(完整版)2.4奇解与包络
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第四章基本定理-补充奇包络
补充：奇解与包络
奇解是1734年由克莱洛发现的。1872年由 拉格朗日求出了包络。
一、奇解的定义
例1 方程
的通解是
dy dx
1 y2
y=sin x+C
另外还有两个常数解
y=+1, y= 1.
积分曲线图如图1所示。
从图中可以看出，y=+1, y= 1.方程通解中
的任意积分曲线相切。
即在方程的两个解 y=+1, y= 上1.每一点处
几何上看，它表示一个单参数曲线族。
定义2 设给定单参数曲线族
C: x,y,C =0
（2）
其中C为参数， 对所有变量连续可微。
如果存在连续可微曲线L，其上任一点均有
（C）中某一曲线与L相切，且在L的不同点，
L与（C）中的不同曲线相切，那么称此曲线L
为曲线族（C）的包络线或称包络。见图2.
图2 定理1 方程（1）的积分曲线族（C）的包络线L 是方程（1）的奇积分曲线。 证明（略）
x,y
解 设所求曲线为y=y（x），在其上任取一点 （x，y），过该点的切线为
Y -y=y X-x
其中（X，Y）为切线上动点的坐标。
切线与x，y轴的交点分别是
x-
y y
,
0
,
0, y-xy
由题意 或
2
x-
y y
+ y-xy2 =a
x-
y y
2
+
y-xy2
=a 2
即
y=xy ay
: y=m x
或 x=n y
它在q点的斜率为
K
=-
x y
x x
C C
,y ,y
奇解是1734年由克莱洛发现的。1872年由 拉格朗日求出了包络。
一、奇解的定义
例1 方程
的通解是
dy dx
1 y2
y=sin x+C
另外还有两个常数解
y=+1, y= 1.
积分曲线图如图1所示。
从图中可以看出，y=+1, y= 1.方程通解中
的任意积分曲线相切。
即在方程的两个解 y=+1, y= 上1.每一点处
几何上看，它表示一个单参数曲线族。
定义2 设给定单参数曲线族
C: x,y,C =0
（2）
其中C为参数， 对所有变量连续可微。
如果存在连续可微曲线L，其上任一点均有
（C）中某一曲线与L相切，且在L的不同点，
L与（C）中的不同曲线相切，那么称此曲线L
为曲线族（C）的包络线或称包络。见图2.
图2 定理1 方程（1）的积分曲线族（C）的包络线L 是方程（1）的奇积分曲线。 证明（略）
x,y
解 设所求曲线为y=y（x），在其上任取一点 （x，y），过该点的切线为
Y -y=y X-x
其中（X，Y）为切线上动点的坐标。
切线与x，y轴的交点分别是
x-
y y
,
0
,
0, y-xy
由题意 或
2
x-
y y
+ y-xy2 =a
x-
y y
2
+
y-xy2
=a 2
即
y=xy ay
: y=m x
或 x=n y
它在q点的斜率为
K
=-
x y
x x
C C
,y ,y
§3.4 奇 解
于是, 于是
* 2
在( x0 , y0 ) 点的切线的斜率为 k = − Φ x = 1, 所以 lc0 c0
Φy
2 4 2 2 2 l : y = x − + = x − 是 ( y − c) − ( x − c ) 2 = 0 的包络 的包络. 3 9 9 3
y
x
O
3 奇解
定义2 定义 对于一阶微分方程 F（x,y,y’）=0. 如果存在一条曲线 （ ）
其c ∈ I是参数.
