第二章 基本定理 第三讲 奇解包络
包络和奇解
0
x
-
的包络.
c)3 = 0,
则
ïì( y í
-
c)2
-
2 3
(x
-
c)3
=
0
(3.30)
ïî ( y - c) - (x - c)2 = 0 (3.31)
为了消去c, 把(3.31)代入(3.30)得
(x
-
c)4
-
2 3
(x
-
c)3
=
0
即
(x
-
c)3[( x
-
c)
-
2 3
]
=
0
从x - c = 0得
如果令 F(x, y, c) º xc + f (c) - y = 0,
则
F
' c
(
x,
y, c)
º
x+
f
' (c)
=
0,
因此, 求得此解的过程正好与从通解中求包络的手续一样.
易验证, 此参数曲线恰为通解的包络
结果:
Clairaut方程
y
=
x
dy dx
+
f
çæ è
dy dx
÷ö ø
的通解 y = cx + f (c) 是一直线族, 此直线族的包络
y=x
(x
-
c)3[( x
-
c)
-
2 3
]
=
0
(3.32)
从x
-
c
-
2 3
=
0得 y=x
-
2 9
(3.33)
因此c-判别曲线包括两条曲线(3.32)和(3.33),
第二章-基本定理---第三讲-奇解包络
第三讲 奇解与包络（4课时）目的要求：了解包络和奇解的定义，掌握包络和奇解的之间的关系，掌握奇解的求法。
重点：包络和奇解的求法。
难点：奇解及其求法。
教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法。
教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。
教学过程：本节讨论常微分方程的奇解以及奇解的求法。
2.4.1奇解在本章2.2节的例2中，我们已经看到方程233dy y dx=的通解是3()y x C +，还有一解0y =，除解0y =外，其余解都满足唯一性，只有解0y =所对应的积分曲线上的点的唯一性都被破坏. 这样的解在许多方程中存在.例1 求方程21dy y dx=- 的所有解.解 该方程的通解是sin()y x C =+此外还有两个特解1y =和1y =-。
由于该方程右端函数的根号前只取+号，故积分曲线如图2-13所示，图 2-13显然解1y =和1y =-所对应的积分曲线上每一点，解的唯一性均被破坏。
本节主要讨论一阶隐式方程(,,)0F x y y '= (1.8)和一阶显式方程 (,)dy f x y dx= (1.9) 的解唯一性受到破坏的情形，显然这样的解只能存在于方程不满足解的存在唯一性定理条件的区域内。
对于方程(1.9)，由定理2.2，这样的区域可用f y∂∂无界去检验，而对于隐式方程(1.8)，一般来说，若能解出几个显式方程 (,),1,2,,i dy f x y i k dx==那么对每一个方程，应用定理2.2即可。
其次对于方程(1.8)，如果函数(,,)F x y y '对所有变量连续且有连续偏导数，并且在000(,,)x y y '的邻域内有 000000(,,)0(,,)0y F x y y F x y y ''=⎧⎨''≠⎩ 成立，那么应用数学分析中的隐函数定理，可解得(,)y f x y '=其中函数(,)f x y 是连续的且有连续偏导数，特别有y y F f y F ''∂=-'∂ 这样一来，对方程(1.8)初值解的存在唯一性定理的条件也就清楚了。
常微分方程 奇解与包络
y
c0
从图形可以看到，有无数 条积分曲线过初始点。
0
1
2
x
例2：求方程 dy 2 1 y dx 的所有解。
§2.4 singularly solution
解：该方程有通解 y sin( x c) 此外还有两个特解y=1和y=-1
§2.4 singularly solution
y
x
§2.4 singularly solution
定义2.3 如果方程存在某一解，在它所对应 的积分曲线上每点处，解的唯一性都被破坏， 则称此解为微分方程的奇解。奇解对应的积 分曲线称为奇积分曲线
§2.4 singularly solution
一 包络和奇解的定义 曲线族的包络：是指这样的曲线，它本身并不包
§2.4 singularly solution
例1
dy 2 y dx y (0) 0
解： 容易看到 y=0是解，并且满足给定的初始条件
由
得通解
dy dx 2 y y x c y ( x c )2 , xc
利用通解和特解可以构造解：
xc 0, y 2 ( x c ) , xc
注:并不是每个曲线族都有包络. 例如: 单参数曲线族:
§2.4 singularly solution
x y c
2 2
2
(其中c为参数)表示一族同心圆. 如图
从图形可见, 此曲线族没有包络.
