3-28 - 奇解、克莱罗方程、包络
微分方程中包络的定义及求奇解时必须注意的一个问题
274
孔志宏
组求 c—判别曲线之前必须补充定义函数值：x = c 时，y = 0 。 否则 y = 0 与积分曲线族(10) (其中，x > c ， 从而 y > 0 )没有公共点！谈何相切？ 例 4 判断方程
Φ′ − cos ( x − c ) 。 已 知 y = 1 是 方 程 的 解 ， 而 在 通 解 中 当 x − c → c ( x, y , c ) =
π− 时 y →1 ， 补 充 定 义 2
π yc + = 1 ；同理，补充定义 2
π yc − = −1 ，解方程组(c—判别式) 2
Keywords
Envelope, Tangent, Singular Solution, Supplement Function Value
微分方程中包络的定义及求奇解时必须注意的 一个问题
孔志宏
太原师范学院数学系，山西 晋中
收稿日期：2017年6月18日；录用日期：2017年7月3日；发布日期：2017年7月10日
y = 0.
)
(3)
及
= y
1 2 ( x − c) , 4
(4)
272
孔志宏
还有一个特解为 y = 0 。
x 对积分曲线族(3)由于 Φ′ y c = e ≠ 0 ，所以(3)没有包络。对积分曲线族(4)， Φ ( x, y , c ) =−
1 2 ( x − c) ， 4
Φ′ 2 ( x c ) 。c—判别式为 c ( x, y , c ) =−
Open Access
常微分方程的发展史
常微分方程的发展史摘要：20世纪以来,随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展,也出现不少新型的微分方程（特别是方程组）.70年代随着数学向化学和生物学的渗透,出现了大量的反应扩散方程. 从“求通解”到“求解定解问题”数学家们首先发现微分方程有无穷个解.常微分方程的解会含有一个或多个任意常数,其个数就是方程的阶数.偏微分方程的解会含有一个或多个任意函数,其个数随方程的阶数而定.命方程的解含有的任意元素（即任意常数或任意函数）作尽可能的变化,人们就可能得到方程所有的解,于是数学家就把这种含有任意元素的解称为“通解”.在很长一段时间里,人们致力于“求通解”.关键词：常微分方程，发展，起源正：常微分方程是由用微积分处理新问题而产生的，它主要经历了创立及解析理论阶段、定性理论阶段和深入发展阶段。
17 世纪，牛顿(I.Newton ，英国，1642-1727)和莱布尼兹(G.W.Leibniz ，德国，1646-1716)发明了微积分，同时也开创了微分方程的研究最初，牛顿在他的著作《自然哲学的数学原理机(1687年)中，主要研究了微分方程在天文学中的应用，随后微积分在解决物理问题上逐步显示出了巨大的威力。
但是，随着物理学提出日益复杂的问题，就需要更专门的技术，需要建立物理问题的数学模型，即建立反映该问题的微分方程。
1690 年，雅可比·伯努利(Jakob Bernouli，瑞士，1654-1705)提出了等时间题和悬链线问题．这是探求微分方程解的早期工作。
雅可比·伯努利自己解决了前者。
翌年，约翰伯努利(Johann Bernouli ，瑞士，1667-1748)、莱布尼兹和惠更斯（C.Huygens ，荷兰，1629-1695)独立地解决了后者。
有了微分方程，紧接着就是解微分方程，并对所得的结果进行物理解释，从而预测物理过程的特定性质．所以求解就成为微分方程的核心，但求解的困难很大，一个看似很简单的微分方程也没有普遍适用的方法能使我们在所有的情况下得出它的解。
§3.4 奇 解
于是, 于是
* 2
在( x0 , y0 ) 点的切线的斜率为 k = − Φ x = 1, 所以 lc0 c0
Φy
2 4 2 2 2 l : y = x − + = x − 是 ( y − c) − ( x − c ) 2 = 0 的包络 的包络. 3 9 9 3
y
x
O
3 奇解
定义2 定义 对于一阶微分方程 F（x,y,y’）=0. 如果存在一条曲线 （ ）
其c ∈ I是参数.
