实际问题与一元二次方程(含答案)

实际问题与一元二次方程列一元二次方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，都是根据问题中的相等关系列出方程，解方程，并能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步提高分析问题、解决问题的意识和能力。

在利用一元二次方程解决实际问题，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性．主要学习下列两个内容：1. 列一元二次方程解决实际问题。

一般情况下列方程解决实际问题的一般步骤：审、设、列、解、验、答六个步骤，找出相等关系的关键是审题，审题是列方程(组)的基础，找出相等关系是列方程(组)解应用题的关键. 主要设置了【典例引路】中的例1、例2、例4.【当堂检测】中的第1、2题，【课时作业】中的第1，2，11题.2. 一元二次方程根与系数的关系。

一般地，如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个根是1x 和2x ，那么acx x a b x x =•,=+2121-．主要设置了【典例引路】中的例3.【当堂检测】中的第4题，【课时作业】中的第6、7题.点击一： 列方程解决实际问题的一般步骤应用题考查的是如何把实际问题抽象成数学问题，然后用数学知识和方法加以解决的一种能力，列方程解应用题最关键的是审题，通过审题弄清已知量与未知量之间的等量关系，从而正确地列出方程.概括来说就是实际问题——数学模型——数学问题的解——实际问题的答案.一般情况下列方程解决实际问题的一般步骤如下：(1)审：是指读懂题目，弄清题意和题目中的已知量、未知量，并能够找出能表示实际问题全部含义的等量关系.(2)设：是在理清题意的前提下，进行未知量的假设(分直接与间接). (3)列：是指列方程，根据等量关系列出方程. (4)解：就是解所列方程，求出未知量的值.(5)验：是指检验所求方程的解是否正确，然后检验所得方程的解是否符合实际意义，不满足要求的应舍去. (6)答：即写出答案，不要忘记单位名称.总之，找出相等关系的关键是审题，审题是列方程(组)的基础，找出相等关系是列方程(组)解应用题的关键. 针对练习1: 某城市2006年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2008年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x ，由题意，所列方程正确的是（ ）A ．300(1＋x )=363B ．300(1＋x )2=363C ．300(1＋2x )=363D ．363(1－x )2=300【解析】B 设平均增长百分率为x ，由题意知基数为300公顷，则到2004年底的绿化面积为：300+300x =300（1+x ）（公顷）；到2008年底的绿化面积为：300（1+x ）+300（1+x ）x =300（1+x ）2公顷，而到2008年底绿化面积为363公顷，所以300(1＋x )2=363．点击二：一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系。