如何判断它是否有包络? 如果有包络, 如何求? 如何判断它是否有包络 如果有包络 如何求
Φ(x, y, c) = 0,
2 包络的求法 曲线族(3.23)的包络包含在下列两方程
(3.23)
Φ ( x, y , c ) = 0 ' Φ c ( x, y, c) = 0
消去参数c而得到的曲线F ( x, y ) = 0之中,
F ( x, y, y ' ) = 0, y ( x0 ) = y 0 , y ' ( x0 ) = p0
为足够小的正数)， 为足够小的正数 上存在唯一解. 在 x − x0 ≤ h (h为足够小的正数 ，上存在唯一解
因此,方程 的奇解,如果存在的话 必含在从方程组: 因此 方程F(x,y,y’)=的奇解 如果存在的话 必含在从方程组 方程 的奇解 如果存在的话,必含在从方程组 F ( x, y , p ) = 0 F p ( x, y , p ) = 0 消去参数p而得到的曲线 ϕ ( x, y ) = 0 中. 消去参数 而得到的曲线
且
存在唯一的
0
l
与
lc0 在 ( x0 , y0 )
c0 ∈ I ,
包络和奇解
曲线族包络的求法： 曲线族包络的求法：
Φ( x , y , c ) = 0 ' Φc ( x, y, c ) = 0
Φ( x, y, c) = 0,
(2.10)
曲线族(2.10)的包络包含在下列两方程 曲线族(2.10)的包络包含在下列两方程 (2.10)
( 2.11)
消去参数c而得到的曲线F ( x, y ) = 0之中,
包络和奇解定义对某些常微分方程存在着一条特殊的积分曲线他不属于这方程的积分曲线族但是在这条特殊的曲线上的每一点处都有积分曲线族中的一条曲线和他在此相切在几何学上这条特殊的积分曲线称为积分曲线族的包络
包络和奇解的MATLAB做法 做法 包络和奇解的
10073211 张丽萍
• 1.包络和奇解定义 包络和奇解定义 对某些常微分方程， 对某些常微分方程，存在着一条特殊的积分曲 他不属于这方程的积分曲线族，但是， 线，他不属于这方程的积分曲线族，但是，在这 条特殊的曲线上的每一点处， 条特殊的曲线上的每一点处，都有积分曲线族中 的一条曲线和他在此相切，在几何学上， 的一条曲线和他在此相切，在几何学上，这条特 殊的积分曲线称为积分曲线族的包络。 殊的积分曲线称为积分曲线族的包络。在微分方 程里， 程里，这条特殊的积分曲线所对应的解称为该方 程的奇解。 程的奇解。 一阶微分方程的通解的包络一定是奇解（ 一阶微分方程的通解的包络一定是奇解（如果 存在的话），反之，微分方程的奇解（ ），反之 存在的话），反之，微分方程的奇解（如果存在 的话）一定是微分方程通解的包络。因此， 的话）一定是微分方程通解的包络。因此，为了 求微分方程的奇解，要先求出它的通解， 求微分方程的奇解，要先求出它的通解，然后求 通解的包络。 通解的包络。
具体m文件如下： 具体 文件如下： 文件如下 clear hold on x=-300:0.1:300; for c=-100:17:100 y1=c*(x+1)+c.^2; plot(x,y1, ‘r') end • hold on • y=-1/4*(x+1).^2; • • • •
常微分方程的几何解释
(2.2)
a x b, y ,
假设函数 f x, y在给定区域上连续且有界.于是
它在这个区域上确定了一个线素场.下面利用线素场
求出经过 x0, y0 的近似积分曲线.把
x0 ,b n 等分,其分点为:
xk x0 kh, k 0,1, , n
h b x0 , n
xn b
常微分方程
绵阳师范学院
先求出 f x0, y0
用经过 x0, y0 斜率为
y
x1
,
y1
x2
,
y2
f x0, y0 的直线段来近
y0
似积分曲线,其方程为
y y0 f x0, y0 x x0
x0 x1 x2
bx
求出直线上横坐标 x1 处的点的纵坐标
y1 y0 f x0, y0 x1 x0 y0 f x0, y0 h
如果 h 很小 x1, y1 就很接近积分曲线上的点 x1, y x1
因 f x, y 连续.于是由点 x1, y1 出发的斜率为
f x1, y1 的直线段又近似于原积分曲线.它的方程为
了线素场.
y k x
易见在点 x, y 的线素与
过原点与该点的射线重合.
常微分方程
绵阳师范学院
定理2.1 L为(2.1)的积分曲线的充要条件是: 在L 上任一点,L 的切线方向与(2.1)所确定的线 素场在该点的线素方向重合;即L在每间点均与 线素场的线素相切.
证明 必要性 设L为(2.1)的积分曲线,其方程为
20
若初值问题
dy dx
f ( x, y),的解是存在,是否唯一?