如何判断它是否有包络? 如果有包络, 如何求? 如何判断它是否有包络 如果有包络 如何求
Φ(x, y, c) = 0,
2 包络的求法 曲线族(3.23)的包络包含在下列两方程
(3.23)
Φ ( x, y , c ) = 0 ' Φ c ( x, y, c) = 0
消去参数c而得到的曲线F ( x, y ) = 0之中,
F ( x, y, y ' ) = 0, y ( x0 ) = y 0 , y ' ( x0 ) = p0
为足够小的正数)， 为足够小的正数 上存在唯一解. 在 x − x0 ≤ h (h为足够小的正数 ，上存在唯一解
因此,方程 的奇解,如果存在的话 必含在从方程组: 因此 方程F(x,y,y’)=的奇解 如果存在的话 必含在从方程组 方程 的奇解 如果存在的话,必含在从方程组 F ( x, y , p ) = 0 F p ( x, y , p ) = 0 消去参数p而得到的曲线 ϕ ( x, y ) = 0 中. 消去参数 而得到的曲线
且
存在唯一的
0
l
与
lc0 在 ( x0 , y0 )
c0 ∈ I ,
常微分方程 奇解与包络
y
c0
从图形可以看到，有无数 条积分曲线过初始点。
0
1
2
x
例2：求方程 dy 2 1 y dx 的所有解。
§2.4 singularly solution
解：该方程有通解 y sin( x c) 此外还有两个特解y=1和y=-1
§2.4 singularly solution
y
x
§2.4 singularly solution
定义2.3 如果方程存在某一解，在它所对应 的积分曲线上每点处，解的唯一性都被破坏， 则称此解为微分方程的奇解。奇解对应的积 分曲线称为奇积分曲线
§2.4 singularly solution
一 包络和奇解的定义 曲线族的包络：是指这样的曲线，它本身并不包
§2.4 singularly solution
例1
dy 2 y dx y (0) 0
解： 容易看到 y=0是解，并且满足给定的初始条件
由
得通解
dy dx 2 y y x c y ( x c )2 , xc
利用通解和特解可以构造解：
xc 0, y 2 ( x c ) , xc
注:并不是每个曲线族都有包络. 例如: 单参数曲线族:
§2.4 singularly solution
x y c
2 2
2
(其中c为参数)表示一族同心圆. 如图
从图形可见, 此曲线族没有包络.
二、不存在奇解的判别法
•假设方程(1.9)的右端函数
上有定义，如果
§2.4 singularly solution
x
o
§2.4 singularly solution
包络定理及其应用
包络定理及其应用作者：陈颂闫晓芳来源：《新课程·中旬》2014年第09期摘要：包络在数学中是一个很基本的概念，在各个学科上都有自己独特的含义。
通过讨论包络在数学中的概念，研究和数学联系非常紧密的经济学中包络的应用。
关键词：包络；包络定理；克莱罗方程包络，形象地说就是许多椭圆形曲线交织，外观看起来是包起来的一样，故名包络。
它在数学、物理学、文学、经济学、地质学、传统中医学等上都有自己独特的含义。
本文主要讨论包络在数学中的概念，以及和数学联系非常紧密的经济学中的应用。
本文共分五个部分，具体如下：一、包络的概念在数学上，一族平面直线（或曲线）的“包络”（envelope）是指一条与这族直线（或曲线）中任意一条都相切的曲线。
假设这族平面曲线记为F（t，x，y），这里不同的t对应着曲线族中不同的曲线，则包络线上的每一点满足下面的两条方程：F（t，x，y）=0■（t，x，y）=0由这两条方程消去t后便可得出包络线的隐式表示。
类似地可以定义空间中一族平面（或曲面）的包络。
数学中包络线的例子很多。
例如，绣曲线是包络线；直线族（A-s）x+sy=（A-s）（s）（其中A是常数，s是直线族的变量）的包络线为抛物线。
二、包络在几何中的概念几何中有包络原理（the envelope principle），它的定义为：平面内，以A、B为顶点的一条线段的一侧有若干个点，与A，B相连构成一个凸多边形，则该图形除AB外所有边之和大于AB；若在该图形之外且在AB同侧有另外若干点与AB构成另一个凸多边形，则此多边形的周长大于上一图形的周长。
利用此原理，可证明一个圆的周长大于其内接凸多边形，小于其外切凸多边形，进而可以不断地缩小π的取值范围。
三、包络在微分方程中的概念在微分方程中，一阶微分方程的奇解是通解曲线族的包络。