一般地，如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个根是1x 和2x ，那么acx x a b x x =•,=+2121-．针对练习2: 先阅读，再填空解题：(1)方程：x 2－x －2=0 的根是：x 1=－1, x 2=2，则x 1+x 2=1，x 1·x 2=-2； (2)方程2x 2－7x+3=0的根是：x 1=12, x 2=3，则x 1+x 2=72，x 1·x 2=32； (3)方程x 2－3x+1=0的根是：x 1= , x 2= .则x 1+x 2= ，x 1·x 2= ； 根据以上（1)(2)(3）你能否猜出：如果关于x 的一元二次方程mx 2+nx+p=0（m≠0且m 、n 、p 为常数）的两根为x 1、x 2，那么x 1+x 2、x 1、x 2与系数m 、n 、p 有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由.【解析】本题首先请同学们阅读两个一元二次方程的两根之和、两根之积与系数之间的关系，再通过第3个方程的两根之和、两根之积与系数之间的关系特点，归纳猜想出一元二次方程的两个根与系数的关系.【解答】③.25—3,25321=+=x x .1,32121=•=+x x x x 猜想.,—2121mpx x m n x x =•=+ ∵一元二次方程mx 2+nx+p=0(m≠0，且m ，n ，p 为常数)的两个实数根是.24,242221mmpn n x m mp n n x —————=+=∴mnm mp n n m mp n n x x ——————=++=+24242221，.4)4()(242422222221m pmmp n n m mp n n m mp n n x x ==•+=•———————【评注】本题是探索一元二次方程根与系数之间的关系.关于x 的一元二次方程mx 2+nx+p=0(m≠0，且m ，n ，p 为常数)的两根为x 1，x 2，那么.,—2121mpx x m n x x =•=+由方程①，②，③的根与系数的关系特点，通过观察、比较、猜想发现一般性规律，并进行验证，培养同学们由特殊到一般的数学思想方法.类型之一：建立一元二次方程模型解应用题例1甲、乙两人分别骑车从A 、B 两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C 地相遇，相遇后两人按原来的方向继续前进.乙在由C 地到达A 地的途中因故停了20分钟，结果乙由C 地到达A 地时比甲由C 地到达B 地还提前了40分钟，已知乙比甲每小时多行驶4千米，求甲、乙两人骑车的速度.【解答】设甲的速度为x 千米/时，则乙的速度为（x+4）千米/时.根据题意，得54(4)2040.460x x x x ++==+解之,得x 1=16，x 2=－2.经检验：x 1=16，x 2=－2都是原方程的根，但x 2=－2不合题意，舍去. ∴当x=16时，x+4=20.答：甲每小时行驶16千米，乙每小时行驶20千米.例2 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？【解析】设每件衬衫降价x 元，则每件衬衫盈利(40―x)元，降价后每天可卖出(20+2x)件，由关系式：总利润=每个商品的利润×售出商品的总量，可列出方程．【解答】设每件衬衫降价x 元， 依题意，得(40―x)(20+2x)=1200， 整理得：x 2―30x+200=0，解得：x 1=10，x 2=20，因为要尽快减少库存，所以x=10舍去． 答：每件衬衫应降价20元．类型之二：一元二次方程的根的判别式的应用 例3阅读材料：如果1x ，2x 是一元二次方程20ax bx c ++=的两根，那么有1212,b cx x x x a a+=-=. 这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例如12,x x 是方程2630x x +-=的两根，求2212x x +的值.解法可以这样：126,x x +=-123,x x =-则222212112()2x x x x x x +=+-=2(6)2(3)42--⨯-=.请你根据以上解法解答下题：已知12,x x 是方程2420x x -+=的两根，求：（1）1211x x +的值； （2）212()x x -的值. 【解析】先由公式x 1+x 2=ab -,x 1x 2=a c ,求出x 1+x 2,x 1x 2,再化1x 1+1x 2化为x 1+x 2x 1x 2, (x 1－x 2)2化为(x 1+x 2)2－4x 1x 2.【答案】 ∵x 1+x 2=4, x 1x 2=2.(1)1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=42=2. (2) (x 1－x 2)2=(x 1+x 2)2－4x 1x 2=42－4×2=8. 【感悟】本题属于阅读理解题,解此类问题关键理解材料中知识与方法,从中获得知识迁移. 类型之三：综合应用例4. 某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？ （2）设后来该商品每件降价x 元，商场一天可获利润y 元．①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？②求出y 与x 之间的函数关系式，并通过画该函数图像的草图，观察其图像的变化趋势，结合题意写出当x 取何值时，商场获利润不少于2160元？【解析】本题是以商场经营为素材的利润问题，解题的关键是理解降价与销售数量增加量之间的关系，根据每天盈利的计算，即“每天盈利＝每件的利润×销售数量”作为等量关系列方程或列函数关系式，第（2）的第②小题，考查了函数及其图象，并用图象确定商场获利润不少于2160元的x的取值范围，体现了数形结合的数学思想。