关于奇解与包络的一点补充
【 】 题意 设所求曲 切 程为：÷ 一＝ 法二 依 ， 线的 线方 十Ｖ ｌ
其 中， 分别 是切线 在 与 ， 轴 轴上 的截距 ，且满 足 ， ＝ ＋
（ １ ）
（） ２
由（） ＝ － ２得， ａｍ，代入（） １ 得—± 十 ＝ｌ 即 ｍ ＋向 叫 向－ ） 一 ｘ 一 ｍ ＝０
解：
［ 法一】 设所求曲线的方程为 ‘ 砷，在此曲线上任一点（ 处，曲线的切线方程是： ｒ ＝ 工 ＿
一
一
（ ｙ ） 表切线上的动 点，令ｒ 可得切线在 上的截距 ＝ ，夸 Ｄ ＝０ — ｒ 可得切线在 — 轴上的截距 ． 一
Ｙ
依 意 所 曲 满 的 分 程 题 得求线足 微方为
一
定是奇解 ：反 之 ，微 分方 程 的奇解（ 若存 在 的活） 是微 分方程 的通解 的包 络 ，因此 ，为了求微 分方程 的奇解 ， 也
பைடு நூலகம்
可 求 出它 的通 解 ，然后 求通 解 的包 络 ． 利 用上述 结论 解某 些几 何 问题 时，如下 述 的例 ｌ ，一般 是先 建立所 求 曲线满 足的微 分方 程 ，再 求微 分方程 的
解；依题意，设所求曲 线的切线的方程为 ＋ ｌ 亭＝
收稿 日期 ：２ ０ ２２ ０ １１ ３
（ ５ ）
作 者简介 ：赵邦杰（ ４ ． １ ４） ９ ．男．成都信息工程学院计算机科学系副教授
维普资讯
第２ 期
赵邦杰等 ： 关于奇解与包络的一点补充
摘
要 给出了末一阶隐式微分方程通解的包络（ 如果它存在的话） 的另一种方法，它通常比按常规方法求包络来得简单．直接
关键词 ．微分 方程 通解 ：奇解； 包络
中 图分 类号 ：Ｏ１ ５１ ７． 文 献 标 识 码 ：Ａ
3-26 - 奇解、克莱罗方程、包络
3.3奇解和包络(Singular solution of ODE and envelop of curve family)
[教学内容]1.介绍微分方程奇解的概念;2.介绍曲线族包络的概念;3.介绍求解微分方程奇解的方法;4.介绍寻找曲线族包络的方法；5.复习克莱罗方程.
[教学重难点]重点是知道并会运用微分方程奇解的必要条件来寻找微分方程的奇解；难点是如何验证由奇解必要条件获得函数是微分方程的奇解
[教学方法]预习1、2、3；讲授1、2、3
[考核目标]
1.微分方程奇解的概念;
2.知道曲线族包络的概念;
3.求解微分方程奇解的方法;
4.知道寻找曲线族包络的方法;
5.认识克莱罗方程并会求解.
1.微分方程奇解和曲线族包络的概念
2.包络和奇解的寻找。
常微分方程2.4
2.4.3 包络线及奇解的求法 1.包络线
定义2.4 设曲线族 (C ) : ( x, y, C ) 0 ( 对 所有变量连续可微) 如果存在连续可微曲 线L, 在其上任一点均有(C) 中的某一曲线 与L相切,且在L上不同的点,L与(C)中不同 曲线相切，那么称此曲线L为曲线族(C)的 包络线。
则是 曲线族的包络线。
dy 例3 求方程 3y 奇解 dx
dy 2 例4
其中 是二次可微函数且 0
例5 求克莱罗方程的奇解
y xy ( y)
例6 求曲线,使其每一点的切线与 两坐标轴所围成的三角形的面积 均等于2。 y b o a
x
习题 2.4
x x(C ) 反之,若从C-判别式解得连续可微曲线 : y y(C ) 且满足非蜕化条件：
C ( x, y, C ) 0
( x(C), y(C)) (0,0)
(x ( x(C ), y (C ), C ), y ( x(C ), y (C ), C ) (0,0)
定理2.6 方程(2.1)的积分曲线族(C) （通解）的包络线L是(2.1)的奇积分 曲线（奇解）。
dy f ( x, y) dx
(2.1)
显然，方程的奇解对应的积分曲线就 是包络线.