二、不存在奇解的判别法
•假设方程(1.9)的右端函数
上有定义，如果
§2.4 singularly solution
x
o
§2.4 singularly solution
常微分方程的几何解释
(2.2)
a x b, y ,
假设函数 f x, y在给定区域上连续且有界.于是
它在这个区域上确定了一个线素场.下面利用线素场
求出经过 x0, y0 的近似积分曲线.把
x0 ,b n 等分,其分点为:
xk x0 kh, k 0,1, , n
h b x0 , n
xn b
常微分方程
绵阳师范学院
先求出 f x0, y0
用经过 x0, y0 斜率为
y
x1
,
y1
x2
,
y2
f x0, y0 的直线段来近
y0
似积分曲线,其方程为
y y0 f x0, y0 x x0
x0 x1 x2
bx
求出直线上横坐标 x1 处的点的纵坐标
y1 y0 f x0, y0 x1 x0 y0 f x0, y0 h
如果 h 很小 x1, y1 就很接近积分曲线上的点 x1, y x1
因 f x, y 连续.于是由点 x1, y1 出发的斜率为
f x1, y1 的直线段又近似于原积分曲线.它的方程为
了线素场.
y k x
易见在点 x, y 的线素与
过原点与该点的射线重合.
常微分方程
绵阳师范学院
定理2.1 L为(2.1)的积分曲线的充要条件是: 在L 上任一点,L 的切线方向与(2.1)所确定的线 素场在该点的线素方向重合;即L在每间点均与 线素场的线素相切.
证明 必要性 设L为(2.1)的积分曲线,其方程为
20
若初值问题
dy dx
f ( x, y),的解是存在,是否唯一?
包络定理公式
包络定理公式
包络定理是一种基本的电路分析方法，它在电子工程中起着重要的作用。
它的公式可以用来描述电路中信号的传输和处理过程。
下面我将以人类的视角，用简单的语言来解释包络定理的原理和应用。
包络定理是一种分析电路中信号传输过程的方法，它的核心思想是将信号分解为两个部分：包络和载波。
包络是指信号的振幅随时间变化的曲线，而载波则是指信号的频率。
通过将信号分解为这两个部分，我们可以更好地理解信号在电路中的传输和处理过程。
在实际应用中，包络定理常常用于分析调幅（AM）电路。
调幅是一种将音频信号转换为无线电信号的过程，我们常见的广播电台就是通过调幅技术来传输音乐和新闻的。
在调幅电路中，包络定理可以帮助我们理解信号的传输过程，从而更好地调节和控制信号的质量。
除了调幅电路，包络定理还可以应用于其他领域，比如音频信号处理和图像处理等。
在音频信号处理中，我们可以利用包络定理来提取声音信号的包络，从而实现音频信号的增强和修复。
在图像处理中，包络定理可以帮助我们识别和提取图像中的边缘特征，从而实现图像的分割和识别。
包络定理是一种重要的电路分析方法，它可以帮助我们更好地理解信号在电路中的传输和处理过程。
通过应用包络定理，我们可以实现对信号的控制和优化，从而提高电路的性能和效果。
希望通过这
篇文章的介绍，读者能对包络定理有一个更深入的理解。
最简洁明了的讲解包络定理
以支出最小化为例：
Min e P1 x1 P 2 x 2
x1, x 2
s.t. U ( x1, x 2) u
x1, x 2,
Min L P1 x1 P 2 x 2 u ( x1, x 2) u
直接套用包络定理，就得到：
e( p1, p 2; u ) e( p1, p 2; u ) h1( p1, p 2; u ) 和 h 2( p1, p 2; u ) p1 p 2
x1* u * x 2* u * * * * ( ( ( p1 x1* p 2 x 2* M ) * * P1) P 2) M x1 M x 2 M