【解答】⑴若商店经营该商品不降价，则一天可获利润100×（100－80）＝2000（元）⑵①依题意得：（100－80－x）（100+10x）＝2160即x2－10x+16=0解得：x1=2,x2=8经检验：x1=2,x2=8都是方程的解，且符合题意.答：商店经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元.②依题意得：y=（100－80－x）（100+10x）∴y= －10x2+100x+2000=－10(x－5)2+2250画草图（略）观察图像可得：当2≤x≤8时，y≥2160∴当2≤x≤8时，商店所获利润不少于2160元．1.如果一个不为零的数的平方等于这个数的两倍,那么这个数是( )A.偶数B.奇数C.偶数或奇数D.不一定是整数【解析】A 设这个数为x.由题意,得x2=2x,解得x1=0,x2=2.故选A.2. 在一幅长80 cm,宽50 cm的矩形风景画的四周镶上一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示.如果要使整个挂图的面积是5 400 cm2,设金色纸边的宽为x cm,那么x满足的方程是( )A.x2+130x－1 400=0B.x2+65x－350=0C.x2－130x－1 400=0D.x2－65x－350=0【解析】B 上、下两条金色纸边的面积一样,左、右两条金色纸边的面积一样,∴2(80+x)·x+2(50+x)·x+80×50=5 400.3. 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率．【解析】这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n．对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n．【解答】设这两个月的平均增长率是x．，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）．答：这两个月的平均增长率是10%．4.若αβ，是方程2220050x x+-=的两个实数根，则23ααβ++的值为（）Ａ．2005 Ｂ．2003 Ｃ．－2005 Ｄ．4010【解析】B 由于所求的两根代数式非对称，故只用韦达定理难于解决，结合根的定义，把23ααβ++化为对称式．因为α是方程2220050x x+-=的根，故2220050αα+-=，从而220052αα=-，所以23ααβ++=2005＋α＋β，而α＋β＝－2，故23ααβ++＝2003.1. 从一块正方形的铁片上剪掉2 cm宽的长方形铁片，剩下的面积是48 cm2，则原来铁片的面积是( )A.64 cm2B.100 cm2C.121 cm2D.144 cm2【解析】A 本题用间接设元法较简便，设原铁片的边长为xcm.由题意，得x(x－2)=48，解得x1=－6(舍去)，x2=8.∴x2=64，即正方形面积为64 cm2.2. 如图，某工厂直角墙角处，用可建60米长围墙的建筑材料围成一个矩形堆货场地，中间用同样的材料分隔成两间，问AB 为多长时，所围成的矩形面积是450平方米？【解析】等量关系为：长×宽=450，如果设AB 为x 米，那么BC 的长可表示为(60－2x)米，根据矩形的面积公式可列出方程.【解答】设AB 的长为x 米，则BC=(60－2x)米. 根据题意，得x(60－2x)=450.解得x=15.即AB=15米. 答：AB 为15米时，所围成的矩形面积是450平方米.3. 某厂制造某种商品,原来每件产品的成本是100元,由于不断改进设备,提高生产技术,连续两次降低成本,两次降价后的成本是81元,则平均每次降低成本的百分率是( )A.8.5%B.9%C.9.5%D.10%【解析】D 降低百分率与增长率问题类似,这里依据的基本等量关系为基础数×(1－降低率)降低次数=降低后的数量.5. 某厂制造某种商品，原来每件产品的成本是100元，由于不断改进设备，提高生产技术，连续两次降低成本，两次降价后的成本是81元，则平均每次降低成本的百分率是( )A.8.5%B.9%C.9.5%D.10%【解析】D 降低百分率与增长率问题类似，这里依据的基本等量关系为基础数×(1－降低率)降低次数=降低后的数量.设平均每次降低成本的百分率为x.由题意，得100(1－x)2=81.解得x 1=0.1=10%，x 2=1.9(舍去)，∴x=10%.6. 已知1x 、2x 是方程,032=--x x 的两个根，那么2221x x +的值是（ ）A.1B.5C.7D.449【解析】C 根据根与系数的关系， 121=+x x ，321-=•x x ，又因为2212x x + =212212)(x x x x -+，所以2212x x +=7.7. 某两位数的十位数字是方程x 2－8x=0的解，则其十位数是___________. 【解析】解方程x 2－8x=0，得x 1=0，x 2=8，由于两位数的十位数字不能为0，∴x=0(舍去).∴十位数字为8. 【答案】88. 某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元．请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？【解析】人数×人均旅游费用=付给旅行社的总费用，可设这次共有x 名员工去天水湾风景区旅游，由于1000×25=2500<2700，所以员工人数肯定超过25人，由于人数比25增加了(x －25)人，因此每人均费用比1000元降低了20(x －25)元，即此时人均费用为[1000－20(x －25)]元。