略主要从以下几个方面进行优化和提升：一 是优化哈夫曼树的构造算法，提高树的构造 效率和准确性；二是利用多级哈夫曼编码技 术，降低编码和解码的时间复杂度；三是引 入机器学习算法，对网络流量特征进行自动
提取和分类，进一步提升分类准确率。
THANKS
基于堆排序的构造算法
总结词：堆排序是一 种基于比较的排序算 法，它利用了堆这种 数据结构的特点，能 够在O(nlogn)的时间 内完成排序。在哈夫 曼树的构造中，堆排 序可以用来找到每个 节点的父节点，从而 构建出哈夫曼树。
详细描述：基于堆排 序的构造算法步骤如 下
1. 定义一个最大堆， 并将每个节点作为一 个独立的元素插入到 堆中。每个元素包含 了一个节点及其权值 。
哈夫曼编码的基本概念
哈夫曼编码是一种用于无损数据压缩的熵编码算法，具有较高的编码效率和较低的 编码复杂度。
它利用了数据本身存在的冗余和相关性，通过构建最优的前缀编码来实现高效的数 据压缩。
哈夫曼编码是一种可变长编码，其中每个符号的编码长度取决于它在输入序列中出 现的频率。
哈夫曼编码的实现方法
构建哈夫曼树
节ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ。
优化编码长度
在分配码字时，通过一些策略优化 编码长度，例如给高频符号更短的 码字。
可变长度编码
为了提高压缩比，可以使用可变长 度编码，即对于高频符号赋予更短 的码字，对于低频符号赋予更长的 码字。
04
哈夫曼树在数据压 缩中的应用
基于哈夫曼编码的数据压缩算法
哈夫曼编码是一种可变长度的 编码方式，通过统计数据的出 现频率来构建哈夫曼树，实现 数据压缩。
数据结构哈夫曼树和哈夫曼编码PPT课件
C
AB
AC
BC
ABC
第27页/共55页
回朔策略—求幂集
000
000
100
000
010
100
110
000
001
010
011 100 101 110
111
第28页/共55页
回朔策略—求幂集
void powerSet(int num){ if (num<=len-1) { for (int i=0; i<2; i++){ if (i = = 0) mask[num]=1; else mask[num]=0; powerSet(num+1);} } else{ for (int j=0; j<len; j++){ if (mask[j]==1) printf("%c",set[j]);} printf("\n");}
}
第29页/共55页
回朔策略—求幂集
int len=3; int mask[]={0,0,0}; char set[]={'A','B','C'}; int main(int argc, char* argv[]) {
powerSet(0); return 0; }
第30页/共55页
章末复习
1. 熟练掌握二叉树的结构特性，了解相应的证 明方法。 2. 熟悉二叉树的各种存储结构的特点及适用范 围。 3. 遍历二叉树是二叉树各种操作的基础。实现 二叉树遍历的具体算法与所采用的存储结构有 关。掌握各种遍历策略的递归算法，灵活运用 遍历算法实现二叉树的其它操作。层次遍历是 按另一种搜索策略进行的遍历。
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4
构造Huffman树的步骤：
操作要点1：对权值的合并、删除与替换
——在权值集合{7,5,2,4}中，总是合并当前值最小的两个权
注：方框表示外结点（叶子，字符对应的权值）， 圆框表示内结点（合并后的权值）。
5
操作要点2：按左0右1对Huffman树的所有分支编
号！ ——将 Huffman树 与 Huffman编码 挂钩
(2) 重复以下步骤, 直到 F 中仅剩下一棵树为止：
① 在 F 中选取两棵根结点的权值最小的扩充二叉树, 做为左、 右子树构造一棵新的二叉树。置新的二叉树的根结点的权值为 其左、右子树上根结点的权值之和。
② 在 F 中删去这两棵二叉树。 ③ 把新的二叉树加入 F。
先举例！
3
例1：设有4个字符d,i,a,n，出现的频度分别为7,5,2, 4，
少。这种编码已广泛应用于网络通信中。
例2（严题集6.26③）：假设用于通信的电文仅由8个字母 {a,
b, c, d, e, f, g, h} 构成，它们在电文中出现的概率分别为 { 0.07, 0.19, 0.02, 0.06, 0.32, 0.03, 0.21, 0.10}，试为这8 个字母设计哈夫曼编码。如果用0～7的二进制编码方案又如何？
=1.44+0.92+0.25=2.61
二进制码 WPL＝3(0.19+0.32+0.21+0.07+0.06+0.10+0.02+0.03)=3
9
另一种结果表示：
10
例3（实验二方案3）：设字符集为26个英文字母，其出 现频度如下表所示。要求编程实现：
先建哈夫曼树，再利用此树对报文“This program is my favorite”进行编码和译码。
注：若圆满实现了此方案，平时成绩将以满分计。
字符 空格 a
b
c
d
e
f
g
h
i
频度 186 64 13 22 32 103 21 15 47 57
字符 j 频度 1
k l mn o p q r s 5 32 20 57 63 15 1 48 51
字符 t u v w x y z
频度 80 23 8 18 1 16 1
解：先将概率放大100倍，以方便构造哈夫曼树。 权值集合 w={7, 19, 2, 6, 32, 3, 21, 10}， 按哈夫曼树构造规则（合并、删除、替换），可得到哈夫曼树。
7
为清晰起见，重新排序为:
w=×{2,×3, 6, 7, 10, 19, 21, 32}
w1=×{5×, 6, 7, 10, 19, 21, 32}
11
提示1：霍夫曼树中各结点的结构可以定义为如下 5个分量： char weight parent lchild Rchild
提示2：霍夫曼树的存储结构可采用顺序存储结构： 将整个霍夫曼树的结点存储在一个数组中：HT[1..n]; 将结点的编码存储在HC[1..n]中。
怎样编码才能使它们组成的报文在网络中传得最快？ 法1：等长编码。例如用二进制编码来实现。
取 d=00，i=01，a=10，n=11 法2：不等长编码，例如用哈夫曼编码来实现。
取 d=0; i=10, a=110, n=111
最快的编码是哪个？是非等长的Huffman码！ 怎样实现Huffman编码先？要构造Huffman树！
17
11
e 10 0.32 e 100 0.32
01 0 1
f 11111 0.03 f 101 0.03 g 01 0.21 g 110 0.21
7 10 6 5 a h d0 1
h 1101 0.10 h 111 0.10
2 3f c
Huffman码的WPL＝2(0.19+0.32+0.21) + 4(0.07+0.06+0.10) +5(0.02+0.03)
01 d
01
i 01
a
n
Huffman编码结果：d=0, i=10, a=110, n=111 特点W：PL每=一1b码it都×不7＋是2另bi一t×码5的+3前b缀it(，2+绝4不)=会35错译! 称为前缀码
6
霍夫曼编码的基本思想是：概率大的字符用短码，概率小的用
长码。由于霍夫曼树的WPL最小，说明编码所需要的比特数最
霍 夫 曼 树： 带权路径长度最小的树。
1
Huffman树简介：
Weighted Path Lengthn
树的带权路径长度如何计算？ WPL 哈夫曼树则是：WPL 最小的树。
=k=1 wklk经典之例：752 4 a bc d(a)
WPL=36
2 c 4 d 75 ab (b)
WPL=46
Huffman树 7 a
100
w2=×{7, ×10, 11, 19, 21, 32}
w3=×{11,×17, 19, 21, 32}
40
60
w4=×{19,×21, 28, 32}
w5=×{28×,32,40}
19 21 32 28 b ge
w6=×{40×,60}
17
11
w7={100}
哈夫曼树
7 10 6 5 a hd
6.5 Huffman树及其应用 a
一、最优二叉树（霍夫曼树）
b
c
预备知识：若干术语
d
路 径： 由一结点到另一结点间的分支所构成
ef g
路径长度： 路径上的分支数目 a→e的路径长度＝ 2
树的路径长度：从树根到每一结点的路径长度之和。树长度＝10
带权路径长度：结点到根的路径长度与结点上权的乘积
树的带权路径长度：树中所有叶子结点的带权路径长度之和
2 3f c
8
对应的哈夫曼编码（左0右1）： 100
符 编码 频率 符 编码 频率
0 40
1 60
a 1100 0.07 a 000 0.07 0 1
01
b 00 0.19 b 001 0.19 19 21 32 28
c 11110 0.02 c 010 0.02 b
g e0
1
d 1110 0.06 d 011 0.06
5 b
24 cd
(c)
WPL= 35
2
构造霍夫曼树的基本思想：
权值大的结点用短路径，权值小的结点用长路径。
构造Huffman树的步骤（即Huffman算法）：
(1) 由给定的 n 个权值{w0, w1, w2, …, wn-1}，构造具有 n 棵扩充 二叉树的森林F = { T0, T1, T2, …, Tn-1 }，其中每一棵扩充二叉树 Ti 只有一个带有权值 wi 的根结点，其左、右子树均为空。
构造Huffman树的步骤：
操作要点1：对权值的合并、删除与替换
——在权值集合{7,5,2,4}中，总是合并当前值最小的两个权
注：方框表示外结点（叶子，字符对应的权值）， 圆框表示内结点（合并后的权值）。
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操作要点2：按左0右1对Huffman树的所有分支编
号！ ——将 Huffman树 与 Huffman编码 挂钩
(2) 重复以下步骤, 直到 F 中仅剩下一棵树为止：
① 在 F 中选取两棵根结点的权值最小的扩充二叉树, 做为左、 右子树构造一棵新的二叉树。置新的二叉树的根结点的权值为 其左、右子树上根结点的权值之和。
② 在 F 中删去这两棵二叉树。 ③ 把新的二叉树加入 F。
先举例！
3
例1：设有4个字符d,i,a,n，出现的频度分别为7,5,2, 4，
少。这种编码已广泛应用于网络通信中。
例2（严题集6.26③）：假设用于通信的电文仅由8个字母 {a,
b, c, d, e, f, g, h} 构成，它们在电文中出现的概率分别为 { 0.07, 0.19, 0.02, 0.06, 0.32, 0.03, 0.21, 0.10}，试为这8 个字母设计哈夫曼编码。如果用0～7的二进制编码方案又如何？
=1.44+0.92+0.25=2.61
二进制码 WPL＝3(0.19+0.32+0.21+0.07+0.06+0.10+0.02+0.03)=3
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另一种结果表示：
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例3（实验二方案3）：设字符集为26个英文字母，其出 现频度如下表所示。要求编程实现：