最后一个等式利用到了一阶条件。
L* u * u * x1* u* x 2* * x1* x 2* P2 ( P1 x1* P 2 x 2* M ) * ( x1* P1 ) P1 P1 x1 P1 x 2 P1 P1 P1 P1
求偏导数，特别注意它们是 g 和 h 在保持 x1 和 x2 于其最优值不变的条件下对 a 的导 数。包络定理的证明为一直接的计算。微分恒等式（2） ，得
dM g dx1 g dx 2 g da x1 da x 2 da a
运用一阶条件（1）进行替代，得
dM h dx1 h dx 2 g da x1 da x 2 da a
Max ( K , L) PQ ( K , L) wL rK
我们可以把利润函数看作是值函数， P , w 和 r 是外生参数，则最优利润对外生参数
* Q* ， 求导，就等于目标函数的偏导数在最优选择处取值，则直接可以得到 p
* * L* ， K * 这就是说所谓的 Hotelling Lemma。 w r
包络定理ppt课件
构造函数 L(x, p, m;) u(x1, x2 ) (m p1x1 p2x2 )
利用包络定理，可得
罗伊恒等式（Roy’s identity）
v( p, m)
m
x1
x1 (
p1,
p2 ,
m)
v( v(
p1, p1,
p2, m) p2, m)
/ /
p1 m
7
包络定理的应用之二：成本曲线问题
x j
x j x j
L(x, a;) g(x, a) 0
如果我们得到最优解 x* x(a)
( j 1,2, , n)
则最大值函数 (a) f (x(a),a)
5
包络定理的一个推论（证明）
对于最大值函数 (a) f (x(a),a)
两边关于 ai 求导，并在最优解处取值，可得
(a) f xj f g xj f
生变化时，x* 和目标函数的最大值 f(x*, a) 也会随之而变化。
判断 a 的数值变化时 φ(a)= f[x*(a), a] 变化的大小和方向，
我们可以使用 d(a) d a
由于先得到 x*(a) 非常麻烦，我们可以直接使用包络定理
d(a) f (x, a)
da
a x x *
1
包络定理的证明
max x
u
(
x1,
x2
)
s.t. p1x1 p2 x2 m
我们容易得到马歇尔需求函数
x1 x1( p1, p2, m) x2 x2 ( p1, p2, m)
此时的效用函数值（间接效用函数）：
v( p1, p2 , m) u(x1*, x1*) u(x1( p1, p2 , m), x2 ( p1, p2 , m))
包络和奇解
是微分方程（１．４）的奇解．
下面我们举例说明定理 ２ 的一个应用．
２
考虑微分方程
（ｙ－１）
ｄｙ ｄｘ
＝ｙｅｘ（ｙ １．１２）
它的 ｐ－ 判别式（ｙ－１）２ｐ２－ｙｅｘｙ＝０，２ｐ（ｙ－１）２＝０；消去 ｐ 后即
得 ｙ＝０，易知 ｙ＝０ 是微分方程（１．１２）的解，且满足（１．１０）和
（１．１１）．
即 Ｆ＇ｙ（ｘ，０，０）＝－１，Ｆ＂ｐｐ（ｘ，０，０）＝２，Ｆ＇ｐ（ｘ，０，０）＝０． 因此由定理 ２ 知 ｙ＝０ 是微分方程（１．１２）的奇解，而且易
现在证明它也满足第二式．
假设不然，则存在 ｘ０∈Ｊ，使得 Ｆ＇ｐ（ｘ０，ｙ０，ｐ０）≠０，其中 ｙ０＝覬
（ｘ０），ｐ０＝覬＇（ｘ０）注意 Ｆｐ（ｘ０，ｙ０，ｐ０）＝０ 和（ｘ０，ｙ０，ｐ０）∈Ｇ，因此我们可以用
隐 函 数 定 理 推 出 ，由 方 程（１．４）在 （ｘ０，ｙ０） 附 近 唯 一 的 确 定 了
是微分方程（１．４）的奇解．