2.奇解的求法
定理2.7 若L是曲线族(2.10)的包络线 ，则它 满足C-判别式 ( x, y, C ) 0
§2.4 奇解与包络
2.4.1 奇解
dy 2 例1 求解方程 1 y dx
y
o
x
定义2.3 如果方程存在某一解，在 它所对应的积分曲线上每点处，解 的唯一性都被破坏，则称此解为微 分方程的奇解。奇解对应的积分曲 线为奇积分曲线。
常微分第三章第4节(奇解)
y cx f (c)
' x f ( p) 0 ' 如果 x f ( p) 0，则 y xp f ( p) 消去 p 得到方程的另一个解。
这里
c 是任意常数。
25
注意，求得此解的过程正好与从通解
y cx f (c)
可以验证，此解的确是通解 中求包络的过程一样。 的包络。
注1：包络一定包含在 c-判别曲线中。 注2：c-判别曲线不一定为包络。
2 充分但不必要。 2 x y 0
15
C 判别曲线法求方程奇解的一般步骤： （1）求出方程的通解（积分曲线族）； （2）求积分曲线族的 c 判别曲线；
（3）检验 c 判别曲线是否为包络，若是，则 为方程的奇解。
16
y 1
其中
容易求得原方程的通解为 y sin( x c)
c 为任意常数。而 y 1 是通解的包络。
所以此两直线都是方程的奇解。
22
例4
求方程
dy dy 2 y 2x ( ) 的奇解。 dx dx
y 2 xp p 2 解 从 2 x 2 p 0
消去
这是克莱罗方程，因而它的通解是 1 y cx c 1
27
y2 4x
O
图(3.5)
28
例6
求一曲线,使在其上每一点的切线截割坐
标轴而成的直角三角形的面积都等于2 。 y A
O 图(3.6)
B
x
29
依题意有ab 4，而
dy 2 dy 得 ( y x ) 4 dx dx
现在求曲线族的包络，亦即微分方程的奇解。
30
y 2c c 2 x 从 中消去 c 得微分方程的奇解 1 cx 0
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如图
绵阳师范学院
从图形可见, 此曲线族没有包络.
6
常微分方程
问题:对于给定的单参数曲线族:
lc : (x, y, c) 0
其中 c I R为参数.
如何判断它是否有包络?
如果有包络, 如何求?
绵阳师范学院
根据定义, 假设该单参数曲线族有包络 l,则对任意的
x, y l, 存在唯一的 c I ,使得x, y lc .
((t), (t),c(t)) 0, t (, )
于是,
x
d
dt
y
d
dt
c
dc dt
0.
8
常微分方程
绵阳师范学院
现在 l 任取一个固定点M, 则M在某一条曲线 lc 上. 由于l 与lc 在M点有相同的切线, 因为 l 与 lc
在M点的切线的斜率分别为
dy dx
与
x , y
所以, 有
x
d
(2) 对任意的 x0 , y0 l, 存在唯一的 c0 I ,使得
x0 , y0 lc0 且 l 与 lc0在 x0, y0 有相同的切线. 则称 l 为曲线族 lc : (x, y, c) 0的一条包络线,
简称为包络.
定理2.6 一阶微分方程(2.1)的通解的包络一定是奇 解;反之微分方程的奇解(若存在)也是方程的包络.
曲线F ( x, y) 0称为(2.10)的 c 判别曲线.
注: c 判别曲线有时除包络外还有其它曲线.
11
常微分方程
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例1: 求曲线族 ( y c)2 2 (x c)3 0 的包络. 3
解: 记 (x, y, c) ( y c)2 2 (x c)3 0, 3
则
克莱罗（Clairaut）方程 形如
y
x
dy dx
f
dy dx
的方程，称为克莱罗(Clairaut)方程.
dt
y
d
dt
0,
从而
c
dc dt
0.
由于在 l 上不同的点也在不同的 lc上,
即
dc 0, dt
因此 c 0.
9
常微分方程
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因此,包络线 l 任意一点M 不仅要满足
(x, y,c) 0,
而且还要满足 c (x, y, c) 0.
联立方程组:
(x, y, c) 0 c (x, y, c) 0
(
y
c)2
2
(xc)3ຫໍສະໝຸດ 0(1)3
( y c) ( x c)2 0
(2)
为了消去c,把(2)代入(1)得
(x c)4 2 (x c)3 0 3
即 (x c)3[(x c) 2] 0 3
12
常微分方程
从x c 0得 y x (3)
从x c 2 0得 3
y x 2 (4) 9
于是得到对应关系:
c:l I,
(x, y) c(x, y).
7
常微分方程
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从而得到二元函数 c c(x, y), (x, y) l 使得
(x, y,c(x, y)) 0, (x, y) l.
若 l 可用参数形式表示为:
x (t),
y
(t),
t (, )
记
c c((t), (t)) c(t), 则
解:
从
p 2 y 2 1 0,
2 p 0.
消去p(实际上p=0), 得到 p-判别曲线
y 2 1,
即 y 1.
