Kirchhoff应力张量
基于纤维增强超弹性基体模型的骨骼肌有限元模拟
现时长度函数可以根据希尔方程确定[ 6] , 研究 中选用的长度函数与 Johansson 一致[ 11] 。
将希尔方程转化为无量纲形式[ 13] , 即
=
0
1- v v0 1+ c v v0
( 4)
式中, 最大速度 v0 =
b a
0
,
c=
0
a
。
由上式定义速度函数为
f v( s) =
1- s 1 + cs
图 3 肌肉单 轴应变( 时间为 0 5 s) 。( a) x 方向; ( b) y 方向; ( c) z 方向 Fig. 3 The uniaxial strain of the muscle ( t = 0 5 s) . ( a) x direction; ( b) y direction; ( c) z direction
引言
骨骼肌是构成人体的重要组织, 占人体体重的 40% ~ 45% , 通过主动收缩产生应力, 经肌键作用于 骨骼上, 实现人体的各种运动。肌肉的力学响应是 人体运动的基础, 当骨骼肌受到来自神经系统的刺 激时, 它将储存于自身的化学能转化为机械能, 产生 响应外来刺激的各种运动和呼吸动作。
不同于一般工程材料, 骨骼肌的机械性能相当 复杂, 表现为非线性、不可压、各向异性和超弹性的 性能。此外, 当受到一定的外界刺激时, 能够主动收 缩发力。因此, 骨骼肌又称为生物驱动发动机。从 研究的历史进程来看, 存在两种描述主动收缩发力 的肌肉模型: 希尔模型和贺胥黎模型。后者是基于 生物物理桥联理论, 主要依赖于生物化学、热动力学 和机械试验, 在分子量级上描述肌肉行为[ 1] 。由于 此模型的数学公式过于复杂, 仅适用于肌肉微观收 缩的定性描述。希尔模型的研究基础是热动力学试
应力张量的认识(一)
应力张量的认识（一）本文主要是对材料成形相关专业学习过程中对一些问题的思考，也许并不深刻，但却是自己从初学时的迷惑到后来逐渐认识的过程。
相关还有：Levy-Mises理论的思考从本科的材料成形原理教材上就认识了应力张量，然后一直出现在我们的视野里。
初始，以一个基本定义记住了它，进而有过疑惑，随着矩阵论的学习又有了新的认识。
曾经就有记录下对其理解的想法，但因思路尚未完善而一再搁置；直到今天重新想起，完成了方向余弦作为线性空间的证明，才终于开始详细记录。
我将这部分思考分为以下三部分：应力张量的认识（一）应力张量的认识（二）应力张量的认识（三）本文介绍第一部分应力的基本知识和常规认识。
应力初中物理就已知道，因外力作用而在物体内部产生的力成为内力。
单位面积上的内力即是应力，表征内力的强度。
为了研究某一点P处的应力，用某个截面在P点处切开物体，如下图所示。
根据定义可以得到P点的正应力σ、切应力τ，他们的合成即为全应力T。
需要注意的是，一个确定的截面对应了一组正应力和切应力。
但是过P点有无数的截面，那么如何才能真正描述P点的应力状态呢？应力状态点的应力状态是受力物体内某一点各个截面上应力的变化情况。
上面已经意识到过一点点有无数的截面，只有任意截面上的应力分量都可以确定，才可以说应力状态是确定的。
通常在无数的截面中，任意取三个互相垂直的截面，并以他们的法线方向建立笛卡尔坐标系。
也即在P点截取一个无限小的平行六面体，称为单元体。
单元体无限小，视为一点，因此单元体上相互平行的两个平面视为过该点的同一平面，也即他俩的应力是相同的。
这样就只用三个互相垂直的截面上的应力来分析问题。
由于单元体处于静力平衡状态，由绕各轴合力矩为零可以得到切应力互等定律。
问题：既然单元体上相互平行的两个平面视为过该点的同一平面，那为什么上图平行的平面上应力是相反的？单元体上相互平行的两个平面视为过该点的同一平面，但是分别是被截开的的两部分的平面，截开前他们是重合的，截开后成为了两部分各自的表面，而外表面是有方向的。
基于Odgen模型O型橡胶密封圈的大变形接触分析
基于Odgen模型O型橡胶密封圈的大变形接触分析桑建兵;邢素芳;刘宝会;王静远;刘春阳【摘要】By utilizing nonlinear finite element analysis softwareMSC.Marc,the material parameters of Odgen model were determined through curve fitting by using the experimental data of uniaxial tensile experiments of rubber-like materi-als.The nonlinear finite element model of rubber O-ring seals