定理 1 设函数 Ｆ（ｘ，ｙ，ｐ）对（ｘ，ｙ，ｐ）∈Ｇ 是连续的，而且对
ｙ 和 ｐ 有连续的偏微商 Ｆ＇ｐ 和 Ｆ＇ｙ，若函数 ｙ＝覬（ｘ），（ｘ∈Ｊ）是微
分方程（１．４）的一个奇解，并且（ｘ，覬（ｘ）覬＇（ｘ））∈Ｇ，（ｘ∈Ｊ），则奇解
ｙ＝覬（ｘ）满足一个称之为 ｐ－ 判别式的联立方程 Ｆ（ｘ，ｙ，ｐ）＝０，Ｆ＇ｐ
摘 要：给出了包络和奇解的定义及定理，可以用各种不同方法求解一阶隐式微分方程的奇解，包络． 关键词：微 分 方 程 ；通 解 ；奇 解 ；包 络 中图分类号：Ｏ１７５ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７３－ ２６０Ｘ（２０１２）０９－ ０００５－ ０３
1 奇解
３
２
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第三讲 奇解与包络（4课时）目的要求：了解包络和奇解的定义，掌握包络和奇解的之间的关系，掌握奇解的求法。
重点：包络和奇解的求法。
难点：奇解及其求法。
教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法。
教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。
教学过程：本节讨论常微分方程的奇解以及奇解的求法。
2.4.1奇解在本章2.2节的例2中，我们已经看到方程233dyy dx=的通解是3()y x C +，还有一解0y =，除解0y =外，其余解都满足唯一性，只有解0y =所对应的积分曲线上的点的唯一性都被破坏. 这样的解在许多方程中存在.例1 求方程dydx= 的所有解.解 该方程的通解是sin()y x C =+此外还有两个特解1y =和1y =-。
由于该方程右端函数的根号前只取+号，故积分曲线如图2-13所示，图 2-13显然解1y =和1y =-所对应的积分曲线上每一点，解的唯一性均被破坏。
本节主要讨论一阶隐式方程(,,)0F x y y '= (1.8)和一阶显式方程(,)dyf x y dx= (1.9) 的解唯一性受到破坏的情形，显然这样的解只能存在于方程不满足解的存在唯一性定理条件的区域内。
对于方程(1.9)，由定理2.2，这样的区域可用fy∂∂无界去检验，而对于隐式方程(1.8)，一般来说，若能解出几个显式方程(,),1,2,,i dyf x y i k dx== 那么对每一个方程，应用定理2.2即可。
其次对于方程(1.8)，如果函数(,,)F x y y '对所有变量连续且有连续偏导数，并且在000(,,)x y y '的邻域内有 000000(,,)0(,,)0y F x y y F x y y ''=⎧⎨''≠⎩ 成立，那么应用数学分析中的隐函数定理，可解得(,)y f x y '=其中函数(,)f x y 是连续的且有连续偏导数，特别有y y F fy F ''∂=-'∂ 这样一来，对方程(1.8)初值解的存在唯一性定理的条件也就清楚了。
因此，我们可以就方程(1.8)或(1.9)给出奇解的定义。
定义2.3 如果方程存在某一解，在它所对应的积分曲线上每点处，解的唯一性都被破坏，则称此解为微分方程的奇解。
奇解对应的积分曲线称为奇积分曲线。
由上述定义，可见2.2节例2中的解0y =是方程233dyy dx=的奇解，而例1中的解1y =和1y =-是方程dydx=的奇解。
2.4.2 不存在奇解的判别法假设方程(1.9)的右端函数(,)f x y 在区域2D R ⊆上有定义，如果(,)f x y 在D 上连续且(,)y f x y '在D 上有界(或连续)，那么由本章定理2.2，方程的任一解是唯一的，从而在D 内一定不存在奇解。
