解析函数的孤立奇点及留数

(优选)解析函数的孤立奇点与留数.

内， f(z) 的Laurent 展式为: f (z) C n (z z0 )n n
L为0 z z0 内包含z0的任一条简单闭曲线，
对上式两边积分得 L
f
(z)dz
2iC1
称
C 1
1
2
i
L
f
( z )dz
为f
(
z
)在z
的
0
留
数
，
记为Res[ f (z), z0 ],即
例2.
z
=
是
f
(z)
(z
1 1)( z
2)
的可去奇点.
z = 是g(z) = (z 1)(z 2) = z2 3z + 2的二级极点.
sin z 1 1 1 z 2
z3
z 2 3! 5!
z 0为f (z)的2级极点, z 为f (z)的本性奇点
四 .留数
设z0 为f(z) 的孤立奇点,在z0 的去心邻域 0 z z0
n
z 为极点
f (z) Cn z（ n R z )只含有限个正幂项 n
z 为m级极点 Cm 0,Cn 0(n m)
lim f (z) z
z 为本性奇点
f (z) Cn z（ n R z )含无穷多个正幂项 n
lim f (z)不存在且不为 z
关于无穷远点的孤立奇点的分类可以转化为原点情况或者利用已知函数的展开式来判定，当然这个展开式必须是无穷远点去心邻域内的Laurent展式。
C n z n中z 1的系数
n
留数计算法：
(1) 若z0为f (z)的可去奇点,则 Res[ f (z), z0 ] 0
(2) 若z0为f (z)的1级极点,则

孤立奇点与留数

( 2)
2. 留数定理
定理设c是一条简单闭曲线 , 函数f ( z )在c内有
有限个孤立奇点 z1 , z 2 , , z n , 除此以外, f ( z ) 在c内及c上解析, 则
f ( z )dz 2i Re s[ f ( z ), z
c k 1
n
k
]
( 3)
证明
用互不包含 , 互不相交的正向简单闭曲线ck (k 1,2,n)将c内孤立奇点 zk围绕,
( z)在 z0 解析, 且 ( z0 ) 0 .
z0是f ( z )的m阶极点.
z 例求f ( z ) 的奇点， 2 z (1 z )(1 e ) 如果是极点指出它的阶。
解显然，z=i 是(1+z2)的一阶零点
e 1 0, 即 e
z
z
1 k 0, 1, 2,
z=1为f (z)的一个三级极点， z=i为f (z)的一级极点。
若z0为f (z)的本性奇点
f ( z )的洛朗级数有无穷多负项幂次项 l i m f ( z )不存在，也不为
n
4. 零点与极点的关系
定义不恒等于0的解析函数f (z)如果能表示成
~~~~~~~~~
例如
----z=0为孤立奇点 f ( z) e 1 f ( z) ----z=1为孤立奇点 z 1
1 z
1 sin z ----z=0及z=1/n (n = 1 , 2 ,…)都是它的奇点
f ( z)
1
1 但 li m 0, 在z 0不论多么小的去心 n n y 邻域内 , 总有f ( z )的奇点存在，

留数理论及应用

2.函数的零点与极点的关系
不恒等于零的解析函数f (z)如果能表示成：
f (z) (z z0 )m(z) 其中(z)在z0处解析，且(z0 ) 0, m为一正整数，那么z0称为f (z)的m级零点。
例如：z 0和z 1分别是函数 f (z) z(z 1)3的一级和三级零点。
结论：如果f (z)在z0处解析，那么z0为f (z)的m级零点的充分必要条件是： f (n) (z0 ) 0, (n 0,1,2....m 1) , f (m) (z0 ) 0
如果函数：
f (z) cn z n c0 cn z n