先建哈夫曼树，再利用此树对报文“This program is my favorite”进行编码和译码。
注：若圆满实现了此方案，平时成绩将以满分计。
字符 空格 a
b
c
d
e
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g
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频度 186 64 13 22 32 103 21 15 47 57
字符 j 频度 1
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字符 t u v w x y z
频度 80 23 8 18 1 16 1
解：先将概率放大100倍，以方便构造哈夫曼树。 权值集合 w={7, 19, 2, 6, 32, 3, 21, 10}， 按哈夫曼树构造规则（合并、删除、替换），可得到哈夫曼树。
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为清晰起见，重新排序为:
w=×{2,×3, 6, 7, 10, 19, 21, 32}
w1=×{5×, 6, 7, 10, 19, 21, 32}
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提示1：霍夫曼树中各结点的结构可以定义为如下 5个分量： char weight parent lchild Rchild
提示2：霍夫曼树的存储结构可采用顺序存储结构： 将整个霍夫曼树的结点存储在一个数组中：HT[1..n]; 将结点的编码存储在HC[1..n]中。
怎样编码才能使它们组成的报文在网络中传得最快？ 法1：等长编码。例如用二进制编码来实现。
取 d=00，i=01，a=10，n=11 法2：不等长编码，例如用哈夫曼编码来实现。
取 d=0; i=10, a=110, n=111
最快的编码是哪个？是非等长的Huffman码！ 怎样实现Huffman编码先？要构造Huffman树！
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11
e 10 0.32 e 100 0.32
01 0 1
f 11111 0.03 f 101 0.03 g 01 0.21 g 110 0.21
7 10 6 5 a h d0 1
h 1101 0.10 h 111 0.10
2 3f c
Huffman码的WPL＝2(0.19+0.32+0.21) + 4(0.07+0.06+0.10) +5(0.02+0.03)
01 d
01
i 01
a
n
Huffman编码结果：d=0, i=10, a=110, n=111 特点W：PL每=一1b码it都×不7＋是2另bi一t×码5的+3前b缀it(，2+绝4不)=会35错译! 称为前缀码
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霍夫曼编码的基本思想是：概率大的字符用短码，概率小的用
长码。由于霍夫曼树的WPL最小，说明编码所需要的比特数最
霍 夫 曼 树： 带权路径长度最小的树。
1
Huffman树简介：
Weighted Path Lengthn
树的带权路径长度如何计算？ WPL 哈夫曼树则是：WPL 最小的树。
=k=1 wklk经典之例：752 4 a bc d(a)
WPL=36
2 c 4 d 75 ab (b)
WPL=46
Huffman树 7 a
100
w2=×{7, ×10, 11, 19, 21, 32}
w3=×{11,×17, 19, 21, 32}
40
60
w4=×{19,×21, 28, 32}
w5=×{28×,32,40}
19 21 32 28 b ge
w6=×{40×,60}
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w7={100}
哈夫曼树
7 10 6 5 a hd
6.5 Huffman树及其应用 a
一、最优二叉树（霍夫曼树）
b
c
预备知识：若干术语
d
路 径： 由一结点到另一结点间的分支所构成
ef g
路径长度： 路径上的分支数目 a→e的路径长度＝ 2
树的路径长度：从树根到每一结点的路径长度之和。树长度＝10
带权路径长度：结点到根的路径长度与结点上权的乘积
树的带权路径长度：树中所有叶子结点的带权路径长度之和
2 3f c
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对应的哈夫曼编码（左0右1）： 100
符 编码 频率 符 编码 频率
0 40
1 60
a 1100 0.07 a 000 0.07 0 1
01
b 00 0.19 b 001 0.19 19 21 32 28
c 11110 0.02 c 010 0.02 b
g e0
1
d 1110 0.06 d 011 0.06
5 b
24 cd
(c)
WPL= 35
2
构造霍夫曼树的基本思想：
权值大的结点用短路径，权值小的结点用长路径。
构造Huffman树的步骤（即Huffman算法）：
(1) 由给定的 n 个权值{w0, w1, w2, …, wn-1}，构造具有 n 棵扩充 二叉树的森林F = { T0, T1, T2, …, Tn-1 }，其中每一棵扩充二叉树 Ti 只有一个带有权值 wi 的根结点，其左、右子树均为空。