如果存在唯一性定理条件不是在整个(,)f x y 有定义的区域D 内成立，那么奇解只能存在于不满足解的存在唯一性定理条件的区域上.进一步如果再能表明在这样的区域上不存在方程的解，那么我们也可以断定该方程无奇解。
例2 判断下列方程(1)22dy x y dx =+ (2)2dy dx=是否存在奇解。
解 (1)方程右端函数22(,),2y f x y x y f y '=+=，均在全平面上连续，故方程(1)在全平面上无奇解。
(2) 方程右端函数(,)2f x y =在区域y x ≥上有定义且连续，y f '=y x >上有定义且连续，故不满足解的存在唯一性定理条件的点集只有y = x ，即若方程(2)有奇解必定是y = x ，然而y = x 不是方程的解，从而方程(2)无奇解。
2.4.3 包络线及奇解的求法下面，我们从几何的角度给出一个由一阶方程(1.9)或(1.8)的通积分(,,)0x y C Φ=求它奇解的方法。
当任意常数C 变化时，通积分(,,)0x y C Φ=给出了一个单参数曲线族(C )，其中C 为参数，我们来定义(C )的包络线。
定义2.4 设给定单参数曲线族():(,,)0C x y C Φ= (2.10) 其中C 为参数，对所有变量连续可微.如果存在连续可微曲线L ，其上任一点均有(C )中某一曲线与L 相切，且在L 上不同点，L 与(C )中不同曲线相切，那么称此曲线L 为曲线族(C )的包络线或简称包络。
见图2-14图 2-14定理2.6 方程(1.9)的积分曲线族(C )的包络线L 是(1.9)的奇积分曲线。
证明 只须证明(C )的包络线L 是方程(1.9)的积分曲线即可。
设p (x ,y )为L 上任一点，由包络线定义，必有(C )中一曲线l 过p 点，且与L 相切，即l 与L 在p 点有公共切线。
由于l 是积分曲线，它在p 点的切线应与方程(1.9)所定义的线素场在该点的方向一致，所以L 在p 点的切线也就与方程(1.9)在该点的方向一致了。
这就表明L 在其上任一点的切线与方程(1.9)的线素场的方向一致，从而L 是(1.9)的积分曲线。
证毕。
有了这个定理之后，求方程(1.9)的奇解问题就化为求(1.9)的积分曲线族的包络线的问题了.下面我们给出曲线族包络线的求法。
定理2.7 若L 是曲线族(2.10)的包络线，则它满足如下的C -判别式(,,)0(,,)0Cx y C x y C Φ=⎧⎨'Φ=⎩ (2.11)反之，若从(2.11)解得连续可微曲线:(),()x C y C ϕψΓ==且满足：22()()0C C ϕψ''+≠和22((),(),)((),(),)0x y C C C C C C ϕψϕψ''Φ+Φ≠,（称为非退化条件），则Γ是曲线族的包络线.证明 对L 上任取一点p (x ,y )，由包络线定义，有(C )中一条曲线l 在p 点与L 相切，设l 所对应的参数为C ，故L 上的点坐标x 和y 均是C 的连续可微函数，设为(),()x x C y y C ==又因为p (x ,y )在l 上，故有恒等式((),(),)x C y C C Φ= (2.12) L 在p 点的切线斜率为()()L y C k x C '=' l 在p 点的切线斜率为((),(),)((),(),)x l y x C y C C k x C y C C 'Φ=-'Φ因为l 与L 在p 点相切，故有l L k k =，即有关系式((),(),)()((),(),)x y x C y C C x C x C y C C y C ''''Φ+Φ= (2.13) 另一方面，在(2.12)式两端对C 求导得((),(),)()((),(),)()((),(),)0x y C x C y C C x C x C y C C y C x C y C C '''''Φ+Φ+Φ= 此式与(2.13)比较，无论是在(),()x C y C ''和,x y ''ΦΦ同时为零，或不同时为零的情况下均有下式((),(),)C x C y C C 'Φ= (2.14) 成立。