n1
n1
(t) cnt n c0 cnt n
n1
n1
则：t 0是(t)的
(1)：不含负幂项(可去奇点)
(2)：含有限多个负幂项，t m为最高负幂项(m级奇点)
(3)：含无限多个负幂项(本性奇点)
对应：z 是f (z)的 (1)：不含正幂项(可去奇点) (2)：含有限多个正幂项，z m为最高正幂项(m级奇点) (3)：含无限多个正幂项(本性奇点)
那么我们说 z0 是f(z)的可去奇点，或者说f(z)在 z0 有可去奇点。
这是因为令 f (z0 ) 0 ，就得到在整个圆盘
| z z0 | R 内的解析函数f(z)。
例ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ：z 0是 sin z 的可去奇点 z
孤立奇点的分类-极点：
（2）如果只有有限个（至少一个）负整数n，
使得 n 0,
(sinz)3
§5.2 留数定理
1.留数的定义及留数定理
1. 留数定理
设 C 为分段光滑的简单闭合曲线，f (z) 在 C 内除有限孤立
奇点b1,b2 ,L L ,bN 外处处解析，则

第5章留数

n n C z n
则有Res[f (z),∞]=-C-1
注意
z=∞既便是f (z)的可去奇点，f (z)
在z=∞的留数也未必是0，这是同有限点的留
数不一致的地方。
方法2
1 1 Res f ( z ), Res f ( ) 2 ,0 z z
1 f ( z)
3.如果z0是f (z)的m级零点，则z0是的m级零点。
的m
1 f ( z)
级极点。如果z0是f (z)的m级极点，则z0是
4.如果z0是f (z)的m级极点，则f (z)是可表示为
1 1 ( z) m f ( z ) ( z z0 )
※
Ψ(z)在z0解析，且Ψ(z0)≠0；反之，若f (z)可用(※)表示，则z0是f (z)的m级极点。 5.设 f ( z ) P(z)的n级极点。
目录
第五章留数
§1 孤立奇点
§2 留
数
§3 留数在定积分计算上的应用
第五章留数
§1 孤立奇点
定义5.1.1 若函数f (z)在点z0处不解析，
但在点z0的某个空心邻域0 z z0 R(0 R )
内解析，则称点z0为f (z)的孤立奇点。注意 f (z)在其孤立奇点的空心邻域内
那么dz=ieiθdθ,
2 1 i z 1 sin (e e i ) 2i 2iz 2 1 i z 1 cos (e e i ) 2 2z
从而，所设积分化为沿正向单化周围的积
分：
z 2 1 z 2 1 dz R , 2z 2iz iz z 1
(2)f (z)在z0点的某空心邻域 0 z z0 R 内能表成

复变函数第五章

C
这是由于 z 0 为f ( z ) 的孤立奇点而使积分 ∫ f ( z )dz 留下”的值 “留下”
11
定义: 的孤立奇点，定义设 z0 为 f (z) 的孤立奇点， f (z) 在 z0 邻域内的洛朗级数中负称为f 在留数，幂次项 (z- z0)–1 的系数 c–1 称为 (z)在 z0 的留数，记作 Res [f (z), z0] 或 Res f (z0)。。由留数定义, 由留数定义 Res [f (z), z0]= c–1 (1)
z2 z4 z 2n sin z (1) = 1 − + − L + ( −1) n +L z 3! 5! ( 2n + 1)!
特点：没有负幂次项特点：
e z 1 +∞ z n +∞ z n −1 1 z z n −1 ( 2) = ∑ = ∑ = + 1+ +L+ +L z z n = 0 n! n = 0 n! z 2! n!
