一元二次方程实际问题
一元二次方程实际问题类型讲解
一元二次方程实际问题类型讲解
一元二次方程是一种形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
一元二次方程在实际问题中的应用非常广泛，下面将介绍几个常见的实际问题类型：
1. 抛物线运动问题：例如一个抛出的物体在空中的运动轨迹可以用一元二次方程来描述。
方程的解可以告诉我们物体的最高点、落地时间等信息。
2. 面积和周长问题：比如求解一个长方形的边长或者一个圆的半径，可以通过建立一元二次方程来求解。
例如，已知长方形的周长为20米，要求长方形的面积最大，可以建立面积的一元二次函数并求解其最值。
3. 时间与距离问题：例如两个行人相向而行，一个以每小时4公里的速度前进，另一个以每小时6公里的速度前进，问多长时间他们相遇。
可以通过建立两个行人的距离关系的一元二次方程来解决问题。
4. 投影问题：例如一个人在斜坡上投掷物体，已知斜坡的高度和水平距离，求物体的飞行时间和最远的落点。
可以通过建立一元二次方程来求解。
5. 金融问题：一元二次方程也可以应用于金融领域，例如计算贷款的利率、还款时间等。
可以通过建立一元二次方程模型来帮助分析和解决金融问题。
这些只是一元二次方程在实际问题中的几个常见应用，实际上，一元二次方程具有广泛的应用领域，可以涉及物理、经济、工程等多个领域。
通过建立方程模型并求解方程，我们可以更好地理解和解决实际问题。
一元二次方程的实际应用
一元二次方程的实际应用一元二次方程是高中数学的重要内容之一，通过求解一元二次方程，我们可以得到方程的解，从而解决一些实际生活中的问题。
在本文中，我们将探讨一些实际应用中使用一元二次方程的案例。
一、物体自由下落物体自由下落是我们日常生活中经常遇到的情境之一。
在没有空气阻力的情况下，物体自由下落的运动可以用一元二次方程来描述。
设一个物体从某个高度h0自由下落，下落的时间为t秒，则根据物体自由下落的公式，我们可以得到：h = h0 - 0.5gt^2其中，h为物体下落的高度，g为重力加速度。
通过将h设为0，即可求解出物体自由下落的时间。
此时，我们可以将方程转化为一元二次方程进行求解：-0.5gt^2 + h0 = 0通过求解出这个一元二次方程，我们就可以知道物体自由下落所需的时间。
二、抛物线的轨迹抛物线是一种常见的曲线形态，其运动轨迹可以用一元二次方程来描述。
在很多实际应用中，抛物线的轨迹被广泛应用。
例如，当我们抛出一个物体，以一定的初速度和角度进行抛射时，物体的轨迹就是一个抛物线。
抛物线的方程可以表示为：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，x和y分别代表抛物线上的点的坐标。
通过求解一元二次方程，我们可以确定抛物线的方程中的参数a、b、c的值，从而获得抛物线的具体形状和特征。
这对于工程设计、物体抛射等实际问题具有重要的意义。
三、最大值和最小值问题在许多实际应用中，我们常常需要确定一个函数的最大值或最小值。
而求解函数的最大值或最小值问题，可以转化为求解一元二次方程的实根问题。
考虑一个抛物线函数 y = ax^2 + bx + c，其中a不等于0。
当a大于0时，抛物线开口向上，此时函数的最小值为抛物线的顶点坐标。
当a小于0时，抛物线开口向下，此时函数的最大值为抛物线的顶点坐标。
通过将函数求导，我们可以求解出函数的极值点，进而确定函数的最大值或最小值。
而求解函数的极值点的过程，实际上就是求解一元二次方程的实根。
一元二次方程实际问题 最全
一元二次方程实际应用传染分支问题1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？2. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？3.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？面积问题1.现有长方形纸片一张，长19cm，宽15cm，需要剪去边长多少的小正方形才能做成底面积为77平方cm的无盖长方形的纸盒？2. 如图所示，利用22米长的墙为一边，用篱笆围成一个长方形养鸡场，中间用篱笆分割出两个小长方形，总共用去篱笆36米，为了使这个长方形的面积为96平方米，问长和宽边各应是多少？（要求计算）3.一块长30米，宽20米的长方形操场，现在要将它的面积增加一倍，但是不改变这个操场的形状，问长和宽应该增加多少米？4.小静怡要在一幅长90厘米，宽40厘米的风景画的外围，镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂画图，使得风景图的面积是整幅挂画面积的54％，设金色纸边的宽度为x，可以列出方程：5.用20厘米长的铁丝能否折成30平方厘米的矩形，若能，求出其长和宽，若不能，请说明理由（要求计算）数字问题1、有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。
2.三个连续偶数，第三个数的平方等于前两个数的平方和，求这3个数。