即包络线满足C -判别式(2.11).反之，在Γ上任取一点q (C )=(Φ(C ),ψ(C )),则有((),(),)0((),(),)0CC C C C C C ϕψϕψΦ=⎧⎨'Φ=⎩ (2.15)成立.因为,x y ''ΦΦ不同时为零，所以对(2.10)在q 点利用隐函数定理可确定一条连续可微曲线:()y h x γ=（或()x k y =），它在q 点的斜率为 ((),(),)((),(),)x y C C C k C C C γϕψϕψ'Φ=-'Φ (2.16)另一方面，Γ在q 点的斜率为()()C k C ψϕΓ'=' (2.17) 现在，由(2.15)的第一式对C 求导得((),(),)()((),(),)()((),(),)0x y C C C C C C C C C C C C ϕψϕϕψψϕψ'''''Φ+Φ+Φ=再利用(2.15)的第二式推出((),(),)()((),(),)x y C C C C C C CC ϕψϕϕψψ''''Φ+Φ= (2.18) 因为(),()C C ϕψ''和,x y ''ΦΦ分别不同时为零，所以，由(2.18)、(2.17)和(2.16)推出,即曲线族(2.10)中有曲线γ在q 点与曲线Γ相切.因此，Γ是曲线族(2.10)的包络线。
例3 求233dyy dx=的奇解. 解 在本章2.2节已解得方程通解为3()y x C =+由C -判别式32()03()y x C x C ⎧=+⎨=+⎩ 解得0y =. 由于10,()10y C ϕ''Φ=≠=-≠，所以0y =为原方程的奇解. 例4 求方程dydx= 的奇解。
解 由上面的例1，该方程的通解为sin()y x C =+，由C -判别式s i n ()0c o s ()y xC x C =+⎧⎨=+⎩(2.19)的第二式解出,0,1,2,2x C k k ππ=-++=±±代入第一式，得到1y =±。
因为10,()10y C ϕ''Φ=≠=-≠，故1y =±为方程的奇解。
例5 求克莱洛方程()y xy y ''=+ψ的奇解，其中ψ是二次可微函数且0''ψ≠。
解 由第1章1.6节的例2可知该方程的通解为()y Cx C =+ψC -判别式为()0()y Cx C x C =+ψ⎧⎨'=+ψ⎩ (2.19) 因为10,()()0y C C ϕψ''''Φ=≠=-≠,故由(2.19)所确定的曲线必定是克莱洛方程的奇解.即克莱洛方程总有奇解。
本节要点：1.奇解的定义。
2.不存在奇解的判别方法。
（1）全平面上解唯一不存在奇解。
（2）不满足解唯一的区域上没有方程的解无奇解。
3.求奇解的包络线求法。
包络线满足C —判别式。
在非蜕化条件下，从C —判别式解出的曲线包络线。
作业： 练习2.4 1., 2., 3，。
作业：练习2.41．判断下列方程是否有奇解？如果有奇解，求出奇解，并作图．（1）dy dx= （2）dy dx= （3）dyx dx=-± 2．求一曲线，具有如下性质：曲线上任一点的切线，在,x y 轴上的截距之和为1． 3．求一曲线，此曲线的任一切线在两个坐标轴间的线段长等于常数 a ．。