例如，在常微分方程克莱罗（Clairaut）方程u=tu′+f（u）′中，两边对t取导数，得：u′=u′+tu′+f′（u′）u″整理得：（t+f′（u′））u″=0由此可知u″=0或u″=-t.当u″=0时，u=Ct+f（C），称为克莱罗方程的一般解。
常微分方程的发展史毕业论文
常微分方程的发展史摘要：常微分方程是17世纪与微积分同时诞生的一门理论性极强且应用广泛的数学学科之一，本文从常微分方程的起源谈起，分四个时期介绍其发展过程。
本文从常微分方程的起源发展、理论知识及基本原理、应用等方面出发，系统地介绍常微分方程的发展史和在数学发展中的重要意义。
引言：随着科技进步和工业现代化的发展，物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿的运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等。
而数学建模通常是针对生产、管理、社会、经济等领域中提出的原始问题进行解决的过程。
这些问题基本上没有经过任何的加工处理，也没有固定的形式，也看不出明确的解决方法，因此，数学建模的过程是一项培养我们大学生创造能力和创新思维能力的“实践”，通过数学建模，把生活中的具有实际的现实意义的问题结合上所学的理论知识当中，真正做到学有所用，学以致用。
对这些问题的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。
因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。
关键词：常微分方程起源发展一、常微分方程的思想萌芽微分方程就是联系着自变量，未知函数以及其导数的关系式，微分方程理论的发展是随着微积分理论的建立发展起来的。
一般地, 客观世界的事件的联系是服从一定的客观规律的, 而这种联系, 用数学语言表述出来, 即抽象为微分方程，一旦求出其解或研究清楚其动力学行为, 变量之间的规律就一目了然了。
例如在物体运动中，位移的计算就与瞬时速度之间有着紧密的联系，其结果往往形成一个微分方程, 一旦求出其解或研究清楚其动力学行为，就明确掌握了物体的运动规律。
1.1 常微分方程的产生背景随着微积分的建立，微分方程理论也发展起来。
关于奇解与包络的一点补充
【 】 题意 设所求曲 切 程为：÷ 一＝ 法二 依 ， 线的 线方 十Ｖ ｌ
其 中， 分别 是切线 在 与 ， 轴 轴上 的截距 ，且满 足 ， ＝ ＋
（ １ ）
（） ２
由（） ＝ － ２得， ａｍ，代入（） １ 得—± 十 ＝ｌ 即 ｍ ＋向 叫 向－ ） 一 ｘ 一 ｍ ＝０
解：
［ 法一】 设所求曲线的方程为 ‘ 砷，在此曲线上任一点（ 处，曲线的切线方程是： ｒ ＝ 工 ＿
一
一
（ ｙ ） 表切线上的动 点，令ｒ 可得切线在 上的截距 ＝ ，夸 Ｄ ＝０ — ｒ 可得切线在 — 轴上的截距 ． 一
Ｙ
依 意 所 曲 满 的 分 程 题 得求线足 微方为
一
定是奇解 ：反 之 ，微 分方 程 的奇解（ 若存 在 的活） 是微 分方程 的通解 的包 络 ，因此 ，为了求微 分方程 的奇解 ， 也
பைடு நூலகம்
可 求 出它 的通 解 ，然后 求通 解 的包 络 ． 利 用上述 结论 解某 些几 何 问题 时，如下 述 的例 ｌ ，一般 是先 建立所 求 曲线满 足的微 分方 程 ，再 求微 分方程 的
解；依题意，设所求曲 线的切线的方程为 ＋ ｌ 亭＝
收稿 日期 ：２ ０ ２２ ０ １１ ３
（ ５ ）
作 者简介 ：赵邦杰（ ４ ． １ ４） ９ ．男．成都信息工程学院计算机科学系副教授
维普资讯
第２ 期
赵邦杰等 ： 关于奇解与包络的一点补充
摘
要 给出了末一阶隐式微分方程通解的包络（ 如果它存在的话） 的另一种方法，它通常比按常规方法求包络来得简单．直接
关键词 ．微分 方程 通解 ：奇解； 包络
中 图分 类号 ：Ｏ１ ５１ ７． 文 献 标 识 码 ：Ａ
克莱罗方程奇解
克莱罗方程奇解克莱罗方程是一种特殊的一阶微分方程，它的形式为：yxy'f(y') = 0。
这个方程的解往往会呈现出奇特的性质，因此被称作克莱罗方程的奇解。
在这篇文章中，我们将详细地讨论克莱罗方程的奇解，并尝试从数学和物理的角度去理解它们。
首先，让我们回顾一下克莱罗方程的定义。
克莱罗方程是一种具有包络结构的一阶微分方程。
它的形式为：yxy'f(y') = 0，其中y是连续可微的函数，f(y')是关于y'的连续可微函数。
这个方程的解往往会呈现出奇特的性质，因此被称作克莱罗方程的奇解。