was set up and the influence of different medium pressure on the mechanical properties of rubber O-ring seals was analyzed.The distribution of Von-mises stress and contact stress on primary contact surface and side contact surface was achieved.The results show that with the increase of medium pressure, the Von-mises stress is increased and transfered to the contact zone between rubber seal and groove,and its distribution on primary contact surface and side contact surface is approximate quadratic parabola.The maximum contact stress appears on the middle contact zone,and it is increased obviously with the increases of medium pressure.The maximum contact stress is greater than medium pressure,which can prevent the leakage of medium.%利用大型非线性有限元软件MSC.Marc，基于橡胶类材料单轴拉伸所得到的应力应变曲线，通过数据拟合确定Odgen模型的材料参数。
第05讲-应力张量
主方向——主平面的法线方向（主应力方向）
主应力
1、主应力的求解
旋转坐标轴，使Q点的斜面ABC 正好是主平面(τ=0),则斜面上 全应力S就是正应力σ(σ=S)。
S在三轴上的投影
S x l S y m S n z
主应力简图
受力物体内一点的应力状态，可用作用在应 力单元体上的主应力来描述，只用主应力的个数 及符号来描述一点应力状态的简图称为主应力图。 一般，主应力图只表示出主应力的个数及正、负 号，并不表明所作用应力的大小。
应力张量的分解
平均应力:
m ( x y z ) ( 1 2 3 )
x xy xz x xy xz ij yx y yz y yz zx zy z z
二阶对称 张量
主应力
1、主应力的概念
表示同一点Q的应力状态可以任选坐标轴，但其9 个分量相应改变，若选一特殊方向，使坐标面τ=0。 此平面一定存在，这是应力张量的特性。
应力椭球体
1、应力椭球体
S1 1l , S2 2m, S3 3n
l
1
S1
,m
2
S2
,n
3
S3
又 l 2 m2 n 2 1
2 1
2 S1
2 2
2 S2
2 3
2 S3
1 椭球面方程，其主半轴的长度分
别为σ1，σ2，σ3。——称应力椭球 面。它是任意斜面全应力矢量S端 点的轨迹。
应力张量的分解
J1 x ' y ' z ' ( x m ) ( y m ) ( z m ) 0
连续介质力学-3b
—
16
第 三
Ξ + K = W +Θ (3.50)
章 守 恒 定 律 和 连 续 介
∫ ∫ Ξ = ∫vρεdv
W =
G
ρf
⋅
G vdv
+
G
K
=
1 2
G
∫vρv
⋅
G vdv
GG
t (n) ⋅ vds
v
∂v
∫ ∫ Θ = ρhdv −
G q(n)ds
v
∂v
G
质 热
式中：h 为单位时间内单位质量产生的热，q(n)
恒 定
独立的状态参量个数为系统的自由度,系统的
律 和
其他状态参量可表示为独立参量的函数;
连 续 介
若状态参量不随系统内物质点而改变,称为 均匀系统;
质
热 力 学
若状态参量不随时间而变,称系统处于热力学 平衡态;
—
能
系统的热力学状态随时间变化——热力学过程
量
守 恒
热力学过程分为可逆过程和不可逆过程
14
力 为单位时间内通过物体表面单位面积流出的热量。
学 能量守恒定律的积分形式为：
—
能 量 守 恒
∫ ∫ ∫ d [
ρ(1
G v
G ⋅v
+
ε )dv
=
ρ(
G f
⋅
G v
+
h)dv
+
GG G G [t (n)⋅v − q(n)]ds
dt v 2
v
∂v
(3.51) 17
第 三 章 守 恒 定
若利用Gauss积分公式，且利用
热 力
计算固体计算力学 - 第四章 几何非线性问题
。对于某一固定时刻t这种变换可以表示为