3.一个正十位数中，两个数字的差是4，积为45，求这个两位数赛制问题（1）参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手66次,有多少人参加聚会?(2)要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排28场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?（3初三毕业晚会时每人互相送照片一张,一共要90张照片,有多少人?（4）若赛制度为双循环制度，计划安排56场比赛，则应当组织多少支球队来参加比赛增长率问题1.为了建设美丽家园，某地区决定实行植树造林计划，每年按照一定的速率增加种树量，第一年种了10万棵树，到3年种了50万棵，求每年的平均增长率。
一元二次方程与实际问题
应用题常见的几种类型：1. 增长率问题 [增长率公式：b x a ＝2)1( ]例：某工厂在两年内将机床年产量由400台提高到900台。
求增长率。
1、某种产品的成本在两年内从16元降至9元，求平均每年降低的百分率。
2、某工厂一月份产值为50万元，采用先进技术后，第一季度共获产值182万元，二、三月份 平均每月增长的百分率是多少?3、某林场第一年造林100亩，以后造林面积逐年增长，第二年、第三年共造林375亩，后两年平均每年的增长率是多少?4、十月份营业额为5000元，十二月份上升到7200元，平均每月增长的百分率5、某商品连续两次降价10%后的价格为a 元，该商品的原价应为6、第一季度生产a 台，第二季度生产b 台，第二季度比第一季度增长的百分率？7、某工厂今年利润为a 万元，比去年增长10%，去年的利润为 万元。
2.面积问题 [提示：面积问题一定要画图分析]例：一张长方形铁皮，四个角各剪去一个边长为4cm的小正方形，再折起来做成一个无盖的小 盒子。
已知铁皮的长是宽的2倍，做成的小盒子的容积是1536cm 3，求长方形铁皮的长与宽 。
1、要建成一面积为130㎡的仓库，仓库的一边靠墙（墙宽16m ），并在与墙平行的一边开一个宽1m 的门，现有能围成32m 的木板。
求仓库的长与宽各是多少？2、两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多1cm ，大正方形的面积比小正方 形的面积的2倍还多4cm 2，求大、小两个正方形的边长。
3、要给一幅长30cm ，宽25cm 的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，设镜框边的宽度为xcm ，•则依据题 意列出的方程是_________． X2X3.定价问题［提示：单位利润×销量＝总利润］例：某电视机专卖店出售一种新面市的电视机，平均每天售出50台，每台盈利400元。
为了扩大销售，增加利润，专卖店决定采取适当降价的措施。
一元二次方程与实际问题题型
一元二次方程与实际问题题型一元二次方程与实际问题题型是数学中常见的题目类型之一。
以下是一些实例，并给出了相应的答案：利率问题题目：小华将100元存入银行，年利率为2.25%，存期为2年。
请问小华到期后可以取出多少钱？设本金为P，年利率为r，存期为t年，到期后的总金额为A。
根据公式：A = P(1 + r)^t，代入数值解得：A = 104.5元。
投资问题题目：小李和小张分别投资了10万元和15万元，年回报率为5%，3年后的总资产为多少？设投资金额为P，年回报率为r，t年后总资产为A。
根据公式：A = P(1 + r)^t，代入数值解得：A = 16.4万元。
销售问题题目：某商品原价为100元，经过两次降价后售价为81元，每次降价的百分比相同。
请问每次降价的百分比是多少？设每次降价的百分比为x。
根据公式：原价*(1-百分比)^次数=现价，代入数值解得：x = 10%。
相遇问题题目：甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，相遇时甲车比乙车多走了10公里。
已知甲车的速度为60公里/小时，乙车的速度为40公里/小时。
请问A、B两地之间的距离是多少？设相遇时的时间为t小时，A、B两地之间的距离为d公里。
根据公式：(60t + 40t) = d + 10，代入数值解得：d = 210公里。
追及问题题目：甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行，相遇后甲车继续前行到达B地比乙车迟到了1小时。
已知甲车的速度为60公里/小时，乙车的速度为40公里/小时。
请问A、B两地之间的距离是多少？设相遇时的时间为t小时，A、B两地之间的距离为d公里。
根据公式：(60t - 40t) = d，代入数值解得：d = 20公里。
一元二次方程与实际问题
一元二次方程与实际问题一元二次方程是形如ax²+bx+c=0的方程，其中a≠0，x是未知数，a、b、c是已知的实数常数。
它在数学中被广泛应用，尤其在解决实际问题时，具有重要的意义。
一元二次方程与实际问题的关联在于它可以描述许多物理、经济、工程和自然科学现象。
下面将介绍一些常见的实际问题，并用一元二次方程解决它们。
1. 自由落体问题：考虑一个物体从高度h自由落下，并以初速度为0的条件下落。
重力以加速度g=9.8m/s²的恒定速度使物体加速下落。
通过运用运动学公式，可以将物体的下落时间t与下落距离h之间的关系表示为：h=gt²/2。
整理得到ht²-2h=0，这是一个一元二次方程。
通过求解该方程，可以得到物体下落的时间和下落的距离。
2. 抛物线轨迹问题：许多物理和运动问题都涉及抛物线轨迹。
例如，一个抛射物体的运动轨迹可以用一元二次方程来描述。
给定抛射角度θ和初速度v，可以得到抛射物体的运动轨迹方程y=x*tanθ - (g*x²) /(2v²*cos²θ)。