由于方程的通解为: y sin(x c), c为任常数
而y 1也是微分方程的解 ,且正好是通解的包络 .
两曲线y 1和y 1是方程的奇解 .
15
常微分方程
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中消去参数c得到的方程F(x,y)=0所表示的曲线 l *
称为曲线族 lc cI 的c -判别曲线
10
常微分方程
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定理 2.7
( x, y,c) 0, (2.10)
曲线族(2.10)的包络包含在下列两方程
( x, y,c) 0
'c
(
x,
y
,
c
)
0
2.11
消去参数 c而得到的曲线 F(x, y) 0之中,
2.4.2 不存在奇解的判别法 奇解只能存在于不满足解的存在唯一性条件的
区域上----这由解的存在唯一性定理保证.(P103例)
2
常微分方程
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2.4.3 包络线及奇解的求法 1 包络的定义 定义2.4：给定的单参数曲线族：
( x, y,c) 0, (2.10) 其中c是参数, (x, y, c)是x, y, c的连续可微函数 ,
曲线族(2.10)的包络是指这样的曲线, 它本身不包含在 曲线(2.10)中,但过这曲线的每一点有(2.10)中的一条 曲线和它在这点相切.
3
常微分方程
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或定义：对于给定的一个单参数曲线族：
lc : (x, y, c) 0
其中 c I R为参数.若存在一条曲线 l,满足下列条件:
(1) l lc cI ;
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(x c)3[(x c) 2] 0 3
y
O
x
因此c-判别曲线包括两条曲线(3)和(4),
容易验证y x不是包络, 而直线y x 2 是包络. 9
13
常微分方程
奇解的求法 方程 F ( x, y, dy ) 0,
dx
的奇解包含在由方程组
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F(x, y, p) 0 Fp' (x, y, p) 0
4
常微分方程
例如 单参数曲线族：
(x c)2 y2 R2
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（其中R是常数，C是参数）表示圆心为（C, 0）而 半径等于R的一族圆. 如图
R
从图形可见,此曲线族的包络显然为:
y R和y R.
5
常微分方程
注:并不是每个曲线族都有包络. 例如: 单参数曲线族:
x2 y2 c2
(其中c为参数)表示一族同心圆.
消去参数p而得到的曲线 (x, y) 0之中,
此曲线称为 p 判别曲线.类似于C 判别曲线.
这里F(x, y, p)是x, y, p的连续可微函数 .
注: p 判别曲线是否为方程的奇解,尚需进一步讨论.
14
常微分方程
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例2: 求微分方程 dy 2 y 2 1 0 的奇解. dx
常微分方程
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2.4 奇解与包络
2.4.1 奇解 1.6节 方程
y ( dy)2 x dy x2 .
dx
dx 2
通解: y c2 cx x2 , c为任常数 , (8)
2
及一个特解: y x2 . 4
y x2 4
特解曲线上的每一点 唯一性被破坏.
1
常微分方程
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定义2.3: 微分方程的某一解称为奇解,如果在这个解 的积分曲线上每一点还有方程的另外一个 解存在.
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从图形可见, 此曲线族没有包络.
6
常微分方程
问题:对于给定的单参数曲线族:
lc : (x, y, c) 0
其中 c I R为参数.
如何判断它是否有包络?
如果有包络, 如何求?
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根据定义, 假设该单参数曲线族有包络 l,则对任意的
x, y l, 存在唯一的 c I ,使得x, y lc .
((t), (t),c(t)) 0, t (, )
于是,
x
d
dt
y
d
dt
c
dc dt
0.
8
常微分方程
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现在 l 任取一个固定点M, 则M在某一条曲线 lc 上. 由于l 与lc 在M点有相同的切线, 因为 l 与 lc
在M点的切线的斜率分别为
dy dx
与
x , y
所以, 有
x
d
(2) 对任意的 x0 , y0 l, 存在唯一的 c0 I ,使得
x0 , y0 lc0 且 l 与 lc0在 x0, y0 有相同的切线. 则称 l 为曲线族 lc : (x, y, c) 0的一条包络线,
简称为包络.
定理2.6 一阶微分方程(2.1)的通解的包络一定是奇 解;反之微分方程的奇解(若存在)也是方程的包络.
曲线F ( x, y) 0称为(2.10)的 c 判别曲线.
注: c 判别曲线有时除包络外还有其它曲线.