* 拉各朗日（Lagrange）描述
t
xi t xi ( 0 x1, 0 x2 , 0 x3 )
基于变形前的构型表述变形后的构型。以变形前的各点坐标 为基本未知数，描述各个量。 根据变形的连续性要求，这种变化必须一一对应，即变换是 单值连续的。同时变换应有唯一的逆变换，也是单值连续的 * 欧拉（Eular）描述
t
t 0 ji
T
t 0
S ji
15
计算固体计算力学
各种应力张量之间的关系： （1）由质量守恒：
t
0
0
V
dV
t
t
V
dV
t
0
V
det( 0 t xi , j ) dV
0 det( t xi , j ) 0 t 0 t 0 t t t t （2） 0 Tji t t x j , m mi ， ji 0 0 x j , m 0Tmi t 0 t t t t 0 0 t （3 ） t S x x Smn x x ji 0 j , m 0 i , n 0 0 0 ji t j ,m t i,n mn ， t
其中：
不能求解
uk
--现实位移分量的变分； --应变的变分； --在现实位形内度量的面积载荷 --在现实位形内度量的体积载荷
t
17
计算固体计算力学
第三节 大变形情况下的本构关系
等温、绝热条件下的小变形线弹性情况，可以用三 种等效的方法描述应力和应变之间的关系
ij Dijkl kl
W ij ij
W
1 Dijkl ij kl 2
(优选)连续介质力学第二讲
引理2:
即: aijbij aijbTji aTjibij aTjibTji
tr(a b c) tr(b c a) tr(c a b)
即: aijbjk cki bjk ckiaij ckiaijbjk
可以推广于多个二阶张量点积的情况，例如 tr(a b c d)
w Jσ : D τ : D 的其它表达形式
由于: τ P FT F T FT
有: w P FT : L tr P FT T L tr F PT L
tr PT L F P : L F P : F
e h k σ : D 微分形式的热力学第一定律
其中: σ : D 为即时构形中单位体积的内力功率
定义变形功率w为
w Jσ : D τ : D
它表示参考构形中每单位体积（也就是即时构形中单位体积的J倍) 的变形功率.
引理1:设a与b为二阶张量, 则:
a : b tr(a bT ) tr(aT b) aT : bT
V
V
σ dV fdV aˆdV
V
V
V
由于域是任意的:
f a
对于体积力为零的静力学问题:
0
2.2 第二种方法 引理：在即时构型上体积分的物质导数
d dt
dV t
d
dt
divv dV
t
divvdV
所以：
dV t JdV0
J div v J
动量矩定理:
d dt
vdV
f
dV
P τ FT
分量形式:
PiA
ij
X A x j
同理:
τ P FT
ij
J ij
PiA
x j X A
简析非线性有限元法
简析非线性有限元法游潇;苏小卒【摘要】In the analysis of reinforeced concrete structures subjected to general loading conditions,the realistic constitutive model and robust analytical procedure are two key preconditions to produce reasonably accurate simulations of nonlinear behaviors of such structures.Based on the FEM analysis,suggestions for further studies are given.%采用有限元法分析一般荷载作用下的钢筋混凝土结构时,要得到对结构性能的合理准确的模拟结果,除了需要合理的本构模型,还要有先进的数值分析方法。
文中将对非线性有限元的特点做出分析,为进一步研究提供参考。
【期刊名称】《江西科学》【年(卷),期】2012(030)001【总页数】4页(P75-78)【关键词】非线性有限元;数值方法;钢筋混凝土【作者】游潇;苏小卒【作者单位】同济大学土木工程学院,上海200092;同济大学土木工程学院,上海200092【正文语种】中文【中图分类】TU311目前，钢筋混凝土结构作为一种经济、实用的结构，是我国工业与民用建筑中最为广泛采用的一种结构形式。
这类结构在各类荷载作用下的反应特性，以及合理的设计方法和构造措施，一直以来是结构研究人员和工程师们经常研究的课题。
由于钢筋混凝土是由2种性质截然不同的材料—钢筋和混凝土组合而成，因此它的性能明显的依赖于这2种材料的性能。