1 把扩充z平面上平面上∞ 作变换 w = 把扩充平面上∞的去心邻域 R<|z|<+∞映射成扩充 ∞ z w平面上原点的去心邻域： <| w |< 1 . 平面上原点的去心邻域：平面上原点的去心邻域 0 R 1
又 f ( z ) = f ( ) = ϕ ( w) .这样我们可把在去心邻域这样, 这样我们可把在去心邻域R<|z|<+∞对f (z)的研 ∞ 的研 w 1 的研究.显然究变为在 0 <| w |< 1 内对ϕ (w)的研究显然ϕ (w)在 0 <| w |< 内解的研究在 R R 所以w=0是孤立奇点是孤立奇点. 析, 所以是孤立奇点在无穷远点 ∞ lim f ( z ) = lim ϕ ( w ) ⇒ f (z)在无穷远点 z=∞ 的奇点类型

第四节留数与留数定理

1)
[ 1

1 (z
1)

1 3

1
1 z

1]

1 4(z
[ (z 1) n0

1)n

1 3

(1)n
n0

z
3
1
n
]
3
故 Re s[ f (z), 1] 1 1 1
由留数定理得
4 12 3
原式 2 i{Re s[ f (z), 0] Re s[ f (z), 1]}
两边对z求m-1阶导c1数(z，得z0 )m1 c0(z z0 )m
d m1 dz m 1
{( z

Байду номын сангаас
z0 )m
f
(z)}
(m
由此可见，n当 0, 1, 2, , m 1时，f (n)(z0 ) 0 ，
要而性f ，(mm)充(!z0分) 性c请0 读0者．自这己就证证明明．了上述结论的必
例５问z 0为f (z) z sin z的几级零点？
解：因为 f (z) 1 cos z，f (z) sin z，f (0) 0 ，
f
(z)

(z

z0 )m
1 g(z)
(z
z0 )m h(z)
，
其中h( z ) 义3可知z
0是g(1zf)(也z)在的zm0级解零析点且．h(
z0
)

0
，由定
定理2为判断函数的极点及其类型提供了一个较为简便的方法．
1 例指出６它们函为数几s级in极z 点有．哪些奇点？如果是极点，

高考数学冲刺留数定理在定积分计算中的应用

高考数学冲刺留数定理在定积分计算中的应用高考数学冲刺：留数定理在定积分计算中的应用在高考数学的冲刺阶段，掌握一些高级的数学方法和定理对于提高解题能力和应对复杂问题至关重要。

留数定理作为复变函数中的重要定理，在定积分计算中有着独特的应用，能够帮助我们巧妙地解决一些看似棘手的定积分问题。

首先，让我们来了解一下什么是留数定理。

留数定理是指在复平面上，对于某个解析函数在孤立奇点处的留数与沿着闭合曲线的积分之间存在着一种特定的关系。

简单来说，如果我们能找到函数的奇点，并计算出这些奇点处的留数，就可以通过留数定理来计算相关的积分。

那么，留数定理为什么能用于定积分的计算呢？这是因为一些在实轴上的定积分，可以通过巧妙的变量代换，将其转化为复平面上沿着某个闭合曲线的积分。

然后，利用留数定理，计算出这个复积分的值，从而得到原实轴上定积分的值。

接下来，我们通过一个具体的例子来看看留数定理是如何应用的。

考虑定积分，这个积分在常规的微积分方法中计算起来会比较困难。

我们令，则，。

当从变化到时，正好沿着单位圆的上半部分逆时针转了一圈。

此时，原积分就可以转化为复积分。

然后，我们需要找到被积函数在复平面上的奇点。

对于，分母为零的点就是奇点，即，解得。

因为我们只考虑单位圆的上半部分，所以只有是在我们所考虑的区域内的奇点。

接下来计算奇点处的留数。

留数的计算公式为：，其中是函数在奇点处的洛朗级数展开式中的系数。

对进行洛朗级数展开：。

所以，从而。

最后，根据留数定理，。

通过这个例子，我们可以看到留数定理在计算定积分时的强大作用。

但在实际应用中，还需要注意一些问题。

比如，在进行变量代换时，要确保代换的合理性和正确性，保证积分路径的连续性和封闭性。

同时，对于奇点的判断和留数的计算要准确无误，否则会导致整个计算结果的错误。

另外，留数定理并不是适用于所有的定积分计算，它通常适用于一些具有特定形式的积分，比如含有三角函数、指数函数等的积分。

在遇到具体问题时，需要先观察积分的形式，判断是否可以使用留数定理来求解。