11
常微分方程
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例1: 求曲线族 ( y c)2 2 (x c)3 0 的包络. 3
解: 记 (x, y, c) ( y c)2 2 (x c)3 0, 3
则
克莱罗（Clairaut）方程 形如
y
x
dy dx
f
dy dx
的方程，称为克莱罗(Clairaut)方程.
dt
y
d
dt
0,
从而
c
dc dt
0.
由于在 l 上不同的点也在不同的 lc上,
即
dc 0, dt
因此 c 0.
9
常微分方程
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因此,包络线 l 任意一点M 不仅要满足
(x, y,c) 0,
而且还要满足 c (x, y, c) 0.
联立方程组:
(x, y, c) 0 c (x, y, c) 0
(
y
c)2
2
(xc)3ຫໍສະໝຸດ 0(1)3
( y c) ( x c)2 0
(2)
为了消去c,把(2)代入(1)得
(x c)4 2 (x c)3 0 3
即 (x c)3[(x c) 2] 0 3
12
常微分方程
从x c 0得 y x (3)
从x c 2 0得 3
y x 2 (4) 9
于是得到对应关系:
c:l I,
(x, y) c(x, y).
7
常微分方程
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从而得到二元函数 c c(x, y), (x, y) l 使得
(x, y,c(x, y)) 0, (x, y) l.
若 l 可用参数形式表示为:
x (t),
y
(t),
t (, )
记
c c((t), (t)) c(t), 则
解:
从
p 2 y 2 1 0,
2 p 0.
消去p(实际上p=0), 得到 p-判别曲线
y 2 1,
即 y 1.
由于方程的通解为: y sin(x c), c为任常数
而y 1也是微分方程的解 ,且正好是通解的包络 .
两曲线y 1和y 1是方程的奇解 .
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中消去参数c得到的方程F(x,y)=0所表示的曲线 l *
称为曲线族 lc cI 的c -判别曲线
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定理 2.7
( x, y,c) 0, (2.10)
曲线族(2.10)的包络包含在下列两方程
( x, y,c) 0
'c
(
x,
y
,
c
)
0
2.11
消去参数 c而得到的曲线 F(x, y) 0之中,
2.4.2 不存在奇解的判别法 奇解只能存在于不满足解的存在唯一性条件的
区域上----这由解的存在唯一性定理保证.(P103例)
2
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2.4.3 包络线及奇解的求法 1 包络的定义 定义2.4：给定的单参数曲线族：
( x, y,c) 0, (2.10) 其中c是参数, (x, y, c)是x, y, c的连续可微函数 ,
曲线族(2.10)的包络是指这样的曲线, 它本身不包含在 曲线(2.10)中,但过这曲线的每一点有(2.10)中的一条 曲线和它在这点相切.
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或定义：对于给定的一个单参数曲线族：
lc : (x, y, c) 0
其中 c I R为参数.若存在一条曲线 l,满足下列条件:
(1) l lc cI ;
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(x c)3[(x c) 2] 0 3
y
O
x
因此c-判别曲线包括两条曲线(3)和(4),
容易验证y x不是包络, 而直线y x 2 是包络. 9
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奇解的求法 方程 F ( x, y, dy ) 0,
dx
的奇解包含在由方程组
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F(x, y, p) 0 Fp' (x, y, p) 0
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例如 单参数曲线族：
(x c)2 y2 R2
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（其中R是常数，C是参数）表示圆心为（C, 0）而 半径等于R的一族圆. 如图
R
从图形可见,此曲线族的包络显然为:
y R和y R.
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注:并不是每个曲线族都有包络. 例如: 单参数曲线族:
x2 y2 c2
(其中c为参数)表示一族同心圆.
消去参数p而得到的曲线 (x, y) 0之中,
此曲线称为 p 判别曲线.类似于C 判别曲线.
这里F(x, y, p)是x, y, p的连续可微函数 .
注: p 判别曲线是否为方程的奇解,尚需进一步讨论.
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例2: 求微分方程 dy 2 y 2 1 0 的奇解. dx
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2.4 奇解与包络
2.4.1 奇解 1.6节 方程
y ( dy)2 x dy x2 .
dx
dx 2
通解: y c2 cx x2 , c为任常数 , (8)
2
及一个特解: y x2 . 4
y x2 4
特解曲线上的每一点 唯一性被破坏.
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定义2.3: 微分方程的某一解称为奇解,如果在这个解 的积分曲线上每一点还有方程的另外一个 解存在.