这是一个一元二次方程，其中x表示水平方向的距离，y表示竖直方向的高度。
通过解这个方程，可以计算出物体在不同时间和位置的高度。
3. 经济成本问题：一元二次方程也可以用于经济领域的成本分析。
例如，考虑一个企业的总成本函数C(x)=ax²+bx+c，其中x表示生产的数量，a、b、c是已知的实数常数。
通过求解C'(x)=0，即求解一阶导数为零的方程，可以找到企业的最低成本点。
这个点对应的x值就是企业的最优生产数量。
以上只是一些例子，实际应用一元二次方程的问题非常广泛。
通过将实际问题转化为数学模型，应用一元二次方程的解法，可以更好地理解和解决各种现实问题。
实际问题与一元二次方程(简析版)
实际问题与一元二次方程一、“握手问题”1、节日聚会中，每人都和其他人握手一次，现在有若干人共握手45次，问共有多少人参加聚会？分析：设共有x 人参加聚会，可列方程：45)1(21=-x x 2、某校足球联赛，采用单循环的赛制，一共比赛10场，问一共有多少支球队参加比赛？ 分析：设共有x 支球队参加比赛，可列方程：10)1(21=-x x 3、参加商品交易会的每两家公司之间都签订一份合同，所有公司共签订了45分合同，问共有多少家公司参加商品交易会？分析：共有x 家公司参加商品交易会，可列方程：45)1(21=-x x 4、新年到来，几位朋友相互赠送贺卡，共送出贺卡72张，问这群朋友共有几人？ 分析：设这群朋友共有x 人，可列方程：72)1(=-x x二、“平均增长率”问题。
1、某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率． 分析：设平均增长率为x ，可列方程：950)1(200)1(2002002=++++x x2、某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？ 分析：设二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是x 可列方程： 31.3)1()1(12=++++x x3、一只感染病毒的白鼠经过两天传染后发现共有256只小白鼠患病，问在每天的传染中平均一只小白鼠传染多少只白鼠？分析：设平均一只小白鼠传染x 只白鼠，可列方程：256)1(2=+x4、某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．分析：设种存款方式的年利率为x ，利息=本金×利率×存期到期后的本息和=本金+利息=（第一年剩余的1000元+第一年的利息）+第二年的利息 可列方程：1320)20001000(20001000=+++x x x5、两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品的年平均下降额较大？哪种药品的年平均下降率较大？ 分析：甲种药品的平均下降额为：1000230005000=-元乙种药品的平均下降额为：1200236006000=-元设甲种药品的平均下降率为x ，乙种药品的平均下降率为y可列方程：3000)1(50002=-x ；3600)1(60002=-y6．一个容器盛满纯药液63L ，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28L ，设每次倒出液体xL ，则列出的方程是________ 分析:原有纯药液：63升，容器容积63升第一次操作：倒出纯药液x 升，容器内还有纯药液)63(x -升，溶液浓度%1006363⨯-x第二次操作：倒出纯药液6363xx -⋅升， 容器内还有纯药液63)63(63)63()63(2x x x x -=---升，由此可列方程：2863)63(2=-x三、商品营销问题1、某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，那么商场平均每天可多售出34张．如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的幅度大？（每每问题）分析：设甲种贺年卡每张降价x 元，乙种贺年卡每张降价y 元 每天的盈利=单张贺卡的利润×每天的销量 可列方程：120)1001.0500)(3.0(=⨯+-x x ，120)3425.0200)(75.0(=⨯+-y y2、两年前生产1t 甲种药品的成本是5000元，生产1t 乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t 甲种药品的成本是3000元，生产1t 乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?3、新华商场销售甲、乙两种冰箱，甲种冰箱每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．乙种冰箱每台进货价为2000元，市场调研表明：当销售价为2500元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低45元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这两种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，那么两种冰箱的定价应各是多少? 分析：设甲种冰箱每台定价x 元，则：每台冰箱可盈利)2500(-x 元；比原售价降低)2900(x -元； 实际每天销量比原来增加：4502900⨯-x从而列方程：5000)45029008)(2500(=⨯-+-xx 同理可求出乙种冰箱的定价。