尤其是在非线性阶段，钢筋和混凝土本身的各种非线性性能，都不同程度地在这种组合材料中充分反映出来。
目前钢筋混凝土非线性方面的分析和研究还存在着若干有待解决的问题。
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1 jK
0 1 dA ( J F F ) N K FjK J Ti dA dA ** FiL KL N K Ti 0 dA 1 1 1 jK iL ** KL
又因为： FiL yi iL ui , L
证明：
因为
** 1 1 1 1 J F F J F 且 IK pq Ip Kq qp Ip F Kq
所以：
** ** KI IK
进一步考察Kirchoff应力张量与Lagrange应力张量间的关系
F
T
,
* ** Ki KL FiL
* Lagrange坐标系描述的格林应变张量是对称的，这样就会导致本构关系复杂化
Kirchhoff应力张量
• 我们希望构造一个对称的一点广义应力张 量：Kirchhoff应力张量。
分析： Lagrange应力张量是两点应力张量的原因？ 我们虽然新引入初始构形对应斜面dA 上的应力矢 t 与现时构形对应 斜面上 dA 的应力矢 t 不同。但我们仍假设这两个面上的合力矢量 保持 dp dpiii 不变。
0
N ( N ) (F1 )T
所以
JF
以分量形式表示
** 1 1 KI J pq FKp FIq
(F
)
* 1 （对比 Ki JFKj ji 分析 可知Kirchoff应力张量使用的均是Lagrange坐标，是一
点张量。所以 KI 表示法向为 N K 的截面上沿 xI 方向的应力分量，是假想的；
Kirchhoff应力张量
• 为避免上述情况。我们最好把用Lagrange坐标表示其法向 基矢的截面 K 上的力矢也分解到Lagrange坐标系的一组基
1 底上。我们只需要仿照 dx F dy 的变换，假定作用在变
形前微面积 dA0 上的力矢由变形后微面积dA 上的力矢dp dpiii
Kirchhoff应力张量
• Lagrange应力张量相对于Cauchy应力有优点——将现实构
形的平衡问题转换为初始构形平衡问题，使边界条件的描
述变得简单. • 但Lagrange应力张量也存在不足：因为形变梯度张量F 1不 对称， *也不对称，是个两点张量。从而剪应力互等关系 不成立。
* 1 J F * 1 JF Kj ji Ki
1 1 F dp F 经 变换得到：
dp 。则变形前微面积dA0上的
合应力矢 t dA0 dp 。
**
仿照
t n 和 t N ，我们也有
*
t
因为
**
N
N dA0 dp F1 dp F1 (N )dA0
[ ( IL uI ,L )],K p 0
** KL * I
• 同样，边界条件也可以用Kirchoff应力张量来表示
ji n j Ti ** 出发 我们由Euler应力张量表示的边界条件 ： 0 dA ** 1 1 1 由 KI J pq FKp FIq 及 n N F J 可得 dA 1 1 1 ** ji J FjK FiL KL
**
称为伪应力或者广义应力。）
JF 1 (F 1 )T
** 1 1 KI J pq FKp FIq
*
观察以上两式， Kirchoff应力张量应该具有对称性。实际上：、
因为Euler应力张量
具有对称性。
pq qp
而式（*）可看做相似变换，所以Kirchoff应力张量 对称。
xL
所以用Kirchoff应力张量表示的边界条件
** ( iL ui , L ) KL N K Ti* ** KL ( IL uI , L ) N K TI *
0
*
t dA 一方面，
所以
*
0
tdA dp dpiii
0
即t
*
ti ii
。另一方面： t N
*
（这里 N 为初始构形对应斜面dA 用Lagrange坐标表示的法向基矢）， 表示其法向的截面 K 上在Euler坐标 yi上的分量。
ti Ki NK
。也就是说， Ki 表示的是在由Lagrange坐标
这里我们看出Lagrange应力张量具有过渡性质。 结合由Lagrange应力张量表示的平衡微分方程
* * Ki p ,K i 0
从而得到Kirchoff应力张量表示的平衡方程 ** ( KL FiL ),K pi* 0 又因为 FiL 标系重合,所以 I 可以替换 i
yi iL ui , L 且Euler坐标系与Lagrange坐 xL
所以 又 因为
(F1 )T （两种应力张量之间的关系） N dA0 F1 dp F1 (n )dA (n ) (F1 )T dA
dA0 1 1 T N dA N F J ( F ) dA dA 1 1 T