为了更好地理解克莱罗方程的奇解，我们可以从一个具体的例子出发。
假设我们考虑一个简单的二维平面上的波动方程：y'' + ky = 0，其中k是常数。
这个方程的解可以表示为y = cosh(kx) + sinh(kx)，这是一个关于x的指数函数，它具有周期性。
我们可以把这个解看作是一族沿着直线y = x平移的波。
现在，让我们回到克莱罗方程。
克莱罗方程的奇解具有以下几个重要的性质：奇解是关于原点对称的。
这意味着如果解为y(x)，那么-y(-x)也是这个方程的解。
这个性质可以用来检验一个解是否为奇解。
奇解的导数是奇函数。
这意味着如果y(x)是克莱罗方程的奇解，那么y'(x)也是奇函数。
这个性质可以用来进一步确定一个解是否为奇解。
奇解的二次导数是偶函数。
这意味着如果y(x)是克莱罗方程的奇解，那么y''(x)也是偶函数。
这个性质可以用来检验一个解是否为二次奇解。
克莱罗方程的奇解在数学和物理领域都有着广泛的应用。
在数学领域，克莱罗方程的奇解是研究常微分方程的重要工具。
在物理领域，克莱罗方程的奇解可以用来描述波动现象，例如声波、电磁波等。
总结一下，克莱罗方程的奇解是一种具有特殊性质的解，它具有关于原点对称、导数为奇函数、二次导数为偶函数等性质。
克莱罗方程的奇解在数学和物理领域都有着广泛的应用，它为我们理解和描述世界提供了一个重要的工具。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.3 奇解和包络(Singular solution of ODE and envelop of curve family )
[教学内容] 1. 介绍微分方程奇解的概念; 2.介绍曲线族包络的概念; 3. 介绍求解微分方程奇解的方法;4. 介绍寻找曲线族包络的方法；5.复习克莱罗方程.
[教学重难点] 重点是知道并会运用微分方程奇解的必要条件来寻找微分方程的奇解；难点是如何验证由奇解必要条件获得函数是微分方程的奇解
[教学方法] 预习1、2、3；讲授1、2、3
[考核目标]
1.微分方程奇解的概念;
2. 知道曲线族包络的概念;
3. 求解微分方程奇解的方法;
4. 知道寻找曲线族包络的方法;
5. 认识克莱罗方程并会求解.
1.微分方程奇解和曲线族包络的概念
2.包络和奇解的寻找
例45. 求曲线族03)y(y C)(x 2
2
=---的包络.
解：由C 判别式得到，0C)2(x 0,C)y(y C)(x 2
2
=-=---.
得到两条直线⎩⎨⎧==⎩⎨
⎧==3
y C
x ,0y C x .
42024
1
1
2
3
4
由上图知道，直线y=0是原曲线族的包络.
例46. 求曲线族0C)(x 3
2
C)(y 32
=--
-的包络. 解：由C 判别法知，0C)-2(x C)-2(y 0,C)(x 3
2C)(y 2
32=+=---.
2112
2
1
1
解得⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=+=⎩⎨⎧==94
C y 32C x ,C y C x ，即直线92x y x,y -==. 由上图知，直线9
2
x y -=是曲线族的包络.
作业38. 求曲线族4c y c)(x 2
2
=+-的包络，其中c 为参数.
例47. 求方程2
)dx
dy (dx dy 2x y -=的奇解. 解：记dx
dy p =
，则方程为2p 2x p y -=，运用p 判别法知，02p 2x ,p 2x p y 2
=--=. 解得2
x y =. 易验证可知，2
x y =不是原方程的解，因此，原方程没有奇解.
例48. 求方程01y )dx
dy (22
=-+的奇解. 解：记01y p ,dx
dy
p 22=-+=
，由p 判别法知，02p 0,1y p 22==-+，解得1y ±=. 令⎪⎩⎪⎨⎧==sin t dx
dy t cos y ，当0dx dy ≠时，1sin t sin t dx dy /dt dy dt dx -=-==，即C t x +-=.
故所求的通解为C)cos(x y -=.
4224
1.0
0.5
0.5
1.0
容易验证1y ±=为原方程的奇解.
作业39. 求解方程0y )dx
dy
x ()dx dy (
2=-+，并求奇解（如果存在的话）.
3. 克莱罗方程与应用题
例49. 求一曲线使得它的切线在两坐标轴之间的线段长为a>0.
1.00.50.5 1.0
1.0
0.5
0.5
1.0
作业40. 求一曲线，使得它上面每一点的切线与坐标轴的两截距之和等于常数a>0.。