实际问题与一元二次方程
实际问题与一元二次方程<1>握手（单循环）问题：二分之一n（n-1）=握手总次数例：某校七年级举行乒乓球单循环赛比赛(参加比赛的每一个选手都与其他所有选手各比赛一场），共比赛32场，求有多少个学生？<2>送照片：n(n-1)=总张数例：初三毕业晚会时每人互相送照片一张，一共要90张照片，有多少人？<3>勾股定理问题：a平方+b平方=c平方例：一个直角三角形的斜边长7cm，一条直角边比另一条直角边长1cm，求两条直角边的长度？<4>多边形对角线条数：二分之一n（n-3）=总条数例：一个多边形有14条对角线，那么这个多边形边数是多少？<5>连续两次增长(降低)百分率：a（1+或减x）平方=以后的量例：甲工厂一月份生产零件1000个，二月份生产零件1200个，那么二月份到一月份平均增长的百分率为多少?<6>镶边问题：(a+2x)（b+2x)=总面积例：在一幅长70cm宽50cm的风景画四周镶上一条宽度相同的金色纸边，如果使金色纸边的面积是1300平方厘米，求金色纸边的宽度？<7>最大利润问题:(一件利润)件数=总利润例:某百货大楼服装柜在销售者发现：“某”牌童装平均每天可售出20件,每件利润40元为了迎接国庆节市场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加利润,如果每件降价4元,那么平均每天多售出8件，要想平均每天销售这种童装盈利1200元那么每件童装应降价多少？<8>传染病问题：1+x+x(1+x)=总人数，两轮后：（1+x）平方=总人数例:某养鸡场突发流感疫情，一只带病毒的小鸡经过两天的传染后，使鸡场共有169只小鸡感染患病，在每一天的传染中平均一只小鸡传染了几只小鸡？<9>树枝分叉：1+x+x平方=总枝数例:一种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?。
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22.3实际问题与一元二次方程（第1课时）
启东市合作初级中学：董燕飞
当 堂 反 馈（10分钟）
一、选择题
1．2005年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、•三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x ，依题意列出的方程是（ ）．
A ．100（1+x ）2=250
B ．100（1+x ）+100（1+x ）2=250
C ．100（1-x ）2=250
D ．100（1+x ）2
2．一台电视机成本价为a 元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，•所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（ ）．
A ．（1+25%）（1+70%）a 元
B ．70%（1+25%）a 元
C ．（1+25%）（1-70%）a 元
D ．（1+25%+70%）a 元
3．某商场的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，•售价的折扣（即降低的百分数）不得超过d%，则d 可用p 表示为（ ）．
A ．100p p +
B ．p
C ．1001000p p -
D ．100100p p
+ 二、填空题
1．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x ，第一年的产量为6万kg ，•第二年的产量为_______kg ，第三年的产量为_______，三年总产量为_______．
2．某糖厂2002年食糖产量为at ，如果在以后两年平均增长的百分率为x ，•那么预计2004年的产量将是________．
3．•我国政府为了解决老百姓看病难的问题，•决定下调药品价格，•某种药品在1999年涨价30%•后，•2001•年降价70%•至a•元，•则这种药品在1999•年涨价前价格是__________．
三、综合提高题
1．为了响应国家“退耕还林”，改变我省水土流失的严重现状，2000年我省某地退耕还林1600亩，计划到2002年一年退耕还林1936亩，问这两年平均每年退耕还林的平均增长率2．洛阳东方红拖拉机厂一月份生产甲、乙两种新型拖拉机，其中乙型16台，•从二月份起，甲型每月增产10台，乙型每月按相同的增长率逐年递增，又知二月份甲、乙两型的产量之比是3：2，三月份甲、乙两型产量之和为65台，•求乙型拖拉机每月的增长率及甲型拖拉机一月份的产量．
3．某商场于第一年初投入50万元进行商品经营，•以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入的资金继续进行经营．
（1）如果第一年的年获利率为p ，那么第一年年终的总资金是多少万元?（•用代数式来表示）（注：年获利率=年利润年初投入资金
×100%） （2）如果第二年的年获利率多10个百分点（即第二年的年获利率是第一年的年获利率与10%的和），第二年年终的总资金为66万元，求第一年的年获利率．。